Chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn toán lư sĩ pháp (tập 2)

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 12

CHUYÊN ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN – HÌNH HỌC GIẢI TÍCH



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn tập tài liệu ôn thi THPTQG của lớp 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
A. Lí thuyết cần nắm.
B. Trắc nghiệm.
C. Đáp án.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899
Email:
Chân thành cảm ơn.

Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong


MỤC LỤC
Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

01 – 50

Chuyên đề 5. Số phức

51 – 67

Chuyên đề 6. Phương pháp tọa độ trong không gian

68 – 125


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

CHUYÊN ĐỀ 4
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
---o0o--§1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
§1. NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K. Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f ( x ) trên K nếu F '( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Như vậy:

∫ f ( x)dx =F ( x) + C ⇔ F ′( x) = f ( x)

2. Tính chất
∫ f ′( x)dx = f ( x) + C

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

3. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số hợp
đơn giản

1. ∫ 0dx = C
2. ∫ dx = x + C

xα +1
3. ∫ x dx =
+ C (α ≠ −1)
α +1
1
1
+C
4. ∫ α dx = −
x
(α − 1) xα −1

α

2 32
2
x
d
x
=
x +C = x3 +C
∫
3
3
1
6. ∫ dx = ln x + C
x
1
1
7. ∫ 2 dx = − + C
x
x
5.

8.

∫

1
x

dx = 2 x + C , x > 0

9. ∫ e x dx = e x + C
10. ∫ a xdx =

ax
+ C(a ≠ 1, a > 0)
ln a

∫ 0dt = C
∫ dt = t + C

∫ kdx = kx + C

∫ ( ax + b )

α

1 ( ax + b )
dx =
a α +1

α +1

1

+ C (α ≠ 1)

1

∫ ( ax + b )α dx = − a (α − 1)( ax + b )α

∫

ax +bdx =

1

−1

+C

2
(ax +b)3 +C
3a

1

∫ ax + b dx = a .ln ax + b + C
∫
∫

1

( ax + b )
1
ax + b

2

dx = −

dx =

1
+C
a(ax + b)

2 ax + b
+ C , ax + b > 0, a ≠ 0
a

1 ax + b
ax + b
∫ e dx = a .e + C
1 aα x + β
α x+ β
a
d
x
=
.
+ C (a ≠ 1, a > 0)
∫
α ln a
1

11. ∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos ( ax + b ) dx = a .sin ( ax + b ) + C

12. ∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cos ( ax + b ) + C

13.

∫ tan xdx = − ln cos x + C

1

1

∫ tan(ax + b)dx = − a ln cos x + C

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

Nguyên hàm của những
hàm số hợp(với t = t( x ) )

1

t α +1
∫ t dt = α + 1 + C (α ≠ −1)
1
1
∫ t α dt = − (α − 1)t α −1 + C
α

2 32
2
t

d
t
=
t + C = t3 + C
∫
3
3
1
∫ t dt = ln t + C
1
1
∫ t 2 dt = − t + C

∫

1
t

dt = 2 t + C , t > 0

∫ e dt = e
t

t

+C

at
+C
ln a

(a ≠ 1, a > 0)
t
∫ a dt =

∫ cos tdt = sin t + C
∫ sin tdt = − cos t + C
∫ tan tdt = − ln cos t + C

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

14. ∫ cot xdx = ln sin x + C

1

15.

∫ cos

16.

∫ sin

2

x

1

∫ tan

2

x

∫ cot tdt = ln sin t + C

1

∫ cot(ax + b)dx = a ln sin x + C

dx = tan x + C

1
1
∫ cos2 ( ax + b ) dx = a .tan ( ax + b ) + C

∫ cos

dx = − cot x + C

1
1
∫ sin2 ( ax + b ) dx = − a .cot ( ax + b ) + C

∫ sin

xdx = tan x − x + C

1
tan(ax + b) − x + C
a
1
2
18. ∫ cot 2 xdx = − cot x − x + C
∫ cot (ax + b)dx = − a cot(ax + b) − x + C
1
1 x−a
1
1
ax + b
dx =
ln
+C
+C
19. ∫ 2 2 dx = ln
∫
2a x + a
( ax + b)(cx − d )
x −a
ad − bc cx + d
(ax + b) ln(ax + b) − ax
20. ∫ ln xdx = x ln x − x + C
+C
∫ ln(ax + b)dx =
a

x ln x − x
(mx + n)ln(mx + n) − mx
loga (mx + n)dx =
+C
+C
21. ∫ log a xdx =
∫
ln a
m ln a
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a. Phương pháp biến đổi
Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
17.

2

∫ tan

2

(ax + b)dx =

1

dt = tan t + C

2

t

2

t

∫ tan

2

tdx = tan t − t + C

∫ cot

2

tdx = − cot t − t + C

1

dt = − cot t + C

∫ f (u( x ))u '( x )dx = F (u( x )) + C . Lưu ý: Đặt t = u( x) ⇒ dt = u ( x)dx . Khi đó: ∫ f (t )dt = F(t) + C , sau đó
/

thay ngược lại t = u ( x) ta được kết quả cần tìm.
Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có

1

∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u( x ) và v = v( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ u( x )v '( x )dx = u( x ).v( x ) − ∫ u '( x )v( x )dx
Đặt u = f ( x) ⇒ du = f /

∫ udv = uv − ∫ vdu
( x)dx và dv = g ( x )dx ⇒ v = ∫ g ( x )dx = G ( x ) (chọn C = 0)
hay

Lưu ý: Với P( x ) là đa thức
N.Hàm
P( x )e x dx
∫
∫ P( x ) cos xdx hay ∫ P( x )sin xdx
∫ P( x ) ln xdx
Đặt
u
P(x)
P(x)
lnx
x
dv
hay
cos
x
d
x
sin
x

d
x
P
(
x )dx
e dx
Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

2

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2
Câu 1: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3sin x + , x > 0 là.
x
A. ∫ f ( x )dx = −3 cos x + 2 ln x.
B. ∫ f ( x )dx = 3sin x + 2 ln x.

C.

∫ f ( x )dx = −3 cos x + 2 ln x + C.

∫ f ( x )dx = 3sin x + 2 ln x + C.

D.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 + cos x ) .
2

3x
1
− 2 sin x − sin 2 x + C.
2
4
3x
1
f ( x )dx =
+ 2 sin x + sin 2 x + C.
2
4

3x
1
+ 2 cos x + cos 2 x + C.
2
4
1
f ( x )dx = 2 sin x + sin 2 x + C.
4

A.

∫ f ( x )dx =

B.

∫ f ( x )dx =

C.

∫

D.

∫

Câu 3: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos
x

A.

∫ f ( x )dx = 2 sin 2 .

C.

∫ f ( x )dx = 2 sin 2 + C.

x

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.
C.

x
là.
2
1

x

1

x

B.

∫ f ( x )dx = 2 sin 2 + C.

D.

∫ f ( x )dx = 2 sin 2 .

x3 + 1
.
x2 −1
f ( x )dx =

x2
+ ln x − 1 + C .
2

∫

f ( x )dx = x 2 + ln x − 1 + C .

