Bài 19 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tinh don dieu cua hàm so

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho hàm số y  x3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 (C)
Tìm m để hàm đồng biến trên  0; 
Lời giải:
Hàm đồng biến trên  0;   y '  3x 2  2(1  2m) x  (2  m)  0 với x   0; 
 f  x 

Ta có: f '  x  

6  2 x 2  x  1

 4 x  1

2

3 x 2  2x  2
 m với x   0; 
4x 1

 x  1
0
x  1

2

5
1
Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên  0;  , từ đó ta đi đến kết luận: f    m   m
4
2

Bài 2. Cho họ đường cong bậc ba (Cm) có phương trình là y = x3 + mx2  m
Định m để:
a. Hàm số đồng biến trong (1; 2).
b. Hàm số nghịch biến trong (0; +).
Lời giải:
a) Hàm đồng biến trên (1,2)  – 3x2 + 2mx  0, x  (1,2).
Nếu m  0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và

i)

2m
.
3

 2m 
, 0 . Vậy loại trường hợp m < 0
Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 
 3 

ii) Nếu m = 0  hàm luôn nghịch biến (loại).

 2m 
iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 0,

 3 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Do đó, ycbt

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

2m
 2m 
 m > 0 và [1, 2]  0,

2  m3

3
 3 

b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.
2m 

Khi m  0 ta có hàm số nghịch biến trên  ,
và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +).
3 



Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m  0.
1
1
3sin 2a
Bài 3. Cho hàm số f ( x)  x3  (sin a  cosa) x 2 
x . Tìm a để hàm số luôn đồng biến.
3
2
4

Lời giải:
Ta có: f ( x)  x 2  (sin a  cosa) x 

3sin 2a
4

Hàm số luôn đồng biến  f ( x)  0, x  R

   (sin a  cosa) 2  3sin 2a  0
1
 1  2sin 2a  0  sin 2a 
2

5
  2 k  2 a 
 2 k
6
6


5
  k  a 
 k , k  Z
12
12
Bài 4. Cho hàm số y 

2 x 2  3x  m
x 1

Với nhứng giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3; )
Lời giải:
Hàm số đồng biến trong khoảng (3; )
 y 

2x2  4x  3  m
 0, x  3  2 x 2  4 x  3  m  0, x  3
( x  1) 2

 m  f ( x)  2 x 2  4 x  3, x  3
 m  min f ( x) | x  3

Ta có: f '( x)  4 x  4  0, x  m  min f ( x)  f (3)  9 .
Bài 5. Chứng minh rằng với x > 0, ta có: e x  1  x 

x2
2

Lời giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Ta có: f ( x)  e x  1  x 

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

x2
 f '( x)  e x  1  x  f ( x)  e x  1  0 x  0
2

 f ( x) đồng biến với x  0  f ( x)  f (0)  0 x  0
x2
x  0 (đpcm).
 f ( x) đồng biến với x  0  f ( x)  f (0) x  0  e  1  x 
2
x

Bài 6. CMR: f ( x)  x 4  px  q  0, x  R  256q 3  27 p 4
Lời giải:
Ta có: f ( x)  4 x 3  p  0  x 

3

p
4

Ta có:
f ( x)  0, x  R

 min f ( x)  f ( 3
xR

p
)0
4

4

 p 
p
  3
q0
  p 3
4
 4 
 256q 3  27 p 4

Bài 7. Cho Cm  : y  f  x, m  2x3  3 2m 1 x2  3 m  2 x  4 .
Tìm m để hàm số đồng biến trên [2;+).
Lời giải:
Hàm số đồng biến trên [2;+) khi và chỉ khi
f '  x, m   3  2 x 2  2  2m  1 x   m  2   0; x  2

 2 x 2  2  2m  1 x   m  2   0; x  2
 2 x 2  2 x  2  m  4 x  1 ; x  2
2
 g ( x)  2 x  2 x  2  m; x  2  Min g  x   m
x2
4x 1

2
 2 


Ta có g '  x   8x  4 x 210  x  2  7 x2  2  0; x  2
 4 x  1
 4 x  1
2

Suy ra g(x) đồng biến trên [2;+) và khi đó Min g  x   g (2)  2  m
x2

Vậy m  2
Bài 8. Cho hàm số y   x 3  3x 2  mx  4 , trong đó m là tham số thực.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Lời giải:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ):

 y’  – 3x 2 – 6x  m<0, x  0
 3x 2  6x  m, x  0 (*)
x

y




0
0

Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi m  0 .
Bài 9. Cho hàm số y 

mx  1
(1). Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến, không đổi?
xm

Lời giải:
Ta có: y ' 

1  m2

 x  m

2

, xm

 Nếu 1  m2  0  1  m  1 thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (; m) và (m;  ).

m  1
 Nếu 1  m2  0  
thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
 m  1
 Nếu 1  m2  0  m  1 thì y không đổi trên TXĐ.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -