Bài 11 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tim toa do diem m thuoc mặt cầu

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

BÀI GI NG 11.
TÌM T A ð ðI M M THU C M T C U
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)

Bài 1: Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và m t
ph%ng (P): 2 x − y + 2 z − 14 = 0 .
a. Vi*t phương trình m t ph%ng (Q) ch/a tr0c Ox và c1t (S) theo m t ñư3ng tròn có bán kính b9ng 3.
b. Tìm t a ñ ñi:m M thu c m t c u (S) sao cho kho=ng cách t> M ñ*n m t ph%ng (P) l n nh@t.

Gi i:
a. Vi*t phương trình m t ph%ng (Q)
( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 9 có tâm I(1; 2; 1) và bán kính R = 3.
M t ph%ng (Q) c1t (S) theo ñư3ng tròn có bán kính R = 3 nên Q ch/a I.
(Q) có c p vectơ chH phương là: OI = (1; −2; −1), i = (1; 0;0)
⇒ Vectơ pháp tuy*n cJa (Q) là: n = (0; −1; 2) .
Phương trình cJa (Q) là: 0.( x − 0) − 1( y − 0) + 2( z − 0) = 0 ⇔ y − 2 z = 0
b. Tìm t a ñ ñi:m M thu c m t c u sao cho kho=ng cách l n nh@t.
G i d là ñư3ng th%ng ñi qua I và vuông góc v i (P). ðư3ng th%ng d c1t (S) tOi hai ñi:m A, B.
NhSn xét: n*u d ( A;( p ) ) ≥ d ( M , ( P ) ) thì d(M,(P)) l n nh@t khi M ≡ A .

x −1 y + 2 z +1
=
=
2
−1
2
T a ñ giao ñi:m cJa d và (S) là nghi m cJa h :

Phương trình ñư3ng th%ng d:

( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 9

 x −1 y + 2 z + 1
=
=

2
 2
−1
Gi=i h ta tìm ñưVc giao ñi:m A( 1; 1; 3), B(3; 3; 1).
Ta có: d ( A, ( P ) ) = 7 ≥ d ( B, ( P) ) = 1.
VSy kho=ng cách t> M ñ*n (P) l n nh@t khi M( 1; 1; 3).

Bài 2: Cho m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z + 2 = 0 .
Xét vZ trí tương ñ[i cJa ñi:m A ñ[i v i m t c u (S) trong các trư3ng hVp sau:
a. ði:m A(1; 1; 0).

1

b. ði:m A  1;1;  .
2


c. ði:m A(3; 5; 0).

Gi i:
a. ði:m A(1; 1; 0) ⇒ PA /( S ) = 1 + 1 − 2 − 2 + 2 = 0 ⇒ A n9m trên m t c u.
1

1
1

b. ði:m A  1;1;  ⇒ PA /( S ) = 1 + 1 + − 2 − 2 − + 2 < 0 ⇒ A n9m trong m t c u.
2
4
2

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 1


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

c. ði:m A(3; 5; 0) ⇒ PA /( S ) = 9 + 25 − 6 − 10 + 2 > 0 ⇒ A n9m ngoài m t c u.

Bài 3: Tìm t a ñ ñi:m M thu c m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 sao cho kho=ng cách MA ñOt giá trZ l n
nh@t, nh_ nh@t, bi*t:
a. A(1; 0; 0).
b. A(1; 1; 0).

Gi i:
Xét m t c u (S), có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 1.
a) ði:m A(1; 0; 0) ⇒ PA /( S ) = 0 ⇔ A n9m trên m t c u.
Khi ñó:

• MA nh_ nh@t = 0, ñOt ñưVc khi M ≡ A .
• MA l n nh@t = 2R ñOt ñưVc khi M ≡ M 1 ( −1;0;0) là ñi:m ñ[i x/ng v i A qua O.
b. ði:m A(1; 1; 0) ⇒ PA /( S ) > 0 ⇔ A n9m ngoài m t c u.
• Phương trình ñư3ng th%ng AO cho bci:

x = t
qua O(0;0;0)
 x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z −1 = 0

( AO ) : 
⇔ (OA) :  y = t

vtcp OA = (1;1;0)
2 x − 2 y − z − 2 = 0

z = 0
• Gi= sd ( AO) ∩ ( S ) = {M 1 ; M 2 } . Thay phương trình cJa (AO) vào phương trình cJa (S) ta ñưVc:

  1 1

;
;0  & M 1 A = 2 − 1
M1 
1
 2 2 
t 2 + t −1 = 0 ⇔ t = ±
⇒
  1
2
1


;−
;0  & M 2 A = 2 + 1
M 2  −
2
2 
 
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ MA min = Min {M 1 A, M 2 A} = 2 − 1, ñOt ñưVc khi M ≡ M 1 .
▪ MA max = Max {M 1 A, M 2 A} = 2 + 1, ñOt ñưVc khi M ≡ M 2 .

Bài 4: Cho m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 z + 5 = 0 . Tìm t a ñ ñi:m M thu c (S) sao cho kho=ng
cách t> M ñ*n (d) ñOt giá trZ l n nh@t, nh_ nh@t. Bi*t:

x = 1− t

a. d :  y = t
 z = −1


x = 1+ t

b. d :  y = 2 − t

1
z = −

2

Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 2


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

M t c u (S) có tâm I(1; 2; 1) và bán kính R = 1.
a. G i a là m t vectơ chH phương cJa d, ta có: a ( 1; 1; 0).
G i H là hình chi*u vuông góc cJa I lên (d) ⇒ H ∈ d do ñó:

H (1 − t ; t ; −1) ⇒ IH = (−t ; t − 2; 0)
Vì IH ⊥ a ⇔ IH .a = 0 ⇔ −t (−1) + t − 2 = 0 ⇔ t = 1
Suy ra H (0;1; −1), IH = (−1; −1;0) & IH = 2 > 1 = R
• Phương trình ñư3ng th%ng (IH) ñưVc cho bci:

x = t
qua H

IH : 
⇔ IH :  y = 1 + t
vtcp IH

 z = −1
• Gi= sd: IH ∩ ( S ) = {M 1 ; M 2 } . B9ng cách thay x; y; z t> phương trình tham s[ cJa IH vào phương trình
cJa (S), ta ñưVc: t1,2 = 1 ±

1
.
2

1
1


Suy ra: M 1  1 +
;2 +
; −1 ⇒ M 1 H = 2 + 1
2
2


1
1


;2 −
; −1  ⇒ M 2 H = 2 − 1
M 2 1 −
2
2


Khi ñó, v i ñi:m M thu c mc(S) ta có d(M, d) = MH và:
▪ MH min = Min (M1H; M2H) =

2 − 1 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 2

▪ MH max = Max (M1H; M2H) = 2 + 1 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 1
b. G i a là m t vectơ chH phương cJa d, ta có: a (1; 1; 0).
G i H là hình chi*u vuông góc cJa I lên (d) ⇒ H ∈ d do ñó:
1
1
H (1 + t ; 2 − t ; − ) ⇒ IH = (t ; −t ; )
2
2
1
Vì IH ⊥ a ⇔ IH .a = 0 ⇔ t.1 + (−t ).(−1) + .0 = 0 ⇔ t = 0
2
1
1
1
Suy ra H (1; 2; − ), IH = (0;0; ) & IH = < 1 = R
2
2
2
Xác ñZnh M ñ: MH min.
Gi= sd: (d ) ∩ ( S ) = { A; B} . B9ng cách thay x; y; z t> phương trình tham s[ cJa IH vào phương trình cJa
(S), ta ñưVc: t1,2 = ±

3
8



3

3 1
3
3 1
⇒ A 1 +
; 2 − ; −  & B 1 − ; 2 + ; − 
8
8 2
8
8 2


V i ñi:m M thu c (S) ta có d(M, (d) min = 0, ñOt ñưVc khi M ≡ A ho c M ≡ B .
• Xác ñZnh M ñ: MH max.
Phương trình ñư3ng th%ng (IH) ñưVc cho bci:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 3


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

x = 1
qua H

IH : 

⇔ IH :  y = 2
vtcp IH
 z = −1 + t

• Gi= sd: IH ∩ ( S ) = {M 1 ; M 2 } . B9ng cách thay x; y; z t> phương trình tham s[ cJa IH vào phương trình
cJa (S), ta ñưVc: t1,2 = ±1 .
Suy ra: M 1 (1; 2; 0 ) ⇒ M 1 H =
M 2 (1; 2; −2 ) ⇒ M 2 H =

