Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán THCS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC - TỰ NHIÊN
-----------

HOÀNG THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN THCS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
KHÓA: 2013 - 2017

Quảng Bình, năm 2017


Lời Cảm Ơn
Trong quá trình tôi thực hiện khóa luận t ốt nghi ệp tôi
đã gặp rất nhiều khó khăn. Nhưng nhờ vào sự giúp đỡ đ ộng
viên của các thầy cô giáo và các bạn em đã hoàn thành khóa
luận này.
Lời đầu tiên tôi xin gửi đến thầy giáo ThS Trần M ạnh Hùng
lời cảm ơn sâu sắc nhất, cảm ơn thầy đã trực tiếp hướng
dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo cho tôi trong quá trình th ực
hiện khóa luận này.
Và để hoàn thành khóa luận này, chúng tôi rất trân
trọng cảm ơn các quý thầy cô trong khoa Khoa h ọc t ự nhiên
trong suốt quá trình giảng dạy đã cung cấp kiến thức nền
tảng để tôi có thể nghiên cứu được.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã dành thời
gian quý báu của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tôi,

trong quá trình làm khóa luận vẫn không tránh kh ỏi nh ững
khuyết điểm, thiết sót kính mong nhận được sự đóng góp
chỉ bảo của các quý thầy cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Đồng Hới, tháng 5 năm 2017.
Sinh viên thực hiện
Hoàng Thị Thanh
Huyền



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực
hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn và không sao chép các công trình
nghiên cứu của người khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong
khóa luận là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!
Sinh viên

Hoàng Thị Thanh Huyền


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Chữ cái viết tắt/ký hiệu
Cmt
Đpcm
gt
kt
∆
^

∽
//
∈
g.g
c.g.c
⊥
THCS

Cụm từ đầy đủ
Chứng minh trên
Điều phải chứng minh
Giả thiết
Kết luận
Tam giác
Góc
Đồng dạng
Song song
Thuộc
Góc - góc
Cạnh- góc- cạnh
Vuông góc
Trung học cơ sở


MỤC LỤC
Có ADEM là tứ giác nội tiếp nên (vì cùng chắn) (1.2).....................10
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)....................................21
Ta có: + =....................................................................................................27
8. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.......................................28
9. Định nghĩa ba đường cao trong tam giác, định nghĩa đường trung

trực của đoạn thẳng, đường cao và cạnh đối diện trong tam giác........30


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1.Cơ sở lí luận:
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc là một trong những phần kiến thức
xuyên suốt trong chương trình hình học.
Nó là cơ sở cho nhiều kiến thức hình học sau này, không chỉ trong mặt
phẳng mà trong cả không gian.
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc giúp cho học sinh có những kĩ
năng chứng minh hình học, nhận biết hình và đặc biệt đó là một phần kiến thức cơ
bản giúp cho học sinh có thể thực hành khai thác bài toán, làm cho tư duy hình học
của học sinh phát triển.
Khai thác bài toán nói chung và khai thác phát triển bài toán chứng minh
hai đường thẳng vuông góc nói riêng sẽ là một trong những phương pháp giúp
phát triển tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh.
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Học sinh trung học cơ sở chưa biết hoặc hệ thống còn chưa đầy đủ các
phương pháp chứng minh hình học nói chung và chứng minh hai đường thẳng
vuông góc nói riêng.
Học sinh chưa biết cách khai thác một bài toán hình học, chưa đúc rút được
kinh nghiệm qua mỗi bài giải.
Thời gian trên lớp học còn hạn chế nên việc hệ thống lại các phương pháp
chứng minh cho học sinh còn hạn chế ở mọi cấp lớp.
Vì vậy trong khuôn khổ cho phép, em xin nghiên cứu đề tài về “ Một số
phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình
toán THCS”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản có liên quan đến

chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Củng cố cho học sinh những kĩ năng chứng minh hình học.
Giúp cho học sinh có sự hệ thống trong phương pháp chứng minh hai đường
thẳng vuông góc.


