Đề thi toán Quốc gia lần 7

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O
1
) và ( O
2
) cắt nhau tại hai
điểm A, B và P
1
P
2
là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P
1
∈
(O
1
), P
2
∈
(O
2
)). Gọi M
1
và M
2
tương ứng là hình chiếu vuông góc của P
1

và P
2

trên đường thẳng O
1
O
2
. Đường thẳng AM
1
cắt (O
1
) tại điểm thứ
hai N
1
, đường thẳng AM
2
cắt (O
2
) tại điểm thứ hai N
2
. Hãy chứng minh
N
1
,B,N
2
thẳng hàng .
Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a,
b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a
n
6
+ b
n
6

.
Hãy tìm số dư trong phép chia p
n
6
+ q
n
6
cho 6.(12)
n
.
Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x
n
}, n
∈
N, được xác định
bởi:
x
0
= a và x
1
+
n
= x
n
+ b.sinx
n
với mọi n
∈
N.
1/ Cho b = 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {x

n
} có giới
hạn hữu hạn khi n
∞→
. Hãy tính giới hạn đó theo a.
2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a
sao cho dãy {x
n
} tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n
∞→
.
( N là tập hợp các số tự nhiên)
-----------------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :









≥+
≥+
<≤
52103

6 3z x
}3,2{xmin
2
1
zy
yz
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P(x,y,z) =
222
321
zyx
++
Bài 5 : Cho hàm số g(x) =
2
1
2
x
x
+
. Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định ,
liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức :
(1 - x
2
).f(g(x)) = (1 + x
2
)
2
.f(x)
với mọi x
∈

(-1;1).
Bài 6 : Cho số nguyên n
≥
1. Xét hoán vị (a
1
,a
2
,…,a
n2
) của 2n số nguyên
dương đầu tiên sao cho các số |a
1
+
i
- a
i
|, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác
nhau . Chứng minh rằng a
1
- a
n2
= n khi và chỉ khi 1
≤
a
k2
n
≤
với mọi k =
1,2,…,n.
-----------------------------