Mặt phẳng Hyperbolic

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

▼➦t ♣❤➥♥❣ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✼


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

▼➦t ♣❤➥♥❣ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❍➻♥❤ ❤å❝

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿

❚❤❙✳ P❤↕♠ ❚❤❛♥❤ ❚➙♠
❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✼

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ t♦→♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠
❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ✤÷ñ❝ sü ❞↕② ❞é ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦✱ tæ✐ ✤➣
t✐➳♣ t❤✉ ♥❤✐➲✉ tr✐ t❤ù❝ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤å❝ t➟♣
♠î✐✱ ❜÷î❝ ✤➛✉ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈î✐ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
◗✉❛ ✤➙② tæ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣
❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tæ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ t❤➛② ❣✐→♦ P❤↕♠ ❚❤❛♥❤ ❚➙♠ ❧➔
♥❣÷í✐ trü❝ t✐➳♣ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ✈➔ ✤â♥❣ ❣â♣ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥
q✉þ ❜→✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳
❉♦ sü ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➯♥
tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➔ ✐♥ ➜♥✱ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ tæ✐ ❦❤â tr→♥❤ ❦❤ä✐
♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ r➜t ♠♦♥❣ sü ❝❤➾ ❜↔♦ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤
✈✐➯♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ✦
❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✷✶ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼
❙✐♥❤ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥✿
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❑❤♦→ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ tæ✐ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥
♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ P❤↕♠ ❚❤❛♥❤ ❚➙♠ ❝ò♥❣ ✈î✐ sü ❝è ❣➢♥❣ ❝õ❛
❜↔♥ t❤➙♥✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tæ✐ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ ❦➳ t❤ø❛
♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ♥❤➔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✧▼➦t ♣❤➥♥❣
❍②♣❡r❜♦❧✐❝✧ ❦❤æ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳
◆➳✉ s❛✐ tæ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳
❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✷✶ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼

❙✐♥❤ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥✿
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉

✶

✶ ❙è ♣❤ù❝

✹

✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ P❤➨♣ ❝ë♥❣ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸ P❤➨♣ trø sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✹ P❤➨♣ ♥❤➙♥ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✺ P❤➨♣ ❝❤✐❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ ❙è ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✶ ❙è ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✷ ▼æ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹ ❉↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳✶ ❙è ♣❤ù❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳✷ ◆❤➙♥ ✈➔ ❝❤✐❛ sè ♣❤ù❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ✳
✶✳✹✳✸ ❚å❛ ✈à ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ tr♦♥❣ E 2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳✹ ❚å❛ ✈à ❝õ❛ ♠ët ✈❡❝t♦r tr♦♥❣ E 2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳✺ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✐

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✹
✹
✺
✻
✼
✽
✾
✶✵
✶✵
✶✶
✶✶
✶✶
✶✸
✶✸
✶✸
✶✹


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✶✳✺ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦❛✲❱rì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✺✳✶ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦❛ ✲❱rì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✺✳✷ ❈➠♥ ❜➟❝ ♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✻ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈î✐ ❤➺ sè ♣❤ù❝
✷ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s

✷✳✶ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ❘✐❡♠❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝
✷✳✸✳✶ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✷ ✣✐➸♠ ❝ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✸ ❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝

✸✳✶
✸✳✷
✸✳✸
✸✳✹

✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s ❝õ❛ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ tr➯♥ ❉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr➯♥ ♠ët ♥û❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣
P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✶✹
✶✹
✶✹
✶✺
✶✻

✶✻
✷✶
✷✻
✷✻
✸✵

✸✷

✸✷
✸✺
✹✵

✹✶

❑➳t ❧✉➟♥

✹✸

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✹

✐✐




õ tốt ồ

ớ
ỵ ồ t

õ ồ tữớ ữớ t số
t ố q ự t ỳ ú
ồ ổ ồ ừ ỳ trứ tữủ õ ợ
ồ tỹ ữ ỵ õ ộ ổ
õ t t trỹ t ũ t ợ ồ
s ổ ữủ ỗ ố ỵ ừ tự ởt
ú t õ t ử tỹ t r
tt ừ ồ õ ú t t ồ
õ t ữủ õ t t tố rt t õ t
t trứ tữủ õ ở õ ữủ ổ ồ

