Đề thi toán QUốc gia lần 6

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho số thực c >2 . Dãy số (x
n
) , n=0,1,2,…, được xây dựng theo
cách sau :
x
0
=
c
, x
1
+
n
=
n
xcc
+−
(n=0,1,2,…)
nếu các biểu thức dưới căn là không âm.
Chứng minh rằng dãy (x
n
) được xác định với mọi giá trị n và tồn tại
giới hạn hữu hạn limx
n
khi n
∞→
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O
1
,r

1
) và (O
2
,r
2
). Trên
đường tròn (O
1
,r
1
) lấy một điểm M
1
và trên đường tròn (O
2
,r
2
) lấy một
điểm M
2
sao cho đường thẳng O
1
M
1
cắt đường thẳng O
2
M
2
tại một
điểm Q. Cho M
1

chuyển động trên đường tròn (O
1
,r
1
) , M
2
chuyển động
trên đường tròn (O
2
,r
2
) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc
như nhau .
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M
1
M
2
.
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M
1
QM
2
luôn đi
qua một điểm cố định .
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x
3
- 9x
2
+ 24x – 27

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại một số
nguyên dương a
n
sao cho P(a
n
) chia hết cho 3
n
.
-----------------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 0<α<π. Tìm tam thức bậc hai bậc hai dạng f(x)
= x
2
+ ax + b (a,b là số thực ) sao cho với mọi n>2 đa thức :
P
n
(x) = x
n
sinα – xsin(nα) + sin(n-1)α
chia hết cho f(x)
Bài 5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp các mặt đều
bằng nhau . Chứng minh rằng các cạnh đốì diện của tứ diện ABCD bằng
nhau.
Bài 6 : Tìm tất cả các hàm số f(x) thoả mãn điều kiện :
x
2
.f(x) + f(1-x) = 2x - x
4

với mọi số thực x.
-----------------------------