Giúp cho học sinh biết cách khai thác một bài toán chứng minh hai đường
thẳng vuông góc.
Làm cho học sinh thêm sự hứng thú khi học phân môn hình học nói chung và khi
học chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:
Tôi đã đề xuất một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
trong hình học phẳng
Sưu tầm một số bài toán về chuyên đề chứng minh hai đường thẳng vuông
góc.
Sưu tầm một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phương pháp có
thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh.
4.Đối tượng nghiên cứu:
Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vuông
góc trong chương trình toán trung học cơ sở.
Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương
trình toán trung học cơ sở.


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Các kiến thức trong chương này được trích ở mục số: [1], [2], [3], [4], [5],
[6], [7], [8] trong tài liệu tham khảo.
1. Đường thẳng vuông góc và

đường thẳng song song.
1.1 Hai đường thẳng vuông góc:
Định nghĩa [3, trang 84]: Hai
đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và
trong các góc tạo thành có một góc
vuông được gọi là hai đường thẳng
vuông góc và kí hiệu là xx’

⊥ yy’.

Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng
vuông góc [3, trang 92]: Có một và chỉ
một đường thẳng a’ đi qua điểm O và
vuông góc với đường thẳng a cho
trước.
Đường trung trực của đoạn
thẳng:
Định nghĩa [3, trang 85]: Đường
thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng
và vuông góc với đoạn thẳng được gọi
là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Tính chất: Khi d là đường trung
trực của đoạn thẳng AB thì ta cũng nói
AB đối xứng nhau qua đường thẳng d.


1.2 Hai đường thẳng song song:
Định nghĩa: Là hai đường thẳng không có điểm chung. Ký hiệu: a//b.
Tính chất [3, trang 93]: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song
thì: Hai góc đồng vị bằng nhau.

Hai góc so le trong bằng nhau .
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
1.3 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng
[3, trang 96]:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
chúng cùng song song với nhau.
Ba đường thẳng d, d', d'' song song với nhau từng đôi một thì ta nói ba đường
thẳng ấy song song với nhau. Kí hiệu d // d' // d''.
2. Tam giác
2.1 Tam giác vuông:
o

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc 90 ).
Định lí [4, trang 65]: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng
nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến ).
Định lí Pytago [3, trang 129]: Trong một tam giác vuông, bình phương của
cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
∆ABC vuông tại A, ta có: BC2=AB2+AC2
Định lí Pytago đảo [3, trang 129]: Nếu một tam giác có bình phương của
một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác
vuông, ∆ABC: BC2=AB2+AC2.
2.2 Đường trung trực của tam giác [4, trang 78]:
Định nghĩa: Đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực của
tam giác.
Định lí: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm đó
cách đều ba đỉnh của tam giác.

Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là
đường trung tuyến tương ứng với cạnh này.
2.3 Đường cao của tam giác [4, trang 81]:
Định nghĩa: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường
thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.
Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là
trực tâm.
Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là
đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện.
2.4 Tam giác cân [3, trang 125]:
Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Tính chất: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau. Tam giác có hai góc
bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
3. Đường tròn
3.1 Định nghĩa, các tính chất liên quan và sự xác định đường tròn:
Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một
điểm I cho trước một khoảng bằng R cho trước. Điểm I gọi là tâm của đường tròn.
R gọi là bán kính của đường tròn. Nếu đường tròn có tâm I bán kính R thì ký hiệu
là (I; R).
Tính chất liên quan đến đường tròn [7, trang 97]:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với
bán kính tại tiếp điểm.
Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường
thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp
điểm.
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua
tâm thì vuông góc với dây đó.

Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều
tâm.
Sự xác định đường tròn [7, trang 97]:


Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó. Nếu
AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao
cho góc. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R=AB/2.
Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ được một đường tròn và chỉ
một mà thôi.
3.2 Tiếp tuyến của đường tròn [7, trang 110 – 115]:
Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có
một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm.
Đường tròn nội tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của
một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội
tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác của tam giác.
Đường tròn bàng tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh và
phần kéo dài của hai cạnh kia.
Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với
đường tròn được gọi là tiếp tuyến.
Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách
đến hai tiếp điểm: Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai
bán kính đi qua các tiếp điểm.
3.3 Đường kính và dây cung của đường tròn [7, trang 102]:
Định nghĩa:
Đường kính là: Trong hình học phẳng, đường kính của một đường tròn là
khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên đường tròn đó.
Dây cung là: Nếu hai đường thẳng chứa hai dây cung AB và CD của một

đường tròn (hai cát tuyến) cắt nhau tại P, (tính chất phương tích của một điểm).
Tính chất:
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm
dây ấy.
Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm
thì vuông góc với dây.


3.3 Tứ giác nội tiếp đường tròn [8, trang 87]:
Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.
Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng hai
góc vuông. Ngược lại, trong một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng hai góc
vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
3.4 Định lí bốn điểm:
Định lí: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tổng
bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau.
Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách
đều hai cạnh của góc đó.
Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh
của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
4 Góc:
4.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan đến góc:
Định nghĩa: Trong hình học phẳng, Góc nằm giữa hai đường thẳng cắt nhau
tại một điểm. Hai đường thẳng được gọi là cạnh của góc. Giao điểm của chúng gọi
là đỉnh của góc.
Tính chất:
Góc ở tâm (góc có đỉnh ở tâm đường tròn) [8, trang 60]: Số đo của góc ở
tâm bằng số đo của cung bị chắn.
Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm [8, trang 77]:

Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của
cung bị chắn.
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn [8, trang 80]: Số đo của góc có đỉnh
nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn [8, trang 81]: Số đo của góc có đỉnh
nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc.
4.2 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn [8, trang 72]:
Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai
cạnh của nó cắt đường tròn.


Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn.
Hệ quả:
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một
đường tròn thì bằng nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông .
Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá 90O có số đo bằng nửa
số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung .
4.3 Cách dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB [8, trang 60]:
Dựng đường trung trực d của AB.
Dựng tia Ax tạo với AB một góc µ, sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax.
O là giao của Ax’ và d.
4.4 Quỹ tích cung chứa góc [8, trang 83]:
Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc µ không
đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc µ dựng trên đoạn
thẳng AB. Đặc biệt là cung chứa góc 90o là đường tròn đường kính AB.

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
1. Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa:
Phương pháp: Để chứng minh hai đường vuông góc thực chất ta chứng minh
góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó bằng 90o.
Có rất nhiều cách chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90o như :
Dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 o, ta đi chứng
minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90o.
Chứng minh góc đó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì góc đó có số đo
bằng 90o.
Chứng minh tổng các góc tạo thành góc cần chứng minh bằng 90o.
* Nhận xét: Phương pháp này thường được áp dụng để chứng minh hai
đường thẳng vuông góc. Tuy nhiên trong những trường hợp tính số đo góc tạo bởi
hai đường thẳng gặp khó khăn.

ˆ =
Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 90o) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM.
Bài làm:
Hạ BE ⊥ DC, E

∈ DC. Theo bài ta có ME là đường trung bình trong

VDHC . Mà ME // DH và ME

⊥ AC nên

·AME = 90o .

Mặt khác theo cách dựng có: ·ABE = 90o .


Ta có:

◊ ABME là tứ giác nội tiếp nên

·AMB = BEA
·
(vì cùng chắn ¼
AB ) (1.1)

µ = 90o .
Do D

AD ) (1.2)
Có ◊ ADEM là tứ giác nội tiếp nên ·ADE = ·AMD (vì cùng chắn ¼
·
·
Từ (1.1) và (1.2) ta có: DMB
= ·AMD + ·AMB = ·AED + BEA
= 90O

Hay DM ⊥ BM tại M (điều phải chứng minh).
Khai thác bài toán : Nếu ta tìm cách tạo đường một đường thẳng song

song với một trong hai đường thẳng cần chứng minh và chứng minh đường thẳng
này vuông góc với đường thẳng còn lại thì ta có cách làm thư hai của bài toán
này.
Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.
Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác của hai góc F và E.