õ t ố ợ ồ s P t ồ ừ
ồ s ở
ữ ú t t số ự t tứ t
t tr ừ ồ ữỡ tr số ứ
r ớ số ự tú ồ t
qt ữủ ừ ồ tt ồ t
tr ồ t t tr t ỡ ố
ự õ t ữ ố ỳ ở trứ tữủ ừ ồ
sỹ ử t ừ số ừ ồ ữủ ỡ
õ ởt ữợ õ ở ừ số ự ự
ử ừ số ự ự ồ õ ồ õ
r ữủ t t ữủ t q q trồ



◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❱î✐ ✈✐➺❝ t❤❛② ✤ê✐ t✐➯♥ ✤➲ ✺ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝ê ✤✐➸♥ ❞♦ ❊✉❝❧✐❞ ①➙②
❞ü♥❣ ✈➔ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ ✹ t✐➯♥ ✤➲ ✤➛✉✱ ▲♦❜❛❝❤❡✈s❦② ✤➣ ❧➔♠ ❝❤♦ ❍➻♥❤
❤å❝ ✤➣ ❝â ♠ët ❜÷î❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❤✐➺♥ ✤↕✐ ✈î✐ t➯♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤✐
❊✉❝❧✐❞✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❘✐❡♠❛♥ ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❊❧❧✐♣t✐❝✳ ▲þ t❤✉②➳t ✈➲ ♠➦t ♣❤➥♥❣
❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧➔ ♠ët ✤➲ t➔✐ t❤ó ✈à ✈➔ t❤❡♦ tæ✐ ✤÷ñ❝ ❜✐➳t t❤➻ ♥â ❝â ♥❤✐➲✉
ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ❱➟t ❧➼ ✈➔ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈ô trö✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❝á♥ ❣✐ó♣ ♥❣÷í✐ ❤å❝ ♣❤→t tr✐➸♥ t÷ ❞✉②
❝â t➛♠ ♥❤➻♥ s➙✉ rë♥❣ ❤ì♥ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ♠ët ❝→❝❤
♥❤➻♥ ❦❤→❝ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝ ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ✈➝♥ ❜✐➳t✳ ❚❤➜② ✤÷ñ❝ t➛♠ q✉❛♥
trå♥❣✱ sü t❤ó ✈à ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ✈➔ ✤÷ñ❝ sü ❣✐ó♣ ✤ï t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛②
P❤↕♠ ❚❤❛♥❤ ❚➙♠ ♥➯♥ tæ✐ ✤➣ ♠↕♥❤ ❞↕♥ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧▼➦t ♣❤➥♥❣

❍②♣❡r❜♦❧✐❝✧ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✲❙û ❞ö♥❣ sè ♣❤ù❝ ✈➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sì ❧÷ñ❝ ✈➲ ♠➦t
♣❤➥♥❣ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝✳
✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✲❍➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ sè ♣❤ù❝✳
✲◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s ❜➡♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö sè ♣❤ù❝✳
✲◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sì ❧÷ñ❝ ✈➲ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝✳
✹✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✲ ❙è ♣❤ù❝✱ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s✱ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ✭ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s
❝õ❛ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à✱ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝✱ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ tr➯♥
✷




õ tốt ồ

ỷ t
P ự

ự t r ỹ tr ự ử số ự
ờ s
Pữỡ ự

t tổ t tứ t ữ s trt
ỷ ử ữỡ t ồ s s t

ỹ
trú ừ

ử ử t t t
ỗ ữỡ
ữỡ ố ự ữỡ tổ tr ỳ ỵ tt ỡ
số ự ú q ồ
ữỡ ờ s ữỡ tổ tr ờ
s ỗ ờ
s t ở ỹ t tự ừ ữỡ
trồ t õ q ữỡ
ữỡ ỡ ữủ t r ữỡ tổ tr
sỡ ữủ t r ỗ ờ s tr
ỡ r r tr ỷ
t



❈❤÷ì♥❣ ✶
❙è ♣❤ù❝
✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ sè ♣❤ù❝
✶✳✶✳✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ sè ♣❤ù❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ▼ët sè ♣❤ù❝ ❧➔ ♠ët ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣ a + bi✱ tr♦♥❣

✤â ❛ ✈➔ ❜ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè t❤ü❝ ✈➔ sè ✐ t❤ä❛ ♠➣♥ i2 = −1✳ ❑➼ ❤✐➺✉ sè ♣❤ù❝
✤â ❧➔ ③ ✈➔ ✈✐➳t z = ai + b✳
✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✈à ↔♦✱ ❛ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ t❤ü❝✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❘❡③ ✈➔ ❜ ✤÷ñ❝

❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ↔♦ ❦➼ ❤✐➺✉ ■♠③✳
❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ C = {z = a + bi, ∀a, b ∈ R} ✈➔
R ⊂ C✳
❈❤ó þ
•

•

❙è ♣❤ù❝ z = a + 0i ❝â ♣❤➛♥ ↔♦ ❜➡♥❣ ✵ ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ❧➔ sè t❤ü❝ ✈➔ ✈✐➳t
❧➔ a + 0i = a ∈ R ⊂ C ✳
❙è ♣❤ù❝ ❝â ♣❤➛♥ t❤ü❝ ❜➡♥❣ ✵ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ↔♦ ✭❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
sè t❤✉➛♥ ↔♦✮ z = 0 + bi (b ∈ R)✳
❙è 0 = 0 + 0i = 0 ✈ø❛ ❧➔ sè t❤ü❝ ✈ø❛ ❧➔ sè ↔♦✳
✹


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
•

❍❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 = a1 + b1i (a1, b1 ∈ R) ✈➔ z2 = a2 + b2i (a2, b2 ∈ R)
❣å✐ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ♥➳✉ a1 = a2 ✈➔ b1 = b2✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ✈✐➳t z1 = z2✳

✶✳✶✳✷

P❤➨♣ ❝ë♥❣ sè ♣❤ù❝

✶✳✶✳✷✳✶ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝

❚ê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 = a1 + b1i (a1, b1 ∈ R)✱
z2 = a2 + b2 i (a2 , b2 ∈ R) ❧➔ sè ♣❤ù❝ z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2 ) i✳
◆❤÷ ✈➟②✱ ✤➸ ❝ë♥❣ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ t❛ ❝ë♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ t❤ü❝ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ ❝ë♥❣
❝→❝ ♣❤➛♥ ↔♦ ✈î✐ ♥❤❛✉✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

✶✳✶✳✷✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ sè ♣❤ù❝

P❤➨♣ ❝ë♥❣ sè ♣❤ù❝ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❤÷ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❝→❝ sè t❤ü❝✿
✺


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
•

•
•

•

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣✿ (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3) ✈î✐ ♠å✐ z1, z2, z3 ∈
C✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥✿ z1 + z2 = z2 + z1 ✈î✐ ♠å✐ z1, z2 ∈ C ✳
❱î✐ sè ♣❤ù❝ z = a+bi (a, b ∈ R)✱ ♥➳✉ ❦➼ ❤✐➺✉ sè ♣❤ù❝ −z = −a−bi
t❤➻ t❛ ❝â✿ z + (−z) = (−z) + z = 0✳ ❙è ♣❤ù❝ −z ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ sè
✤è✐ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ z✳
❈ë♥❣ ✈î✐ ✵✿ z + 0 = 0 + z = z ✈î✐ ♠å✐ z ∈ C ✳

✶✳✶✳✸

P❤➨♣ trø sè ♣❤ù❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❍✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 ✈➔ z2 ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ z1 ✈➔ (−z2 )✱

tù❝ z1 − z2 = z1 + (−z2)
◆➳✉ z1 = a1 + b1i (a1, b1 ∈ R)✱ z2 = a2 + b2i (a2, b2 ∈ R) t❤➻ z1 − z2 =
a1 − a2 + (b1 − b2 ) i✳
✻


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✶✳✹

P❤➨♣ ♥❤➙♥ sè ♣❤ù❝

✶✳✶✳✹✳✶ ❚➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝

❈❤♦ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 ∈ R)✳ ❚❤ü❝
❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠ët ❝→❝❤ ❤➻♥❤ t❤ù❝ a1 + b1i ✈î✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ a2 + b2i rç✐
t❤❛② i2 = −1 t❛ ✤÷ñ❝✿
(a1 + b1 i) (a2 + b2 i) = a1 .a2 − b1 .b2 + (a1 b2 + a2 b1 ) i.

