Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán THCS

TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC - TỰ NHIÊN
-----------

HOÀNG THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI
ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG CHƢƠNG
TRÌNH TOÁN THCS

KHÓA UẬN TỐT NGHI P ĐẠI HỌC
KHÓA: 2013 - 2017

Quản

n

năm 2017


Lời Cảm Ơn
Trong quá trình tôi thực hiện khóa luận tốt nghiệp tôi đã gặp rất nhiều
khó khăn. Nhưng nhờ vào sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và các
bạn em đã hoàn thành khóa luận này.
Lời đầu tiên tôi xin gửi đến thầy giáo ThS Trần Mạnh Hùng lời cảm ơn
sâu sắc nhất, cảm ơn thầy đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo cho
tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Và để hoàn thành khóa luận này, chúng tôi rất trân trọng cảm ơn các quý
thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên trong suốt quá trình giảng dạy đã cung
cấp kiến thức nền tảng để tôi có thể nghiên cứu được.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã dành thời gian quý báu

của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tôi, trong quá trình làm khóa luận
vẫn không tránh khỏi những khuyết điểm, thiết sót kính mong nhận được sự
đóng góp chỉ bảo của các quý thầy cô.

Tôi xin chân thành cảm ơn !
Đồng Hới, tháng 5 năm 2017.
Sinh viên thực hiện
Hoàng Thị Thanh Huyền


ỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực
hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hƣớng dẫn và không sao chép các công trình
nghiên cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong
khóa luận là có nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!

Sinh viên

Hoàng T ị Thanh Huyền


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Chữ cái viết tắt/ký hiệu

Cụm từ đầy đủ

Cmt

Chứng minh trên

Đpcm

Điều phải chứng minh

gt

Giả thiết

kt

Kết luận



Tam giác

^

Góc

∽

Đồng dạng

//

Song song



Thuộc

g.g

Góc - góc

c.g.c

Cạnh- góc- cạnh



Vuông góc

THCS

Trung học cơ sở


MỤC ỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU.................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... ............1
2. Mục đích nghiên cứu: ........................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu: .......................................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu ........................................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG .............................................................................................. 3
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ.
1. Đƣờng đƣờng thẳng vuông góc và đƣờng thẳng song song…………………...3
2. Tam giác………………………………………….............................................4

3. Đƣờng tròn……………………………………………………………………..5
4. Góc……………………………………………………………………………..7
CHƢƠNG II: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG
THẲNG VUÔNG GÓC.
1. Chứng minh hai đƣờng vuông góc dựa vào định nghĩa…………......................9
2. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của
đƣờng thẳng trong mặt phẳng………………………….......................................12
3. Chứng minh hai đƣờng vuông góc dựa vào định lí nhận biết một tam giác
vuông……............................................................................................................14
4. Chứng minh hai đƣờng vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các đƣờng
trong tam giác và trong hình học phẳng……………….......................................17
5. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc dựa vào đƣờng tròn và các yếu tố
trong đƣờng tròn…………………………………………...................................18
6. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc dựa vào định lí 4 điểm và định lí
Pitago……………………………………………………………………………21
7. Tính chất của hai tia phân giác của hai góc kề bù……………………………26
8. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đƣờng tròn……………………..…….......…28
9. Định nghĩa ba đƣờng cao trong tam giác, định nghĩa đƣờng trung trực của
đoạn thẳng , đƣờng cao và cạnh đối diện trong tam giác……………………….30
10. Tính chất tiếp tuyến của đƣờng tròn và đƣờng thẳng thứ ba……..................32
11. Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác đều, hình chữ nhật………......…..33


12. Sử dụng tính chất đƣờng kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc
với dây cung..…………………………………...…………………………….....35
13. Sử dụng định lý hai đƣờng thẳng song song đƣờng nào vuông góc với đƣờng
thứ nhất thì cũng vuông góc với đƣờng thứ hai và chúng song song với hai đƣờng
thẳng vuông góc khác…………………………………………………………...37
PHẦN III: KẾT LUẬN........................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................40

7


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. ý do c ọn đề tài
1.1.Cơ sở lí luận:
Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc là một trong những phần kiến thức
xuyên suốt trong chƣơng trình hình học.
Nó là cơ sở cho nhiều kiến thức hình học sau này, không chỉ trong mặt
phẳng mà trong cả không gian.
Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc giúp cho học sinh có những kĩ
năng chứng minh hình học, nhận biết hình và đặc biệt đó là một phần kiến thức cơ
bản giúp cho học sinh có thể thực hành khai thác bài toán, làm cho tƣ duy hình học
của học sinh phát triển.
Khai thác bài toán nói chung và khai thác phát triển bài toán chứng minh
hai đƣờng thẳng vuông góc nói riêng sẽ là một trong những phƣơng pháp giúp
phát triển tƣ duy, khả năng sáng tạo cho học sinh.
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Học sinh trung học cơ sở chƣa biết hoặc hệ thống còn chƣa đầy đủ các
phƣơng pháp chứng minh hình học nói chung và chứng minh hai đƣờng thẳng
vuông góc nói riêng.
Học sinh chƣa biết cách khai thác một bài toán hình học, chƣa đúc rút đƣợc
kinh nghiệm qua mỗi bài giải.
Thời gian trên lớp học còn hạn chế nên việc hệ thống lại các phƣơng pháp
chứng minh cho học sinh còn hạn chế ở mọi cấp lớp.
Vì vậy trong khuôn khổ cho phép, em xin nghiên cứu đề tài về “ Một số
p ƣơn p áp c ứn min

ai đƣờn t ẳn vuôn

óc tron c ƣơn tr n

toán THCS”.
2. Mục đíc n

iên cứu:

Giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản có liên quan đến
chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc.
Củng cố cho học sinh những kĩ năng chứng minh hình học.
Giúp cho học sinh có sự hệ thống trong phƣơng pháp chứng minh hai đƣờng
thẳng vuông góc.


Giúp cho học sinh biết cách khai thác một bài toán chứng minh hai đƣờng
thẳng vuông góc.
Làm cho học sinh thêm sự hứng thú khi học phân môn hình học nói chung và khi
học chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc nói riêng.
3. N iệm vụ n

iên cứu:

Để đạt đƣợc mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:
Tôi đã đề xuất một số phƣơng pháp chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc
trong hình học phẳng
Sƣu tầm một số bài toán về chuyên đề chứng minh hai đƣờng thẳng vuông
góc.
Sƣu tầm một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phƣơng pháp có
thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh.
4.Đối tƣợn n

iên cứu:

Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đƣờng thẳng vuông
góc trong chƣơng trình toán trung học cơ sở.
Các phƣơng pháp chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc trong chƣơng
trình toán trung học cơ sở.


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Các kiến thức trong chƣơng này đƣợc trích ở mục số: [1], [2], [3], [4], [5],
[6], [7], [8] trong tài liệu tham khảo.
1. Đƣờn

t ẳn

vuôn

óc và

đƣờn t ẳn son son .
1.1 Hai đƣờn t ẳn vuôn
Địn

n

óc:

ĩa [3, trang 84]: Hai

đƣờng thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và
trong các góc tạo thành có một góc
vuông đƣợc gọi là hai đƣờng thẳng
vuông góc và kí hiệu là xx’

 yy’.

Tiên đề Ơ-clit về đƣờn

t ẳn

vuông góc [3, trang 92]: Có một và chỉ
một đường thẳng a’ đi qua điểm O và
vuông góc với đường thẳng a cho
trước.
Đƣờn

trun

trực của đoạn

t ẳng:
Địn

n

ĩa [3, trang 85]: Đƣờng

thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng

và vuông góc với đoạn thẳng đƣợc gọi
là đƣờng trung trực của đoạn thẳng ấy.
Tín c ất: Khi d là đường trung
trực của đoạn thẳng AB thì ta cũng nói
AB đối xứng nhau qua đường thẳng d.

1.2 Hai đƣờn t ẳn son son :
Địn n

ĩa: Là hai đƣờng thẳng không có điểm chung. Ký hiệu: a//b.

