Nguyen ham tich phan ung dung

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.51 KB, 13 trang )

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Tài liệu được biên soạn trong thời gian ngắn nên không tránh khỏi những sai sót. Mong quý thầy cô
và các em học sinh thông cảm và góp ý những chỗ sai để chỉnh sửa lại cho tài liệu được hoàn chỉnh.
Chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
PHẦN 1. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
 Nhắc lại : Vi phân của hàm số y = f(x) là: dy = df(x) = f’(x)dx
 Cho hàm số f(x) xác định trên K (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn của ¡ ). Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x  K
 Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C  ¡ gọi là họ các nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K. Kí hiệu:  f ( x)dx = F(x) + C.

  f ( x)dx

Chú ý:

'

  F ( x)  C   f ( x)
'

2. Tính chất
  f '( x)dx  f ( x)  C
Chú ý:



  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k  0)

f ( x)g( x)dx   f ( x)dx. g( x)dx ;





  f ( x)  g( x)dx   f ( x)dx   g( x)dx

f ( x)dx
f ( x)
dx  
.
g( x)
 g( x)dx

3. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
  0dx  C
  dx  x  C
x 1
 C,
 1




 x dx 



 xdx  ln x  C

ax
 C (0  a  1)
ln a
  cos xdx  sin x  C
  ax dx 

(  1)

1

  ex dx  ex  C
1
  cos(ax  b)dx  sin( ax  b)  C (a  0)
a
1
  sin(ax  b)dx   cos( ax  b)  C ( a  0)
a

  sin xdx   cos x  C
1



 cos2 xdx  tan x  C





1
sin2 x

dx   cot x  C

1 ax b
e
 C, (a  0)
a
1
1
 
dx  ln ax  b  C
ax  b
a
  eax bdx 

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a)Phương pháp đổi biến số: Nếu  f (u)du  F (u)  C và u  u( x) có đạo hàm liên tục thì

 f  u( x) .u '( x)dx  F  u( x)  C

a)Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

 udv  uv   vdu
Loại 1 : Khái niệm nguyên hàm

 Nhắc lại : Vi phân của hàm số y = f(x) là: dy = df(x) = f’(x)dx
 Cho hàm số f(x) xác định trên K (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn của ¡ ). Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x  K

 Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C  ¡ gọi là họ các nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K. Kí hiệu:  f ( x)dx = F(x) + C.
Chú ý:

  f ( x)dx

'

  F ( x)  C   f ( x)

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

'

1

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Câu 1. Hàm số F(x) = x5 + 5x3 – x + 2 là nguyên hàm của hàm số nào?
4
2
4
2
A. f ( x)  x  5 x  1 .
B. f ( x)  5 x  15 x  1 .
x5
x4 x2
 5   2x .

D. f ( x)  5 x 4  15 x 2  1 .
6
4
2
Câu 2. Hàm số F ( x)  ln x  5 là nguyên hàm của hàm số nào?

C. f ( x) 

A. f ( x) 

1
.
x5

B. f ( x)  x ln x  4 x .

1
1
.
D. f ( x)   5 x  C .
x
x
5
3
Câu 3. Hàm số F(x) = x + 5x – x + 2 là nguyên hàm của hàm số nào?
4
2
4
2
A. f ( x)  x  5 x  1 .

B. f ( x)  5 x  15 x  1 .

C. f ( x) 

C. f ( x) 

x5
x4 x2
 5   2x .
6
4
2

4
2
D. f ( x)  5 x  15 x  1 .

3x 2
 sin 5 x là nguyên hàm của hàm số nào?
Câu 4. Hàm số F ( x)  e
3 x 1
 5cos 5 x .
A. f ( x)  (3x  2)e

3x2
ln 3  5cos 5 x .
B. f ( x)  3e

1 3x2 1
3x 2

e
 cos 5 x  C .
 5cos 5 x .
D. f ( x)  3e
3
5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 5. Hàm số F ( x)  2 ln x  ln(1  cos 3 x) là nguyên hàm của hàm số nào?