❚➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 = a1 + b1i ✈➔ z2 = a2 +
b2 i (a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R) ❧➔ sè ♣❤ù❝ z1 z2 = a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 ) i✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳

❱î✐ ♠é✐ sè t❤ü❝ ❦ ✈➔ ♠å✐ sè ♣❤ù❝ a + bi (a, b ∈ R)
t❛ ❝â k (a + bi) = (k + 0i) (a + bi) = ka + kbi✱ ✤➦❝ ❜✐➺t 0.z = 0 ✈î✐ ♠å✐
sè ♣❤ù❝ ③✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✳

✼


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✶✳✹✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ sè ♣❤ù❝

P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝→❝
sè t❤ü❝✿
•

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥✿ z1.z2 = z2.z1 ✈î✐ ♠å✐ z1, z2 ∈ C ✳

•

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣✿ (z1.z2) .z3 = z1. (z2.z3) ✈î✐ ♠å✐ z1, z2, z3 ∈ C ✳

•

◆❤➙♥ ✈î✐ ✶✿ 1.z = z.1 = z ✈î✐ ♠å✐ z ∈ C ✳

•

❚➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✭❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✮✿ z1. (z2 + z3) =
z1 .z2 + z1 .z3 ✈î✐ ♠å✐ z1 , z2 , z3 ∈ C ✳

✶✳✶✳✺

P❤➨♣ ❝❤✐❛ sè ♣❤ù❝

❈❤♦ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 ∈ R)✳ ❚❤ü❝
❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ♠ët ❝→❝❤ ❤➻♥❤ t❤ù❝ a1 + b1i ✈î✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ a2 + b2i rç✐

✽


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

t❤❛② i2 = −1 t❛ ✤÷ñ❝✿
z1
(a1 + b1 i) (a1 + b1 i) (a2 − b2 i) (a1 a2 + b1 b2 ) + (−a1 b2 + a2 b1 ) i
=
=
=
z2
(a2 + b2 i) (a2 + b2 i) (a2 − b2 i)
a2 2 − b 2 2

P❤➨♣ ❝❤✐❛ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ z1 = a1 + b1i ✈➔ z2 =
a2 + b2 i ✈î✐ a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R ❧➔ sè ♣❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳

z1
(a1 a2 + b1 b2 ) + (−a1 b2 + a2 b1 ) i
=
.
z2
a2 2 − b2 2

❚ø ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈ø❛ tr➻♥❤ ❜➔② t❛ ✤✐ ✤➳♥ ❦➳t ❧✉➟♥ ✤â ❧➔
♠å✐ sè ♣❤ù❝ ✤➲✉ ✈✐➳t ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ✤↕✐ sè z = a + bi (a, b ∈ R)
✈➔ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✱ ♣❤➨♣ trø✱ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥✱ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè ♣❤ù❝
t❛ ❝â t❤➸ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❤÷ ✤è✐ ✈î✐ ♥❤à t❤ù❝ a + bi ✭❝♦✐ a + bi ❧➔ ✤❛ t❤ù❝
❝õ❛ ❜✐➳♥ ✐ ✈î✐ ❤➺ sè t❤ü❝ ✮ ♠➔ ❦❤✐ ❣➦♣ i2 t❤➻ t❛ t❤❛② ❜➡♥❣ ✲✶✳
❑➳t ❧✉➟♥✿

✶✳✷ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝

❚❛ ✤➣ ❜✐➳t ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❜ð✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ trö❝ sè✳ ✣è✐ ✈î✐
sè ♣❤ù❝✱ t❛ ❤➣② ①➨t ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy✳
✾


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▼é✐ sè ♣❤ù❝ z = a + bi (a, b ∈ R) ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐ ♠ët ✤✐➸♠
M (a, b)✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ rã r➔♥❣ ♠é✐ ✤✐➸♠ M (a, b) ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠ët sè ♣❤ù❝
z = a + bi✳ ❚❛ ❝á♥ ✈✐➳t M (a + bi) ❤❛② M (z)✳

❱➻ ✈➟②✱ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë ✈î✐ ✈✐➺❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ sè ♣❤ù❝ ♥❤÷ t❤➳ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝✳ ●è❝ tå❛ ✤ë ❖ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ sè ✵✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥
trö❝ ❤♦➔♥❤ ❖① ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ sè t❤ü❝✱ ❞♦ ✤â trö❝ ❖① ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
trö❝ t❤ü❝✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ trö❝ t✉♥❣ ❖② ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ sè ↔♦✱ ❞♦ ✤â trö❝
✵② ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trö❝ ↔♦✳

✶✳✸ ❙è ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝
✶✳✸✳✶

❙è ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣

❙è ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ z = a + bi (a, b ∈ R) ❧➔ a − bi ✈➔
✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ z✳ ◆❤÷ ✈➟② z = a + bi = a − bi✳
❘ã r➔♥❣ z = z ♥➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ♥â✐ z ✈➔ z ❧➔ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈î✐
♥❤❛✉ ✭❣å✐ t➢t ❧➔ ❤❛✐ sè ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✮✳
❍❛✐ sè ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣
✤è✐ ①ù♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉ q✉❛ trö❝ t❤ü❝ ❖①✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✶✳
• z + z = 2Rez ∀z ∈ C ✳
• z − z = 2iImz ∀z ∈ C ✳
• ∀z ∈ C, z = z ⇔ z ∈ R ⊂ C ✳
• ∀z ∈ C, z = −z ⇔ z ❧➔

sè t❤✉➛♥ ↔♦✳
✶✵


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
• z = z ∀z ∈ C ✳
• z1 + z2 = z1 + z2 ∀z1 , z2 ∈ C ✳
• z1 z2 = z1 .z2 ∀z1 , z2 ∈ C ✳
•

z1
z2

=

z1
✳
z2

• λz = λ.z ∀z ∈ R , ∀z ∈ C ✳
• z.z = a2 + b2 (hay z.z ≥ 0) ∀z = a + bi ∈ C ✳

✶✳✸✳✷

▼æ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝

▼æ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ z = a + bi (a, b ∈ R) ❧➔ sè t❤ü❝
❦❤æ♥❣ ➙♠ a2 + b2 ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ |z|✳
√
√
◆❤÷ ✈➟② z = a + bi (a, b ∈ R) t❤➻ |z| = z.z = a2 + b2✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳

√

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✶✳

✶✳ ◆➳✉ z ❧➔ sè t❤ü❝ t❤➻ ♠æ✤✉♥ ❝õ❛ z ❧➔ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ sè t❤ü❝
✤â✳
✷✳ z = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ |z| = 0✳

✶✳✹ ❉↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝
✶✳✹✳✶

❙è ♣❤ù❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝

✶✳✶✳✹✳✶ ❆r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ z = 0
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❈❤♦ sè ♣❤ù❝ z = 0✳ ●å✐ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣

♣❤ù❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ sè ♣❤ù❝ ③✳ ❙è ✤♦ ✭r❛✤✐❛♥✮ ❝õ❛ ♠é✐ ❣â❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ t✐❛
✤➛✉ ❖①✱ t✐❛ ❝✉è✐ OM ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ ③✳
✶✶


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆➳✉ ϕ ❧➔ ♠ët ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z t❤➻ ♠å✐ ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z ❝â
❞↕♥❣ ϕ + k2π, k ∈ Z ✭◆❣÷í✐ t❛ ♥â✐ ✿ ❆r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z = 0 ①→❝ ✤à♥❤ s❛✐
❦❤→❝ ϕ + k2π, k ∈ Z ✮✳
❈❤ó þ✿