1
2

3
2

Khi ñó, v i ñi:m M thu c mc(S) ta có d(M, d) = MH và:
3
▪ MH max = Max (M1H; M2H) = , ñOt ñưVc khi M ≡ M 2 = (1; 2; −2)
2

Bài 5: Cho m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 1 = 0 . Tìm t a ñ ñi:m M thu c (S) sao cho kho=ng
cách t> M ñ*n mp(P) ñOt giá trZ l n nh@t, nh_ nh@t. Bi*t:
a. (P): x + 2 y + 2 z + 4 = 0
b. (P): 3 x − 4 y − 9 = 0
c. (P): 2 x − 2 y − z − 2 = 0

Gi i:
M t c u (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính R = 2.
a) Kho=ng cách t> I t i mp(P) ñưVc cho bci:

d ( I , mp ( P)) =

1+ 2 +1+ 4

=3> R
1+ 4 + 4
G i (d) là ñư3ng th%ng th_a mãn:

x = 1+ t
qua I

d :
⇔ d :  y = 1 + 2t
d ⊥ mp ( P )

 z = 1 + 2t
Gi= sd d ∩ ( S ) = {M 1 ; M 2 } . B9ng cách thay x; y; z t> phương trình tham s[ cJa (d) vào phương trình cJa
2
(S), ta ñưVc: t1,2 = ± .
3
5 7 7
Suy ra: M 1  ; ;  ⇒ d1 = d ( M 1 , mp ( P )) = 5 .
3 3 3
1 1 1
M 2  ; − ; −  ⇒ d 2 = d ( M 2 , mp ( P )) = 1
3 3 3
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ d(M, (P)) min = Min {d1 ; d 2 } = 1 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 2
▪ d(M, (P)) max = Max {d1 ; d 2 } = 5 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 1
b. Kho=ng cách t> I t i mp (P) ñưVc cho bci:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 4


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

d ( I , mp ( P)) =

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

3− 4 −9

=2=R
9 + 16
G i (d) là ñư3ng th%ng th_a mãn:
 x = 1 + 3t
qua I

d :
⇔ d :  y = 1 − 4t
d ⊥ mp ( P )
z = 1

Gi= sd d ∩ ( S ) = {M 1 ; M 2 } . B9ng cách thay x; y; z t> phương trình tham s[ cJa (d) vào phương trình cJa
(S), ta ñưVc: t1,2 = ±

2

.
5

 11 3 
Suy ra: M 1  ; − ;1 ⇒ d1 = d ( M 1 , mp ( P )) = 1 .
5 5 
 1 13 
M 2  − ; ;1 ⇒ d 2 = d ( M 2 , mp ( P )) = 0
 5 5 
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ d(M, (P)) min = Min {d1 ; d 2 } = 0 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 2
▪ d(M, (P)) max = Max {d1 ; d 2 } = 2 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 1
c) Kho=ng cách t> I t i mp (P) ñưVc cho bci:

d ( I , mp ( P)) =

2 − 2 −1 − 2

=1< R
1+ 4 + 4
Xác ñZnh M ñ: MH min.
V i ñi:m M thu c (S) ta có: d(M, P) = 0, ñOt ñưVc khi M ∈ (C ) = ( S ) ∩ ( P) , có phương trình:
 x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z −1 = 0

2 x − 2 y − z − 2 = 0
Xác ñZnh M ñ: MH max.
G i (d) là ñư3ng th%ng th_a mãn:

 x = 1 + 2t
qua I


d :
⇔ d :  y = 1 − 2t
d ⊥ mp ( P )

z = 1− t
Gi= sd d ∩ ( S ) = {M 1 ; M 2 } . B9ng cách thay x; y; z t> phương trình tham s[ cJa (d) vào phương trình cJa
2
.
3
7 1 1
Suy ra: M 1  ; − ;  ⇒ d1 = d ( M 1 , mp ( P )) = 1 .
 3 3 3

(S), ta ñưVc: t1,2 = ±

 1 7 5
M 2  − ; ;  ⇒ d 2 = d ( M 2 , mp ( P )) = 3
 3 3 3
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ d(M, (P)) max = Max {d1 ; d 2 } = 3 , ñOt ñưVc khi M ≡ M 2 .

Giáo viên: Tr%n Vi't Kính
Ngu.n :
Hocmai.vn.
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 5