C. f ( x) 

A. f ( x) 

2 3s in3x

.
x 1  cos 3 x

B. f ( x) 

2
s in3x

.
x 1  cos 3 x

2 3s in3x
s in3x

.
D. f ( x) 

.
x 1  cos 3 x
1  cos 3 x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 x 1
x
Câu 6. Hàm số F ( x)  3  e  4 là nguyên hàm của hàm số nào?

C. f ( x) 

5 x 1
x
A. f ( x)  5.3 .ln 3  e .

1 5 x 1
x
B. f ( x)  .3 .ln 3  e .
5

5 x 1
x
C. f ( x)  5.3  e .

5 x 1
x
D. f ( x)  5.3 .ln 3  e  C .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 7. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) 

x2  2x
?

( x  1) 2

x2  x 1
x2  x  1
x2
x2  x  1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x 1
x 1
x 1
x 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Câu 8. Tìm m để F ( x)  mx  (2m  1) x  5 là nguyên hàm của hàm số f ( x)  4 x  5 ?

A. m  1 .
B. m  3 .
C. m  2 .
D. m  4 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
x
Câu 9. Tìm a,b,c để F ( x)  (ax2  bx  c)ex là nguyên hàm của hàm số f ( x)  ( x  x  3)e ?

A. a  1, b  1, c  2 .

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

B. a  1, b  1, c  2 .
2

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
C. a  1, b  1, c  2 .
D. a  1, b  3, c  2 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 2 : Vận dụng bảng nguyên hàm và tính chất
1) Tính chất
  f '( x)dx  f ( x)  C
Chú ý:

  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k  0)
f ( x)

 f ( x)g( x)dx   f ( x)dx. g( x)dx ;  g( x) dx 



  f ( x)  g( x)dx   f ( x)dx   g( x)dx

 f ( x)dx .
 g( x)dx

2) Bảng nguyên hàm: F(x) là 1 nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x)
1

1

 f ( x)dx  a F ( x)  C

 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C

0dx C

 dx  x  c,  kdx  kx  C

 x dx 



x 1
 C,(  1)
 1

1 (ax  b)1
 (ax  b) dx  a .   1  C,(  1)


dx
 Ln x  C,(x  0)
x
dx

x

1

1
   C,(x  0)
x

2

 e dx  e
x

x

dx

1 1
 .
 C,(x   b/ a)
a ax  b
1 ax  b
ax  b
 e dx  a e  C
1 amx  n
mx  n
 a dx  m . Lna  C
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C
1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C
dx
1
 cos2 (ax  b)  a tg(ax  b)  C
dx
1
 sin2 (ax  b)   a cot g(ax  b)  C
1
 tan(ax  b)dx   a ln cos(ax  b)  C
1
 cot(ax  b)dx  a ln sin(ax  b)  C

 (ax  b)

C

ax
 C,(0  a  1)
lna
 cosxdx  sin x  C
x
 a dx 

 sin xdx   cosx  C
dx
 cos x  tgx  C
2

dx

 sin

2

x

1

 ax  bdx  a Ln ax  b  C,(x  b/ a)

  cot gx  C

 tan xdx   ln cosx  C
 cot xdx  ln sin x  C

2

2
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x  x  3 là?

x2
 3x  C .
2
3
2
D. F ( x)  x  x  3 x  C .

A. F ( x)  6 x  1  C .

B. F ( x)  x 3 

3
2
C. F ( x)  3x  x  3 x  C .

3
2
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x  5 x  2 x  3 là ?

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

3

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
A. F ( x) 

3 4 5 3
x  x  x 2  3x  C .
4
3

4
3
2
B. F ( x)  3 x  5 x  x  3 x  C .

D. F ( x ) 

C. F ( x)  9 x 2  10 x  2  C .

3 4 5 3
x  x  2 x 2  3x  C .
4
3

Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  ( x  1)( x  1) là ?
 x2
  x2

A. F ( x)    x    x  C .
 2
 2


B. F ( x)  2 x  C .

x3
 xC .
C. F ( x) 
3

D. F ( x)  x 2  x  C .

2
Câu 13. F(x) là nguyên hàm của hàm số f ( x )  (2 x  1) . Chọn đáp án sai?

A. F ( x) 

4 x3
 2x2  x  C .
3

B. F ( x) 

C. F ( x ) 

4 x3
 2 x 2  x  5C .
3

D. F ( x)   x 2  x   C .
2

Chú ý:

 Nếu   1 thì
 Nếu   1 thì

dx

  ax  b 



1
3
 2 x  1  C .

6

dx

  ax  b 



1
ln ax  b  C (đã có trong bảng nguyên hàm).
a

dx

  ax  b      ax  b 



1  ax  b 
dx 
a
 1

 1

C .

  2 thì có thể áp dụng nhanh công thức trong bảng nguyên hàm

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

A. F ( x)  

1
C .
x

1
3

là ?
2x+3 (3x  2)2

x
3x

C .
x  3x  3x  2  3

B. F ( x)  ln 2x+3 

C. F ( x) 

x
27

C .
x  3x  3x  2  3

D. F ( x) 

2

2

3
C .
3x  2

1
1
ln 2x+3 
C .
2
3x  2

x2  2 x  3
là ?
x

x2
 x 2  3x
2
C .
A. F ( x ) 
x2
2

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

1

C .
x

D. F ( x)  2 x ln x  3 x ln x  1 

A. F ( x) 

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1
1
 .
C
a ax  b

B. F ( x)  2 ln x  3ln( x  1) 

1
C .
x

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 

2

2
3
1

 2 là ?

x x 1 x

2
3
1

 C .
2
2
x
 x  1 x

C. F ( x)  2 ln x  3ln x  1 

dx

  ax  b 

x2
3
- 2x  2  C .
B. F ( x) 
2
x

4

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
C. F ( x) 

x2
- 2 x  3ln x  C .
2

D. F ( x)  1 

3
C .
x2

x2 - 2 x  3
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
là ?
x -1
x2
2
x
C .
B. F ( x) 
2
( x  1) 2

x2
A. F ( x) 
 x  2 ln x  1  C .
2

C. F ( x)  1 

2
C .
( x  1) 2

D. F ( x)   x  1  2 ln x -1  C .
2

Chú ý: Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ có bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta thực hiện phép chia đa
thức tử cho mẫu.
Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. F ( x) 

2x  2
là ?
2 x -1

6
C .
(2 x  1) 2

C. F ( x)  

B. F ( x) 

4
C .
(2 x  1) 2

x2
C .
x -1

3
D. F ( x)  x  ln 2 x -1  C .
2

2 x 1
 e x  3e x là ?
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2e
2 x 1
 e  x  3e x  C .
A. F ( x)  4e

2 x 1
 e  x  3e x  C .
B. F ( x)  2e

2 x 1
 e  x  3e x  C .
C. F ( x)  e

2 x 1
 e  x  3e x  C .
D. ( x)  e

2 x 1

Câu 20. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2.5

2
 2 x là ?
3x

A. F ( x)  4.52 x 1.ln 5  2.3 x.ln 3  2 x.ln 2  C .

B. F ( x) 

52 x 1
3 x
2x
 2.

C .
ln 5
ln 3 ln 2

52 x 1
3 x
2x
52 x 1
3 x
2x
 2.

C .
 2.

C .

D. F ( x)  2.
ln 5
ln 3 ln 2
ln 5
ln 3 ln 2
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos x  2 cos 3x  cos(2 x  1) là ?

C. F ( x)  4.

2
1
A. F ( x)  sin x  sin 3 x  sin(2 x  1)  C .
3
2
C. F ( x)  - sin x  6sin 3 x  2sin(2 x  1)  C .

2
1
B. F ( x)  - sin x  sin 3 x  sin(2 x  1)  C .
3
2
D. F ( x)  sin x  6sin 3x  2sin(2 x  1)  C .

Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin x  3sin 3 x  sin(2 x  1) là ?
A. F ( x)  cos x  9 cos 3 x  2 cos(2 x  1)  C .

B. F ( x)  - cos x  9 cos 3x  2cos(2 x  1)  C .

1
1

C. F ( x)   cos x  cos3 x  cos(2 x  1)  C .
D. F ( x )  cos x  cos 3x  cos(2 x  1)  C .
2
2
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan x  tan 5 x là ?

A. F ( x) 

1
5

C .
2
cos x cos 2 5 x

B. F ( x)  -

1
5
 2
C .
2
sin x sin 5 x

1
1
C. F ( x)  ln sin x  ln sin 5 x  C .
D. F ( x)   ln cos x  ln cos 5 x  C .
5
5

Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  cot x  cot 3 x là ?

A. F ( x) 

1
3

C .
2
cos x cos 2 3 x

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

B. F ( x)  -

5

1
3
 2 C .
2
sin x sin 3x

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
1
C. F ( x)  ln sin x  ln sin 3x  C .
3

1
D. F ( x)   ln cos x  ln cos 3 x  C .
3

Câu 25. Khẳng định nào sau đây sai?
1
1

2
A.  sin xdx   x  sin 2 x  C .
2
2

C.

 tan

2

xdx  tan x  x  C .

B.

 cos

2

D.

 cot

2

1
1

xdx   x  sin 2 x  C .
2
2

xdx  cot x  x  C .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chú ý:



n

mn

m
n

x n
n
x m dx   x dx 
C 
x n xm  C
mn

mn
n

Câu 26. Khẳng định nào sau đây sai?
3 3
2
3
A.  ( x 2  x )dx  x x 2  x x  C .
5
3
1 x

33 2 6 6
x  x x C .
2
7

C.



A.

 (cot x  2 tan x)

3

dx 

B.



D.

 x(

B.

 (1  tan x)

5

(2 x  3) 2 dx 

5
(2 x  3) 5 (2 x  3) 2  C .
14

2
3
x  3 x )dx  x 2 x  x 3 3 x  C .
5
7

x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 27. Khẳng định nào sau đây sai?
2

dx  4 tan x  cot x  9 x  C .

2

dx  tan x  2 ln cos x  C .

1
dx  x  cos 2 x  C .
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 28. Khẳng định nào sau đây sai?
1 1
11


A.  sin 3 x.cos xdx    cos 4 x  cos 2 x  C .
B.  cos 2 x.cos xdx   s in3x  sin x  C .
4 2
23



C.

 (2  cot x)

2

dx  3 x  cot x  4 ln sin x  C .

D.

 (sin x  cos)

2

1
1
1
1
C.  sin 4 x.sin xdx  sin 3 x  sin 5 x  C .
D.  cos 3 x.sin xdx  cos 4 x  cos 2 x  C .
6
10
8
4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Câu 29. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (sin x  3cos x) là

A.

1
3
 sin x  3cos x   C .
3

B.

3
C. 5 x  cos 2 x  2sin 2 x  C .
2

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

1
3
 sin x  3cos x   C .
9

3
D. 5 x  cos 2 x  2sin 2 x  C .
2

6

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 3: Phương pháp đồng nhất thức
Dạng 1: Tính

P ( x)

 Q( x) dx , trong đó P(x), và Q(x) là các đa thức

Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x) thì

P( x)
được phân tích như sau:

Q( x)

P( x)
A
B


Q( x) ax  b cx  d
P( x)
A
B


TH: Q(x) =(ax + b)2 thì
Q( x) ax  b  ax  b 2
TH: Q(x) = (ax + b).(cx + d) thì

P( x)
A
Bx  C

 2
Q ( x) x   x  px  q
P( x)
A
B
C




 TH: Q(x) = ( x   )( x   ) 2 thì
Q ( x) x   x   ( x   ) 2

TH: Q(x) = ( x   )( x 2  px  q) với   p 2  4q  0 thì

Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng Q(x) thì ta chia đa thức P(x) cho Q(x), rồi làm tiếp như trên.
1
1  1
1 
dx
1
x b



.ln
C
Chú ý:

 
( x  a)( x  b) a  b  x  b x  a 
( x  a)( x  b) a  b
xa
a sin x  b cos x
dx . Ta phân tích
Dạng 2: 
e sin x  f cos x
a sin x  b cos x A(e sin x  f cos x)  B(e cos x  f sin x)

e sin x  f cos x

e sin x  f cos x
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
A.