✶✳✶✳✹✳✷ ❉↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝

❳➨t sè ♣❤ù❝ ✿ z = a + bi (a, b ∈ R)✳ ❑➼ ❤✐➺✉ r ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝õ❛ z ✈➔ ϕ
❧➔ ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z t❤➻ a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.
❱➟② z = a + bi = 0 ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣ z = r (cosϕ+isinϕ) .
❉↕♥❣ z = r (cosϕ+isinϕ) tr♦♥❣ ✤â r > 0 ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ z = 0✳
❈á♥ ❞↕♥❣ z = a + bi (a, b ∈ R) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ✤↕✐ sè ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ z✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✶✳ ✣➸ t➻♠ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ r (cosϕ + isinϕ) ❝õ❛ sè ♣❤ù❝
z = a + bi (a, b = 0)
•

•

t❛ ❝➛♥✿

√

❚➻♠ r✿ ✣â ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝õ❛ z✱ r = a2 + b2 sè r ❝ô♥❣ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣
❝→❝❤ tø ❣è❝ ❖ ✤➳♥ ✤✐➸♠ ▼ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ sè z tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝✳
❚➻♠ ϕ✿ ✣â ❧➔ ♠ët ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z✱ ϕ ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ s❛♦ ❝❤♦
a
b
cos ϕ = ✈➔ sin ϕ = ✱ sè ϕ ✤â ❝ô♥❣ ❧➔ sè ✤♦ ♠ët ❣â❝ ❧÷ñ♥❣
r
r
❣✐→❝ t✐❛ ✤➛✉ ❖①✱ t✐❛ ❝✉è✐ ❖▼✳

❈❤ó þ✿
• |z| = 1
•

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ z = cosϕ+isinϕ (ϕ ∈ R)✳

❑❤✐ z = 0 t❤➻ |z| = r = 0 ♥❤÷♥❣ ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳

✶✷


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✹✳✷

◆❤➙♥ ✈➔ ❝❤✐❛ sè ♣❤ù❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝

◆➳✉ z1 = r1 (cosϕ1+i sinϕ1) , z2 = r2 (cosϕ2+i sinϕ2)
t❤➻✿

(r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0)

z1 .z2 = r1 r2 [cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )] .
r1
z1
= [cos (ϕ1 − ϕ2 ) +i sin (ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2

❦❤✐ r > 0.

◆❤÷ ✈➟② ✤➸ ♥❤➙♥ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ t❛ ❧➜② t➼❝❤ ❝→❝
♠æ✤✉♥ ✈➔ tê♥❣ ❝→❝ ❛r❣✉♠❡♥t✱ ✤➸ ❝❤✐❛ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❧÷ñ♥❣
❣✐→❝ t❛ ❧➜② t❤÷ì♥❣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❛r❣✉♠❡♥t✳
✶✳✹✳✸

❚å❛ ✈à ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ tr♦♥❣ E 2

❚r♦♥❣ E 2✱ ✤✐➸♠ M (a; b) ❝❤♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ sè
m = a + bi t❤➻ sè m ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ tå❛ ✈à ❝õ❛ ✤✐➸♠ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ M (m).

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳

❑➼ ❤✐➺✉ ♠ët ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝❤ú ❝→✐ ✐♥ ❤♦❛ ✈➔ tå❛ ✈à ❝õ❛
♥â ❧➔ ❝❤ú ❝→✐ ✐♥ t❤÷í♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳
✶✳✹✳✹

❚å❛ ✈à ❝õ❛ ♠ët ✈❡❝t♦r tr♦♥❣ E 2

−
❚r♦♥❣ E 2 ✈❡❝t♦r →
α (a; b) ❝❤♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ sè ♣❤ù❝
−
z = a + bi✳ ❑❤✐ ✤â z ❣å✐ ❧➔ tå❛ ✈à ❝õ❛ ✈❡❝t♦r →
α✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳

−

❑➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✈❡❝t♦r →
α (z)✳

✶✸


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✹✳✺

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠

−→
●✐↔ sû M (z1) , N (z2) ∈ E 2✳ ❚❛ ❝â −
M N = z2 − z1 ✳ ❑❤✐ ✤â ❦❤♦↔♥❣
❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ M , N ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿
−−→
MN = MN =

(z2 − z1 ) (z2 − z1 ).

