Bài 08 hướng dẫn giải bài tập tự luyện khoảng cách tu mot diem den mot đường thẳng

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

BÀI GI NG 08.
KHO NG CÁCH T M T ðI M ð N M T
ðƯ NG TH NG
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)

x y −1
=
= z +3
3
4
a. Vi"t phương trình m&t ph ng ñi qua A và ch*a ñư ng th ng d.
b. Tính kho.ng cách t0 A ñ"n ñư ng th ng d.

Bài 1: Cho ñi m A(1; 2; 1) và ñư ng th ng d:

Gi i:
a. G2i a là m4t vectơ ch6 phương c7a d, ta có: a (3; 4;1) . L;y ñi m B(0; 1; 3) ∈ d .
Ta có: nP =  AB, a  và m&t ph ng (P) ñi qua ñi m A.
V@y phương trình m&t ph ng (P) là:
−15 x + 11 y + z − 5 = 0

b. Kho.ng cách t0 A ñ"n d ñưCc cho bDi công th*c:
d ( A, d ) =

 AB, a 
347



=
26
a

Bài 2: Cho ñi m A(1; 2; 1) và ñư ng th ng d có phương trình:

x = 1− t

d :y = t
 z = −1

Xác ñInh t2a ñ4 hình chi"u vuông góc c7a A lên ñư ng th ng d. T0 ñó tìm t2a ñ4 ñi m A1 ñKi x*ng vMi A
qua d.

Gi i:
G2i a là m4t vectơ ch6 phương c7a d, ta có: a ( −1;1;0) .
G2i H là hình chi"u vuông góc c7a A lên d ⇒ H ∈ d do ñó:

H (1 − t ; t ; −1) ⇒ AH (−t ; t − 2; 0)
Vì AH ⊥ a ⇔ AH .a = 0 ⇔ −t (−1) + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (0;1; −1) .
Gi. sP A1 ( x1 ; y1 ; z1 ) . Vì H là trung ñi m AA1, ta có:

x1 + x A

 xH = 2
 x1 = 2 xH − x A
 x1 = −1

y1 + y A




⇔  y1 = 2 yH − y A ⇔  y1 = 0
 yH =
2

z = 2z − z
 z = −1
H
A
 1
 1
z1 + z A

=
z
 H
2

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 1


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

V@y A1( 1; 0; 1).

Bài 3: Cho ñư ng th ng d và m&t ph ng (P) có phương trình:

 x = 1 + 2t

d :  y = 2 − t t ∈ R; ( P) : 2 x − y − 2 z + 1 = 0
 z = 3t

a. Tìm t2a ñ4 các ñi m thu4c ñư ng th ng d sao cho kho.ng cách t0 mQi ñi m ñó ñ"n m&t ph ng (P)
bRng 1.
b. G2i K là ñi m ñKi x*ng c7a ñi m I(2; 1; 3) qua ñư ng th ng d. Xác ñInh t2a ñ4 K.

Gi i:
a. ði m A ∈ d , suy ra: A(1 + 2t ; 2 − t ;3t ) .
Kho.ng cách t0 A tMi (P), ñưCc cho bDi:

d ( A, mp ( P )) =

2(1 + 2t ) − (2 − t ) − 2.3t + 1
22 + ( −1) 2 + (−2) 2

=

t −1
3

Do ñó:

d ( A, mp ( P )) = 1 ⇔

t −1
 A = (9; −2;12)
t = 4
=1⇔ 
⇒ 1
3
t = −2  A2 = ( −3; 4; −6)

V@y tWn tXi hai ñi m A1; A2 thu4c d mà kho.ng cách t0 nó ñ"n mp(P) bRng 1.
b. G2i a là m4t vectơ ch6 phương c7a d, ta có: a (2; −1;3) .
G2i H là hình chi"u vuông góc c7a I lên d ⇒ H ∈ d do ñó:

H (2t + 1; 2 − t ;3t ) & IH = (2t − 1;3 − t ;3t − 3)
Vì IH ⊥ d ⇔ IH .a = 0 ⇔ 2(2t − 1) − (3 − t ) + 3(3t − 3) = 0 ⇔ t = 1
V@y t2a ñ4 ñi m H (3; 1; 3).
ði m K ñKi x*ng vMi I qua d, suy ra:

 xK = 2 xH − x I

 yK = 2 yH − yI ⇒ K (4;3;3)
z = 2z − z
H
I
 K
Bài 4: Cho hai ñư ng th ng và d có phương trình:
x − 3 y −1 z −1
x −7 y −3 z −9
:

=
=
,d:
=
=
−7
2
3
1
2
−1
L@p phương trình ñư ng th ng d1 ñKi x*ng vMi d qua

.

Gi i:
Chuy n phương trình ñư ng th ng d vZ dXng tham sK:

x = t + 7

d :  y = 2t + 3
 z = −t + 9

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 2

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

L;y hai ñi m A(7; 3; 9), B(6; 1; 10) ∈ d . G2i H A , H B theo th* t[ là hình chi"u vuông góc c7a A, B
lên .
• Xác ñInh HA và A1 là ñi m ñKi x*ng vMi A qua
Chuy n phương trình

vZ dXng tham sK:

.

 x = − 7t + 3

:  y = 2t + 1
 z = 3t + 1


Làm tương t[ bài 2, 3 tìm ñưCc t2a ñ4 chân ñư ng vuông góc HA(3; 1; 1)
T0 ñó suy ra t2a ñ4 A1 ñKi x*ng vMi A qua
A1( 1; 1; 7)
• Xác ñInh HB và B1 là ñi m ñKi x*ng vMi B qua .

 72 37 40 
Tương t[ d^ dàng tìm ra H B  ; ; 
 31 31 31 
 42 43 230 
⇒ B1  − ; ; −


31 
 31 31
• Phương trình ñư ng th ng d1 ñưCc cho bDi:

x +1 y +1 z + 7
qua A1 (−1; −1; −7)
⇔ d1 :
=
=
d1 : 
−11
74
−13
vtcp A1 B 1 (−11;74; −13)
x +1 y + 3 z − 2
Bài 5: Tìm trên ñư ng th ng d:
=
=
ñi m M ( xM ; yM ; zM ) sao cho xM2 + yM2 + zM2 nh_
3
−2
−1
nh;t.

Gi i:
Chuy n phương trình d vZ dXng tham sK:

 x = −1 + 3t

d :  y = −3 − 2t

 z = −2 − t

ði m M ∈ d ⇒ M ( −1 + 3t ; −3 − 2t ; −2 − t ) .
Khi ñó: xM2 + yM2 + zM2 = ( −1 + 3t ) 2 + ( −3 − 2t )2 + ( −2 − t ) 2 = 12t 2 + 4t + 14 ≥
V@y xM2 + yM2 + zM2 nh_ nh;t =

41
3

41
1
−7 −5 

ñXt ñưCc khi t = − ⇒ M  −2; ;  .
3
3
3 3 


x = t

 4a 2 a a 
Bài 6: Cho hai ñi m A(a; 0; a) và B  ; − ; −  và ñư ng th ng d có phương trình: d :  y = t
3
3
 3

z = a − t
Tìm ñi m M thu4c d sao cho:
a. MA + MB nh_ nh;t.

b.

MA − MB lMn nh;t.
Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 3


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

Vì M ∈ d ⇒ M (t ; t ; a − t ) khi ñó ta có:
2

2

 4a   2a   4 a 
MA + MB = (t − a ) + t +( −t ) +  t −  +  t +  + 
−t
3  
3   3


2

2

2

2

= 3t 2 − 2at + a 2 + 3t 2 − 4at + 4a 2
2
2
2
2

 a  2a
 2 a  8a
= 3  t −  +
+ t −  +
9
3 
9
  3








a a 2
 2a a 8 

Xét các ñi m A1  ;
;
B

 ; −
 và M1(t; 0).
1
3 3 
3 


 3
Khi ñó: MA + MB = 3 ( M 1 A1 + M 1 B1 )
Vì M1 chXy trên trdc x 'Ox và A1; B1 nRm vZ hai phía c7a x 'Ox nên
( MA + MB) min ⇔ ( M 1 A1 + M 1 B1 ) min ⇔ M 1 = ( A1 B1 ) ∩ x ' Ox

 4a 
 4 a 4 a 5a 
⇔ M1  ; 0  ⇔ M  ; ; 
 9 
 9 9 9 
Tương t[ câu a ta có:
2
2
2
2

 a  2a
 2 a  8a
MA − MB = 3   t −  +

+ t −  +
9
3 
9
  3








a a 2
 2a a 8 
Xét các ñi m A1  ;
và M2(t; 0).
 3 3  ; B1  3 ; − 3 




Khi ñó: MA − MB = 3 M 2 A2 − M 2 B2
Vì M2 chXy trên trdc x 'Ox và A2; B2 nRm vZ m4t phía c7a x 'Ox nên

MA − MB max ⇔ M 2 A2 − M 2 B2 max ⇔ M 2 = ( A2 B2 ) ∩ x ' Ox

⇔ M 2 ( 0;0 ) ⇔ M ( 0;0; a )
M$t s' ñ) ð*i h,c – Cao ñ1ng.
ðHA – 2002: Trong không gian hg t2a ñ4 ðZcác vuông góc Oxyz cho ñư ng th ng

Cho ñi m M(2; 1; 4). Tìm t2a ñ4 ñi m H thu4c ñư ng th ng

2

x = 1+ t

2 : y = 2 + t
 z = 1 + 2t


sao cho ñoXn th ng MH có ñ4 dài nh_

nh;t.

ðáp s=: H(2; 3; 3)
ðHD – 2006: Trong không gian hg t2a ñ4 Oxyz, cho ñi m A(1; 2; 3) và ñư ng th ng:
x −2 y + 2 z −3
d1 :
=
=
2
1
−1
Tìm t2a ñ4 ñi m A’ ñKi x*ng vMi ñi m A qua ñư ng th ng d1.

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 4

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

ðáp s=: A’( 1; 4; 1)
ðHD – 2007: Trong không gian hg t2a ñ4 Oxyz, cho hai ñi m A(1; 4; 2) , B( 1; 2; 4) và ñư ng th ng:
x −1 y + 2 z
=
=
:
−1
1
2
Tìm t2a ñ4 ñi m M thu4c ñư ng th ng sao cho MA2 + MB 2 nh_ nh;t.
ðáp s=: M( 1; 0; 4)

Giáo viên: Tr;n Vi=t Kính
Hocmai.vn.
Ngu@n :

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 5