1
. Chọn đáp án sai?
( x  2)( x  3)

1 x2
ln
C .
5 x3

1 x3
C .
B.  ln
5 x2

1 x3
1
1
C .
ln x  2  ln x  3  C .
D. ln
5 x2
5
5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 31. Khẳng định nào sau đây sai?
2x  3
5

11
2x  3
7
dx  ln x  1  ln 3 x  1  C .
dx  2 ln x  2 
C .
A.  2
B.  2
3x  4 x  1
2
6
x  4x  4
x2

C.

C.

3
3
x 1
 ( x  3)( x  1) dx  2 ln x  3  C .

D.

2x

  x  3

3

dx  

2
3

C .
x  3 ( x  3) 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 32. Khẳng định nào sau đây đúng?
sin x  3cos x
3sin x  4 cos x
dx  x  3ln sin x  C .
dx  4 x  3ln cos x  C .
A. 
B. 
sin x
cos x
Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

7

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
C.

9 cos x  7 sin x
2 cos x

dx  2  3ln sin x  3cos x  C .
dx  x  ln sin x  cos x  C .
D. 
sin x  cos x
sin x  cos x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Loại 4: Nguyên hàm có điều kiện
Tính G ( x)   f ( x)dx thỏa G(x0) = K ( K là hằng số)

Tính G(x) = F(x) + C

G(x0) = K  F(x0) + C = K  C = K – F(x0)  G(x) = F(x) + K – F(x0).
Câu 33. Cho hàm số f ( x)  3  2 x . Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thỏa F(1) = 7 thì
2
A. F ( x)  3x  x  7 .

2
B. F ( x)  3x  x  3 .

2
C. F ( x)  3x  x  4 .

2
D. F ( x)  3x  x  5 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
3

Câu 34. Cho hàm số f ( x )  2  4 x  x  4 x . Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thỏa F(0) = 5 thì
x3
A. F ( x )  2 x  2 x   x 4 .
3

x3
B. F ( x)  2 x  2 x   x 4  3 .
3

2

2

x3
x3
 x4  2 .
D. F ( x)  2 x  2 x 2   x 4  5 .
3
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C. F ( x)  2 x  2 x 2 

Câu 35. Cho hàm số f ( x) 
A. F ( x )  3x  4 ln x 

3x 2  4 x  1
. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thỏa F(1) = 2 thì
x2

1
.
x

B. F ( x)  3 x  4 ln x 

1
2.
x

1
1
1 .
D. F ( x)  3x  4 ln x   3 .
x
x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C. F ( x)  3x  4 ln x 

Câu 36. Cho hàm số f ( x) 

3x 2  4 x  2
. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thỏa F(2) = 5 thì
x 1

2
A. F ( x)  3x  x  ln x  1 

1

2 .
x

2
B. F ( x)  3x  x  ln x  1 

1
.
x

1
1
3.
D. F ( x)  3x 2  x  ln x  1   1 .
x
x
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 x
5
Câu 37. Cho hàm số f ( x)  5 . Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thỏa F(1) = . Giá trị F(2) =?
x
6

C. F ( x)  3x 2  x  ln x  1 

A.

97
95
31
.

