Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức tính thể tích và diện tích xung quanh

R'
h

l
R

Hình nón cụt

1
1/ Khối chóp: V  .S.h
3
2/ Lăng trụ: V  S.h
Khối nón cụt:

Vnoncut 

1
3

(R  R '  RR ')h ; Sxq  p(R  R ')l
2

1
3

2

1
3

4/ Khối nón: V  Bh  r 2 h ; Sxq  rl ; Stp  Sxq  Sday
3/ Khối trụ:

V  Sh  r 2h ; Sxq  2rl ; Stp  Sxq  2Sday
4
3

5/ Khối cầu: V  r 3 S  4r 2
2. Vị trí tương đối
 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

R

O

R

M
M

H

O

R

H

M

O

H

P

P

P

+ OH > R  Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
+ OH = R  Mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc tại H. Khi đó:
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 Mặt phẳng tiếp xúc gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm;
 Tính chất: Tiếp diện vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
+ OH < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có tâm H và bán kính

r  R 2  OH 2

+ Nếu OH = 0 (hay O  H): Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có
tâm O và bán kính bằng R.
 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

(C)

(C)

O

H

R

O



P

(C)

O

A


H

B

H

Giả sử đường thẳng () không qua O. Khi đó mp(O,)S(O,R) = C(O,R). Gọi OH là các
khoảng cách từ O tới ().
+ OH > R  () và (S) không có điểm chung
+ OH = R  () tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó:
 () gọi là tiếp tuyến, H gọi là tiếp điểm.
 Tính chất: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
+ OH < R  () cắt (S) tại 2 điểm.
3. Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp
Hình đa
diện
Hình trụ
Hình nón

Mặt cầu ngoại tiếp
Mặt cầu nội tiếp
Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
tiếp xúc với mặt cầu
Hai đường tròn đáy của hình trụ
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
nằm trên mặt cầu
mọi đường sinh của hình trụ
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đáy của hình nón
đường sinh của hình nón

4. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Cách 1: Tìm một điểm cách đều các đỉnh của đa diện.

Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình đa diện. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp
(Thường tìm 2 đỉnh sao cho từ (n – 2) đỉnh còn lại của đa diện nhìn hai đỉnh đó dưới một
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó).
• Cách 2: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
d

B1. Dựng trục d đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy ABCD

S

B2. Dựng mặt phẳng trung trực   của cạnh bên SA. Gọi O là

M

giao điểm của d và   thì ta có:

O
D

A



O  d  OA  OB  OC  OD


 OA  OB  OC  OD  OS


O



OA

OS





I
B

C

B3. Kết luận: Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu là
R = OA.
Đặc biệt:
Hình chóp có đường thẳng d là trục của đường tròn đáy  Tâm mặt cầu ngoại tiếp là
giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (nếu có cạnh bên SA và d đồng
phẳng thì dựng đường trung trực của cạnh bên SA đó trong mp (d, SA).
• Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ.

B1. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp;
B2. Xác định toạ độ các điểm có liên quan;
B3. Sử dụng kiến thức về toạ độ để giải quyết yêu cầu của bài toán.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện được tạo nên
B
O
Hướng dẫn giải:
r

a) OA = 5cm;

AA’

= 7cm

I

A

Sxq = 2  Rl = 2  .OA.AA’ = 2  .5.7 = 70  (cm2)

l

h

Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  = 120  (cm2)
O'

b) V = R h = .OA .OO =
2

2

 .52.7

=

B'

175  (cm3)
A'

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

c) Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm
OAI vuông ở I: AI = 4(cm)

AB = 2AI = 2.4 = 8; AA’ = 7;

SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
Ví dụ 2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là  .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và
SB. Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt
phẳng này.
Hướng dẫn giải:
S

Tính V và Sxq.