Tín c ất [3, trang 93]: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song
thì: Hai góc đồng vị bằng nhau.


Hai góc so le trong bằng nhau .
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
1.3 Quan ệ iữa tín vuôn

óc và tín son son của ba đƣờn t ẳn

[3, trang 96]:
Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Một đƣờng thẳng vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đƣờng thẳng kia.
Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng song song với một đƣờng thẳng thứ ba thì
chúng cùng song song với nhau.
Ba đƣờng thẳng d, d', d'' song song với nhau từng đôi một thì ta nói ba đƣờng
thẳng ấy song song với nhau. Kí hiệu d // d' // d''.

2. Tam giác
2.1 Tam giác vuông:
Địn n

o

ĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc 90 ).

Địn lí [4, trang 65]: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng
nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến ).
Địn lí Pyta o [3, trang 129]: Trong một tam giác vuông, bình phương của
cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
∆ABC vuông tại A, ta có: BC2=AB2+AC2
Địn lí Pyta o đảo [3, trang 129]: Nếu một tam giác có bình phương của
một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác
vuông, ∆ABC: BC2=AB2+AC2.
2.2 Đƣờn trun trực của tam iác [4, trang 78]:
Địn n

ĩa: Đƣờng trung trực của cạnh của tam giác là đƣờng trung trực của

tam giác.
Địn lí: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm đó
cách đều ba đỉnh của tam giác.
Tín c ất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là
đường trung tuyến tương ứng với cạnh này.
2.3 Đƣờn cao của tam iác [4, trang 81]:


Địn n

ĩa: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đƣờng

thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đƣờng cao.
Địn lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là
trực tâm.
Tín c ất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là
đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện.
2.4 Tam giác cân [3, trang 125]:
Địn n

ĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Tín c ất: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau. Tam giác có hai góc
bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
3. Đƣờn tròn
3.1 Địn n
Địn n

ĩa các tín c ất liên quan và sự xác địn đƣờn tròn:

ĩa: Đƣờng tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một

điểm I cho trƣớc một khoảng bằng R cho trƣớc. Điểm I gọi là tâm của đƣờng tròn.
R gọi là bán kính của đƣờng tròn. Nếu đƣờng tròn có tâm I bán kính R thì ký hiệu
là (I; R).
Tín c ất liên quan đến đƣờn tròn [7, trang 97]:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với
bán kính tại tiếp điểm.
Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường

thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp
điểm.
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua
tâm thì vuông góc với dây đó.
Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều
tâm.
Sự xác địn đƣờn tròn [7, trang 97]:
Một đƣờng tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó. Nếu
AB là đoạn cho trƣớc thì đƣờng tròn đƣờng kính AB là tập hợp những điểm M sao
cho góc. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R=AB/2.


Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ đƣợc một đƣờng tròn và chỉ
một mà thôi.
3.2 Tiếp tuyến của đƣờn tròn [7, trang 110 – 115]:
Địn n

ĩa: Đƣờng thẳng đƣợc gọi là tiếp tuyến của đƣờng tròn nếu nó có

một điểm chung với đƣờng tròn. Điểm đó đƣợc gọi là tiếp điểm.
Đƣờng tròn nội tiếp của tam giác là: Đƣờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của
một tam giác gọi là đƣờng tròn nội tiếp của tam giác đó. Tâm của đƣờng tròn nội
tiếp tam giác là giao của ba đƣờng phân giác của tam giác.
Đƣờng tròn bàng tiếp của tam giác là: Đƣờng tròn tiếp xúc với một cạnh và
phần kéo dài của hai cạnh kia.
Tín c ất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với
đường tròn được gọi là tiếp tuyến.
Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách

đến hai tiếp điểm: Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai
bán kính đi qua các tiếp điểm.
3.3 Đƣờn kín và dây cun của đƣờn tròn [7, trang 102]:
Địn n

ĩa:

Đƣờng kính là: Trong hình học phẳng, đƣờng kính của một đƣờng tròn là
khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên đƣờng tròn đó.
Dây cung là: Nếu hai đƣờng thẳng chứa hai dây cung AB và CD của một
đƣờng tròn (hai cát tuyến) cắt nhau tại P, (tính chất phƣơng tích của một điểm).
Tín c ất:
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm
dây ấy.
Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm
thì vuông góc với dây.
3.3 Tứ iác nội tiếp đƣờn tròn [8, trang 87]:
Địn n

ĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đƣờng tròn.


