Bài 15 hướng dẫn giải bài tập tự luyện PP đồ thị va hinh hoc tim min max

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp dùng đồ thị hoặc hình học

PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỒ THỊ HOẶC HÌNH HỌC ĐỂ TÌM GTLN. GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Bài 1. Cho x, y, z  0; x  y  z  1. Tìm GTNN của P  x 2 

1
1
1
 y2  2  z2  2
2
x
y
z

Hướng dẫn giải:
Xét các véc tơ sau:

  
1 
1 
1
1 1 1
u  ( x; ); v  ( y; ); w  ( z; )  u  v  w  ( x  y  z;   ).
x
y
z
x y z



   



Do | u |  | v |  | w || u  v  w | ('  '  u  kv; v  qw; k , q  0)
 P  x2 

1
1
1
1 1 1
 y 2  2  z 2  2  ( x  y  z )2  (   )2
2
x
y
z
x y z

1 1 1
 81( x  y  z ) 2  (   ) 2  80( x  y  z ) 2
x y z
1 1 1
 2. 81( x  y  z ) 2 .(   ) 2  80( x  y  z ) 2
x y z
 18.9  80( x  y  z ) 2  162  80.12  82
 max P  82, '  '  x  y  z 

1

3

Bài 2. Tìm GTNN của P  ( x  1)2  y 2  ( x  1) 2  y 2  | y  2 |
Hướng dẫn giải:
Lấy:


 
u  ( x  1; y ); v  ( x  1; y )  u  v  (2; 2 y ).

  


Do | u |  | v || u  v | ('  '  u  kv, k  0  x  1   x  1  x  0)
 2 y 2  1  y  2 ( y  2)
 P  2 y  1 | y  2 | f ( y )  
 2 y 2  1  2  y ( y  2)

2

 2y
 1  0 ( y  2)

2
1

y

 f '( y )  
2

 2 y  1  y  0  y  3 ( y  2)

3
1 y2


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

 f ( y)  f (

Phương pháp dùng đồ thị hoặc hình học

3
)  2 3
3

 min P  2  3  x  0, y 

3
3

Bài 3. Tìm GTNN của f ( x)  x  4  x 2
Hướng dẫn giải:

Giả sử m là 1 giá trị của hàm số trên TXĐ của nó. Khi đó phương trình ẩn x sau có nghiệm :

m  x  4  x2  4  x2  m  x
Ta tìm m sao cho phương trình trên có nghiệm khi và chỉ đường thẳng x + y = m cắt nửa đương tròn (phần
nằm trên trục hoành. Điêu này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng x + y = m nằm giữa đường thẳng:
x + y =-2 và đường thẳng x  y  2 2  2  m  2 2
Do đó: max f ( x)  2 2; min f ( x)  2.
Bài 4. Tìm GTNN của P  x2  x  1  x2  3x  1
Hướng dẫn giải:

1
3
3
1
P  x 2  x  1  x 2  3x  1  ( x  ) 2  ( ) 2  ( x  ) 2  ( ) 2 .
2
2
2
2
Xét các điểm:
1 3
3 1
A( ; ); B( ;  ); C ( x;0)  f ( x)  CA  CB  AB  2  min P  min f ( x)  2
2 2
2
2
 C  AB  Ox  x  3  1.
 x  2 y  8

Bài 5. Cho  x  y  2 . Tìm GTLN, NN của P  x 2  y 2

 y  2x  4

Hướng dẫn giải:
Gọi M(x ;y) là điểm thỏa mãn điều kiện đã cho. Dễ thấy tập hợp các điểm M là tam giác ABC, trong đó A,
B, C là giao điểm của 2 đường bất kỳ trong số 3 đường thẳng :
(AB) : –x + 2y = 8 ;
(CA) : x + y = -2 ;(BC) : y - 2x = 4.
Ta có: A(-4 ;2), B(0 ;4), C(-2 ;0)
Ta có:
P  x 2  y 2  OM 2  max P  max OM 2  max{OA2 ; OB 2 ; OC 2 }  OA2  20  x  4, y  2.

min P  min OM 2  OH 2 (OH  BC , H  BC )
| 0  2.0  4 |

4
16
8 4
 min P   M  H ( ; )
5
5 5
5
1 2
2
2
Bài 6. Cho x  y  16  8 x  6 y. Tìm GTLN, NN của P  4 x  3 y
OH 

2

2



Hướng dẫn giải:
x 2  y 2  16  8 x  6 y  ( x  4) 2  ( y  3) 2  9 (*)  M ( x; y ) thỏa mãn (*) là đường tròn (C) có tâm là
I(4;3) và bán kính R=3. Khi đó:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

P  4x  3 y 

Phương pháp dùng đồ thị hoặc hình học

8 x  6 y x 2  y 2  16
1
1

 8  ( x 2  y 2 )  8  OM 2 .
2
2
2
2

Giả sử:

8 6
32 24
OI  (C )  {M 1 ; M 2 }  M 1 ( ; ), M 2 ( ; )
5 5
5 5
2
2
2
 max OM  max{OM 1 ; OM 2 }  OM 2 2  64; min OM 2  min{OM 21; OM 2 2 }  OM 12  4
32
24
;y
5
5
8
6
min P  10  M  M 1  x  ; y  .
5
5
1
Bài 7. Cho sin x  sin y  . Tìm GTLN, NN của P  cos 2 x  cos 2 y
2
 max P  40  M  M 2  x 

Hướng dẫn giải:
u , v  [1; 2]

2

2
u  sin x; v  sin y  
1 ; P  cos 2 x  cos 2 y  2  2(u  v )
u

v


2

1
2
bị giới hạn bởi các đường x=1; x=-1; y=1; y=-1 (4 đường này tạo thành hình vuông có tâm là gốc tọa độ,
cạnh bằng 1).
1
1
Dễ thấy A( ;1), B(1;  )
2
2
Ta có:
P  2  2(u 2  v 2 )  2  2OM 2 .

Tập hợp các điểm M(u;v) thỏa mãn giả thiết chính là đoạn thẳng AB (AB là 1 phần đường thẳng u  v 

1 1
OH  AB, H  AB  H ( ; )
4 4
7
1
 M  H  sin x  sin y  .

4
4
1

sin x   ;sin y  1

M  A
1
2
min P  2  2 max OM 2  2  2OA2    

M

B
2

sin x  1;sin y   1

2

 max P  2  2 min OM 2  2  2OH 2 

Bài 8. Cho x  2 y  3z  4. Tìm GTNN của P  16  x2  2 16  y 2  3 16  z 2
Hướng dẫn giải:
Xét các điểm trên mặt phẳng tọa độ : A(4;x) ;B(12 ;x+2y) ;C(24 ;x+2y+3z)=C(24 ;4). Do đó :
P  16  x 2  2 16  y 2  3 16  z 2  OA  AB  BC  OC  4 37
 min P  4 37 

x x  2 y x  2 y  3z



4
12
24

2
x yz .
3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp dùng đồ thị hoặc hình học

Bài 9. Tìm GTNN của P  x2  2x  2  x2  4x  8
Hướng dẫn giải:
P  x 2  2 x  2  x 2  4 x  8  ( x  1) 2  11  [ x  (2)]2  (2) 2
A( x  1;1); B ( x  2; 2)  P  OA  OB  AB  3 2  min P  3 2  x  0.

Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn :
Hocmai.vn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -