Bài 12 hướng dẫn giải bài tập tự luyện quan he mặt cầu mp va diem va mp

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

BÀI GI NG 12.
QUAN H GI A M T C U VÀ M T PH NG.
QUAN H GI A ðI M VÀ M T PH NG.
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)

Bài 1: Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho hai ñi m A(1; 2; 3), B( 1; 0; 1) và m#t ph%ng
(P): x + y + z + 4 = 0 .
a. Tìm t a ñ hình chi+u vuông góc c.a A trên (P).
b. Vi+t phương trình m#t c4u (S) có bán kính b8ng

AB
, có tâm thu c ñư;ng th%ng AB và (S) ti+p
6

xúc v i (P).

Gi i:
a. Tìm t a ñ hình chi+u vuông góc...
Hình chi+u vuông góc A’ c.a A trên (P) thu c ñư;ng th%ng ñi qua A và nhAn u = (1;1;1) làm vectơ chD
phương.
T a ñ A’ có dFng A’(1 + t; 2 + t; 3 + t).
Ta có: A ' ∈ ( P ) ⇔ 3t + 6 = 0 ⇔ t = −2
VAy A’( 1; 4; 1).
b. Vi+t phương trình m#t c4u...

AB
3

=
6
3
Tâm I c.a m#t c4u thu c ñư;ng th%ng AB nên t a ñ I có dFng I(1 + t; 2 – t; 3 + t).
Ta có: AB = (−2; 2; −2) = −2(1; −1;1) . Bán kính m#t c4u là: R =

Ta có: d ( I , ( P) ) =

t +6
t = −5
3
AB
⇔
=
⇔
6
3
3
t = −7

1
3
1
▪ t = −7 ⇒ I ( −6;5; − 4) . M#t c4u (S) có phương trình là: ( x + 6) 2 + ( y − 5)2 + ( z + 4) 2 =
3
Bài 2: Cho hai ñi m A(1; 2; 3), B(4; 4; 5)
a. Vi+t phương trình ñư;ng th%ng AB. Tìm giao ñi m P c.a nó v i m#t ph%ng xOy. CMR v i m i

▪ t = −5 ⇒ I ( −4;3; − 2) . M#t c4u (S) có phương trình là: ( x + 4)2 + ( y − 3)2 + ( z + 2) 2 =

ñi m Q thu c (Oxy), bi u thTc QA − QB có giá trU l n nhVt khi Q trùng v i P.
b. Tìm giao ñi m M trên m#t ph%ng xOy sao cho tYng các ñ dài MA + MB nhZ nhVt.

Gi i:
a. Phương trình ñư;ng th%ng AB cho b[i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 1


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

 x = 1 + 3t
qua A(1; 2;3)

AB : 
⇔ AB :  y = 2 + 2t
vtcp AB(3; 2; 2)

 z = 3 + 2t
• Tìm giao ñi m P c.a nó v i m#t ph%ng xOy.
M#t ph%ng xOy có phương trình z = 0.
3
 7


⇒ 3 + 2t = 0 ⇔ t = − ⇒ P  − ; −1;0 
2
 2

• CMR v i m i ñi m Q thu c m#t ph%ng xOy, bi u thTc QA − QB có giá trU l n nhVt khi Q trùng v i P.
ThAt vAy:
Ta có: t A .t B = 1.4 = 4 > 0 ⇒ A, B cùng phía v i xOy.
Xét tam giác QAB, ta có: QA − QB ≤ AB .
DVu “=” xdy ra khi và chD khi Q ≡ P

b. Tìm ñi m M trên m#t ph%ng (xOy) sao cho MA + MB nhZ nhVt.
G i n là m t vectơ pháp tuy+n c.a (Oxy), ta có: n = (0;0;1) .
▪ G i A1 là hình chi+u vuông góc c.a A lên mp(Oxy) ⇒ A1 = (1; 2; 0) & AA1 = 3 .
▪ G i B1 là hình chi+u vuông góc c.a B lên mp(Oxy) ⇒ B1 = (4; 4;0) & BB1 = 5 .
▪ ði m N thu c (xOy) chia vectơ A1 B1 theo tD si b8ng −

AA1
3
= − , suy ra:
BB1
5

3 xN + 5 x A1

 xN =
8

3 yB1 + 5 y A1

3

 17 22 
NA1 = − NB1 ⇔ N :  y N =
⇔ N  ; ;0  .
5
8
 8 8 

 zN = 0


▪ Ta ñi chTng minh r8ng MA + MB nhZ nhVt khi và chD khi M ≡ N . ThAt vAy:
G i A2 là ñi m ñii xTng c.a A qua mp(xOy).
AA1
Vì ñi m N chia vectơ A1 B1 theo tk si b8ng: −
⇒ A2 , B, N th%ng hàng.
BB1
VAy: MA + MB = MA2 + MB ≥ A2 B = NA + NB
DVu “=” xdy ra khi và chD khi M ≡ N .

Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho mp(P): x + y + z − 1 = 0 và hai ñi m A(1; 3; 0), B(5; 1; 2).
Tìm t a ñ ñi m M trên m#t ph%ng (P) sao cho MA − MB ñFt giá trU l n nhVt.

Gi i:
Ta có: A, B n8m khác phía so v i (P). G i B’ là ñi m ñii xTng v i B qua mp(P)
⇒ B '( −1; −3; 4)

MA − MB = MA − MB ' ≤ AB '
ð%ng thTc xdy ra khi M, A, B’ th%ng hàng ⇒ M là giao ñi m c.a (P) và AB’.
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 2


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

x = 1+ t

AB ' :  y = −3
 z = −2t

VAy M( 2; 3; 6)

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai ñi m A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và m#t ph%ng(P): 2x – y + z + 1
=0
a. Vi+t phương trình m#t ph%ng chTa AB và vuông góc v i mp (P).
b. Tìm t a ñ ñi m M ∈ (P) sao cho MA + MB nhZ nhVt.
Gi i:
a. 2x + 5y + z − 11 = 0
b) A, B n8m cùng phía ñii v i (P). G i A′ là ñi m ñii xTng v i A qua (P) ⇒ A '(3;1;0)
ð M ∈ (P) có MA + MB nhZ nhVt thì M là giao ñi m c.a (P) v i A′B ⇒ M (2; 2; −3) .

Bài 5: Trong không gian v i h trlc t a ñ Oxyz, cho tam giác ABC v i A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1)
và m#t ph%ng (P): x – y – z – 3 = 0. G i M là m t ñi m thay ñYi trên m#t ph%ng (P). Tìm giá trU nhZ nhVt
c.a bi u thTc MA2 + MB 2 + MC 2 .

Gi i:

7 8 
G i G là tr ng tâm c.a ABC ⇒ G  ; ;3 
3 3 

Ta có F = MA2 + MB 2 + MC 2 = ( MG + GA ) + ( MG + GB ) + ( MG + GC )
2

2

2

= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2 MG (GA + GB + GC ) = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2

F nhZ nhVt ⇔ MG2 nhZ nhVt ⇔ M là hình chi+u c.a G lên (P)
7 8
− −3−3
19
3 3
⇔ MG = d (G, ( P )) =
=
1+1+1
3 3

GA2 + GB 2 + GC 2 =

56 32 104 64
+ +
=
9
9

9
3
2

 19  64 553
VAy F nhZ nhVt b8ng 3. 
 + 3 = 9 khi M là hình chi+u c.a G lên (P)
3 3
Bài 6: Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m#t c4u (S) và m#t ph%ng (P) có phương trình là
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 5 = 0, ( P ) : 2 x + 2 y − z + 16 = 0 . ði m M di ñ ng trên (S) và ñi m N di
ñ ng trên (P). Tính ñ dài ngon nhVt c.a ñoFn th%ng MN. Xác ñUnh vU trí c.a M, N tương Tng.

Gi i:
2) M#t c4u (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3.

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 3


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chuyên ñ 02. Hình h c gi i tích không gian

2.2 + 2.(−1) − 3 + 16
=5⇒ d > R.
3
Do ñó (P) và (S) không có ñi m chung. Do vAy, min MN = d –R = 5 –3 = 2.

Trong trư;ng hrp này, M [ vU trí M0 và N [ vU trí N0. Ds thVy N0 là hình chi+u vuông góc c.a I trên m#t
ph%ng (P) và M0 là giao ñi m c.a ñoFn th%ng IN0 v i m#t c4u (S).
G i là ñư;ng th%ng ñi qua I và vuông góc v i (P), thì N0 là giao ñi m c.a và (P).
Khodng cách tq I ñ+n m#t ph%ng (P): d = d ( I , ( P ) ) =

ðư;ng th%ng

có VTCP là n P = ( 2; 2; −1) và qua I nên có phương trình là

 x = 2 + 2t

 y = −1 + 2t ( t ∈ ℝ ) .
z = 3 − t

T a ñ c.a N0 Tng v i t nghi m ñúng phương trình:
2 ( 2 + 2t ) + 2 ( −1 + 2t ) − ( 3 − t ) + 16 = 0 ⇔ 9t + 15 = 0 ⇔ t = −

15
5
=−
9
3

3
 4 13 14 
Suy ra N 0  − ; − ;  . Ta có IM 0 = IN 0 . Suy ra M0(0;–3;4).
5
 3 3 3
Bài 7: Trong không gian v i h toF ñ Oxyz, cho 3 ñi m A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và m#t ph%ng (P)
có phương trình:

+ = + = . Tìm trên (P) ñi m M sao cho

+

+

)=

=

nhZ nhVt.

Gi i:
+

G i I là ñi m thod:
Ta có: T =

+

+

Do ñó: T nhZ nhVt ⇔
Ta tìm ñưrc:





+

−




=

(





⇒ 

=

+

)+ (

+

)+ (

+

nhZ nhVt ⇔ M là hình chi+u c.a I trên (P).


.


Giáo viên: Tr,n Vi-t Kính
Hocmai.vn.
Ngu4n :

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 4