tim gtnn, gtln bang dao ham khao sat gian tiep

Khảo sát gián tiếp
Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số
[ ( )]y f g x=
bằng phơng pháp gián
tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới
( )t g x
=
để đa hàm số
ban đầu về dạng
( )y f t
=
đơn giản hơn. Với chú ý, ta phải đi tìm tập giá trị
của hàm số
( )t g x
=
, giả sử tập giá trị đó là D. sau đó tìm GTLN, GTNN của
hàm số
( )y f t
=
trên miền D.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
= + +
+ +
2 2
2 4
sin cos 1.
1 1
x x
y
x x
Giải:

Đặt
2
2
sin
1
x
t
x
=
+
ta có
2
2
1 1
1
x
x

+
và



[ 1;1] ( ; ).
2 2
Do đó

+ +
2 2
2 2

sin( 1) sin sin1 sin1 sin sin1.
1 1
x x
x x
Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng:
= + + =
2
2 2 ( ).y t t f t
Miền xác định D =
[ sin1; sin1].
Đạo hàm
= + = =
1
'( ) 4 1, '( ) 0 D.
4
f t t f t t


= = +
2
D
min =min{ ( sin1); (sin1)} ( sin1) 2sin 1 sin1 2
t
y f f f
đạt đợc khi
= = =
+
2
2
sin1 1 1.

1
x
t x
x

D
1 1 17
max max{ ( ); ( sin1); (sin1)} ( )
4 4 48
t
y f f f f

= = =
đạt đợc khi
= =
+
2
1 2 1
sin .
4 1 4
x
t
x
Chú ý: Đối với bài trên ta có rhể giải cách thông thờng là áp dụng tính chất
của tam thức bậc 2.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= + + + +
4 4 2 2
4 4 2 2
a b a b a b

( ) .
b a b a b a
y
Giải:
Đặt
a b
b a
t
= +
, điều kiện
2.t
Khi đó
2 2
2
2 2
a b
2
b a
t
+ =
và
+ =
4 4
2 2
4 4
a b
( 2) 2.
b a
t
Vậy

= + = + +
2 2 2 4 2
( 2) 2 ( 2) 5 4.y t t t t t t
Xét hàm số
= + +
4 2
( ) 5 4.f t t t t
Miền xác định

D=(- ; 2] [2;+ ).
Đạo hàm
+
3
'( )=4 10 1.f t t t
2
''( )=12 10 0f t t t >
thoả mãn

2.t

'( )f t

luôn đồng biến.
Vậy:
- Với
2t

ta có
'( ) '(2) 13 0 ( )f t f f t
= >

luôn đồng biến .
- Với
2t
ta có
'( ) '( 2) 11 0 ( )f t f f t
= <
luôn nghịch biến.
Bảng biến thiên

t

-2 2
+
'( )f t
- +
( )f t
+
-2
+
2
Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có
D
min min ( ) 2
t
y f t

= =
, đạt đợc khi
= + = =
a b

2 2 0.
b a
t a b
Ví dụ 5: Cho
, 0x y

và
1x y
+ =
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:
S =
+
+ +
.
1 1
x y
y x
( HVQHQT - 1999 )
Giải:
Ta có:
+ + +
= + = =
+ + + + + +
( 1) ( 1) 2 2
S .
1 1 1 2
x y x x y y xy
y x xy x y xy
Đặt
t xy

=
ta có
0t

và vì :
1
1 2
4
x y xy xy
= +
hay

1
0 .
4
t
Xét hàm số
2 2
( )
2
t
f t
t

=
+
trên
1
D =[0; ].
4

Đạo hàm
2
6
'( ) 0 D
(2 )
f t t
t

= <
+
Hàm số nghịch biến trên D.
Do đó
D
1 2
minS = min ( ) = ( )
4 3
t
f t f

=
đạt đợc khi
1
4
t
=
.

+ =
=

=

=



1
1
2
1
1
.
4
2
x y
x
xy
y
Chú ý: Đôi khi ta cần phải biến đổi hoặc sử dụng các bất đẳng thức Cauchy,
Bunhiacopski, ..., đa hàm số cần tìm GTLN, GTNN về một hàm số trung gian
khác.
Ví dụ 6: Cho các số thực
, , 0x y z
thoả mãn điều kiện
1x y z
+ + =

.
P 2xy yz zx xyz
= + +
. Tìm maxP. ( TH & TT)
Giải:
Ta có
P 2 (1 2 ) ( )xy yz zx xyz xy z z x y
= + + = + +
2
( ) (1 2 ) (1 )
2
x y
z z z
+
+
( Bất đẳng thức Cauchy)

= + = + +
2 3 2
1 1
( ) (1 2 ) (1 ) ( 2 1).
2 4
z
z z z z z
Do vai trß
, ,x y z
b×nh ®¼ng, nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö
≤ ≤ ≤
0 .z x y
1

1 3 0
3
x y z z z
⇒ = + + ≥ ⇒ ≤ ≤
.
Ta xÐt hµm sè
3 2
1
( ) ( 2 1)
4
f z z z= − + +
trªn
1
[0; ]
3
.
Ta cã:
= − + = − = ⇔ = =
2
1 1 1
'( ) ( 6 2 ) (1 3 ), '( ) 0 0, .
4 3 3
f z z z z z f z z z

B¶ng biÕn thiªn

z
0 1/3
'( )f z
0 + 0

( )f z
7 / 27
1/ 4
Nhê b¶ng biÕn thiªn trªn ta thÊy:
7
( )
27
f z
≤
víi
1
[0; ]
3
z
∈
hay
+ + − ≤
7
2 .
27
xy yz zx xyz
7
max P =
27
⇒
khi:


=



= ⇔ = = =


+ + =


1
3
1
.
3
1
z
x y x y z
x y z