50 Bài tập về bất đẳng thức

50 Bài tập về bất đẳng thức
Bài 1: Cho a ≥ 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = a +

1
a

Bài 2: Cho a ≥ 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = a +

1
a2

Bài 3: Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a + b + c ≤

1
ab

3
2

1
1
1
+ b2 + 2 + c 2 + 2
2
b
c
a
x
+
y

+
z
≤
1
Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và
. Chứng minh rằng:

Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a 2 +

x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
y2
z
x

Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a + 2b + 3c ≥ 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a + b + c +
Bài 7: Cho x, y, z > 0 và

3 9 4
+ +
a 2b c

1 1 1
+ + =4
x y z

Tìm giá trị lớn nhất của P =

1
1
1
+
+
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Bài 8:
Chứng minh rằng với mọi

x

x

x

 12   15   20 
x
x
x
÷ + ÷ + ÷ ≥ 3 +4 +5
 5  4  3 

x ∈ R , ta có 

Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8 x + 8 y + 8z ≥ 4 x +1 + 4 y +1 + 4 z +1

Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng

1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( x − y ) ( 1 − xy )
P=
2
2
( 1+ x) ( 1+ y )
Bài 12:
a 3 b 3 c3
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a
Bài 13:
Cho x,y > 0 và x + y ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

3x 2 + 4 2 + y 3
+
4x

y2

Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P =

1
1
+
≥ 4+2 3
3
x +y
xy
3

1
1
1
1
+
+
= 2 . Chứng minh rằng xyz ≤
8
1+ x 1+ y 1+ z
x
y
z
+
+
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S =
x +1 y +1 z +1
Bài 17:

Bài 15: Cho x, y, z > 0 và

Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:

4a 2 5b 2 3c 2
+
+
≥ 48
a −1 b −1 c −1


Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1 1 1
1
1 
 1
+ + ≥ 3
+
+
÷
a b c
 a + 2b b + 2c c + 2a 

Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
+ + ≥
a b c a+b+c

Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
+ + + ≥
a b c d a+b+c+d
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

4 5 3
2
1 
 3
+ + ≥ 4
+
+
÷
a b c
 a +b b+c c +a 

Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng

1
1
1
1 1 1
+
+

≥ 2 + + ÷
p −a p −b p −c
a b c

Bài 23:
Cho x, y, z> 0 và
Bài 24:
Cho các

số

x + y + x ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
thực

dương

x,

y,

2 y + 3z + 5 3z + x + 5 x + 2 y + 5 51
+
+
≥
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
7

z

thỏa

mãn

x2
y2
z2
+
+
y+z z+x x+ y
x+2y+3z

=18.

Chứng

minh

rằng

Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:

a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì

p − a + p −b + p − c ≤ 3p
Bài 27:

1
1
Cho hai số a, b thỏa mãn: a ≥ 1; b ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A = a + + b +
a
b
Bài 28:
Chứng minh rằng a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3
Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( x + y + 1)2 xy + y + x
A=
+
(Với x; y là các số thực dương).
xy + y + x ( x + y + 1)2
Bài 30:
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.

Chứng minh

a2
b2
c2
+
+
≥2
(b − c )2 (c − a) 2 ( a − b) 2

Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 . Chứng ming rằng

1
2009
+
≥ 670
2
2
a +b +c
ab + bc + ca
2

Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:

a+b+c=3


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a2 + b2 + c2 +

ab + bc + ca
a 2b + b 2c + c 2a

Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=

1
1 1
+

+
16 x 4 y z

Bài 34:

4 5
+ ≥ 23
x y
6
7
B = 8x + + 18y +
x
y

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc

[ −1; 2]

≤9

thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng a + b + c ≥ 0 .

Bài 37:

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ 2 . Chứng minh rằng:

a2 +

1
1
1
97
+ b2 + 2 + c 2 + 2 ≥
2
b
c
a
2

Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng

p
p
p
+
+
≥9
p−a p−b p−c

Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:

3(a 2 + b2 + c 2 ) + 2abc ≥ 52

Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 4(a 3 + b3 + c 3 ) + 15abc .
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng

2
1
≤ a 3 + b3 + c3 + 3abc < .
9
4
Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx + xyz ≥ 8
Bài 43:
Cho

a ≥ 1342; b ≥ 1342 . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + ab ≥ 2013 ( a + b ) . Dấu đẳng thức xảy ra khi

nào?
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

ab
bc
ca
1
+
+
≤
c +1 a +1 b +1 4

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:


1
1+ x + y
3

+

3

1
1
+
≤1
3
3
1 + y + z 1 + z 3 + x3

Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

( a + b)

2

+

a+b
≥ 2a b + 2b a
2

Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:

1
1 + 8a

3

+

1
1 + 8b

3

+

1
1 + 8c3

≥1

Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
+ + ≥ a 2 + b2 + c2
b c a

Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

x2
y2
z2
3
+
+
≥

y +1 z +1 x +1 2