✶✳✺ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦❛✲❱rì
✶✳✺✳✶

❈æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦❛ ✲❱rì

❱î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥ t❤➻ t❛ ❝â✿
[r (cosϕ + i. sin ϕ)]n = rn (cosnϕ+i sin nϕ) .

✈➔ ❦❤✐ r = 1 t❛ ❝â✿ (cosϕ + i. sin ϕ)n = cosnϕ+i sin nϕ. ❈↔ ❤❛✐ ❝æ♥❣
t❤ù❝ ✤â ✤➲✉ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦❛✲❱rì✳
❈❤ó þ✿ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦❛✲❱rì ❝á♥ ✤ó♥❣ ❦❤✐ ♥ ♥❣✉②➯♥ ➙♠ ✭ ✈➔ ❝↔ ❦❤✐
n = 0 , z = r (cosϕ+i.sinϕ) = 0.✮
✶✳✺✳✷

❈➠♥ ❜➟❝ ♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝

❈❤♦ sè ♥❣✉②➯♥ n ≥ 2✳ ❈➠♥ ❜➟❝ ♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ z ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝ z
s❛♦ ❝❤♦ z n = z ✭ ♥➳✉ z = 0 t❤➻ z = 0✮✳
◆❤÷ ✈➟② ∀z ∈ C, z = 0, z = |z| (cosϕ+i.sinϕ) n ∈ N ∗ t❤➻✿
√
n

z=

n

|z| cos

✭tr♦♥❣ ✤â

n

|z|

ϕ k2π
+
n
n

+ i sin

ϕ k2π
+
n
n

k ∈ Z , k = 0, n − 1

❧➔ ❝➠♥ ❜➟❝ ♥ ❝õ❛ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠✮✳
✶✹


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✶✳✻ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈î✐ ❤➺ sè ♣❤ù❝
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈î✐ ❤➺ sè ♣❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣ ❧➔✿
Ax2 + Bx + C = 0 (A = 0)

✈î✐ ❆✱ ❇✱ ❈ ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝✳
❚❛ ❝â✿ ∆ = B 2 − 4AC.
B
✰✱ ◆➳✉ ∆ = 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ z = − 2A
.
✰✱ ◆➳✉ ∆ = 0 t❤➻ t❛ t➻♠ ❝→❝ ❝➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ w ❝õ❛ ∆ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
±w
❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t z1,2 = B2A

.

✶✺


❈❤÷ì♥❣ ✷
❇✐➳♥ ✤ê✐ ▼♦❜✐✉s
✷✳✶ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ❘✐❡♠❛♥
❚❛ t❤➯♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû ∞ ✈➔♦ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ✤➸ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠➦t
♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ♠ð rë♥❣ C ∪ {∞}✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ t↕✐ ✈æ ❝ü❝ ❧➔ r➜t ❦❤→❝ ❜✐➺t
s♦ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥❤÷♥❣ ❘✐❡♠❛♥ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ ✤➙② ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐
❧➔ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t❤ü❝ sü✳ ➷♥❣ ✤➣ ❧➔♠ r❛ ✤✐➲✉ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ tr➻♥❤ ❜➔②
t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ♠ð rë♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤➻♥❤
❝➛✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ❘✐❡♠❛♥✳
❈❤♦ P ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ✿ P = (z, t) ∈ C × R : |z|2 + t2 = 1
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r t❤ü❝ ✸ ❝❤✐➲✉ C × R✳ ✧❈ü❝ ❜➢❝✧ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝➛✉
s➩ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ N = (0, 1)✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♥ê✐ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝❤♦ ❝→❝
✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ✤➳♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ❘✐❡♠❛♥ P ✈➔
✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳ ❈❤♦ z ∈ C ✱ t❤➻ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ N ✈➔ (z, 0) ✤✐ q✉❛ ❤➻♥❤
❝➛✉ t↕✐ ✤✐➸♠ N ✈➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥ú❛ ❧➔ (ω, t) ∈ P ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✈✐➳t
π (z) = (ω, t) ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ π (∞) = N ✳ ❚❤➻ π ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠ët →♥❤
①↕ π : C ∪ {∞} → P ✳ ⑩♥❤ ①↕ ♥➔② ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✱ ✈➻ ♥➳✉ (t, ω) ❧➔ ✤✐➸♠
❜➜t ❦➻ ❝õ❛ P trø N ✱ t❤➻ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ N ✈➔ (t, ω) s➩ ✤✐ q✉❛ ♠➦t
✶✻