SAO vuông ở O: SO = a.sin  , AO = a.cos 
a

V=

1
1
.AO 2 .SO  .a 3 .cos2 .sin 
3
3
K

A

Sxq = .AO.SA  .a 2 .cos 

H

a) * Tính SSAB: Kẻ OH  AB  SH  AB , do đó

  600
SHO
 vuông SOH: SH 

SO
sin 60

0



2a.sin 
3

OH = SO.cot600 =

O

B

,

a 3.sin 
3

 AOH vuông ở H:

AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2  

Vậy SSAB =

3a 2 .sin 
9

a

 AH 

3

3cos 2   sin 2 

1
2a 2 .sin  3cos 2   sin 2 
AB.SH 
2
3

* Tính d(O,(SAB)):
Kẻ OK  SH  OK  (SAB)

OKH vuông ở K: OK = OH.sin 600 =

a 3 sin 
3

.

3
2



a.sin 
2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

.

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện
Ví dụ 1. (Hình lăng trụ đứng)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8
đỉnh của hình lập phương đã cho.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng cách 1: Tìm điểm cách đều các đỉnh.
Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’ thì O là tâm của hình
lập phương nên O cách đều các đỉnh của hình lập

A
D

r=

C

A’

phương. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O,
bán kính:

B

O
B’

D’

C’

AC '
a 3
, AC’ = a 3  r =
.
2
2

Ví dụ 2. (Hình chóp đều)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C và D.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng cách 2: Xác định trục đường tròn
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Qua O dựng đường thẳng d
vuông góc mp(ABCD) (d là trục đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD). Vì SA = SB = SC = SD nên S  d.
Trong mp(SAO), gọi I = d  a (a là đường trung trực đoạn

thẳng SA trong mp(SAO)).
Ta có I d nên IA= IB= IC= ID,
I a nên IA = IS,
Do đó IA = IB = IC = ID =IS. Vậy I là tâm mặt cầu qua S, A, B, C, D.

  1200 , AB = a,
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC là tam giác có góc BAC
AC = 2a, đường chéo AB1 của mặt bên ABB1A1 tạo với đáy một góc 750. Xác định tâm và tính
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Trong tam giác ABC, theo định lý côsin, ta có:
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200=a2 + 4a2 + 2a2 = 7a2
 BC  a 7

A

E

mà BC = 2Rsin1200 nên bán kính r của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC bằng:
r

C

M

N

B

BC
a 7 a 21


0
2sin120
3
3
O

750

Theo giả thiết AB1 tạo với đáy một góc
nên góc
0
  75 suy ra, trong tam giác vuông ABB1 ta có:
BAB

I

1

A1

E1

BB1  AB.tan 750  a. tan(450  300 )  a.(2  3)

C1
B1

Gọi E, E1 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các
tam giác ABC và A1B1C1. Khi đó, EE1 là trục của các đường
tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB1 kẻ đường trung trực của BB1 cắt EE1
tại O suy ra OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình
lăng trụ bán kính R = OB.
Ta có OI = EB = r. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB:
OB2 = OI2 + IB2 =

7a 2 a 2 (2  3) 2 (49  12 3)a 2
49  12 3


 R  a.
.
3
4
12
12

Ví dụ 4. Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB  a (a  0) là
đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM  BN  2a . Xác
định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.
Giải.

Áp dụng cách 3: Phương pháp tọa độ
Dựng Ay '/ /By  Ax  Ay '

B

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy 'z như sau:

N
A

A(0;0;0) ; B(0;0;a) ; M(2a;0;0) N(0;2a;a)

Ax  By


 Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác



Ax  Ay '

M

I

vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm

a
I a ; a ;  của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.


2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


Ta có: MN  a(2 ; 2 ; 1)
Vậy bán kính mặt cầu: R 

MN 3a
 .
2
2

3. Hình trụ, hình cầu, hình nón nội tiếp
Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
b) Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó.
c) Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường tròn đáy nằm trên mặt
xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt đáy của hình nón. Biết bán kính của
hình trụ bằng
một nửa bán kính đáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ.
Hướng dẫn giải:
a) SAB đều  SA  2R, SO  R 3

1

1
R 3 3
Sxq  .2R.SA  2R 2 ; V  R 2 .SO 
2
3
3
b) Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO
Bán kính mặt cầu r = O’O.