Tín c ất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng hai
góc vuông. Ngược lại, trong một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng hai góc
vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
3.4 Địn lí bốn điểm:
Địn lí: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tổng
bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau.

Địn lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách
đều hai cạnh của góc đó.
Địn lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh
của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
4 Góc:
4.1 Địn n
Địn n

ĩa và các tín c ất liên quan đến óc:

ĩa: Trong hình học phẳng, Góc nằm giữa hai đƣờng thẳng cắt nhau

tại một điểm. Hai đƣờng thẳng đƣợc gọi là cạnh của góc. Giao điểm của chúng gọi
là đỉnh của góc.
Tín c ất:
Góc ở tâm (góc có đỉnh ở tâm đường tròn) [8, trang 60]: Số đo của góc ở tâm
bằng số đo của cung bị chắn.
Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm [8, trang 77]:
Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của
cung bị chắn.
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn [8, trang 80]: Số đo của góc có đỉnh
nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn [8, trang 81]: Số đo của góc có đỉnh
nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc.
4.2 Góc nội tiếp c ắn nửa đƣờn tròn [8, trang 72]:
Địn n

ĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đƣờng tròn và hai

cạnh của nó cắt đƣờng tròn.
Địn lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn.


Hệ quả:
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một
đường tròn thì bằng nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông .
Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá 90O có số đo bằng nửa
số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung .
4.3 Cách dựn tâm O của cun c ứa óc trên đoạn A [8, trang 60]:
Dựng đƣờng trung trực d của AB.
Dựng tia Ax tạo với AB một góc µ, sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax.
O là giao của Ax’ và d.
4.4 Quỹ tíc cun c ứa óc [8, trang 83]:
Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dƣới một góc µ không
đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc µ dựng trên đoạn
thẳng AB. Đặc biệt là cung chứa góc 90o là đƣờng tròn đƣờng kính AB.


CHƢƠNG II: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI
ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
1. C ứn min

ai đƣờn vuôn

óc dựa vào địn n

ĩa:

Phƣơng pháp: Để chứng minh hai đƣờng vuông góc thực chất ta chứng minh
góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau đó bằng 90o.
Có rất nhiều cách chứng minh góc tạo bởi hai đƣờng thẳng bằng 90o nhƣ :
Dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 o, ta đi chứng
minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90o.
Chứng minh góc đó là góc nội tiếp chắn nửa đƣờng tròn thì góc đó có số đo
bằng 90o.
Chứng minh tổng các góc tạo thành góc cần chứng minh bằng 90o.
* Nhận xét: Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc áp dụng để chứng minh hai
đƣờng thẳng vuông góc. Tuy nhiên trong những trƣờng hợp tính số đo góc tạo bởi
hai đƣờng thẳng gặp khó khăn.

ˆ =
Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 90o) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đƣờng vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đƣờng thẳng qua DM vuông góc với đƣờng thẳng qua BM.
Bài làm:
Hạ BE  DC, E

 DC. Theo bài ta có ME là đƣờng trung bình trong

DHC . Mà ME // DH và ME

 AC nên

AME  90o .

Mặt khác theo cách dựng có: ABE  90o .

Ta có:

 ABME là tứ giác nội tiếp nên

AMB  BEA (vì cùng chắn

AB ) (1.1)


Do D  90o .

Có  ADEM là tứ giác nội tiếp nên ADE  AMD (vì cùng chắn AD ) (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) ta có: DMB  AMD  AMB  AED  BEA  90O
Hay DM  BM tại M (điều phải chứng minh). 
Khai thác bài toán : Nếu ta tìm cách tạo đường một đường thẳng song
song với một trong hai đường thẳng cần chứng minh và chứng minh đường thẳng
này vuông góc với đường thẳng còn lại thì ta có cách làm thư hai của bài toán
này.
Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.
Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lƣợt là hai tia phân giác của hai góc F và E.

Gọi: Fx

Và: Fx
Fx

 (O) = K , N  ; Ey  (O) = H , P ;

 BC = I1 ; Fx  AD = I3 ; Ey  DC = I2 ; Ey  AB = I4 ;

 Ey = I ; Ta có Eˆ1

= Eˆ (vì Ey là phân giác Eˆ ).

2

AP  DH  PB  HC (góc có đỉnh bên ngoài đƣờng tròn)

(1.3)


Tƣơng tự: Fˆ  Fˆ nên AN  BK  ND  KC (góc có đỉnh bên ngoài đƣờng

1

2

tròn)

(1.4)
Cộng từng vế với vế (1.3) và (1.4) ta đƣợc :

AP  HC  NA  CK  PB  BK  DH  ND .

Mà NP  HK  NH  PK ta có NP  HK  NH  PK 180o .
Nên EIF =

1

( NP  HK ) = 90o (góc có đỉnh bên trong đƣờng tròn).

2
Hay EI  FI

 Ey 

Fx (điều phải chứng minh).

Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.

Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lƣợt là hai tia phân giác của hai góc F và E.
Gọi I= Fx

 Ey; Vì  ABCD là tứ giác nội tiếp (O) suy ra Cˆ 1  Aˆ (vì cùng

ˆ  Eˆ  Fˆ (góc ngoài đỉnh C của
bù với BCD ). Mà C
1

3

3

ˆ  Eˆ  Fˆ .
CEF) nên A
3

3

ˆ  Eˆ  Fˆ = 180O (định lí tổng ba góc trong một tam
Trong tam giác AEF có A

ˆ +Eˆ  Eˆ  Fˆ  Fˆ +Fˆ = 180O .
giác), ta có E
1

2

3

1

2

3


Vì Fx và Ey lần lƣợt là hai tia phân giác góc F và góc F nên Fˆ  Fˆ và
1 2

ˆ  Eˆ  Fˆ +Fˆ )= 180o nên Eˆ  Eˆ  Fˆ +Fˆ =90o
Eˆ = Eˆ và 2( E
2 3 2 3
2 3 2 3
1
2
ˆ  Eˆ  Fˆ +Fˆ )
Vậy FEI = 180o – ( E
2

3

2

3

= 180o – 90o = 90o
Hay EI  FI

 Ey 

Fx (Đpcm).

Bài tập 4: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.
Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của OA, OB. Đƣờng vuông góc với OA tại D
và đƣờng vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C.
Chứng ming rằng : a) CE // OD
b) CE  CD

Bài làm:

a, Theo giả thiết ta có: CE  Oy; OD  Oy . Nên CE // OD (vì cùng vuông góc
với Oy) (Đpcm).
b, Tƣơng tự ta có CD // OE (cùng vuông góc với Ox)
Mà BEC  900 và ECD  900 .
Vậy CE  CD (Đpcm).
2. C ứn min

ai đƣờn t ẳn vuôn

óc dựa vào tín c ất son son của

đƣờn t ẳn tron mặt p ẳn .
Ta dựa vào tính chất: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
* Nhận xét: Đây là phƣơng pháp hữu hiệu để chứng minh hai đƣờng thẳng
vuông góc khi trong bài toán còn có các yếu tố song song.


ˆ =
Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 90o) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đƣờng vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đƣờng thẳng qua DM vuông góc với đƣờng thẳng qua BM.
Bài làm:
Kẻ MI // AB (2.1)

 MI

 AD (vì AB  AD)

Lại có: DH  AC nên DI  AM
Từ (2.2) và (2.3) suy ra I là trực tâm của

(2.3)

ADM

Vậy AI  DM.
Mặt khác: Trong

(2.2)

(2.4)
DHC có: MI //DC (vì cùng // AB) và MH=MC.