õ tốt ồ

{(z, s) : s = 0} t ởt t (z, 0) ợ (z) = (, t)
t ữ r ởt ổ tự ờ
tr ữớ t tứ z C N {s (z, 0) + (1 s) (0, 1) : s R}
ữớ t t P s = 0 ỹ s =
2
2
1 |z|

(z) =

2z
1 + |z|2
,
1 + |z|2 1 + |z|2

.

ữ ỵ tứ tự ữợ t zON OAN
OA (z) tt ỗ Ptrr t
1 + |z|2

d (N, z) =

õ d (N, A) = d (A, (z)) =

1

d (N, (z)) =
2

1 + |z|



2

.
2

1 + |z|


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❤➣② ①➨t ❤❛✐ ✤✐➸♠ z1, z2 ∈ C ✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ sñ✐ ❞➙②
κ (z1 , z2 ) ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❊✉❝❧✐❞ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♥ê✐ π (z1 )✱ π (z2 )✳
❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈➩ ❞÷î✐ ✤➙②✱ t❛ ❝❤ù♥❣ tä t❛♠ ❣✐→❝ ✈î✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ N ✱z1✱ z2.

❈❤ó♥❣ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣✿ d (N, zj ) =
sè✿

1 + |zj |2

✈➔ d (N, π (zj )) =

2
1 + |z(j |

❱➻ ✈➟②✱ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ∆N z1z2✱ ∆N π (z2) π (z1) ❧➔ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ ❤➺
2
2

1 + |z1 |

.
2

1 + |z2 |

❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳
κ (z1 , z2 ) = d (π (z1 ) , π (z2 )) =

2 |z1 − z2 |
1 + |z1 |2

1 + |z2 |2

❑❤✐ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ✤✐➸♠✱ ♥â✐ z2 ❧➔ ∞ t❤➻ t❛ ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ ✤✐➲✉ ♥➔② ♥❤÷
✶✽

2

✳


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚✐➯♥

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

s❛✉✿
κ (z1 , ∞) =

2

.
2

1 + |z1 |

▼ët ❛r❣✉♠❡♥t ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ð tr➯♥ ✤➸ t➻♠ ♠❡tr✐❝ ❤➻♥❤ sñ✐
❞➙② ❝❤♦ t❛ t❤➜② ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♥ê✐ ❧➔ ❜↔♦ ❣✐→❝✱ ♥â ❜↔♦ t♦➔♥ ❣â❝ ❣✐ú❛ ❝→❝
✤÷í♥❣ ❝♦♥❣✳ ❱➻ tr♦♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❞÷î✐ ✤➙②✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ tø N tî✐ z ✤✐
q✉❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ π (z) ✈➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C ✈î✐ ❝ò♥❣
❣â❝ θ✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤✐➳✉ ✈î✐ t➙♠ N tø ♠➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ ①ó❝ tî✐ C ❜↔♦ t♦➔♥
❣â❝✳ ❉♦ ✤â π ❝ô♥❣ ❜↔♦ t♦➔♥ ❣â❝ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ t↕✐ z✳

✯◗✉② ÷î❝✿ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♥➔② ❧➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥
tr♦♥❣ C ∪ {∞} ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ t➜t ❝↔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❑➳t q✉↔
s❛✉ ✤➙② ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ t↕✐ s❛♦ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧↕✐ ♥❤÷ t❤➳✳
✶✾