Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ TOÁN 8
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
– Tìm nh}n tử chung l{ những đơn, đa thức có mặt trong tất cả c|c hạng tử.
– Ph}n tích mỗi hạng tử th{nh tích của nh}n tử chung v{ một nh}n tử kh|c.
– Viết nh}n tử chung ra ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử còn lại của mỗi hạng tử v{o trong
dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1

h nt h

th

s u th nh nh n t

28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Dùng c|c hằng đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử.
- C n chú đến vi c v n d ng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2

h nt h

th

s u th{nh nh}n tử

9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
– Kết hợp c|c hạng tử thích hợp th{nh từng nhóm.
– Áp d ng liên tiếp c|c phương ph|p đặt nh}n tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3

h nt h

W: www.hoc247.net

th

s u th nh nh n t

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
- Chọn c|c phương ph|p theo thứ tự ưu tiên.
- Đặt nh}n tử chung.

- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4

h nt h

th

s u th nh nh n t

3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH

T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ

1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a) C|ch 1 (t|ch hạng tử b c nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi ph}n tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi c|ch.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = ai + ci
Bước 3: T|ch bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để ph}n tích tiếp.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 5

h}n tí h

thứ f(x) = 3x2 + 8x + 4 th{nh nh}n tử

Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 l{ tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
b) C|ch 2 (t|ch hạng tử b c hai ax2)
- L{m xuất hi n hi u hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)
c) Cách 3 (t|ch hạng tử tự do c)
- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm th{nh hai nhóm:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)

d) C|ch 4 (t|ch 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
e) C|ch 5 (nhẩm nghi m): Xem ph n III.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta t|ch như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6

h}n tí h

thứ f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử

Hướng dẫn
T thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2 2x Từ ó t

ần thêm v{ bớt 1 2 = 1 ể xuất hiện hằng ẳng thứ

Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 7

h}n tí h

thứ f(x) = 9x2 + 12x – 5 th{nh nh}n tử

Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩm nghiệm)
3. Đối với đa thức nhiều bi n
Ví dụ 11
a)

h nt h

th

s u th nh nh n t

2x2 - 5xy + 2y2 ;

b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)

h nt h

th

n yt

ng t nh ph n t h

th

f(x) = x 2 + bx + c.

Ta t h h ng t th 2
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)

h n x t z - x = -(y - z) - (x - y)

W: www.hoc247.net

v y t t h h ng t th h i u

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

th


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)

Chú :
1)

c}u b) ta có thể t|ch y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))

2) Đa thức c}u b) l{ một trong những đa thức có dạng đa thức đặc bi t. Khi ta thay x = y (y
= z hoặc z = x) v{o đa thức thì gi| tr của đa thức bằng . Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích bằng
c|ch t|ch như trên, ta còn c|ch ph}n tích bằng c|ch x t gi| tr riêng (Xem ph n VII).
III. PHƯƠNG PHÁP NH
Tr ớ hết, t

NGHI

hú ý ến một ịnh lí qu n trọng s u

Đ nh lí : Nếu f(x) có nghi m x = a thì f(a) = . Khi đó, f(x) có một nh}n tử l{ x – a và f(x) có
thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Lú ó t| h | số hạng ủ f(x) th{nh | nhóm, mỗi nhóm ều hứ nh}n tử l{ x – a.
Cũng ần l u ý rằng, nghiệm nguyên ủ
thứ , nếu ó, phải l{ một ớ ủ hệ số tự do
Ví dụ 8

h}n tí h

thứ f(x) = x3 + x2 + 4 th{nh nh}n tử

Lời giải
Lần l ợt kiểm tr với x = ± 1, ± 2, 4, t thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0 Đ thứ f(x) ó
một nghiệm x = –2, do ó nó hứ một nh}n tử l{ x + 2 Từ ó, t t| h nh s u
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

= (x + 2)(x2 – x + 2).
Từ ịnh lí trên, t

ó | hệ quả s u

H quả 1. Nếu f(x) có tổng c|c h số bằng
nh}n tử l{ x – 1.