1
R 3
4 3 4 3R 3
r  SO 
; V= r 
3
3
3
27
c) N: trung điểm OB; ON: bán kính hình trụ ON=

R
2

1
R 3
R 3 3
2
; V= .ON .IO 
 NN  IO  SO 
2

2
8
'

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2 .
a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng  . Tính khoảng
cách từ trục đến MN.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ.
Hướng dẫn giải:
'   , kẻ OH  MN ' thì OH bằng khoảng cách giữa trục
a) Kẻ đường sinh NN’ ta có NMN
OO’ và MN.
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có: MN’ = NN’. cot  = a. 2.cot 
 vuông OMH: OH2=OM2–MH2=a2 

a

2

2

cot  
2

a

2  cot 2 

2

2

(2  cot  )  OH  a
2

2

b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn
đáy của hình trụ.

C
N

Ta có:

O'
B

1
1x 3 x 3
6R 6a
O’N =R = AN 


x

3
3 2
6
3
3

C'

A

VABC.A’B’C’ =

x2 3
36a 2 3
.OO ' 
.a 2  3a 2 . 6
4
12

I

J
N'

O
H

18a

Sxq = 3x.OO’=
.a 2  6a 2 6
3

B'

M
A'

Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao bằng h, góc giữa đường
sinh và đường cao là  .
a) Tính diện tích thiết diện của hình nón bởi một mặt
phẳng qua hai đường sinh vuông góc nhau.
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp trong hình
nón, biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
Hướng dẫn giải:

S

P

M

A

N

O

Q

B

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a) Tính diện tích thiết diện.
R = OA =h tan  , SA =
b) + Sxq = .R.SA 

h
1 2
h2


SAB
SA

; SA  SB
vuông cân; SSAB =
cos
2
2cos 2 

.h.tan 

cos 

1
1 2
.h 3 .tan 2 
2
2
+ V = .R .SO  .h tan .h 
.
3
3
3
c) Đặt OM = x  MN  2x
Ta có: MN//SO 

MN
SO



 x(2R  h)  hR  x 

AM
AO

 MN.AO  AM.SO  2x.R  h.(R  x)

hR
2hR
2h tan 

 MN 

2R  h
2R  h 2R tan   1

Ví dụ 4. Cho mặt cầu đường kính AB =2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt
phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C).
Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dân giải:
Gọi EF là 1 đường kính của (C) ta có:
IE2 = IA.IB = h(2R  h)
O

⇒ R = IE = h(2 R  h)

E
I

1 2
h 2
(2r  h) với 0< h< 2R
Thể tích cần tính là: V= r h 
3
3
B


4R
V’= (4 Rh  3h 2 ) , V’ = 0  h 

3

F

3

V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: h 

4R
4R
hay AI =
.
3
3

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 1. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc
vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón.
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện
này.

a

a) Sxq 

b) V 

2

2

a




(ñvdt) ; Stp  Sxq  Sñaùy  

3

(ñvtt) ; S 

a

2

2

1



2

1

2
a (ñvdt) ;

2

(ñvdt)

3

6 2

Bài 2. Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến
mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó.
a) Sxq  25 1025 (cm ) ; Stp  Sxq  Sñaùy  25 1025  625 (cm 2 ) ;
2

1

b) V  .252.20 2 (cm 3 ) ;

c) S  500 (cm 2 )

3

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 3. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông
cân có cạnh huyền bằng a 2 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo
với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.
a) Sxq 

b) V 

a

2

2

2

a

3

2

(ñvdt) ; Stp  Sxq  Sñaùy 

(ñvtt) ;

12

c) Sxq 

a

2

( 2  1)a
2
2

3

2

(ñvdt)

(ñvdt)

Bài 4. Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R, ABCD là hình vuông nội
tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD)
với đáy hình trụ là

600.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’.
a) V  R 3 6 (ñvtt) ; Stp  Sxq  Sñaùy  2 R 2 (

6  1)

(ñvdt)

b) V  R 3 6 (ñvtt)
Bài 5. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB

là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB
sao cho


ABM  600 . Tính thể tích của khối tứ diện ACDM.

Đáp số: V  1 . 3.3.2 3  3  cm3 
6

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 11


Vng vng nn tng, Khai sỏng tng lai

Bi 6. Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh r v chiu cao h = r 3
a) Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh tr

b) Tớnh th tớch ca khi tr to nờn bi hỡnh tr ó cho
c) Cho hai im A v B ln lt nm trờn hai ng trũn ỏy sao cho gúc gia
ng thng AB v trc ca hỡnh tr bng 300. Tớnh khong cỏch gia ng thng
AB v trc ca hỡnh tr.
a) Sxq 2 3r 2 (ủvdt) ; Stp Sxq Sủaựy 2(
b) V r3 3 (ủvtt) ;

c) O ' H

3 1) r

2

(ủvdt)

r 3
2

Bi 7. Bờn trong hỡnh tr cú một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc
đ-ờng tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đ-ờng tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt
phẳng hình vuông tạo với đáy hình tr mt gúc 450. Tớnh th tớch khi tr.
3 a3

16
2

3
ỏp s: V 3a a
8

2 (ủvtt)

Bi 8. Cho hỡnh lng tr t giỏc u ABCD.ABCD cú cnh ỏy bng a v ng chộo to
vi ỏy mt gúc 45 . Tớnh th tớch ca khi cu ngoi tip hỡnh lng tr.
4

ỏp s: V a3 (vtt)
3

Bi 9. Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú tt c cỏc cnh u bng a. Tớnh th tớch
ca khi lng tr v din tớch ca mt cu ngoi tip hỡnh lng tr theo a.
ỏp s: V

a

3

3
4

(vtt);

S

7a

2

3

Bi 10. Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b.
Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
3

ỏp s: V

1 (4a 2
18 3

3b ) 2 (vtt)
2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 12


Vng vng nn tng, Khai sỏng tng lai

Bi 11. (TSH B-2010) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú AB = a, gúc
gia hai mt phng (ABC) v (ABC) bng 600. Gi G l trng tõm tam giỏc ABC.
Tớnh th tớch khi lng tr ó cho v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din GABC
theo a.
7a
a 2 3 3a 3a 3 3
ỏp s: V =
=
(vtt); R =
4 2
8

12

Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy

Trong trng hp hỡnh chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ trc ca
ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy v cnh bờn ny luụn ng phng.
Nhng bi toỏn dng ny cú th s dng phng phỏp ta lm.

Bi 12. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca mt cu ngoi tip hỡnh chúp SABC bit SA
vuụng gúc vi ỏy, SA = 2a, ABC l tam giỏc u cnh a.
ỏp s: R

a 21
6

Bi 13. Cho t din ABCD cú DA = 5a v vuụng gúc vi mp(ABC), ABC vuụng ti B
v AB=3a, BC = 4a.
a) Xỏc nh mt cu i qua 4 im A, B, C, D
b) Tớnh bỏn kớnh ca mt cu núi trờn. Tớnh din tớch v th tớch ca mt cu.
ỏp s: b) R

5a 2
2

; S 50a (vdt); V
2

125 2a
3

3

(vtt)

Bi 14. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a; AB=AC=b,
BAC 60 . Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

a 2 b2
ỏp s: R
4 3

Bi 15. (TNPT2006) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Cnh bờn
SA vuụng gúc vi ỏy, cnh bờn SB a 3
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
1
3

Đáp số: a) V  a 3 2
Ngoài việc cho một cạnh bên vuông góc với đáy trực tiếp như trên thì có những bài toán
cạnh bên như thế là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy :

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Đáy ABCD là

tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h.
Trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là đường thẳng qua O và song song với SA.
Đáp số : r 

h2
4

 R2

Bài 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, hai mặt bên SAB và SAC cùng
vuông góc với đáy, SB = a, SC  a 2 , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 300 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Đáp số : a) V 

a3 3
;
24

1
3

b) Tâm I là trung điểm SC; V  a 3

Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Với hình chóp có một mặt bên (P) vuông góc với đáy thì trục d của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy thường là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) hoặc là một đường thẳng song
song với một đường nằm trong (P) và vuông góc với đáy.