B.

∫

∫

x2
f ( x )dx =
− ln x − 1 + C .
2

D.

∫ f ( x )dx = ln x − 1 + C.

Câu 5: Hãy tính H = ∫

x +1
dx .
( x − 2)( x + 3)

3
2
1
A. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.

5 

3
2
1
C. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.


15 

Câu 6: Hãy tính M = ∫
A. M =

1
ln
2

C. M = ln

1
x 1+ x

x +1 −1
x +1 +1
x +1 −1
x +1 +1

3
2
B. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.



3
2
1
D. H = ln  x − 2 ( x + 3)  + C.


3 

dx .

+ C.

+ C.

B. M = ln
D. M =

x +1 +1
x +1 −1

1
ln
2

+ C.

x +1 +1
x +1 −1

+ C.

Câu 7: Tính I = ∫ cot xdx.
A. I = − ln cos x + C .

B. I = ln cos x + C .

Câu 8: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = ln ( e + 1) + C .

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. I = ln sin x + C .
ex
.
ex + 1

(

D. I = − ln sin x + C .

)

B. F ( x ) = ln e x + 1 + C.
3

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

(

)

D. F ( x ) = x ln e x + 1 + C.

C. F ( x ) = ln e x + C .
3
2

Câu 9: Tính H = ∫ x (1 + x ) dx.

(

A. H = 1 + x 2

)

2
5

(

B. H = 1 + x 2

+ C.

)

5
2

+ C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ f ( x )dx = ln tan x + C.
C. ∫ f ( x )dx = ln sin x + C .
A.

C. H =

1
1+ x2
5

(

)

2
5

+ C . D. H =

1
1+ x2
5

(

)

5
2

+ C.

1
.
sin x cos x
B. ∫ f ( x )dx = ln cot x + C .

D.

∫ f ( x )dx = ln cos x + C.

x
Câu 11: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x sin .
2
x
x
x
x
A. F ( x ) = − x cos + 4 sin + C .
B. F ( x ) = −2 x cos + 4 sin + C .
2
2

2
2
x
x
x
x
C. F ( x ) = −2 cos + 4 sin + C.
D. F ( x ) = 2 x cos + 4 sin + C.
2
2
2
2

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
1

x −1

1

x −1

A.

∫ f ( x )dx = 4 ln x + 3 + C.

C.

∫ f ( x )dx = 2 ln x + 3 + C.

1
.
x + 2x − 3
2

1

x +3
+ C.
x −1

3

x +3
+ C.
x −1

B.

∫ f ( x )dx = 4 ln

D.

∫ f ( x )dx = 4 ln

Câu 13: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x +

π 
2
1

.
biết F   =
2
cos x
4 2

A. F ( x ) = − cos x + tan x + 2 − 1.

B. F ( x ) = sin x + cot x + 2 − 1.

C. F ( x ) = − cos x + tan x + 2.

D. F ( x ) = cos x − tan x + 2 − 1.

Câu 14: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x +

1
e2
biết F (e) = .
x
2

x3
x2
x2
2
A. F ( x ) = + ln x + 1 B. F ( x ) =
+ ln x − 1 C. F ( x ) = x + ln x − 1 D. F ( x ) =
+ ln x
3

2
2

Câu 15: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) =
x 3 23
− .
7
7

A. f ( x ) =

B. f ( x ) =

15 x
và f (1) = 4.
14
5 x 3 23
− .
7
7

C. f ( x ) =

5 x 3 23
+ .
7
7

7
Câu 16: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 2 − x 2 và f ( 2 ) = .

3
3
3
x
x
x3
A. f ( x ) = 2 x − + 1. B. f ( x ) = 2 x + + 1. C. f ( x ) = 2 − + 1.
3
3
3

Câu 17: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 x 4 + 3.

(

A. F( x ) = x + 3
4

)

x + 3 + C.
4

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

(x
B. F ( x ) =

4

4

+3

)

6

D. f ( x ) =

x 3 23
+ .
7
7

D. f ( x ) = 2 x − x 3 + 1.

x4 + 3

+ C.

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

(x
C. F ( x ) =

4

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
+3

x4 + 3

4

Câu 18: Tính K = ∫
A. K =

)

(x
D. F ( x ) =

+ C.

4

+3

)

x4 + 3

3

+ C.

1 + tan x
dx.
cos2 x

2
(1 + tan x ) 1 + tan x + C.
3

1
(1 + tan x ) 1 + tan x + C.
3
2
D. K = (1 + cot x ) 1 + tan x + C.
3

B. K =

C. K = (1 + tan x ) 1 + tan x + C .

(

)

Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 1) x 4 + 3 x là.
x6 x5
3
− + x 3 − x 2 + C.
∫
∫
6

5
2
5
4
x
x
3
C. ∫ f ( x )dx = x 6 − x 5 + x 3 − x 2 + C .
D. ∫ f ( x )dx =
− + x 2 − x + C.
5 4
2
Câu 20: Cho f ( x ), g( x ) là hai hàm số liên tục trên K và k ≠ 0 . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A.

f ( x )dx =

x6 x5
3
− + x3 − x2 .
6
5
2

∫  f ( x ).g( x )dx = ∫ f ( x )dx.∫ g( x )dx.
C. ∫ f ′( x )dx = f ( x ) + C .

∫  f ( x ) ± g( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx.
D. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx.

A.

Câu 21: Hãy tính K = ∫
A. K = 2 ln
C. K =

f ( x )dx =

B.

B.

sin 2 x
dx .
cos x

1 + sin x
− sin x + C.
1 − sin x

B. K = 2 ln

1 1 + sin x
ln
− sin x + C.
2 1 − sin x

D. K =

1 + cos x
+ cos x + C .
1 − cos x

1 1 + cos x
ln
− cos x + C.
2 1 − cos x

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x là.
1

1

1

1

A.

∫ f ( x )dx = 2 x − 4 cos 2 x + C.

C.

∫ f ( x )dx = 2 x + 4 cos 2 x + C.

(

1

1

1

1

B.

∫ f ( x )dx = 2 x − 4 sin 2 x + C.

D.

∫ f ( x )dx = 2 x + 4 sin 2 x + C.

)

Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 − x 2 e2 x .
1

A.

∫ f ( x )dx = 4 (1 − 2 x + 2 x ) e

C.

∫ f ( x)dx = (1 + 2 x − 2 x ) e

2

2

2x

2x

+ C.

+ C.

1

2

1

2

B.

∫ f ( x )dx = 4 (1 + 2 x − 2 x ) e

D.

∫ f ( x )dx = 2 (1 + 2 x − 2 x ) e

2x

2x

+ C.

+ C.

Câu 24: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = xe x .
A. F ( x ) = xe x + e x + C . B. F ( x ) = x − e x + C .

C. F ( x ) = xe x + C .

D. F ( x ) = xe x − e x + C .

Câu 25: Hãy tính E = ∫ (1 + x ) ln xdx.


x2  
x2 
A. E =  x +  −  x +  + C.
2  
4 


x2 
C. E =  x +  ln x + C.
2 




x2 
x2 
B. E =  x +  ln x −  x +  + C.
2 

4 




x2 
x2 
D. E =  x +  ln x +  x +  + C.
2 
4 



Câu 26: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 cos x − 3 x −1 là .
Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

5

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp
A.

∫

C.

∫

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

3x −1
+ C.
ln 3
3x −1
f ( x )dx = −3 cos x −
+ C.
ln 3
f ( x )dx = 3sin x +

B.

∫

D.

∫

3x −1
+ C.
ln 3
3x −1
f ( x )dx = 3 cos x −
+ C.
ln 3

f ( x )dx = 3sin x −

Câu 27: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 4 là.

A.

5

∫ f ( x )dx = 4 x .
5

B.

5

∫ f ( x )dx = 4 x

5

+ C. C.

4

∫ f ( x )dx = 5 x

5

+ C. D.

4

∫ f ( x )dx = 5 x .
5

Câu 28: Tính K = ∫ ( ln x ) dx.
2

A. K = ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C .

B. K = x ( ln x ) − 2 x ln x + x + C .

C. K = x ( ln x ) − x ln x + 2 x + C .

D. K = x ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C .

ln(sin x )
dx .
cos2 x
A. G = ln(sin x ) − x + C .
C. G = tan x.ln(sin x ) + x + C .

B. G = tan x.ln(sin x ) + C .
D. G = tan x.ln(sin x ) − x + C .

2

2

2

2

Câu 29: Hãy tính G = ∫

3 x −9

Câu 30: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e

(

)

2
3 x − 9.e 3 x −9 + e 3 x −9 + C .
3
2
C. F ( x ) =
3 x − 9.e 3 x − 9 + C .
3

A. F ( x ) =

.

B. F ( x ) =

(

3x − 9 − 1 e

)

D. F ( x ) =

2
3

(

3 x − 9.e

3 x −9

3 x −9

+ C.

−e

3 x −9

) + C.

cos3 x
Câu 31: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
.
cos x + 1
1
3
x
3
1
x
A. F ( x ) = x + sin 2 x − sin x − tan + C .

B. F ( x ) = x + sin 2 x + sin x − tan + C.
2
4
2
2
4
2
3
1
x
3
1
x
C. F ( x ) = x + sin 2 x − sin x − tan + C .
D. F ( x ) = x − sin 2 x − sin x − tan + C.
2
4
2
2
4
2

Câu 32: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x x 2 − 5.

(x
A. F ( x ) =

(

2

)

x2 − 5

)

x − 5 + C.

−5

C. F( x ) = x − 5
2

3

+ C.

2

B. F ( x ) =

x2 x2 − 5
+ C.
2

(x
D. F ( x ) =

2

−5

)

4

x2 − 5

+ C.

Câu 33: Tính I = ∫ (1 − x ) dx.
9

A. I = −

(1 − x )10
+ C.
9

Câu 34: Tính H = ∫

B. I = −(1 − x )10 + C .

C. I =

(1 − x )10
+ C.
10

D. I = −

(1 − x )10
+ C.
10

e tan x
dx .
cos2 x

A. H = ecot x + C.

1 tan x
e + C.
2

B. H = etan x + C.

C. H =

B. I = − ln cos x + C .

C. I = ln cos x + C .

D. H = e− tan x + C.

Câu 35: Tính I = ∫ tan xdx.
A. I = − ln sin x + C .

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

6

D. I = ln sin x + C .

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

Câu 36: Hãy tính I = ∫ esin x cos xdx.
A. I = esin x + C.

B. I = ecos x + C.

C. I = esin x .cos x + C.

Câu 37: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = tan x − cot x + C .
C. F ( x ) = tan x + cot x + C .

D. I = −esin x + C.

1
.
sin x cos2 x
B. F ( x ) = sin x + cos x + C .
D. F ( x ) = sin x.cos x + C .

2

2

Câu 38: Hàm số F( x ) = e x là một nguyên hàm của hàm số.
2

2 x2

A. f ( x ) = x e − 1.

ex
.
C. f ( x ) =
2x

B. f ( x ) = e .
2x

2

D. f ( x ) = 2 xe x .


e− x 
Câu 39: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e  2 + 2  .
sin x 

A. F ( x ) = 2e x + tan x + C .
B. F ( x ) = 2e x + cot x + C .

x

C. F ( x ) = 2e x − tan x + C .

D. F ( x ) = 2e x − cot x + C .

2

Câu 40: Hãy tính I = ∫ esin x .sin 2 xdx.
2

2

A. I = −esin x + C.
2
C. I = esin x + C .

B. I = ecos x + C.
2
D. I = esin x .cos 2 x + C.

(

Câu 41: Hãy tính J = ∫ 2 x − 3x

)

2

dx .

2x
6x
3x
−2
+
+ C.
ln 2
ln 6 ln 3
4x
6x
9x
C. J =
− 2.
+
+ C.
ln 4
ln 6 ln 9

4x
6x
9x
−
+
+ C.
ln 4 ln 6 ln 9
4x
6x
9x
D. J =

−
+
+ C.
ln 4 ln 3 ln 9

A. J =

B. J =

Câu 42: Hãy tính M = ∫ (1 − 2 x )e x dx.
A. M = 2 xe x + C.

B. M = (2 x − 3)e x + C .

Câu 43: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x 2 +

C. M = (3 + 2 x )e x + C .

1
3

x

2

là .

2

3

+ 3 3 x + C.

B.

∫ f ( x )dx = 3 x

1

3

+ 3 3 x + C.

D.

∫ f ( x )dx = 2 x

A.

∫ f ( x )dx = 3 x

C.

∫ f ( x )dx = 3 x

D. M = (3 − 2 x )e x + C .

2

3

+ 3 x + C.

3

3

+ 3 3 x + C.

Câu 44: Tính H = ∫ cos3 x sin xdx.
1
A. H = − sin 4 x + C .
4

B. H =

1 4
sin x + C .
4

C. H =

1
cos4 x + C .
4

1
D. H = − cos4 x + C.
4

1
có nguyên hàm F( x ) là biểu thức nào sau đây, nếu biết đồ thị của hàm số
sin 2 x
π 
F( x ) đi qua điểm M  ; 0  .
6 

Câu 45: Hàm số y =

A. F( x ) =

3
− cot x.
3

B. F( x ) = −

3
+ cot x. C. F( x ) = 3 − cot x.
3

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

7

D. F( x ) = − 3 + cot x.

Ứng dụng của tích phân

GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG


e− x 
Câu 46: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e x  7 −
.
cos2 x 

B. F ( x ) = 7e x − tan x + C .
A. F ( x ) = 7e x − cot x + C .
C. F ( x ) = 7e x + tan x + C .

D. F ( x ) = 7e x + cot x + C .

Câu 47: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x x + 1.
 x +1 2 
A. F ( x ) = 2 x + 1 
−  + C.
3
 5
 x +1 2 
C. F ( x ) = 2 ( x + 1) 
−  + C.
3
 5

 x +1 2 
B. F ( x ) = 2 ( x + 1) x + 1 

−  + C.
3
 5
 x +1 2 
D. F ( x ) = ( x + 1) x + 1 
−  + C.
3
 5

Câu 48: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
1
( 2 x + 1) + C.
2
1
C. F ( x ) =
2 x + 1 + C.
2

A. F ( x ) =

1
2x + 1

.

B. F ( x ) = 2 2 x + 1 + C.
D. F ( x ) = 2 x + 1 + C .

Câu 49: Hãy tính P = ∫ x sin ( 2 x + 1) dx.
1

1
A. P = − cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
4
1
1
C. P = − x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
4

1
1
x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C .
2
4
1
D. P = x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C .
4

B. P =

Câu 50: Hãy tính I = ∫ x 2 sin xdx.
A. I = − cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.
C. I = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.

B. I = x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.
D. I = cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.

Câu 51: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x ln x .
2 23

4 23
A. F ( x ) = x ln x − x + C.
3
9
2
2
4 2
C. F ( x ) = x 3 ln x − x 3 + C.
3
9

3 23
4 23
B. F ( x ) = x ln x − x + C.
2
9
3
2
4 3
D. F ( x ) = x 2 ln x + x 2 + C.
3
9

Câu 52: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2

A.

∫ f ( x )dx =

C.

∫ f ( x )dx = −2

A. H =

1− x

.
C

+ C.

B.

∫ f ( x )dx =

1 − x + C.

D.

∫ f ( x )dx = C

1− x

Câu 53: Tính H = ∫

1

1− x

.

1− x.

1
dx .
e + e− x + 2
x

1
+ C.
1 + e− x

B. H =

1
+ C.
1+ ex

C. H = −

1
+ C.
1 + e− x

1 − x2
e + C.
2

1 2
C. H = − e x + C.
2

D. H = −

1
+ C.
1 + ex

2

Câu 54: Tính H = ∫ xe− x dx.
1 2
A. H = − e − x + C.
2

B. H =

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

8

D. H =

Ứng dụng của tích phân

1 x2
e + C.
2

GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
cos x + sin x

Câu 55: Tính H = ∫

dx .

sin x − cos x

A. H = 2 sin x − cos x + C.

B. H = 2 sin x + cos x + C.

C. H = 2 cos x − sin x + C.

D. H = 2 sin 2 x + C.

Câu 56: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

∫ f ( x )dx =

C.

∫ f ( x )dx = 3

x
2
+
là.
2
x

x 3 + 4 x + C.

1

x 3 + 4 x + C.

Câu 57: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2

∫ f ( x )dx = 2
C. ∫ f ( x )dx = 2

A.

x +1

x

x

+ C.

C. F ( x ) =

5 ( x + 1)

5

−

5

+

1
5 ( x + 1)

x

x3 + 4 x .

D.

∫ f ( x )dx = 3

1

x3 + 4 x .

. Kết quả Sai là:

∫ f ( x )dx = 2 ( 2
D. ∫ f ( x )dx = 2 ( 2

B.

+C

1

∫ f ( x )dx =

ln x

Câu 58: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

B.

1
6 ( x + 1)

6

1
6 ( x + 1)

6

x

( x + 1)

x

x

)
+ 1) + C.

−1 + C

.

7

+ C.

B. F ( x ) = −

+ C.

D. F ( x ) = −

5
6 ( x + 1)

6

+

5

+

1
5 ( x + 1)

6
5 ( x + 1)

5

1
6 ( x + 1)

Câu 59: Hãy tính I = ∫ cos(7 x + 5)dx.
1
A. I = sin(7 x + 5) + C.
7
1
C. I = − sin(7 x + 5) + C.
7

1
cos(7 x + 5) + C .
7
1
D. I = − cos(7 x + 5) + C.
7

B. I =

Câu 60: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 4 x − x và f ( 4 ) = 0.

8x x x 2 40
+ − .
3
2
3
2
8x x x 40
− − .
C. f ( x ) =
3
2
3

A. f ( x ) =

x x x 2 40
− + .
3
2
3
2
x x x 40
− − .
D. f ( x ) =
3
2
3
B. f ( x ) =

e x − e− x
Câu 61: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x − x .
e +e
x
A. F ( x ) = 2 ln e + C .
B. F ( x ) = 2 ln e − x + C .

(

)

C. F ( x ) = ln e x + e− x + C.
Câu 62: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

1 2x 1 2x
xe − e + C .
6
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

(

)

D. F ( x ) = ln e x − e − x + C .
x 2x
e .
3

1
1
B. F ( x ) = e2 x − e2 x + C.
6
12

9

Ứng dụng của tích phân

6

+ C.
+ C.


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

1 2x 1 2x
1
1
xe + e + C .
D. F ( x ) = xe2 x − e2 x + C.
6
12
6
12
Câu 63: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos x là.

C. F ( x ) =

∫
C. ∫
A.

x 2 sin x
+ C.
2
f ( x )dx = − x cos x + sin x + C .

f ( x )dx = −

(

)

∫
D. ∫
B.

x 2 cos x
+ C.
2
f ( x )dx = x sin x + cos x + C .

f ( x )dx =

3

Câu 64: Hãy tính I = ∫ 2 x x 2 + 1 dx.
A. I =

4
1 2
x + 1 + C.
8

(

)

(

)

4

B. I = x 2 + 1 + C.

C. I =

4
1 2
x + 1 + C.
4

(

)

D. I =

4
1 2
x + 1 + C.
2

(

)

Câu 65: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 x 2 + 7.

(x
A. F ( x ) =
(x
B. F ( x ) =
C. F ( x ) =

2

2

+7
+7

)

)

2

x2 + 7

5

2

x2 + 7

3

−

)

x2 + 7

(

)

x2 + 7

)

x2 + 7

3

7 x2 + 7

5

x2 + 7 7 x2 + 7
−
+ C.
5
3

(x
D. F ( x ) =

2

+7

)

2

x2 + 7

5

Câu 66: Hãy tính I = ∫

−

(

7 x2 + 7

3

+ C.
+ C.

+ C.

x −1
dx.
x ( x + 1)2

x +1
1
+
+ C.
x
x +1

B. I = ln

x +1
2
−
+ C.
x

x +1

2
x +1
− ln
+ C.
x +1
x

D. I = ln

x +1
1
−
+ C.
x
x +1

A. I = ln
C. I =

+

(

7 x2 + 7

Câu 67: Hãy tính I = ∫ cos2 x sin xdx.
1
A. I = − sin 3 x + C.

3

1
B. I = − cos3 x + C.
3

Câu 68: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
1

∫ f ( x )dx = 3 cos

C.

∫

3

1
D. I = cos3 x + C.
3

sin3 x
là.
cos4 x

1
.
x cos x
1
1

f ( x )dx =
−
+ C.
3
cos x cos x

A.

1
C. I = sin3 x + C.
3

−

Câu 69: Giá trị của K = ∫ x cos xdx là
A. K = x sin x + cos x + C.
C. K = sin x + cos x + C.

1

1
+ C.
x cos x
1
1
f ( x )dx =
+
.
3
3 cos x cos x

B.

∫ f ( x )dx = 3 cos

D.

∫

3

−

B. K = x sin x − cos x + C.
D. K = − x sin x + cos x + C.

Câu 70: Hãy tính I = ∫ ( 2 x + 1) dx.
4

A. I =

5
1
2 x + 1) + C .
(
5

B. I =

5

1
2 x + 1) + C .
(
4

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. I =

10

5
1
2 x + 1) + C .
(
2

D. I =

Ứng dụng của tích phân

5
1
2 x + 1) + C .
(
10


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

Câu 71: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

3x 2 + 11x + 9
.
( x + 1)( x + 2)2

1
x +1
−
+ C.
x+2 x+2

A. F ( x ) = 2 ln

C. F ( x ) = ln x + 1 −

B. F ( x ) = ln x + 1 −

1
− 2 ln x + 2 + C .
x+2

Câu 72: Hãy tính F = ∫

D. F ( x ) = −

1
+ 2 ln x + 2 + C.

x+2

1
x+2
+ 2 ln
+ C.
x+2
x +1

ln x
dx .
(1 + x )2

A. F = −

ln x
x
+ ln
+ C.
x +1
x +1

B. F =

ln x
x
+ ln
+ C.
x +1
x +1

C. F = −

ln x
x
− ln
+ C.
x +1
x +1

D. F =

ln x
x
− ln
+ C.
x +1
x +1

Câu 73: Hãy tính M = ∫ x ln (1 + x )dx.
1 2
1
1
x − 1 − x 2 + x + C.
2
4
2
1
1
1

C. M = ln (1 + x ) − x 2 + x + C .
2
4
2

A. M =

(

1 2
1
1
x − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C.
2
4
2
1
1
D. M = x 2 − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C .
4
2

)

(

B. M =

(

)

)

Câu 74: Hãy tính I = ∫ xe− x dx.
A. I = − xe− x − e x + C.
Câu 75: Biết

B. I = − xe− x + e x + C.
 a

x

b

C. I = xe− x − e x + C.

D. I = − xe− x + C.



∫ ( x + 1)(2 x + 1) dx = ∫  x + 1 + 2 x + 1  dx. . Tích của a.b bằng.

A. 1.

B. 0.

(

1

.
2

C. −1.

D.

C. N = e x x 2 − 1 + C.

D. N = e x x 2 − 1 + C.

)

Câu 76: Hãy tính N = ∫ x 2 + 2 x − 1 e x dx.
A. N = e x − x + C.

B. N = e x + C.

(

)

Câu 77: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 .
2

A.

∫ f ( x)dx = 3 ( 2 x − 1)

C.

∫ f ( x )dx = 3 ( 2 x − 1)

1

Câu 78: Hãy tính I = ∫

(

2

A. I = x + 4

)

2
3

+ C.

B.

∫ f ( x )dx = − 3

2 x − 1 + C.

D.

∫ f ( x )dx = 2

2x
3

1

2x −1 + C

x2 + 4

1

2 x − 1 + C.
2 x − 1 + C.

dx.

3
B. I = x 2 + 4
2

(

)

2
3

+ C.

3

C. I = x 2 + 4
2

(

)

3
2

+ C.

1
D. I = x 2 + 4
2

(

)

2
3

+ C.

Câu 79: Hãy tính I = ∫ sin 2 x cos xdx.
A. I = sin3 x + C.

B. I = cos3 x + C.

1
C. I = sin3 x + C.
3

1
D. I = cos3 x + C.
3

π 
Câu 80: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 − x ) cos x và F   = 1 . Hằng số C bằng .
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

11

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

A. 0.

π

B.

2

.

C. 1 −

π
2

D. π .

.

Câu 81: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

x2
.
x +1

B. F ( x ) =

x2 + x +1
.
x +1

C. F ( x ) =

x (2 + x )

( x + 1)

x2 − x −1
.
x +1

2

.

D. F ( x ) =

x2 + x −1
.
x +1

Câu 82: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x là.
2

A.

∫ f ( x )dx = 3

C.

∫ f ( x )dx = 2

x 3 + C.
1

.

x

∫ f ( x )dx = 2

D.

∫ f ( x )dx = 3

2

1
x

+ C.

x3 .

xdx

.
2x +1 +1

Câu 83: Hãy tính N = ∫
A. N =

B.

(2 x + 1)3 2 x + 1
−
+ C.

3
2

1  (2 x + 1)3 2 x + 1 
 + C.
−
C. N = 
2
3
2 



(
A. F = x ln ( x + 1 + x ) +
C. F = x ln ( x + 1 + x ) −

)

1  (2 x + 1)3 2 x + 1 
 + C.
+
B. N = 
2
3
2 


 (2 x + 1)3 2 x + 1 
 + C.

−
D. N = 2 

3
2 



Câu 84: Hãy tính F = ∫ ln x + 1 + x 2 dx.

(

)

2

1 + x 2 + C.

B. F = ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C .

2

1 + x 2 + C.

D. F = x ln x + 1 + x 2 + C .

(

)

Câu 85: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 ln(2 x ) .
x 4 ln(2 x ) x 4
− + C.
4
16
x ln(2 x ) x 4
C. F ( x ) =
− + C.
4
16

ln(2 x ) x 4
− + C.
4
16
4
x ln(2 x ) x 4
D. F ( x ) =
+ + C.
4
16

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

e2 x − 1
và f ( ln 2 ) = 1.
ex
3

3
B. f ( x ) = e x + e− x + . C. f ( x ) = e x + e − x − .
2
2

Câu 86: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) =
3
A. f ( x ) = e x − e− x − .
2

Câu 87: Hãy tính L = ∫
A. L = 3 3 sin x + C.

sin x
3

cos2 x

3
D. f ( x ) = e x − e− x + .
2

dx .

B. L = −3 3 cos x + C.

C. L = −3 3 sin x + C.

D. L = 3 3 cos x + C.

Câu 88: Tính J = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx.
A. J = x 2 ln( x − 1) −

x2
− x − ln x − 1 + C.
2

x2
C. J = ln( x − 1) − − x − ln x − 1 + C .
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

B. J = x 2 ln( x − 1) − x 2 − x − ln x − 1 + C .
x2
D. J = x ln( x − 1) − − x − ln x − 1 + C.
2

12

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

Câu 89: Hãy tính K = ∫ cos x dx.
A. K = 2 x cos x + 2sin x + C.

B. K = x sin x + cos x + C.

C. K = 2 x sin x + cos x + C.

D. K = 2 x sin x + 2 cos x + C.

Câu 90: Tính J = ∫

dx
.
x ln x ln(ln x )

A. J = ln ln ( ln x ) + C . B. J = ln x ln x + C .
Câu 91: Hãy tính E = ∫ x ln

C. J = ln ln x + C .

1+ x
dx .
1− x

1− x2 1+ x
A. E = x −
ln
+ C.
2
1− x
1 1+ x
C. E = x − ln
+ C.

2 1− x

D. J = x ln ln x + C .

1 − x2 1 + x
B. E = x +
ln
+ C.
2
1− x
x2 1 + x
D. E = x − ln
+ C.
2 1− x

Câu 92: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 2 cos x .
A. F ( x ) = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

B. F ( x ) = sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

C. F ( x ) = x cos x + 2 x sin x − 2 sin x − 2C .

D. F ( x ) = x sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

2

Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos2 x là .
1

1

1

1

A.

∫ f ( x )dx = 2 x − 4 cos 2 x + C.

C.

∫ f ( x )dx = 2 x − 4 sin 2 x + C.

Câu 94: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

1

1

1

1

B.

∫ f ( x )dx = 2 x + 4 sin 2 x + C.

D.

∫ f ( x )dx = 2 x + 4 cos 2 x + C.

2 x 2 + 41x − 91

( x − 1) ( x

2

− x − 12

)

.

A. F ( x ) = 4 ln x − 1 + 5 ln x − 4 − 7 ln x + 3 + C .

B. F ( x ) = 5 ln x − 1 + 7 ln x − 4 − 4 ln x + 3 + C .

C. F ( x ) = 4 ln x − 1 + 7 ln x − 4 − 5 ln x + 3 + C .

D. F ( x ) = 7 ln x − 1 + 4 ln x − 4 − 5 ln x + 3 + C .

Câu 95: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
1
A. F ( x ) = ln x + 1 + ln 2 x + 1 + C .
2
1
x +1
C. F ( x ) = ln
+ C.
2 2x + 1

x
.
( x + 1)(2 x + 1)
1
B. F ( x ) = ln x + 1 − ln 2 x + 1 + C.
2
x +1
D. F ( x ) = ln
+ C.
2x +1

Câu 96: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x sin x .
A. F ( x ) = x cos x + sin x + C .
B. F ( x ) = − x sin x + cos x + C .
C. F ( x ) = − x cos x + sin x + C .
D. F ( x ) = − x cos x − sin x + C .
2

Câu 97: Hãy tính I = ∫ xe1+ x dx.
2

A. I = e1+ x + C.

2
1
B. I = e1+ x + C.
2

Câu 98: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. I =

1 x2
e + C.
2

D. I =

1
.
(1 + x )(1 − 2 x )

13

Ứng dụng của tích phân

1
e + C.
2


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
1− 2x
+ C.
1+ x

A.

∫ f ( x )dx = ln

C.

∫ f ( x )dx = 3 ln 1 − 2 x

1

1+ x

+ C.

Câu 99: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = −
C. F ( x ) = −

1
2 ( x − 1)

2

−

2

−

3
2 ( x − 1)

2
3 ( x − 1)

3

−

3

−

1
3 ( x − 1)

1
4 ( x − 1)

∫ f ( x )dx = 3 ln

1

( x − 1)

5

4

+ C. D. F ( x ) =

(

3
3

1 − 2x
+ C.
1+ x

x x +4

)

1
2 ( x − 1)

2

3
2 ( x − 1)

2

+
−

2
3 ( x − 1)

3

2
3 ( x − 1)

3

+
−

1
4 ( x − 1)

4

+ C.

4

+ C.

1
4 ( x − 1)

.

B. F ( x ) = ln

x3

+ C.
x3 + 4

+ C.

.

+ C. B. F ( x ) =

1
x3
ln 3
+ C.
4 x +4

C. F ( x ) = 4 − ln

D.

x2

Câu 100: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

∫ f ( x )dx = ln 1 − 2 x

4

1
4 ( x − 1)

1+ x

B.

D. F ( x ) =

x3
+ C.
x3 + 4

1
x3
− ln 3
+ C.
4
x +4

Câu 101: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 2 x + 1 và f (1) = 5.
A. f ( x ) =

x3 x
+ + 3.
3 2

C. f ( x ) =

B. f ( x ) = x 2 + x + 3.

Câu 102: Hãy tính J = ∫

1
2

x +a

2

(
D. J = ln ( x +

)
x + a ) + C.

B. J = ln x − x 2 + a 2 + C .

2

2

D. f ( x ) = x 2 + x − 3.

dx .

( x + a − x ) + C.
C. J = ln ( x + x − a ) + C .
A. J = ln

2

x2
+ x + 3.
2

2

2

2

Câu 103: Hãy tính I = ∫ e cos x .sin xdx.
A. I = esin x + C.

B. I = −esin x + C.

Câu 104: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = x −

C. I = esin x .sin x + C.

1
+ 2 và f (1) = 2.
x2

3 43 x 4
x + + x + 1.
4
4
4
3
x4

C. f ( x ) = x 3 + + x + 1.
4
4

3 43 x 4
x + + x.
4
4
4
3
x4
D. f ( x ) = x 3 + + x.
4
4

A. f ( x ) =

B. f ( x ) =

Câu 105: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = 2 ( tan x + x ) + C .

C. F ( x ) = 2 ( tan x − x ) + C .

D. I = −ecos x + C.

1 − cos 2 x
.
cos2 x
B. F ( x ) = tan x + x + C .

D. F ( x ) = tan x − x + C .

Câu 106: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 là.

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

14

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp
A.

C.

∫ f ( x )dx =

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

( 2 x + 1)

2

3

∫ f ( x )dx =

C. Q =

+ C.

B.

x2 + x + C .

1− x

D.
1

Câu 107: Hãy tính Q = ∫
A. Q = ln

3

(1 − x ) x

x 2 + x + C.

( 2 x + 1)

∫ f ( x )dx =

3

+ C.

3

dx .

+ C.

1+ x

∫ f ( x )dx =

B. Q = ln

1 1+ x
ln
+ C.
2 1− x

D. Q =

1+ x

+ C.

1− x

1 1− x
ln
+ C.
2 1+ x

Câu 108: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 .

2 +1

A.

∫ f ( x )dx =

x

C.

∫ f ( x )dx =

2x

2 +1

+ C.

2 +1

+ C.

2 −1

x

B.

∫ f ( x )dx =

D.

∫ f ( x )dx = x

2 −1
2 −1

+ C.

+ C.

2

Câu 109: Hãy tính I = ∫ ecos x .sin 2 xdx
2

2

A. I = −esin x + C.
2
C. I = −e cos x + C.

(

B. I = ecos x + C.
2
D. I = −ecos x sin 2 x + C.

)

Câu 110: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x 1 − 2017e −2 x là.

∫ f ( x )dx = e
C. ∫ f ( x )dx = e

A.

x

− 2017e −2 x + C .

x

+ 2017e−2 x + C .

Câu 111: Hãy tính Q = ∫ (1 − x ) cos xdx.
A. Q = (1 − x ) cos x − sin x + C .
C. Q = x sin x − cos x + C .

∫ f ( x )dx = e
D. ∫ f ( x )dx = e
B.

x

− 2017e− x + C .

x

+ 2017e − x + C .

B. Q = (1 − x ) sin x + cos x + C .

D. Q = (1 − x ) sin x − cos x + C .

Câu 112: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos4 x là.


1
1
1
1
A. ∫ f ( x )dx =  3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x  + C .
B. ∫ f ( x )dx =  3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x  .
8
4
8
4


C.

1

∫ f ( x )dx = 3x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x.

sin(ln x )
dx.
x
A. H = cos ( ln x ) + C .