thì f(x) có một nghi m l{ x = 1. Từ đó f(x) có một

Chẳng hạn, thứ x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 l{ một nghiệm ủ
thứ Đ thứ ó một nh}n tử l{ x – 1 T ph}n tí h nh s u
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2
H quả 2. Nếu f(x) có tổng c|c h số của c|c luỹ thừa b c chẵn bằng tổng c|c h số của c|c luỹ

thừa b c lẻ thì f(x) có một nghi m x = –1. Từ đó f(x) có một nh}n tử l{ x + 1.
Chẳng hạn,
thứ x 3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 l{ một nghiệm ủ
Đ thứ ó một nh}n tử l{ x + 1 T ph}n tí h nh s u

thứ

f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)( x – 3)2
H quả 3. Nếu f(x) có nghi m nguyên x = a v{ f(1) v{ f(–1) khác 0 thì

f (1)
f ( 1)
và
đều l{ số
a 1
a 1

nguyên.
Ví dụ 9

h}n tí h

thứ f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 th{nh nh}n tử

Hướng dẫn
C|

ớ

ủ 18 l{ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18

f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải l{ nghiệm ủ f(x)
Dễ thấy không l{ số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không l{ nghiệm ủ f(x) Chỉ òn –2 và 3.
Kiểm tr t thấy 3 l{ nghiệm ủ f(x) Do ó, t t| h | hạng tử nh s u
f(x) = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18
= 4x2(x-3) – x(x – 3) + 6(x – 3) (0) = (x – 3)(4x2 – x + 6)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

H quả 4. Nếu ( an , an1 ,..., a1 , a0 l{ c|c số nguyên) có nghi m hữu tỉ x 

p
, trong đó p, q
q

Z và

(p , q)=1, thì p l{ ước a0, q l{ ước dương của an .
Ví dụ 10

h}n tí h

thứ f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 th{nh nh}n tử

Hướng dẫn
C|

ớ

ủ –5 là ± 1, ± 5 Thử trự tiếp t thấy | số n{y không l{ nghiệm ủ f(x)
1 5
1
h vậy f(x) không ó nghiệm nghuyên Xét | số  ;  , t thấy l{ nghiệm ủ
3 3
3
thứ , do ó thứ ó một nh}n tử l{ 3x – 1. T ph}n tí h nh s u
f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
IV. PHƯƠNG PHÁP THÊ

V B T C NG

T H NG TỬ

1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ph ương
Ví dụ 12

h}n tí h

thứ x4 + x2 + 1 th{nh nh}n tử

Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 13

h}n tí h

thứ x4 + 16 th{nh nh}n tử

Lời giải
Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 14

h nt h

th

x5 + x - 1 th nh nh n t

Lời giải
C|ch 1.
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
C|ch 2 Th m v b t x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 15

h nt h

th

x7 + x + 1 th nh nh n t

Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)
Lưu : C
x2 + x + 1.

th

d ng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 nh x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1

u h

V. PHƯƠNG PHÁP Đ I BI N
Đặt ẩn ph để đưa về dạng tam thức b c hai rồi sử d ng c|c phương ph|p cơ bản.
Ví dụ 16

h nt h

th

s u th nh nh n t

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

nh n t l


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đ t x2 + 10x + 12 = y,

th

ho o d ng

(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
Nh n x t: hờ ph
bậ 2 ối với y
Ví dụ 17

ng ph|p ổi biến t

h nt h

th

~

thứ bậ 4 ối với x th{nh

thứ

s u th nh nh n t :

A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
C|ch 1
Đ t x

i s x 0 T vi t

th

d

i d ng

1
1
 y th x 2  2  y2  2 Do o
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
2

 

1
=  x  x    3x  = (x2 + 3x - 1)2.
x
 

D ng ph n t h n y ung ung v i x = 0
C|ch 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
VI. PHƯƠNG PHÁP H
Ví dụ 18

h nt h

B T Đ NH

th

s u th nh nh n t

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
Th v i x= ±1; ±3 khong l nghi m u
th ,
th
khong o nghi m h u ty h v y
th tr n ph n t h
dạng

khong o nghi m nguy n ung
th nh nh n t th ph i o

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
Đong nh t

h so t

X t bd= 3 v i b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3

i b = 3 th d = 1, h

i u ki n tr n tr th nh

a  c  6

 2c = -14 - (-6) = -8 Do o = -4, a = -2.
ac  8
a  3c  14

ậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
VII. PHƯƠNG PHÁP X T GIÁ T

IÊNG

Trong ph ng ph p n y, tr
h tt x
inh d ng
nh n t
roi g n ho
bi n
gi tri u th
x
inh
nh n t on l i
Ví dụ 19

h nt h

th

h

bi n u

th

,

s u th nh nh n t

P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0

h vậy P chứa thừa số (x – y).

T thấy nếu th y x bởi y, th y y bởi z, th y z bởi x thì p không ổi ( thứ
ó thể ho|n vị
vòng qu nh) Do ó nếu
~ hứ thừ số (x – y) thì ũng hứ thừ số (y – z), (z – x) ậy
ó dạng k(x – y)(y – z)(z – x).
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậ 3 ối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y –
z)(z – x) ũng ó bậ 3 ối với tập hợp các biến x, y, z.
ì ẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) úng với mọi x, y, z nên
ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 t
ợc:

4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1
Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VIII. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ

T

ĐA THỨC Đ C BI T

1. Đưa về đa thức a3 + b3 + c3 - 3abc

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 20
a)

h nt h

th

s u th nh nh n t

a3 + b3 + c3 - 3abc.

b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.
Lời giải
a)

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc

= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b) Đ t x - y = a, y - z = b, z - x = th

+b+

Th o

u )t

o

a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.
y (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
2. Đưa về đa thức (a
Ví dụ 21

b

h nt h

c) 3 - a3 - b3 - c3
th

s u th nh nh n t

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
b) Đ t x + y = , y + z = b, z + x = th
W: www.hoc247.net

+ b + = 2( + b + )

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đ th

ho o d ng ( + b + )3 - a3 - b3 - c3

Th o k t qu

u )t

o

(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3
= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
II. Bài tập
Bài tập 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.

16x3y + 0,25yz3
x 4 – 4x3 + 4x2
2ab2 – a2b – b3
a 3 + a2b – ab2 – b3
x 3 + x2 – 4x - 4
x 3 – x2 – x + 1
x 4 + x3 + x 2 - 1
x 2y2 + 1 – x2 – y2
x 4 – x2 + 2x - 1
3a – 3b + a2 – 2ab + b2

21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

(a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2
4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
(a + b)3 – (a – b)3
X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
X m + 4 + xm + 3 – x - 1
(x + y)3 – x3 – y3
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

12. a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1

31. (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3

13.
14.
15.

16.
17.
18.
19.
20.

32. x3 + y3+ z3 – 3xyz
33. (x + y)5 – x5 – y5
34. (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3

a 2 – b2 – 4a + 4b
a 3 – b3 – 3a + 3b
x 3 + 3x2 – 3x - 1
x 3 – 3x2 – 3x + 1
x 3 – 4x2 + 4x - 1
4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2
(xy + 4)2 – (2x + 2y)2
(a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2

Bài tập 2 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.

x2 – 6x + 8

23.

x3 – 5x2y – 14xy2

2.

x2 – 7xy + 10y2

24.

x4 – 7x2 + 1

3.

a2 – 5a - 14

25.

4x4 – 12x2 + 1

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

4.

2m2 + 10m + 8

26.

x2 + 8x + 7

5.

4p2 – 36p + 56

27.

x2 – 13x + 36

6.

x3 – 5x2 – 14x

28.

x2 + 3x – 18

7.

a4 + a2 + 1

29.

x2 – 5x – 24

8.

a4 + a2 – 2

30.