Bài 18. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc
với nhau, góc BDC  900 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.
Đáp số: R 

a2
4a 2  b 2

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.
Đáp số: R 

21

a

6

Xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện
Bài 20. Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại có độ dài a 2 . Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Đáp số: R 

CD
a
2

Bài 21. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 3; AC = BD = 5; AD = BC = 6. Xác định tâm và tính
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Đáp số: R 

35
2

Bài 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông
góc với mp(ABCD).
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của khối cầu.
Đáp số: b) R 

a 6
2

; S  6 a2 (đvdt); V  a3 6 (đvtt)

Hình chóp đều
 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau nhưng
không nhất thiết phải bằng cạnh đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.
 Tứ diện đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
Đáp số: R 

3b 2
2 3b 2  a 2

Bài 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu.
Đáp số: R 

3

a 2

; S=

2

2a2

 ; V

a 2
3

Bài 25. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là φ.
Đáp số: R  SO 

a(1  4cos )
4 3

Tứ diện đều
 Trọng tâm G của tứ diện là giao điểm của đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh
đối diện và là trung điểm của các đoạn nối đó.
 Trọng tâm của tứ diện cũng là giao điểm của các đoạn nối đỉnh và trong tâm
của mặt đối diện chia đoạn đó theo tỉ số 1/3.
 Tứ diện đều có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao
là trọng tâm của tứ diện.
Bài 26. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Tính diện tích mặt cầu
c) Tính thể tích khối cầu tương ứng.
3 .a 2
a 6
 .a 3 6
Đáp số: a) R=
; b) S=
(đvdt); c) V=
(đvtt)
2

4

8

Chứng minh các điểm cùng thuộc mặt cầu:
Đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một mặt cầu, ta thường phải
chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc 900, hoặc chúng cùng cách
một điểm cố định cho trước một khoảng không đổi.
Bài 27. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. AC cắt BD tại O.
a) Chứng minh rằng O là tâm của mặt cầu (S) đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và tính bán kính
R của nó.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Đáp số: a) R =

a 2
2

1

3
; b) V  a 2 (đvtt)

3

Bài 28. (TSĐH D–2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là
đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy
điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 16

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Đáp số: R 

a 3
a 2
; d  A, ( BCD)  
2
2

Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = c, AC = b, BAC   . Gọi B1, C1 lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua năm
điểm A, B, C, B1, C1.
Đáp số: R 

b 2  c 2  2bc.cos
2sin 

Tứ diện vuông
Bài 29. Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và
ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo
nên bởi mặt cầu đó.
2

2

2

S  (a  b  c ) (đvdt); V 

1
6

2

2

2

2

2

2

(a  b  c ) a  b  c (đvtt)

Bài 30. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một
với SA = 1cm, SB = SC = 2cm.
a) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó.
3

9
2

Đáp số: a) R  ; b) S  9 (cm 2 ) ; V   (cm 3 )
2

Nhận xét: Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối
chóp, khối lăng trụ, thường hỏi thêm tính thể tích khối cầu.
Bài 31. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

6 và đường cao h = 1. Hãy

tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đáp số: S  4 R 2  9 (đvdt)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 17


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 32. Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
S

I
A
D
O
B
C

Bài 33. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính r. Đáy

ABC của lăng trụ là tam giác vuông tại C, góc ABC bằng  (00 <  < 900) và cạnh bên AA’ bằng
cạnh AB của đáy. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối lăng trụ theo r và .
B'
C'
A'

I
r
B

A

C

Bài 34. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc ABC bằng
300 và AA’=AB=2.
c. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối lăng trụ.
d. Chứng minh rằng 6 đỉnh của hình lăng trụ cùng nằm trên một mặt cầu. Hãy xác
định tâm và bán kính của mặt cầu.
B'
C'
A'

I
r
B

A

C

Bài 35. Cho hình chóp tam giác đều trong đó cạnh đáy bằng m và mặt bên có góc ở đáy bằng
α.
e. Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp.
f. Chứng minh rằng chiều cao hình chóp đã cho bằng:
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

m
3 cos 



 

sin   300 sin   300



Trang | 18


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 36. (TSĐH A-2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O' , bán kính đáy
bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O' lấy điểm B sao cho AB= 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.

O'

A'

H

D

B

A

O

C

Bài 37. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C).
a) Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).
b) Tìm x để thể tích này lớn nhất.

S

(C)

M

O

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 19

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Trang | 20