Đề thi toán Quốc gia lần 3

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R
1
) và (O,R
2
) có
R
1
>R
2
. Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh
A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R
1
) và giao điểm của hai đường chéo
AC,BD nằm trên đường tron (O,R
2
). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai
đường thẳng AD và BC .
Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và
thoả mãn hệ thức :
f(y – f(x)) = f(x
2002
- y) – 2001y.f(x)
với mọi số thực x, y.
Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T
là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X
thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt :
m =
||

)(
T
Xm
∑

ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T .
Hãy tính giá trị của m.
(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)
----------------------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý . Chứng minh rằng :
6(a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)≤ 27abc + 10(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
3
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 : Xét phương trình :

x2
1
+
1
1
−
x
+
4
1
−
x
+ … +
2
1
kx
−
+ … +
2
1
nx
−
= 0
trong đó n là tham số nguyên dương .
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu
trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x
n
.
2/ Chứng minh rằng dãy số (x
n

) có giới hạn hữu hạn khi n
+∞→
Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện :
C
n
n2
= (2n)
k
trong đó k là số các ước nguyên tố của C
n
n2
.
(C
n
n2
kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử)
----------------------------------