B.
.
C. 1 .
D.
.
96
96
32
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

8

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4
Câu 38. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  2ax  5bx . Biết F(1) = 2, F(2) =1, F(-1) = 5
A. F ( x) 

91 2 3 5 35
x  x  .
6
2
3

B. F ( x) 

91 2 3 5
x  x  10 .
6
2

91 2 3 5
91
3
x  x  11 .
D. F ( x)  x 2  x 5  2 .
6
2
6
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Câu 39. Cho F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f ( x)  1  2 x  3 x thỏa F(1) = 2. Tính F(0) + F(-1)

C. F ( x ) 

A.-3.
B.-4.
C.3.
D.4.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

Câu 40. Gọi F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f ( x)  s in2x thỏa F(0) = . Tính F( )
2
2
3
5

A. .
B. 2 .
C. .
D.3.
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------'
Câu 41. Tìm hàm số f(x), biết là f ( x )  2  3cos 5 x thỏa f ( )  1 .
3
B. f ( x)  2 x  sin 5 x  1  2 .
5

A. f ( x)  15sin 5 x   .

3
3
C. f ( x)  2 x  sin 5 x  2 .
D. f ( x)  2 x  sin 5 x  1  2 .
5
5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 5: Phương pháp đổi biến
'
Dạng 1:  f  u( x) u ( x)dx.

Phương pháp:
Đặt t  u' ( x) (vay nợ)  dt  u' ( x)dx 
Vậy

 f  u( x) u ( x)dx.  F  u( x)  C
'

 f  u( x) u ( x)dx.   f (t)dt  F(t)  C
'

(trả nợ)

Một số dạng hay gặp

 f (a  b sin x) cos xdx.
 f (a  b cos x)sin xdx.

Đặt t = a + bsinx
Đặt t = a + bcosx

1
x) dx.
x
f(x) chỉ chứa 1 lượng căn n ax  b
1
 f (a  b tan x) cos2 x dx.
1
 f (a  b cot x) sin2 x dx.
x
x
 f (a.e  b)e dx.

Đặt t = m + n loga x

 f (m  n log

a

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

Đặt t = n ax  b
Đặt t = a + b tan x
Đặt t = a + b cot x
Đặt t = a.ex  b
9

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
Câu 42. Chọn mệnh đề sai?
A.

(1  2sin x) 1  2sin x
1  2sin x .cos xdx 
C .
3



B.

  1  sin x 

3

 1  sin x 

cos xdx  

4

4

C .

1
cos 2 x
1
dx  ln 1  2sin 2 x  C .
.cos xdx  e35sin x  C .
D. 
5
1  2sin 2 x
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 43. Chọn mệnh đề sai?
sin x
1
2

2 cos3 x cos5 x 
2
dx  
C .


A.   1  cos x  .s inxdx    cos x 
2
 C . B. 
1

cos
x
3
5
1

cos
x





C.

C.

e

3  5sin x

sin 2 x

  1  cos x 

3

dx 

2
1

C .
1  cos x  1  cos x  2

D. 


1  2cos x sin 2 xdx 

1  2 cos x
3

 
3

1  2 cos x



5

5

C

.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 44. Chọn mệnh đề sai?

 1  5e 
dx  

x 6

A.

  1  5e 

C.

5
x
 1  3e x dx   5ln 3  e  C .

x 5

.e

x

30

C .

2
5





5

2
3





3

B.



D.

e2 x
1
1
 (1  e x )5 dx  4(1  e x )4  3(1  e x )3  C .

1  e x .e 2 x dx 

1  ex



1  ex

C .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 45. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

  1  sin x 

3

cos xdx 

 1  sin x 

4

4

C .

B.

1  ln 2 x

ln 3 x
dx  x 
C .
C. 
x
3

D.

  1  2e 

x 5



 1  2e 
e dx 

x 6

x

1  x 2 xdx 



12

1  x2



C .

3

C .

3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 46. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1  tan x
tan 2 x
dx  tan x 
C .
A. 
cos 2 x
2

C.

B.



cos x 1  cot x
dx  
sin 3 x
2



1  cot 2 x
3



3

C .

1
1
dx  tan x  C .
2
.cos x
e
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

e

1 x 2

2

xdx  e1 x  C .

Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

D.

10

e

tan x

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 47. Mệnh đề nào sau đây sai?
1 x
1 x
(1  x) 2018 (1  x) 2017
dx 
 1  x  ln 1  1  x  C .

C .
A. 
B.  (1  x) 2016 .xdx 
2
1 1 x
2018
2017
C.