D.

1

∫ f ( x )dx = 3x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x + C.

Câu 113: Tính H = ∫

C. H = − sin ( ln x ) + C .

B. H = − cos ( ln x ) + C .
D. H = sin ( ln x ) + C .

Câu 114: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3 x 2 biết F (1) = −1.
A. F ( x ) =

x3
+ 2.
3

B. F ( x ) = x 3 + 2.

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. F ( x ) = x 3 − 2.

15

D. F ( x ) =

Ứng dụng của tích phân

x3
− 2.
3


GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 115: Biết

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

 a
3 x 2 + 11x + 9
b
c 
∫ ( x + 1)( x + 2)2 dx = ∫  x + 1 + ( x + 2)2 + x + 2  dx. Tính P = abc.

A. P = 8.

B. P = 4.

1
D. P = .
2

C. P = 2.




x −1
a
b
c 

dx = ∫ +
+
dx. Tính S = a + b + c.
Câu 116: Biết ∫
 x x +1 x +1 2 
x ( x + 1)2
(
)


A. S = 1.
B. S = 2.
C. S = 4.
D. S = 3.
Câu 117: Hãy tính F = ∫ 3 x 2 cos(2 x )dx.
A. F = 2 x cos2 x − sin 2 x + 2 x 2 cos2 x + C.
C. F =

3
2 x cos 2 x − sin 2 x + 2 x 2 sin 2 x + C.
4

(

)

1
2 x cos 2 x − sin 2 x + 2 x 2 sin 2 x + C.
4
3
D. F = 2 x sin 2 x − cos2 x + 2 x 2 cos 2 x + C.
4

B. F =

(

)

(

)

Câu 118: Hãy tính P = ∫ x 2 3 1 + x 3 dx ,( x > −1).
4

1

4

1
1
3
4

A. P = 1 + x 3 3 + C. B. P = 1 + x 3 4 + C. C. P = 1 + x 3 3 + C. D. P = 1 + x 3
4
4
4
3
x
2
x
Câu 119: Cho ∫ (1 + x + e − cos x )dx = ax + bx + ce + d sin x + C . Tính S = a + b + c + d .

(

)

(

)

(

)

(

)

3
4

+ C.

3
1
A. S = .
B. S = .
C. S = 1.
D. S = 0.
2
2
Câu 120: Cho ∫ ( x 2 + e − x − sin 2 x + m)dx = ax 3 + be− x + c cos 2 x + mx + C . Tìm tham số thực m sao cho
a + b + c = 4.
25
A. m = .
6

B. m =

21
.
4

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. m = 3.

16

D. m =

Ứng dụng của tích phân

13
.
5


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

§2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Khái niệm về tích phân
b

Định nghĩa:

∫ f ( x )dx = F( x )
a

b
a

= F ( b ) − F ( a)

Chú ý:
b

∫ f ( x )dx = ∫

1. Khi a = b ta định nghĩa

f ( x )dx = 0

a

a

2. Khi a > b , ta đinh nghĩa

a

b

a

a

b

∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

3. Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là
b

∫ f ( x )dx

hay

a

b

b

b

a

a

a

∫ f (t)dt,... , đều tính bằng F (b) − F (a) hay ∫ f ( x )dx = ∫ f (t)dt

II Tính chất của tích phân
b

b

a

a

Tích chất 1. k ∫ f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k là hằng số)
b

Tích chất 2.

b

a

Tính chất 3.

b

∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
a

a

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx,

a
III. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số

b

DẠNG 1. Đặt t theo x. Cụ thể: Tính I = ∫ f ( x )dx
a

Đặt: t = f ( x) ⇒ dt = f / ( x)dx . Đổi cận:

x
t

a
f (a )

b
. Khi đó tính: I =
f (b)

DẠNG 2. Đặt x theo t: Có các dạng cơ bản sau:
b
 π π
a) ∫ 1 − x 2 dx . Đặt: x = sin t , t ∈  − ;  .
 2 2
a

∫

b)

a
b

c)

∫x
a

b

∫
a

∫
a

 π π
dx . Đặt x = sin t, t ∈  − ;  .
2
 2 2
1− x

 π π
dx . Đặt x = k sin t, t ∈  − ; 
 2 2
k −x
a
b
 π π
1
∫a x 2 + k 2 dx . Đặt x = k tan t, t ∈  − 2 ; 2 

∫

 π π
1
dx . Đặt x = tan t, t ∈  − ;  .
+1
 2 2

(α x + β )

2

g(t )dt

1

b

2

1

∫

f (a)

 π π
k 2 − x 2 dx . Đặt: x = k sin t , t ∈  − ; 
 2 2

b

1

b

f (b)

2

2

 π π
dx . Đặt α x + β = k tan t , t ∈  − ; 
 2 2
+ k2

2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Nếu u = u( x ) và v = v( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì
b

b

b

b

a

a

b

b

∫ u( x )v '( x )dx = u( x )v( x ) a − ∫ u '( x )v( x )dx hay ∫ udv = uv a − ∫ vdu
a

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

a

1

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

b

Tính I = ∫ f ( x) g ( x)dx .

u = f ( x)

Đặt:

⇒ du = f / ( x)dx

a

dv = g ( x )dx ⇒ v = ∫ g ( x )dx

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
π
2

Câu 1: Tính tích phân I = ∫ (1 − x ) sin x cos xdx.
0

A. I =

1
(4 − π ).
3

π

B. I =

8

.

C. I =

π

1
(4 + π ).
2

D. I =

1
(4 − π ).
8

π

2

2

Câu 2: Cho hai tích phân I = ∫ sin xdx và J = ∫ cos2 xdx. Hãy chỉ ra khẳng định đúng ?
2

0

0

A. I > J .
C. I < J .

B. I = J .
D. Không so sánh được.
e

Câu 3: Tính tích phân I = ∫ x ln xdx. .
1

A. I =

2

e
.
4

B. I =

1

Câu 4: Biết

∫
0

A.

dx
4 − x2

∫x
0

6+ 2
4

∫ x sin x cos

2

C. I =

e2 − 2
.
2

D. I =

e2 + 1
.
4

dx
= β . Giá trị của sin (α + β ) bằng:
+1

2

3+ 2
4

B.

π

Câu 5: Biết

1

= α và

e2 − 1
.
4

C.

2
−1
2

D.

3 +1
2

xdx = α . Giá trị của P = sin 2α + cos2α là

0

A. P =

2 3 −3
6

3
−1
2

B. P =
1

1

Câu 6: Tính tích phân I = ∫
A. I = 3.

3 +1
2

3 −1
2

D. P =

dx .

3 − 2x

0

C. P =

B. I = 3 − 1.

C. I = 3 + 1.

D. I = 1.

C. J = π − 2

D. J =

π
2

Câu 7: Tính J = ∫ x 2 sin xdx
0

A. J = π + 2

B. J = π
2

π
2

−1

2

Câu 8: Tính H = ∫ 3 x.e x dx
−1

A. H =

3 4
e −e
2

(

e

)

B. H =

1 4
e −e
2

(

)

(

C. H = 3 e 4 − e

)

D. H =

Câu 9: Cho F = ∫ ( ln x ) dx . Chọn khẳng định Sai trong các khẳng định sau

2

1

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

2

Ứng dụng của tích phân

3 4
e +e
2

(

)


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
e

e

e

A. F = x ln x 1 − ∫ dx

B. F = x ( ln x )

C. F = e − 2

e


e
D. F = x ( ln x ) − 2  x ln x − ∫ dx 
1


1
1



e

1

2

1

2

− 2 ∫ ln xdx
1

e

π
3

x
dx
cos2 x

Câu 10: Tính L = ∫
0

A. L =

π 3 − ln 2
3

π 3

B. L =

3

+ 2 ln 2

C. L =

π 3
3

− ln 2

D. L =

π 3
3

− 3ln 2

e

Câu 11: Tính D = ∫ x 2 ln xdx
1

2e 3 + 1
A. D =
9

B. D =
0

3e3 + 1
6

C. D =

2e 3 − 1
7

D. D = 2e3

1
.
10

D. I = −

Câu 12: Tính I = ∫ x 2 ( x + 1) dx.
3

−1

A. I =

2
.
15

1
.
60

B. I =

C. I = −

1
.
60

π
2

Câu 13: Tính C = ∫ x 2 cos xdx
0

A. C =

π

2

4

+2

B. C =

b

Câu 14: Biết
A. b = 3

∫ x log
1

2

Câu 15: Cho

∫

2

π2 +2

C. C =

4

π2 −2
4

3
. Giá trị của b là:
4 ln b
B. b = 4
C. b = 1

D. C =

π2
4

−2

xdx = b −

D. b = 2

4 − x 2 dx = α . Giá trị của cos2α là.

0

1
B. cos 2α = .
2

A. cos2α = 0.
3

Câu 16: Biết
A. a = 1

∫x

2

A. a = 3

D. cos2α = −1.

C. a = 3

D. a = 4

− 3 x + 2 dx = a . Giá trị của a là:

a

B. a = 2
1

a

Câu 17: Biết

C. cos2α = 1.

∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln a − a . Giá trị của a là
1

B. a = 4
a

Câu 18: Giá trị nào của a để

∫ ( 3x

2

0

A. a = 2

C. a = 2

D. a = 8

C. a = 1

D. a = 4

)

+ 2 dx = a3 + 2 ?

B. a = 3
π
2

Câu 19: Tính P = ∫ cos5 x sin3 xdx
0

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

3

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp
A. P =

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

1
24

B. P =

2π
3

π

C. P =

24

D. P =

1
12

D. A =

8 π
+
15 4

π
2

(

)

Câu 20: Tính A = ∫ cos3 x − 1 cos2 xdx
0

A. A =

2π
15

B. A =
1

0

1 1 + 2e
ln
2
3

B. K =

1 1 1 + 2e
+ ln
3 2
3

1

Câu 22: Cho

1 1 + 2e
D. K = ln
3

3
1

∫ ( 2 f ( x ) − g( x )) dx = 5. và ∫ ( 3 f ( x ) + g( x )) dx = 10. . Khi đó ∫ f ( x )dx bằng.
0

B. 5.
2

0

C. 3.

D. 15.

1 + x2
dx
x4

Câu 23: Tính E = ∫
1

1  −5 5 + 16 2 
A. E = 


3 
8


B. E =

−5 5 + 16 2
8

1  3 5 − 14 2 
D. E = 


3 
8


5+ 2
24

C. E =

1
1 + 2e
C. K = + ln
3
3

1

0

A. 10.

8π
15

C. A =

x 2 + ex + 2 x 2ex
dx
1 + 2e x

Câu 21: Tính K = ∫
A. K =

8 π
−
15 4

π

π

2

Câu 24: Biết a = ∫ sin 5 xdx và b = ∫ cos3 xdx . Khi đó a.b bằng:
0

A.

0

45

32

B.

16
15

C.

2
3

D.

32
45

1 + x ln x x
e dx
x
1
e

Câu 25: Tính F = ∫

B. F = eπ

A. F = ee
3

Câu 26: Tính M = ∫
1

3 + ln x

( x + 1)

1
27 
A. M =  3 − ln 
2
16 
π
3

Câu 27: Tính E = ∫
π

2

1

C. F = e 2

3

D. F = e 2

dx

1
27 
B. M =  3 + ln 
2
16 

C. M =

1
27 
 3 + ln 
4
16 

D. M =

1
27 
 3 − ln 
4
16 

D. E =

1
ln 3
2

1
dx

sin 2 x

4

A. E =

1
2

B. E =

1
ln 3
2

C. E = ln 3

2

Câu 28: Cho I = ∫ 2 x x 2 − 1dx và u = x 2 − 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?
1

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

4

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

3

2

2 3
A. I = u 2 .
3 0

B. I = ∫ udu.

C. I =

1

3

2
27.
3

D. I = ∫ udu.

e −1
2

D. F =

0

π
2

2

Câu 29: Tính F = ∫ esin x sin x cos3 xdx
0

A. F =

e
+1
2

B. F =

e
−1
2

C. F =

4

1
Câu 30: Biết ∫  x +  dx = 6 + ln b . Giá trị của b là:
x
2

B. b = 5
C. b = 2
A. b = 7

1− e
2

D. b = 3

5

1
Câu 31: Hãy tính K = ∫ dx.
x
3
A. K =

1 3
ln .
2 5

B. K =

1 5
ln .
2 3

3
C. K = ln .
5

5
D. K = ln .
3

5

Câu 32: Cho E = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx và đặt u = ln( x − 1), dv = 2 xdx . Chọn khẳng định Sai trong các khẳng
2

định sau
5

27
2

 x2

A. E = 25 ln 4 −  + x + ln x + 1 
 2
2

B. E = 24 ln 4 −

5

1 
C. E = 25 ln 4 − ∫  x + 1 +
 dx
x

−
1


2

D. E = x 2 ln( x − 1)

Câu 33: Hãy tính N =

)

2

5

x2
dx
x −1

−∫
2

3

∫ ( x + 1 + x − 2 ) dx

−2

A. N = 31

(

5

B. N = 71

C. N = 17

D. N = 15

2

Câu 34: Cho J = ∫ x ln xdx và đặt u = ln x , dv = xdx . Chọn khẳng định Sai trong các khẳng định sau
1

2

2

2

2
 x2

A. J =  ln x  − ∫ xdx
 2
1 1

 x2


1
B. J =  ln x  − x 2
 2
1 4 1

3
C. J = 2 ln 2 −
4

1
 x2

1
D. J =  ln x  + ∫ xdx
 2
1 2 2

2

π

Câu 35: Hãy tính P =

2

∫π

−

A. P =

π
4

2 (1 − cos 2 x )dx

2

B. P = 4

e

3
Câu 36: Tính I = ∫  2 x −  ln xdx
x
1
2
e
1 + e2
B. I =
A. I = + 1
2
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. P =

C. I =

5

π
2

e2
−1
2

D. P = 4 +

D. I =

Ứng dụng của tích phân

π
3

e2 − 1
2