Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC
ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI - 2017


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC
ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI - 2017

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã nhận đƣợc sự dìu dắt, chỉ
bảo và tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong khoa Toán nói
chung và trong tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt là sự hƣớng dẫn, chỉ bảo và giúp
đỡ hết sức tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS.
Khuất Văn Ninh. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô tổ Giải
tích, các thầy, cô giáo trong khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn
sinh viên quan tâm, đóng góp ý kiến cho đề tài của em.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Thị Thu Hà

SVTH Hoàng Thị Thu Hà


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời cam đoan
Dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn
Ninh và sự nỗ lực nghiên cứu của bản thân, em đã hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp này. Để nghiên cứu hoàn thành đề tài này em đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của
đề tài “Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân

thường” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân,
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Thị Thu Hà

SVTH Hoàng Thị Thu Hà


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................ 1
1.1. Khái niệm về số gần đúng ...................................................................... 1
1.1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đƣơng ............................................... 1
1.1.2. Sai số thu gọn .................................................................................. 2
1.1.3. Chữ số chắc ..................................................................................... 4
1.2. Sai phân và tính chất của sai phân ......................................................... 4
1.2.1. Định nghĩa sai phân ......................................................................... 4
1.2.2. Các tính chất của sai phân ............................................................... 5
1.2.3. Công thức nội suy Newton tiến, lùi ................................................ 6
1.3. Một số kiến thức về phƣơng trình vi phân thƣờng ................................ 8
1.3.1. Khái niệm về phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một ...................... 8
1.3.2. Bài toán Cauchy đối với phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một .... 9

Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC
TUYẾN TÍNH ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

THƢỜNG ............................................................................ 11
2.1. Phƣơng pháp Runge – Kutta ................................................................ 11

SVTH Hoàng Thị Thu Hà


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.1. Nội dung phƣơng pháp .................................................................. 12
2.1.2. Ví dụ .............................................................................................. 15
2.2. Phƣơng pháp Adams ............................................................................ 22
2.2.1. Công thức Adams – Bashforth ...................................................... 22
2.2.2. Công thức Adams – Moultons ...................................................... 24
2.2.3. Ví dụ .............................................................................................. 25
2.3. Phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh........................................................ 28
2.3.1. Tính ổn định tuyệt đối của phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh ..... 31
2.3.2. Sự chính xác của phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh .................... 35
2.3.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh .................. 36

Chương 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG ..... 40
3.1. Cách sử dụng Maple............................................................................. 40
3.2. Ví dụ ..................................................................................................... 41

KẾT LUẬN .............................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhƣ chúng ta đã biết trong lĩnh vực toán học ứng dụng thƣờng gặp rất
nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phƣơng trình vi phân, việc nghiên
cứu phƣơng trình vi phân thƣờng đóng vai trò quan trọng trong toán học. Các
bạn sinh viên đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng của bài toán
Cauchy đối với phƣơng trình vi phân thƣờng. Nhƣng chúng ta biết rằng chỉ
một số ít phƣơng trình vi phân thƣờng là có thể tìm đƣợc nghiệm chính xác.
Trong khi đó phần lớn các phƣơng trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực
tiễn không tìm đƣợc nghiệm chính xác. Bởi vậy việc tìm nghiệm của chúng
ta phải áp dụng các phƣơng pháp gần đúng khác nhau. Và mỗi phƣơng pháp
có thể sử dụng thuật toán Maple để đơn giản bài toán.
Với mong muốn học hỏi và tích lũy thêm kiến thức cho bản thân,
đồng thời để hiểu thêm về phƣơng trình vi phân thƣờng em chọn đề tài:
“Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về
một số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi phân thƣờng. Đồng
thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào đó để giải toán.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu

SVTH Hoàng Thị Thu Hà


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phƣơng pháp đa bƣớc.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Phƣơng pháp đa bƣớc giải phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về một số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi
phân thƣờng.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng kết các tài liệu.

6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm 3
chƣơng:
Chƣơng 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi phân
thƣờng.
Chƣơng 3: Ứng dụng Maple trong tính toán.

SVTH Hoàng Thị Thu Hà


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chƣơng này trình bày một số kiến thức cơ bản về số gần đúng và sai
số, khái quát về phƣơng trình vi phân và bài toán Cauchy đối với phƣơng
trình vi phân cấp một.

1.1. Khái niệm về số gần đúng
1.1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đƣơng
Trong tính toán, ta phải thƣờng làm việc với các giá trị gần đúng của
các đại lƣợng. Ta nói a là số gần đúng của a  , nếu a không sai khác a 
nhiều.
Đại lƣợng  : a  a gọi là sai số thật sự của a . Do không biết a 
nên ta cũng không biết  . Tuy nhiên, ta có thể tìm đƣợc a  0 , gọi là sai
số tuyệt đối của a , thỏa mãn điều kiện:

a  a  a

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

(1.1)

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hay a  a  a   a  a . Đƣơng nhiên, a thỏa mãn điều kiện
(1.1) càng nhỏ càng tốt. Sai số tƣơng đối của a là  a :

a
.
a

Ví dụ 1
Giả sử a    ; a  3.14 . Do 3.14  a   3.15  3.14  0.01 nên ta có

thể lấy a  0.01 . Mặt khác, 3.14    3.142  3.14  0.002 do đó có thể
coi a  0.002 .
Ví dụ 2
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta đƣợc a = 10cm và b = 1cm với
a  b  0.01 . Khi đó ta có  a 

0.01
0.01
 1% hay
 0.1% còn  b 
1
10

 b  10 a . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù
a  b . Nhƣ vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tƣơng

đối.
1.1.2. Sai số thu gọn
Một số thập phân a có dạng tổng quát nhƣ sau:
a     p 10 p   p 110 p 1  ...   p s 10 p s 

trong đó 0  i  9  i  p  1; p  s  ;  p  0 là những số nguyên.
Nếu

p  s  0 thì a là số nguyên,
p  s  m(m  0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số,

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

s   , a là số thập phân vô hạn.

Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để đƣợc một số a
ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a.
Qui tắc thu gọn:
Giả sử

a   p 10 p  ...   j 10 j  ...   p s 10 p s

và ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần vứt bỏ là  , ta đặt

a   p 10 p  ...   j 110 j 1   j 10 j ,
trong đó:
 j  1

 j : 

 j

~
Nếu   0.5  10 j thì  j   j , nếu  j là chẵn và  j   j 1 , nếu  j lẻ

vì tính toán với số chẵn tiện hơn.
Ví dụ

  3.141592  3.14159  3.1416  3.142  3.14  3.1  3

Sai số thu gọn a  0 là mọi số thỏa mãn điều kiện:

a  a  a
Vì

a   p 10 p  ...   j 10 j   ,

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

còn a   p 10 p  ...   j 110 j 11   j 10 j
nên





a  a   j   j 10 j    0.5  10 j

Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên:

a  a  a  a  a  a  a  a
1.1.3. Chữ số chắc
Định nghĩa. Chữ số chắc có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0”, nếu nó
kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng đƣợc giữ lại.

1.2. Sai phân và tính chất của sai phân
1.2.1. Định nghĩa sai phân
Giả sử

là một hàm số cho trƣớc và h  const , h  0 . Ta gọi

sai phân cấp một của f  x  là đại lƣợng:

f  x   f  x  h   f  x 
Tỷ sai phân cấp một của f  x  là

f  x 
h

 2 f  x     f  x     f  x  h  h   f  x  h    f  x  h   f  x 
 f  x  2h   2 f  x  h   f  x 
 f  x  h   f  x 

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

là sai phân cấp hai của f  x  tại .
Một cách tổng quát:

 n f  x  :   n1 f  x 

, (n  1) ,

0 f  x  : f  x 

là sai phân cấp n.
1.2.2. Các tính chất của sai phân
1) Sai phân là một toán tử tuyến tính , nghĩa là:
; f , g    f   g   f  g

 ,  

2) Nếu c  const thì c  0 .
3) Nếu P  x  là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor:
hi ( i )
P : P  x  h   P  x    P x .
i 1 i !
n

4) Mọi sai phân đều biểu diễn qua giá trị của hàm số
 f  x     1 Cni f  x   n  1 h  .
n

n

i 0

5) Giả sử f  C n  a, b và  x, x  nh    a, b . Khi đó:
n f  x 
h

n

 f ( n )  x   nh  ,

   0,1 .

Hệ quả
Nếu f  C n  a, b khi h đủ nhỏ ta có:

f

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

n

 x 

n f  x 
hn

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3. Công thức nội suy Newton tiến, lùi
Giả sử  xi  , i  0,..., n là n  1 mốc nội suy.
Giả sử Pn  x  là đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  f  x  ,
nghĩa là Pn  x j   y j  f  x j  , j  0,..., n . Ký hiệu P0  x; x0  , P0  x; x0 ; x1  , …,
là các tỉ sai phân của P0  x  . Khi ấy ta có:

Pn  x   f  x0   f  x0 ; x1  x  x0   f  x0 ; x1 ; x2   x  x0  x  x1   ... 
 f  x0 ; x1 ;...; xn  x  x0  x  x1 ... x  xn1 
là đa thức nội suy Newton.
Giả sử rằng mốc nội suy x0  x1  ...  xn , xi 1  xi  h, i  0,..., n  1 .
Ta tìm đa thức nội suy Pn  x  dƣới dạng:

Pn  x   a0  a1  x  x0   a2  x  x0  x  x1   ... 
an  x  x0 ... x  xn1 
Thay x lần lƣợt bằng x0 , x1 ,..., xn ta thu đƣợc a0  y0 , a1 

y0
,…,
h

 i y0
, vậy ta có:
ai 
i !hi
y0
 2 y0
Pn ( x)  y0 
( x  x0 ) 
( x  x0 )( x  x1 )  ... 
1!h
2!h2

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

 n y0

 x  x0 ... x  xn1 
n!hn

Dùng phép đổi biến x  x0  th, xi  x0  ih, i  0,1,...,(n  1) , ta thu đƣợc
y0
 2 y0
 n y0
Pn ( x0  th)  y0 
t
t (t  1)  ... 
t (t  1)...(t  n  1)
1!
2!
n!

(1.2)

Công thức (1.2) là công thức nội suy Newton tiến.
Giả sử rằng các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự xn  xn1  ...  x0 ,
xi 1  xi  h , i  0,1,..., n . Đa thức nội suy Newton Pn  x  đƣợc tìm ở dạng:
Pn ( x)  a0  a1 ( x  xn )  a2 ( x  xn )( x  xn1 )  ... 

an  x  xn  x  xn1 ... x  x1 
Nếu thay x  xn thì a0  y0 , thay x  xn1 thì a1 

yn 1
,… Tƣơng tự x  xi
h

 i yn  i
thì ai 
với i  0,1,..., n . Từ đó ta có:
i !hi
yn1
 2 yn2
Pn ( x)  yn 
( x  xn ) 
( x  xn )( x  xn1 )  ... 
1!h
2!h2

 n y0

 x  xn ... x  x1 
n!hn

Nếu đổi biến t 

x  xn
thì x  xn  th ta thu đƣợc kết quả:
h

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

yn1
 2 yn2
 n y0
Pn ( x  th)  yn 
t
t (t  1)  ... 
t (t  1)...[t  (n  1)] (1.3)
1!
2!
n!

Công thức (1.3) là công thức nội suy Newton lùi.

1.3. Một số kiến thức về phƣơng trình vi phân thƣờng
1.3.1. Khái niệm về phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một
Phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một có dạng tổng quát:

F  x, y, y  0

(1.4)

trong đó hàm F xác định trong miền D 

3

.

Nếu trong miền D, từ phƣơng trình (1.4) ta có thể giải đƣợc y :

y  f  x, y 
thì ta đƣợc phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một đã giải ra đạo hàm.
Hàm y    x  xác định và khả vi trên khoảng I   a, b  đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình (1.4) nếu:
a.

 x,  x  ,  x    D với mọi x  I

b. F  x,  x  ,   x    0 trên I
Ví dụ
Phƣơng trình

dy
 2y
dx

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Có nghiệm là hàm y  ce 2 x xác định trên khoảng (, ) (c là hằng số tùy
ý).
1.3.2. Bài toán Cauchy đối với phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một

Xét bài toán
{

( )
( )

(

)

(
(

t, x   R  0,T    x

0

)
)

 r , x0  r 

với 0,T  cho trƣớc hàm f  t , x  và x0 cho trƣớc đƣợc gọi là bài toán
Cauchy cho phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một, điều kiện (1.6) đƣợc gọi
là điều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu).
Điều kiện Lipschitz.
hàm f  t , x  thỏa mãn theo điều kiện

Ta nói rằng trong miền

Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L  0 sao cho với hai điểm
(

̅)

,(

̿)

bất kỳ ta có bất đẳng thức:
| (

̅)

(

̿)|

|̅

̿|

Định lý 1. (Định lý tồn tại nghiệm)
Xét bài toán (1.5 – 1.6),  t , x   R  0,T    x0  r , x0  r 
Nếu f  t , x  là hàm liên tục trên hình chữ nhật R,(r  0) cố định thì
tồn tại ít nhất một nghiệm x  t  của phƣơng trình (1.5) thỏa mãn điều kiện
(1.6), tức là x  t  là nghiệm của bài toán (1.5 – 1.6).

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định lý 2. (Định lý duy nhất nghiệm)
Xét bài toán (1.5 – 1.6). Nếu f  t , x  là hàm liên tục trên hình chữ
nhật R,(r  0) cố định và f  t , x  thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x
trên hình chữ nhật R tức là:

f t, x   f t, y   N x  y
trong đó N là hằng số (hằng số Lipschitz) thì nghiệm của bài toán (1.5 –
1.6) là duy nhất.
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.5 – 1.6),

t, x   R  0,T    x

0

 r , x0  r  . Hàm

f  t , x  xác định trong R,(r  0) cố định thỏa mãn 2 điều kiện:
a. f  t , x  liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên f  t , x   M
với M  max f  t , x  .
 t , x R

b. f  t , x  thỏa mãn điều kiện Lipschitz

f t, x   f t, y   N x  y

 t , x  ,  t , y   R
với N là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm x  t  của bài toán (1.5 – 1.6)
xác định trên 0,T  .

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chƣơng 2
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC
TUYẾN TÍNH ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG
Trong các phƣơng pháp một bƣớc nhƣ Euler, Euler cải tiến, Runge
– Kutta giá trị yn1 tính đƣợc nhờ xn , yn và bƣớc hn   h  .
Có thể tính yn1 với độ chính xác cao hơn bằng cách huy động các
giá trị yn , yn1 ,…, tức là sử dụng phƣơng pháp đa bƣớc. Các phƣơng pháp
loại này có độ chính xác cao hơn, tiết kiệm đƣợc bộ nhớ và thời gian máy.
Tuy nhiên các thuật toán đa bƣớc khá phức tạp và có độ ổn định kém hơn.
Chƣơng này trình bày một số phƣơng pháp đa bƣớc tuyến tính và
ứng dụng vào việc giải gần đúng các phƣơng trình vi phân thƣờng.

2.1. Phƣơng pháp Runge – Kutta

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.1. Nội dung phƣơng pháp
Xét bài toán Cauchy trên đoạn  x0 , X  đối với phƣơng trình vi phân

y  f  x, y 

(2.1)

y  x0   y0

(2.2)

với điều kiện ban đầu

Ta sẽ tìm đƣợc giá trị nghiệm gần đúng của bài toán (2.1 – 2.2) tại
điểm cố định xi ,  i  1,2,..., N  của khoảng cho trƣớc. Chọn điều kiện đúng
ta sẽ tính đƣợc
xi  x0  ih ,

i  1,2,..., N ,

h  0,

 X  x0 
N 
 h 

Xét phƣơng pháp Runge – Kutta bậc bốn, là phƣơng pháp phổ biến

nhất để giải những bài toán với điều kiện ban đầu cho phƣơng trình vi phân
thƣờng. Ta kí hiệu yi là nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.1 – 2.2) tại xi , yi 1 là
nghiệm xấp xỉ tại xi 1  xi  h . Phƣơng pháp Runge – Kutta dùng để tính
yi 1 gồm các bƣớc sau

yi 1  yi  yi



1 (i )
(i )
(i )
(i)
yi  6  K1  2 K 2  2 K 3  K 4 
trong đó

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

12

(2.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

K1(i )  hf  xi , yi 
h
K1( i ) 

K  hf  xi  , yi 

2
2 

(i )
2

h
K 2( i ) 

K  hf  xi  , yi 
2
2 

(i )
3

K 4( i )  hf  xi  h, yi  K3( i ) 

Lƣợc đồ tính toán đƣợc sắp xếp theo trình tự và trình bày trong bảng 1.
BẢNG 1
i

X

y

K  hf  x, y 

y

0

x0

y0

K1(0)

K1(0)

h
x0 
2

K1(0)
y0 
2

K 2(0)

2K 2(0)

h
x0 
2

K 2(0)
y0 
2

K 3(0)

2K 3(0)

x0  h

y0  K 3(0)

K 4(0)

K 4(0)
y0

1

x1

y1

Từ đây thứ tự tính toán và điền vào bảng sẽ đƣợc thực hiện nhƣ sau:

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Theo điều kiện ban đầu ta có x0 , y0
1. Tính f  x0 , y0  , sau đó tính K10 .

h
K1 0
2. Tính x0  , sau đó tính y0 
.
2
2
h
h

0
3. Tính f  x0  , y 0   , sau đó tính K2  .
2
2


h
K 2 0
4. Tính x0  , y0 
.
2
2

K 2( 0) 
h

 , sau đó tính K 3(0) .
5. Tính f  x0  , y0 
2
2



( 0)
6. Tính x0  h , y0  K3 .





( 0)
7. Tính f x0  h, y0  K 3 , sau đó tính K 4(0) .

8. Điền vào cột y các số K10 , 2K 2  , 2K 3(0) , K 4(0) .
0

9. Tính tổng các số trong cột y chia cho 6 ta đƣợc y0 .
10. Tính y1  y0  y0 .
Tính toán đƣợc lặp lại theo sơ đồ trên với điểm  x1 , y1  , trong đó

 x , y  đóng vai trò nhƣ  x , y  .
1

1

0

0

Có thể thay đổi giá trị của bƣớc h khi chuyển từ điểm này sang điểm
tiếp theo. Có thể dùng đại lƣợng sau để kiểm tra và thay đổi bƣớc h nếu cần
thiết

K 2i   K3i 
  i 
K1  K 2i 

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

14

(2.4)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nếu   a102 ,(0  a  10) thì chọn bƣớc chia bằng h, trong trƣờng
hợp ngƣợc lại phải giảm h.
Sai số của nghiệm có bậc tƣơng đƣơng h 4 trên toàn đoạn  x0 , X  .
2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1
Giải bài toán sau bằng phƣơng pháp Runge – Kutta
1
y  x  y 2 , y(0)  1
3

trên đoạn  0;1 , với h  0, 2 .
Lời giải
Kết quả tính toán đƣợc cho trong bảng sau
BẢNG 2

f  x, y 

K
hf  x, y 

y

0,33333

0,06667

0,06667

0,1 -0,96667

0,62771

0,12554

0,25108

0,1 -0,93723

0,60903

0,12181

0,24362

0,2 -0,87819

0,70429

0,14086

0,14086

i

x

y

1
 x  y2
3

0

0

-1

0,19948

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

15



K 2  K3

K1  K 2

0,04045


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1 0,2 -0,80052

0,66082

0,13216

0,13216

0,3 -0,73444

0,72752

0,14550

0,29100

0,3 -0,72777

0,72427

0,14485

0,28970

0,4 -0,65567

0,77576

0,15515

0,15515

0,00818

0,24145
2 0,4 -0,55907

0,73664

0,14733

0,14733

0,5 -0,48541

0,78565

0,15713

0,31426

0,5 -0,48051

0,78407

0,15681

0,31362

0,6 -0,40226

0,82853

0,16571

0,16571

0,00383

0,26147
3 0,6 -0,29760

0,80412

0,16082

0,16082

0,7 -0,21719

0,85238

0,17048

0,34095

0,7 -0,21236

0,85169

0,17034

0,34068

0,8 -0,12726

0,89983

0,17997

0,17997

0,00150

0,28401
4 0,8 -0,01359

0,89449

0,17889

0,17889

0,9

0,07586

0,95060

0,19012

0,38024

0,9

0,08147

0,95089

0,19018

0,38036

1

0,17659

1,01039

0,20208

0,20208
0,31703

5

1

0,30344

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

16

0,00059


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ví dụ 2
Giải bài toán sau bằng phƣơng pháp Runge – Kutta
y  x  y ,

y  0  1,5

trên đoạn  0,1 với h = 0,2.
Lời giải
Kết quả tính toán đƣợc trình bày trong bảng sau
BẢNG 3
i

x

y

f  x, y 

K  hf  x, y 

y

 x y

0

0

1,5

1,5

0,3

0,3

0,1

1,65

1,75

0,35

0,7

0,1

1,675

1,775

0,355

0,71

0,2

1,855

2,055

0,411

0,411



K 2  K3
K1  K 2

0,025

0,5885

1

0,2

2,0885

2,2885

0,4577

0,4577

0,3

2,31735

2,61735

0,52347

1,04694

0,3

2,35024

2,65024

0,53005

1,0601

0,4

2,61855

3,01855

0,60371

0,60371

0,02233

0,87925
2

0,4

2,96775

3,36775

0,67355

0,67355

0,5

3,30453

3,80453

0,76091

1,52182

SVTH Hoàng Thị Thu Hà

17

0,02058