1  x .x dx 

1  x2

 
5

1  x2



3

2

3

D.



3  x3



4

C.
5
5
4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



C .

3



3

3  x3 .x 2 dx 

m
n
Chú ý:  sin x.cos xdx

 Nếu m lẻ thì đặt t = cosx  Nếu n lẻ thì đặt t = sinx
Câu 48. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.  sin 5 x.cos xdx 

sin 6 x
C .
6

 Nếu m, n đều chẵn thì ta hạ bậc.
B.

sin x
1
dx 

C .
4
x
3cos3 x

 cos

1
1
sin 6 x sin 8 x
2
2

C .
D.  sin x.cos xdx  ( x  sin 4 x )  C .
8
4
6
8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C.  s in 5 x.cos3 xdx 

Loại 6: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần  udv  u.v   vdu
Dạng 1:  P( x).Q( x)dx. Nhưng chưa tìm được nguyên hàm

Để làm dạng này ta tạm định nghĩa các nhòm hàm như sau:
n
n
Nhóm hàm lôgarit  ln f ( x),loga f ( x) .(Chưa có nguyên hàm)

2
n
Nhóm hàm đa thức: f ( x)  a0  a1x  a2 x  ...  an x .(Có nguyên hàm yếu)

Nhóm hàm lượng giác:  sin(ax  b),cos(ax  b) .(Có nguyên hàm )

mx  n
mx n
Nhóm hàm mũ:  e , a  . (Có nguyên hàm)
Phương pháp:
Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau.
Cách giải: Ưu tiên nhóm hàm chưa có nguyên hàm đặt là u, còn lại là dv. Từ đó ta có cách đặt u của
các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp tuân theo câu thần chú sau:
Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ.
1 
 1
Ngoài ra các dạng :   (ax  b).  2 , 2 dx  Đặt u = ax + b
 cos x sin x 
n
log a f ( x)
n

 ña dx  Đặt u = log a f ( x)

Câu 49. Mệnh đề nào sau sai?

 x sin xdx   x cos x  sin x  C .
C.  (3 x  2)e dx  (3 x  1)e  C .

 (2 x  1) cos xdx  (2 x  1) sin x  2cos x  C .

D.  ln xdx  x ln x  x  C .

A.

x

B.

x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

11

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 50. Mệnh đề nào sau sai?
2 x 2 cos 2 x  2 x sin 2 x  cos 2 x
2
x
2
x
B.  ( x  2)e dx   ( x  2 x  4)e  C .
C .
 x sin 2 xdx 
4
ln x
1

1
2
2
C.  2 dx   ln x   C .
D.  ln xdx  x ln x  2 x ln x  2 x  C .
x
x
x
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.

2

2
Câu 51. Cho F(x) =  2x ln(1  x )dx . Khi đó:
2
A. F ( x )  ln  1  x   C .

2
2
B. F ( x)  (1  x ) ln(1  x )  1  C .

2
2
2
C. F ( x)  (1  x ) ln(1  x )  1  x  C .

D.Đáp án khác.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ln(sin x)
dx . Khi đó:
Câu 52. Cho F(x) = 
cos2 x
sin 3 x
C .
A. F ( x)  ln
B. F ( x)  tan x.ln(sin x)  x  C .
cos x
C. F ( x)  tan x.ln(sin x)  x  C .
D.Đáp án khác.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 53. Cho F(x) =  sin xdx . Khi đó:
A. F ( x)  2 x cos x  2sin x  C .

B. F ( x)  2 x cos x  2sin x  C .

C. F ( x)  2 cos x  2sin x  C .

D.Đáp án khác.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x 1
dx . Khi đó:
Câu 54. Cho F(x) = 
cos2 x
A. F ( x)  ( x  1) cot x  ln sin x  C .

B. F ( x)  ( x  1) tan x  ln cos x  C .

C. F ( x)  ( x  1) tan x  ln cos x  C .

D.Đáp án khác.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

12

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1
ĐA
Câu 18
ĐA
Câu 35
ĐA
Câu 52
ĐA

2

3

4

5