3x2 – 16x + 5

9.

x4 + 4x2 + 5

31.

8x2 + 30x + 7

10. x3 – 10x - 12

32.

2x2 – 5x – 12

11. x3 – 7x - 6

33.

6x2 – 7x – 20

12. x2 – 7x + 12

34.

x2 – 7x + 10

13. x2 – 5x – 14

35.

x2 – 10x + 16

14. 4 x2 – 3x – 1

36.

3x2 – 14x + 11

15. 3 x2 – 7x + 4

37.

5x2 + 8x – 13

16. 2 x2 – 7x + 3

38.

x2 + 19x + 60

17. 6x3 – 17x2 + 14x – 3

39.

x4 + 4x2 - 5

18. 4x3 – 25x2 – 53x – 24

40.

x3 – 19x + 30

19. x4 – 34x2 + 225

41.

x3 + 9x2 + 26x + 24

20. 4x4 – 37x2 + 9

42.

4x2 – 17xy + 13y2

21. x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20

43.

- 7x2 + 5xy + 12y2

22. 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15

44.

x3 + 4x2 – 31x - 70

Bài tập 3 Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.
2.

x4 + x2 + 1
x4 – 3x2 + 9

17. x5 - x4 - 1
18. x12 – 3x6 + 1

3.
4.
5.
6.

x4 + 3x2 + 4
2x4 – x2 – 1
x4y4 + 4
x4y4 + 64

19.
20.
21.
22.

7.

4 x4y4 + 1

23. x3 + 4x2 – 29x + 24

8.
9.
10.
11.
12.

32x4 + 1
x4 + 4y4
x7 + x2 + 1
x8 + x + 1
x8 + x7 + 1

24.
25.
26.
27.
28.

W: www.hoc247.net

x8 - 3x4 + 1
a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
m3 – 6m2 + 11m - 6
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1
x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2
x8 + x6 + x4 + x2 + 1
x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

13.x8 + 3x4 + 1

29. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)

14. x10 + x5 + 1
15. x5 + x + 1
16. x5 + x4 + 1
Bài tập 4 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2. 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3. 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4. 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5. x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6. x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7. x4 – 13x2 + 36
8. x4 + 3x2 – 2x + 3
9. x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 5 Phân tích đa thức thành nhân tử
1. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2. (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3. x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

5. 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6. 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7. 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8. x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9. x3 + 9x2 + 26x + 24
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài tập 6 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
3. a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)
4. (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5. (x + y)7 – x7 – y7
6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7. (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8. a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1
Bài tập 7 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2. (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6. x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi tr ờng học trực tuy n sinh ộng, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng ợc biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về ki n thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm ến từ | tr ờng Đại học và
| tr ờng chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, TH T Q với ội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ | Tr ờng ĐH v{ TH T d nh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng ki n thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ ăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, T

II.

hiên, gữ ăn+ X~ Hội.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đ n tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực ti p với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí ti t kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đ n 10 HS giúp t

Các chương trình VCLA

ng t| dễ dàng,

ợc hỗ trợ kịp thời và ảm bảo chất l ợng học tập.

:

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi d ỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Tr n
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu B| Thắng, Th y Lê Phúc Lữ, Th y Võ Quốc Bá Cẩn ùng ôi HL ạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
tr ờng PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Ngh An v{ | tr ờng Chuyên
khác cùng TS.Tr n Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Tr nh Thanh Đèo v{ Th y Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Ti ng Anh: Cung cấp h ng trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gi s To|n giỏi ến từ ĐHS , KHT , BK, Ngoại Th ng, Du ho Sinh, i|o viên To|n v{ iảng viên ĐH
Day kèm Toán mọi }p ộ từ Tiểu họ ến ĐH h y | h ng trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể |nh gi| năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
ộc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gi n ho linh ộng h n giải pháp mời gi s

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

ến nhà.

T: 098 1821 807