1
Với MI là đƣờng trung bình nên MI  CD hay MI= AB
2
Từ (2.1) và (2.5) ta có ABMI là hình bình hành nên BM // AI

(2.5)
(2.6)

Từ (2.4), (2.6) suy ra BM  DM (điều phải chứng minh).
* Nhận xét: sử dụng phương pháp thứ 2 để chứng minh hai đường thẳng
vuông góc. Như vậy trong một bài toán ta có thể linh hoạt vẽ thêm các đường phụ
để thuận lợi áp dụng các cách chứng minh dễ dàng. Ngoài ra ta còn có thể áp

dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để giải quyết bài toán này.
Bài tập 2: Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình
chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO
vuông góc với BE.
Bài làm:
Gọi K là trung điểm của EC.


Ta có: HK là đƣờng trung bình của
Trong

BEC nên HK // EB

EHC ta cũng có OK là đƣờng trung bình nên OK // HC.

Ta có:AH  HC

(2.7)
(2.8)

(2.9)

Từ (2.8) và (2.9) ta có: OK  AH

( 2.10)

Lại có HE  AC (vì E là hình chiếu của H trên AC)
Từ (2.10), (2.11) suy ra O là trực tâm của

(2.11)

AHK.

Vậy AO  HK

(2.12)

Từ (2.7) và (2.12) suy ra AO  BE (Đpcm).
* Nhận xét: Ta vừa sử dụng phương pháp thứ 2 để giải quyết bài toán trên.
Mấu chốt của bài toán là AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của
ABC. Vì vậy nếu ta thay đổi hình dạng của tam giác nhưng vẫn đảm bảo AH
vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến thì ta được bài toán mới với cách giải
tương tự như trên.
3. C ứn min

ai đƣờn vuôn

óc dựa vào địn lí n ận biết một tam iác

vuông:
Phƣơng pháp: Để chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc ta tìm cách gán hai
đƣờng thẳng đó trở thành hai đƣờng thẳng chứa hoặc song song với hai cạnh góc
vuông của một tam giác vuông.
Để chứng minh ta dựa vào định lí nhận biết sau:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của
hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí Pitago đảo).
Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam
giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến).

ˆ =
Bài tập1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 900 ) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đƣờng vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đƣờng thẳng qua DM vuông góc với đƣờng thẳng qua BM.
Bài làm:
Vận dụng tính chất đƣờng trung tuyến trong tam giác vuông.
Kẻ BE  DC tại E. Ta có ABDE là hình chữ nhật. Do đó: AB = DE = EC.

Trong

DHC có : ED=EC và MH=MC. Nên EM là đƣờng trung bình

Suy ra: EM  HC.Ta lại có:

AME là tam giác vuông tại M. Gọi O là

trung điểm của AE mà O cũng là trung điểm của BD.
Nên MO là đƣờng trung tuyến trong tam giác BDM
Trong

(3.1)

vuông AEM có MO là đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền.
1
2

Nên MO  AE , suy ra AE = BD (tính chất đƣờng chéo hình chữ nhật).
Vậy MO = 1 BD

(3.2)

2

Từ (3.1) và (3.2) suy ra

BDM là tam giác vuông tại M hay BM  DM tại

M (điều phải chứng minh).
* Nhận xét: Với cách trên ta vừa sử dụng tính chất đường trung tuyến trong
tam giác để giải quyết bài toán chứng minh.Cách áp dụng này khá dễ dàng và có
thể áp dụng đưa bài toán cho học sinh lớp 7 giải được.
Bài tập 2: Cho tam giác vuông AHC có
lần lƣợt là trung điểm của EH và EC.
Chứng minh AO vuông góc với HK.

ˆ
H

= 90o. Đƣờng cao HE. Gọi O, K


Bài làm:
Từ giả thiết có OK là đƣờng trung bình của tam giác EHC suy ra OK // HC.
Mặt khác: HC  AH nên OK  AH
Xét tam giác AHK có HE  AC, OK  AH

 O là trực tâm của tam giác

AHK. Suy ra AO  HK.
Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. I và
N lần lƣợt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh BN vuông góc với IN.
Bài làm: Gọi M là trung điểm của BH
Ta có: AM  BN (đã chứng minh ở bài tập 3 của phƣơng pháp 1)

(3.3)

Ta còn chứng minh AM // IN. Suy ra : MN là đƣờng trung bình của

HBC

1
2

nên MN // BC và MN = BC .
Mặt khác: ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của AD nên AI // BC
Và AI =

1
BC .
2


Do đó AI // MN và AI = MN suy ra MNIA là bình hành. Vậy AM // IN

(3.4)

Từ (3.3) và (3.4) suy ra BN vuông góc với IN.
4. C ứn min

ai đƣờn vuôn

đƣờn tron tam iác và tron

n

óc dựa vào địn n

ĩa và tín c ất các

ọc p ẳn .

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.
Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lƣợt là hai tia phân giác của hai góc F và E, I= Fx

ˆ  Fˆ  Fˆ (góc ngoài đỉnh B của
ˆ C
Ta có: B
1

1

1

2

ˆ  Eˆ  Eˆ (góc ngoài đỉnh D của
ˆ C
D
1 2 1 2
Do

 Ey.

BFE)
DFE).

 ABCD là tứ giác nội tiếp (O) suy ra ta có Dˆ 1  Bˆ 1 = 180o

ˆ C
ˆ  Eˆ  Eˆ  Fˆ  Fˆ = 180o
Nên C
1

2

1

2

1

2

ˆ  Eˆ (vì Ey là phân giác E ).
Mà E
1

2

(4.1)


Fˆ  Fˆ (vì Fx là phân giác Fˆ ).
1 2

(4.2)

ˆ C
ˆ (đối đỉnh).
C
1
2
ˆ  Eˆ  Fˆ = 90o
Từ (1) và (2) suy ra: C
1

2

(4.3)

2

ˆ  Eˆ  Fˆ (góc ngoài đỉnh C của

Mặt khác: C
1

3

3

CEF )

(4.4)

ˆ  Eˆ  Fˆ +Fˆ = 90o
Từ (4.3) và (4.4) suy ra : E
2

Xét trong

3

2

3

ˆ = 1800 – ( Eˆ  Eˆ  Fˆ +Fˆ ) = 180o – 90o = 90o
IEF có : FIE

2

3

2

3

Hay EI  FI nên Ey  Fx (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Với cách trên ta đã áp dụng tính chất tổng ba góc trong một
tam giác và góc ngoài tam giác để chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng
90o.
5. C ứn min

ai đƣờn t ẳn vuôn

óc dựa vào đƣờn tròn và các

yếu tố tron đƣờn tròn.
Phƣơng pháp: Để chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau ta dựa
vào các định lí và các tính chất có liên quan đến đƣờng tròn.
Bài tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia AD và BC lần lƣợt lấy hai
điểm E và F sao cho DF = CE = DC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho CH = CB.
Chứng minh: AE  FH.


Bài làm:
Gọi I =AE

 FH. Theo bài ta có: DF = DC; CH = BC = AD nên

AF = DH.

Dễ dàng chứng minh DCEF là hình vuông, suy ra: DF = EF

Xét
AEF và
DFH có:
EF = DF
AF = DH

AFE  HDF = 90o
Vậy

AEF =

ˆ  H
ˆ
DFH (c.g.c). Suy ra: A
1

1

Ta có: A, H thuộc cung chứa góc tạo bởi DI hay ADIH là tứ giác nội tiếp.
Nên ADH  AIH (cùng chắn cung AH )
Mà ADH  90o (vì ABCD là hình chữ nhật )

(5.1)
(5.2)

ˆ = 90o hay AE  HF
Từ (5.1) và (5.2) suy ra AIH
Vậy AE  HF (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Cách làm trên đã sử dụng định nghĩa để chứng minh hai
đường thẳng vuông góc. Chứng minh góc bằng 900 bằng cách chứng minh góc đó

chắn một nửa đường tròn. Đây là cách hữu hiệu thường dùng để chứng minh góc
bằng 90o.
Bài tập 2: Đƣờng tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi M và N lần
lƣợt là hai tiếp điểm của đƣờng tròn đó với hai cạnh AB và AC. Tia MN cắt tia
phân giác của góc B tại P. Chứng minh BP vuông góc với CP.
Bài làm: