Đề thi toán Quốc gia 2

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Giải phương trình :
x31034
−−
= x – 2
Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho tam giác ABC cân tại A . Xét đường tròn (O)
thay đổi qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm O
nằm trên đường thẳng BC . Gọi M , N tương ứng là giao điểm thứ hai của
đường tròn (O) với các đường thẳng AB, AC. Hãy tìm quỹ tích trực tâm H
của tam giác AMN.
Bài 3 : Cho các số nguyên dương m, n với m < 2001, n < 2002. Cho 2001 x
2002 số thực đôi một khác nhau . Điền các số đã cho vào các ô vuông con
của bảng ô vuông kích thước 2001 x 2002 (bảng gồm 2001 hàng và 2002
cột) sao cho mỗi số được điền vào một ô và mỗi ô được điền một số . Ta gọi
một ô vuông con của bảng là ô "xấu" nếu số nằm trong ô đó bé hơn ít nhất m
số nằm cùng cột với nó và đồng thời bé hơn ít nhất n số nằm cùng hàng với
nó .
Với mỗi cách điền số nói trên , gọi s là số ô "xấu" của bảng số nhận
được. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của s .
--------------------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Giả sử a,b,c là các số thực sao cho đa thức :
P(x) = x
3
+ ax
2

+ bx + c
có ba nghiệm thực (các nghiệm không nhất thiết đôi một khác nhau)
Chứng minh rằng :
12ab + 27c
≤
6a
3
+ 10(a
2
- 2b)
2
3
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình :
x + y + u + v = n
xyuv

có nghiệm nguyên dương x,y,u,v
Bài 6 : Xét phương trình :
1
1
−
x
+
14
1
−
x
+ … +
1

1
2
−
xk
+ … +
1
1
2
−
xn
=
2
1
trong đó n là tham số nguyên dương .
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu
trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1; kí hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2/ Chứng minh rằng dãy số {
n
x
} có giới hạn bằng 4 khi n
→
+∞
--------------------------------