∩ (O) = { K , N } ; Ey ∩ (O) = { H , P} ;
Và: Fx ∩ BC = I ; Fx ∩ AD = I ; Ey ∩ DC = I ; Ey ∩ AB = I
Fx ∩ Ey = I ; Ta có Eˆ1 = Eˆ 2 (vì Ey là phân giác Eˆ ).

Gọi: Fx

1

3

2

4

;


¼
¼ (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
¼ = PB
» − HC

AP − DH

(1.3)

¼ (góc có đỉnh bên ngoài đường
¼ = ND
¼ − KC
Tương tự: Fˆ1 = Fˆ2 nên ¼
AN − BK

tròn)

(1.4)
Cộng từng vế với vế (1.3) và (1.4) ta được :
¼
¼ + NA
¼ + CK
¼ = PB
» + BK
¼ + DH
¼ + ND
¼ .
AP + HC
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼

NP +HK
= NH
+PK
Mà ¼
ta có NP + HK = NH + PK =180o .

·
Nên EIF
=

Hay EI ⊥ FI

1 ¼
¼ ) = 90o (góc có đỉnh bên trong đường tròn).
( NP + HK
2

⇔

Ey ⊥ Fx (điều phải chứng minh).

Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.

Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác của hai góc F và E.
Gọi I= Fx

∩ Ey; Vì ◊ ABCD là tứ giác nội tiếp (O) suy ra Cˆ 1 = Aˆ (vì cùng

ˆ = Eˆ + Fˆ (góc ngoài đỉnh C của
·
bù với BCD
). Mà C
1 3
3

VCEF)

ˆ = Eˆ + Fˆ .
nên A
3 3


ˆ + Eˆ + Fˆ = 180O (định lí tổng ba góc trong một tam
Trong tam giác AEF có A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
giác), ta có E1 + E 2 + E3 + F1 + F2 + F3 = 180O .
Vì Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác góc F và góc F nên Fˆ1 = Fˆ2 và

Eˆ = Eˆ và 2( Eˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ )= 180o nên Eˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ =90o
1
2
2 3 2 3
2 3 2 3
·

Vậy FEI
= 180o – ( Eˆ 2 + Eˆ 3 + Fˆ2 + Fˆ3 )

= 180o – 90o = 90o
Hay EI ⊥ FI

⇔

Ey ⊥ Fx (Đpcm).

Bài tập 4: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.
Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của OA, OB. Đường vuông góc với OA tại D
và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C.
Chứng ming rằng : a) CE // OD
b) CE ⊥ CD
Bài làm:

a, Theo giả thiết ta có: CE ⊥ Oy; OD ⊥ Oy . Nên CE // OD (vì cùng vuông góc
với Oy) (Đpcm).
b, Tương tự ta có CD // OE (cùng vuông góc với Ox)
·
·
Mà BEC
= 900 và ECD
= 900 .

Vậy CE ⊥ CD (Đpcm).
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của
đường thẳng trong mặt phẳng.

Ta dựa vào tính chất: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
* Nhận xét: Đây là phương pháp hữu hiệu để chứng minh hai đường thẳng
vuông góc khi trong bài toán còn có các yếu tố song song.

ˆ =
Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 90o) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM.
Bài làm:
Kẻ MI // AB (2.1)

⇒ MI

⊥ AD (vì AB ⊥ AD)

Lại có: DH ⊥ AC nên DI ⊥ AM

(2.2)

(2.3)

Từ (2.2) và (2.3) suy ra I là trực tâm của VADM
Vậy AI ⊥ DM.
Mặt khác: Trong

VDHC có: MI //DC (vì cùng // AB) và MH=MC.

1
Với MI là đường trung bình nên MI = CD hay MI= AB
2
Từ (2.1) và (2.5) ta có ABMI là hình bình hành nên BM // AI

(2.4)

(2.5)
(2.6)

Từ (2.4), (2.6) suy ra BM ⊥ DM (điều phải chứng minh).
* Nhận xét: sử dụng phương pháp thứ 2 để chứng minh hai đường thẳng
vuông góc. Như vậy trong một bài toán ta có thể linh hoạt vẽ thêm các đường phụ
để thuận lợi áp dụng các cách chứng minh dễ dàng. Ngoài ra ta còn có thể áp
dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để giải quyết bài toán
này.


Bài tập 2: Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình
chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO
vuông góc với BE.
Bài làm:
Gọi K là trung điểm của EC.
Ta có: HK là đường trung bình của
Trong

V BEC nên HK // EB

V EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK // HC.

Ta có:AH ⊥ HC

(2.8)

(2.9)

Từ (2.8) và (2.9) ta có: OK ⊥ AH

( 2.10)

Lại có HE ⊥ AC (vì E là hình chiếu của H trên AC)
Từ (2.10), (2.11) suy ra O là trực tâm của

(2.7)

V AHK.

Vậy AO ⊥ HK

(2.11)
(2.12)

Từ (2.7) và (2.12) suy ra AO ⊥ BE (Đpcm).
* Nhận xét: Ta vừa sử dụng phương pháp thứ 2 để giải quyết bài toán trên.
Mấu chốt của bài toán là AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của

V

ABC. Vì vậy nếu ta thay đổi hình dạng của tam giác nhưng vẫn đảm bảo AH vừa
là đường cao vừa là đường trung tuyến thì ta được bài toán mới với cách giải
tương tự như trên.
3. Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định lí nhận biết một tam giác
vuông:
Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta tìm cách gán
hai đường thẳng đó trở thành hai đường thẳng chứa hoặc song song với hai cạnh
góc vuông của một tam giác vuông.


Để chứng minh ta dựa vào định lí nhận biết sau:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của
hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí Pitago đảo).
Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam
giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến).

ˆ =
Bài tập1: Cho hình thang vuông ABCD ( A

ˆ = 900 ) có CD = 2AB. Gọi
D

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng
minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM.
Bài làm:
Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
Kẻ BE ⊥ DC tại E. Ta có ABDE là hình chữ nhật. Do đó: AB = DE = EC.

V DHC có : ED=EC và MH=MC. Nên EM là đường trung bình

Suy ra: EM ⊥HC.Ta lại có: V AME là tam giác vuông tại M. Gọi O là

Trong

trung điểm của AE mà O cũng là trung điểm của BD.
Nên MO là đường trung tuyến trong tam giác BDM
Trong

(3.1)

Vvuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
1
2

Nên MO = AE , suy ra AE = BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật).
Vậy MO =

1
BD
2

Từ (3.1) và (3.2) suy ra
M (điều phải chứng minh).

(3.2)

V BDM là tam giác vuông tại M hay BM ⊥ DM tại


* Nhận xét: Với cách trên ta vừa sử dụng tính chất đường trung tuyến trong

tam giác để giải quyết bài toán chứng minh.Cách áp dụng này khá dễ dàng và có
thể áp dụng đưa bài toán cho học sinh lớp 7 giải được.
Bài tập 2: Cho tam giác vuông AHC có

ˆ
H

= 90o. Đường cao HE. Gọi O, K

lần lượt là trung điểm của EH và EC.
Chứng minh AO vuông góc với HK.

Bài làm:
Từ giả thiết có OK là đường trung bình của tam giác EHC suy ra OK // HC.
Mặt khác: HC ⊥ AH nên OK ⊥ AH
Xét tam giác AHK có HE ⊥ AC, OK ⊥ AH

⇒

O là trực tâm của tam giác

AHK. Suy ra AO ⊥ HK.
Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. I và
N lần lượt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh BN vuông góc với IN.
Bài làm: Gọi M là trung điểm của BH
Ta có: AM ⊥ BN (đã chứng minh ở bài tập 3 của phương pháp 1)
Ta còn chứng minh AM // IN. Suy ra : MN là đường trung bình của
1
2

nên MN // BC và MN = BC .

(3.3)

V HBC


Mặt khác: ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của AD nên AI // BC
Và AI =

1
BC .
2

Do đó AI // MN và AI = MN suy ra MNIA là bình hành. Vậy AM // IN

(3.4)

Từ (3.3) và (3.4) suy ra BN vuông góc với IN.
4. Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các
đường trong tam giác và trong hình học phẳng.
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm
của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB.
Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau.
Bài làm:
Gọi Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác của hai góc F và E, I= Fx

ˆ = Cˆ + Fˆ + Fˆ (góc ngoài đỉnh B của
Ta có: B
1 1 1 2

∩ Ey.

VBFE)

ˆ = Cˆ + Eˆ + Eˆ (góc ngoài đỉnh D của V DFE).
D
1 2 1 2
Do

◊ ABCD là tứ giác nội tiếp (O) suy ra ta có Dˆ 1 + Bˆ 1 = 180

ˆ + Cˆ + Eˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ = 180o
Nên C
1
2 1 2 1 2
ˆ = Eˆ (vì Ey là phân giác µ ).
Mà E
E
1 2

o

(4.1)


Fˆ = Fˆ (vì Fx là phân giác Fˆ ).
1 2

(4.2)

ˆ =C
ˆ (đối đỉnh).
C
1
2
ˆ + Eˆ + Fˆ = 90o
Từ (1) và (2) suy ra: C
1 2
2
ˆ = Eˆ + Fˆ (góc ngoài đỉnh C của
Mặt khác: C
1 3
3

(4.3)

VCEF )

(4.4)

ˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ = 90o
Từ (4.3) và (4.4) suy ra : E
2 3
2 3
Xét trong

ˆ = 180
V IEF có : FIE

0

ˆ + Eˆ + Fˆ + Fˆ ) = 180o – 90o = 90o
–( E
2 3
2 3

Hay EI ⊥ FI nên Ey ⊥ Fx (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Với cách trên ta đã áp dụng tính chất tổng ba góc trong một
tam giác và góc ngoài tam giác để chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng
90o.
5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường tròn và các
yếu tố trong đường tròn.
Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta dựa
vào các định lí và các tính chất có liên quan đến đường tròn.
Bài tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia AD và BC lần lượt lấy hai
điểm E và F sao cho DF = CE = DC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho CH = CB.
Chứng minh: AE ⊥ FH.


Bài làm:
Gọi I =AE

∩ FH. Theo bài ta có: DF = DC; CH = BC = AD nên

AF = DH.

Dễ dàng chứng minh DCEF là hình vuông, suy ra: DF = EF
Xét VAEF và V DFH có:
EF = DF

AF = DH
·
·
= 90o
AFE
= HDF

Vậy

VAEF = VDFH (c.g.c). Suy ra: Aˆ 1

ˆ
= H
1

Ta có: A, H thuộc cung chứa góc tạo bởi DI hay ADIH là tứ giác nội tiếp.
¼
Nên ·ADH = ·AIH (cùng chắn cung AH
)

Mà ·ADH = 90o (vì ABCD là hình chữ nhật )

(5.1)
(5.2)

ˆ = 90o hay AE ⊥ HF
Từ (5.1) và (5.2) suy ra AIH
Vậy AE ⊥ HF (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Cách làm trên đã sử dụng định nghĩa để chứng minh hai
đường thẳng vuông góc. Chứng minh góc bằng 90 0 bằng cách chứng minh góc đó

chắn một nửa đường tròn. Đây là cách hữu hiệu thường dùng để chứng minh góc
bằng 90o.
Bài tập 2: Đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi M và N lần
lượt là hai tiếp điểm của đường tròn đó với hai cạnh AB và AC. Tia MN cắt tia
phân giác của góc B tại P. Chứng minh BP vuông góc với CP.
Bài làm: