Tính giải được toàn cục của phương trình parabolic Volterra với trễ vô hạn

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành
Anh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ truyền đạt
lại những kiến thức quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng
Sau đại học, các thầy, cô giáo trong bộ môn Phương trình vi phân-tích
phân khoa Toán - Tin trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tận tình
giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại
trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia
đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K25 nói chung
và chuyên ngành Phương trình vi phân-tích phân nói riêng đã giúp đỡ,
động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tuyết

i


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

1

PHẦN MỞ ĐẦU

2

1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số không gian hàm
1.2 Lí thuyết nửa nhóm . . .
1.3 Toán tử quạt . . . . . .
1.4 Một số kết quả bổ trợ .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Tính giải được toàn cục của phương trình Parabolic
Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính giải được địa phương của bài toán tuyến tính . . .
2.3 Tính giải được và địa phương với phương trình nửa tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Một số ví dụ từ phương trình elliptic . . . . . . . . . . .

4
4
8
12
13

17
17
18
24

34

KẾT LUẬN

42

Tài liệu tham khảo

43

ii


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này do tôi thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học
Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn
Thành Anh.
Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tuyết

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ xuất phát
từ nhiều mô hình trong lĩnh vực kĩ thuật và vật lý. Trong khi đối với

phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ hữu hạn nhiều
kết quả về tính giải được toàn cục là khá phong phú thì trường hợp vô
hạn chưa được nghiên cứu kĩ lưỡng. Vì vậy, tôi xin chọn đề tài nghiên
cứu luận văn của mình là:"Tính giải được toàn cục của phương trình
Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được toàn cục của phương trình Parabolic
Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn dựa chủ yếu trên các kết quả
của bài báo [4].
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với
trễ vô hạn.
+Phạm vi: Nghiên cứu tính giải được toàn cục của phương trình
Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm.
+ Nghiên cứu tính giải được địa phương của bài toán tuyến tính.
+ Nghiên cứu tính giải được địa phương với phương trình nửa tuyến
tính.
+ Đưa ra một số ví dụ ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp
nghiên cứu nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Cụ
thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích trong quá trình
nghiên cứu lí thuyết. Bên cạnh đó tôi còn dùng phương pháp đọc, dịch
2


và nghiên cứu tài liệu rồi tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích
nghiên cứu.

6. Cấu trúc luận văn
Nội dung chính của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số không gian hàm
1.2. Lí thuyết về nửa nhóm
1.3. Toán tử quạt
1.4. Một số kết quả bổ trợ
Chương 2: Tính giải được toàn cục của phương trình Parabolic
Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn
2.1. Phát biểu bài toán
2.2. Tính giải được địa phương của bài toán tuyến tính
2.3. Tính giải được địa phương với phương trình nửa tuyến tính
2.4. Một số ví dụ

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số không gian hàm

1. Không gian các hàm bị chặn hoặc liên tục
Giả sử X là không gian Banach thực hoặc phức với chuẩn . , và
I ⊂ R là một khoảng (có thể vô hạn). Ta sẽ kí hiệu B(I; X) là không
gian của các hàm bị chặn trên I nhận giá trị trong X;
B(I, X) = {f : I → X|f bị chặn trên X }.
Không gian B(I, X) được trang bị chuẩn sup
f

B(I;X)

= sup f (t) .
t∈I

Kí hiệu C(I; X) là không gian của các hàm liên tục, C m (I; X) (m ∈
N) là không gian của các hàm khả vi m lần, C ∞ (I; X) là không gian
của các hàm khả vi vô hạn lần.
Ta định nghĩa
Cb (I; X) = B(I; X) ∩ C(I; X), f

C(I;X)

= f

B(I;X) ,

Cbm (I; X) = f ∈ C m (I; X), f (k) ∈ Cb (I; X), k = 0, ..., m ,
m

f

Cbm (I;X)

f (k)

=
k=0

.
B(I;X)

Ta kí hiệu C0∞ (I; X) là tập con của C ∞ (I; X) bao gồm các hàm có
giá compact chứa trong khoảng I.
4


Nếu không có sự nhầm lẫn ta kí hiệu f B(X) hay đơn giản hơn
là f ∞ thay vì f B(I;X) cho bất kì hàm bị chặn f nào đó. Hơn nữa,
nếu X = R hay C ta sẽ viết là B(I), C(I)... thay vì B(I; X), C(I; X), ...
2. Không gian của các hàm liên tục H¨
older
Không gian Banach của các hàm liên tục H¨older C α (I; X), C k+α (I; X),
(k ∈ N), α ∈ [0; 1] được định nghĩa bởi
C α (I; X) =

f ∈ Cb (I; X) : [f]C α (I;X) = sup

t,s∈I,s
f

C α (I;X)

= f

∞

f (t) − f (s)

< +∞ ,
(t − s)α

+ [f]C α (I;X) ;

C k+α (I; X) = f ∈ Cbk (I; X) : f (k) ∈ C α (I; X) ,
f

C k+α (I;X)

= f

Cbk (I;X)

+ [f k ]C α (I;X) .

3. Không gian Lp
Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa
Lp (Ω) = {f : f là hàm đo được

p
Ω |f (x)| dµ(x)

< ∞}

và
1/p

p

f

p

|f (x)| dµ(x)

=

1/p

= [|f |p dµ]

.

Ω

Với p = ∞, ta định nghĩa
L∞ (Ω) = {f : f là hàm đo được |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi, k > 0}
và
f = inf {K > 0 : |f (x)| ≤ K hầu khắp nơi }.
4. Không gian Sobolev
Mục này được viết dựa chủ yếu vào tài liệu tham khảo [7].
Cho Ω là một tập con mở của Rn có biên là ∂Ω.
5


Định nghĩa 1.1.1. Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞, không gian
Sobolev được định nghĩa
Wm,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m} .
Wm,p (Ω) là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp (Ω) có đạo hàm suy

rộng đến m cũng thuộc Lp (Ω).
Ta có D(Ω), không gian của các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω, là trù mật trong Lp (Ω).
Với 1 ≤ p ≤ ∞, nếu φ ∈ D(Ω) thì Dα φ = D(Ω), với mọi đa chỉ số
a. Như vậy, D(Ω) ⊂ Wm,p (Ω) ⊂ Lp (Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞.
Trên Wm,p (Ω) ta trang bị một chuẩn . m,p,Ω như sau:
Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa
1/p



p
α
.
D u Lp (Ω)
u m,p,Ω =


0≤|α|≤m

Với p = ∞, ta định nghĩa
u

m,p,Ω

= max

Dα u

0≤|α|≤m

Lp (Ω) .

Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu Wm,2 (Ω) = H m (Ω), cho
u ∈ H m (Ω), khi đó
u

m,Ω

= u

m,2,Ω .

Với m = 0, ta có W0,p (Ω) = Lp (Ω), chuẩn trên Lp được kí hiệu là
u Lp (Ω) .
Không gian H m (Ω) có tích vô hướng tự nhiên được định nghĩa
Dα uDα v,

(u, v)m,Ω =
|α|≤m Ω

với u, v ∈ H m (Ω).
Tích vô hướng này sinh ra . m,Ω .
Trong trường hợp Ω = Rn , H m (Rn ) có một sự mô tả khác qua biến
đổi Fourier của u.
6


Chú ý L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) thì trù mật trong L2 (Rn ), những hàm trong
L2 (Rn ) có sự biến đổi Fourier thích hợp, định lí Plancherel khẳng định

rằng u L2 (Rn ) = u L2 (Rn ) .
Cho u = H m (Rn ), theo định nghĩa ta có
Dα u ∈ L2 (Rn ) với mọi |α| ≤ m
Như vậy (Dα u)1 được xác định tốt. Hơn nữa, ta có
(Dα u)1 = (2πi)|α| ξ α u.
Do đó, ξ α u ∈ L2 (Rn ), với mọi |α| ≤ m.
Ngược lại, nếu u ∈ L2 (Rn ) sao cho ξ α u ∈ L2 (Rn ), với mọi |α| ≤ m
thì Dα u ∈ L2 (Rn ), với mọi |α| ≤ m. Vì thế u ∈ H m (Rn ).
Bổ đề 1.1.2. Tồn tại hằng số M1 > 0 và M2 > 0 chỉ phụ thuộc vào m
và n sao cho với mọi ξ ∈ Rn ,
M1 (1 + |ξ|2 )m ≤

|ξ α |2 ≤ M2 (1 + |ξ|2 )m .
|α|≤m

Từ bổ đề chúng ta có định nghĩa của H m (Rn ).
Định nghĩa 1.1.3.
m/2

H m (Rn ) = u ∈ L2 (Rn )|(1 + |ξ|2 )

u(ξ) ∈ L2 (Rn ) .

Kết hợp với chuẩn
u2

H m (Rn )

m

(1 + |ξ|2 ) |u(ξ)|2 .

=
Rn

+
+
+
+

Ta có một số tính chất:
Với mọi m, 1 ≤ p ≤ ∞, Wm,p (Ω) là một không gian Banach.
Wm,p (Ω) là không gian phản xạ, với 1 ≤ p < ∞.
Wm,p (Ω) là không gian tách được, với 1 ≤ p < ∞.
H m (Ω) là không gian Hilbert tách được với 1 ≤ p < ∞.

Định nghĩa 1.1.4. Cho 1 ≤ p < ∞ , đặt W0m,p (Ω) bằng bao đóng của
D(Ω) trong Wm,p (Ω).
7


W0m,p (Ω) là không gian con đóng của Wm,p (Ω). Phần tử của W0m,p (Ω)
gần giống trong không gian định chuẩn Wm,p (Ω) bằng những hàm thuộc
C ∞ (Ω) có giá compact trên Ω.
W0m,p (Ω) là không gian con thực sự của Wm,p (Ω), trừ trường hợp
Ω = Rn .
n
Định lý 1.1.5. Cho 1 ≤ p < ∞, khi đó W1,p (Rn ) = W1,p
0 (R ).

Định lý 1.1.6. Cho 1 ≤ p < ∞, với mọi số nguyên m ≥ 0 thì
n
Wm,p (Rn ) = Wm,p
0 (R ).

Trường hợp đặc biệt, H m (Rn ) = H0m (Rn ).

1.2

Lí thuyết nửa nhóm

Mục này được viết dựa chủ yếu vào tài liệu tham khảo [1].
Giả sử X là một không gian Banach và L (X) là không gian các ánh
xạ tuyến tính bị chặn trên X.
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng họ toán tử {T(t)}t≥0 là một nửa nhóm
các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X nếu T (t) ∈ L (X) với mọi t ≥ 0,
và
i) T (0) = I, toán tử đồng nhất trên X;
ii) T (t)T (s) = T (t + s), ∀t, s ≥ 0.
Nửa nhóm {T(t)}t≥0 được gọi là một C0 -nửa nhóm (hay nửa nhóm liên
tục mạnh) nếu
lim T (t)x = x, ∀x ∈ X.

t→0+

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử {T(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên X. Ta
định nghĩa toán tử sinh A của nó như sau:
D(A) =

x ∈ X : ∃ lim+

h→0

T (h) − I
x∈X
h

và
T (h) − I
d+ (T (t)x)
Ax = lim+
x=
|t=0 , ∀x ∈ D(A).
h→0
h
dt
8


Dễ thấy D(A) là một không gian con tuyến tính của X và A là
một toán tử tuyến tính trên X. Từ đây về sau ta sẽ dùng kí hiệu
{(T(t), A)}t≥0 , hoặc {(eAt , A)}t≥0 , hoặc ngắn gọn hơn là {eAt }t≥0 , để
chỉ một C0 -nửa nhóm và toán tử sinh tương ứng.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử {T(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian
Banach X. Khi đó tồn tại các số M ≥ 1 và a ∈ R sao cho
||T (t)|| ≤ M eat , t ≥ 0.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử {T(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian
Banach X. Khi đó với mọi x ∈ X, ánh xạ t → T (t)x là liên tục từ R+
vào X. Hơn nữa, với mọi tập compact K ⊂ X và với mọi t ∈ R+ ta có
sup T (t + h)x − T (t)x → 0, khi h → 0;
x∈K

ở đây tại t = 0 , ta thay h → 0 bởi h → 0+ .
Mệnh đề 1.2.5. Giả sử {T(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian
Banach X. Khi đó (w, t) → T (t)w là một ánh xạ liên tục từ X × [0, ∞)
vào X.
Định lí dưới đây mô tả một số tính chất cơ bản của C0 -nửa nhóm.
Định lý 1.2.6. Giả sử {(T(t), A)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không
gian Banach X. Khi đó các khẳng định sau là đúng:
(1) Với mọi w0 ∈ X, ta có
1
lim
h→0 h

t+h

T (s)w0 ds = T (t)w0 , 0 ≤ t ≤ ∞,
t

ở đó với t = 0, giới hạn được hiểu là giới hạn phải h → 0+ .
(2) Với mọi w0 ∈ X và t ≥ 0, ta có
t

T (s)w0 ds ∈ D(A)
0

và
t

A

T (s)w0 ds

= T (t)w0 − T (τ )w0 , 0 ≤ τ ≤ t.

τ

9


(3) Với mọi w0 ∈ D(A) và t ≥ 0, ta có T (t)w0 ∈ D(A) và
d
T (t)w0 = AT (t)w0 = T (t)Aw0 ,
dt
ở đó với t = 0, giới hạn được hiểu là giới hạn phải.
(4) Với mọi w0 ∈ D(A) và 0 ≤ s ≤ t, ta có
t

T (t)w0 − T (s)w0 =

t

T (τ )Aw0 dτ =
s

AT (τ )w0 dτ .
s

Hệ quả 1.2.7. Giả sử {(T(t), A)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không
gian Banach X. Khi đó D(A) là không gian con tuyến tính trù mật
trong X và A là một toán tử tuyến tính đóng trên X.

Bổ đề 1.2.8. Giả sử {(T(t), A)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không
gian Banach X thỏa mãn ||T (t)||L (X) ≤ M eat , với mọi t ≥ 0. Khi đó,
λ ∈ ρ(A) với λ ∈ C mà Reλ > a, hơn nữa toán tử giải Re(λ, A) =
(λI − A)−1 thỏa mãn
R(λ, A)w =

∞ −λt At
e wdt,
0 e

Reλ > a,

và với n = 1,2,..., ta có
R(λ, A)n ≤

M
n,
(Reλ−a)

với Reλ > a.

Định nghĩa 1.2.9. (Nửa nhóm liên tục đều)
Một C0 -nửa nhóm {T(t)}t≥0 trên X được gọi là nửa nhóm liên tục
đều nếu
lim ||T (t) − I||L (X) = 0.

t→0+

Mỗi toán tử A ∈ L (X) sẽ sinh ra nửa nhóm liên tục đều. Điều
ngược lại vẫn đúng, nếu {T(t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều thì nó

phải có dạng
T (t) = etA , với A ∈ L (X).
Định lý 1.2.10. (Hille-Yosida).
Một toán tử tuyến tính A trên không gian Banach X là toán tử sinh
của một C0 -nửa nhóm {T(t)}t≥0 thỏa mãn T (t) ≤ M eat , với các hằng
số M ≥ 1, a ∈ R và với mọi t ≤ 0, nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
10


(1) A là toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) trù mật trong
X;
(2) Tập giải ρ(A) chứa tập hợp {λ ∈ R : λ > a} và toán tử giải R(λ, A) =
(λI − A)−1 thỏa mãn
R(λ, A)n ≤

M
n
(λ−a)

với λ > a và n= 1,2,...

Giả sử H là một không gian Hilbert. Một toán tử tuyến tính A :
D(A) ⊂ H → H được gọi là tăng trưởng nếu Re Aw, w ≥ 0 với mọi
w ∈ D(A).
Toán tử A được gọi là tăng trưởng cực đại nếu nó là tăng trưởng và
miền giá trị của I + A thỏa mãn Rg(I + A) = H.
Định lý 1.2.11. (Lumer-Phillips).
Giả sử H là một không gian Hilbert với tích vô hướng ., . . Khi đó
toán tử tuyến tính −A : D(A) ⊂ H → H là toán tử sinh của một C0 nửa nhóm không giãn {e−tA }t≥0 nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được

thỏa mãn:
(1) A là toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) trù mật trong
H;
(2) A là toán tử tăng trưởng cực đại.
Định nghĩa 1.2.12. Giả sử H là một không gian Hilbert với tích vô
hướng ., . . Một toán tử A trong H gọi là đối xứng nếu D(A) = H
và Ax, y = x, Ay với mọi x, y ∈ D(A). Toán tử A được gọi là tự
liên hợp nếu A = A∗ . Một toán tử bị chặn U trên H gọi là unita nếu
U ∗ = U −1 .
Chú ý rằng bất kì toán tử liên hợp nào cũng đóng và U là unita nếu
và chỉ nếu Rg(U ) = H và U là đẳng cự. Ta có kết quả quan trọng sau.
Định lý 1.2.13. (Stone).
A là toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm các toán tử unita trên không
gian Hilbert H nếu và chỉ nếu iA là toán tử tự liên hợp.

11


1.3

Toán tử quạt

Định nghĩa 1.3.1. Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X gọi là một
toán tử quạt trên X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) A là xác định trù mật và đóng;
(2) Tồn tại các số thực a ∈ R, σ ∈ 0; π2 và M ≥ 1 sao cho
σ (a) ⊂ ρ(A) và
R(λ, A) ≤
với mọi λ ∈

σ

M
|λ − a|

(1.1)

(a).

Một toán tử quạt A được gọi là dương nếu (1.1) thỏa mãn với a > 0
nào đó.
Bổ đề sau chỉ ra rằng nếu A là toán tử quạt thì −A là toán tử sinh
của một C0 nửa nhóm.
Bổ đề 1.3.2. Giả sử A là toán tử quạt trên không gian Banach X, ở
đó (1.1) thỏa mãn với các hằng số thích hợp M, a và σ. Khi đó −A là
toán tử sinh của một C0 nửa nhóm {e−tA }t≥0 , và tồn tại một hằng số
M0 ≤ 0 sao cho e−At ≤ M0 e−at với mọi t ≤ 0. Hơn nữa, ta có
e−At =

1
2πi

eλt R(λ, −A)dλ,

(1.2)

Γ

với t > 0 và e−At = I tại t = 0. Ở đây Γ = Γ(η, θ) là chu tuyến trong
tập giải ρ(−A) cho bởi Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 , ở đó

Γ1 = λ = −a + re−i(π−θ) : r ≥ η ,
Γ2 = λ = −a + ηeiϕ : |ϕ| ≤ π − θ ,
Γ3 = λ = −a + rei(π−θ) : r ≥ η ,
θ thỏa mãn σ < θ < π2 và η là hằng số dương bất kì. Hướng của Γ trong
(1.2) là hướng ngược chiều kim đồng hồ. Tích phân trong (1.2) tồn tại
trong L (X) với mọi t > 0.
12


1.4

Một số kết quả bổ trợ

Giả sử A : X → X là một toán tử, tập phổ và tập giá trị chính quy
của toán tử A được kí hiệu tương ứng là σ(A) và ρ(A). Ta giả định
rằng A thỏa mãn:
ρ(A) ⊃

θ,ω

= {λ ∈ C|λ = ω, |arg(λ − ω)| < θ},

(λ − ω)R(λ, A) ≤ M, ∀λ ∈

θ,ω

,

(1.3)
(1.4)

với mỗi ω ∈ R và θ ∈ (π/2; π).
Chúng ta đã biết tới họ các tích phân Dunford :
T (t) =

1
2πi

eλt (λ − A)−1 dλ,
ω+γr,η

ở đó γr,η là đường cong
{λ ∈ C|| arg λ| = η, |λ| ≥ r} ∪ {λ ∈ C|| arg λ| ≤ η, |λ| = r},
là nửa nhóm giải tích thỏa mãn các tính chất:
(A1) T (t)x ∈ D(Ak ) với mỗi t > 0, x ∈ X và k ∈ N. Hơn nữa,
Ak T (t)x = T (t)Ak x với mọi t ≥ 0 và x ∈ D(Ak ).
(A2) T (t)T (s) = T (t + s) với mọi t, s ≥ 0.
(A3) Tồn tại những hằng số dương M0 , M1 , M2 ,... sao cho



T (t)

≤ M0 eωt , t > 0

L(X)
k

 tk (A − ωI) T (t)

L(X)

≤ Mk eωt , t > 0

ở đó ω là hằng số xác định bởi công thức (1.3).
(A4) Hàm số t → T (t) thuộc C ∞ ((0, ∞), L(X)) và
dk
T (t) = Ak T (t), t > 0.
k
dt
Hơn nữa, hàm trên có thác triển giải tích trong hình quạt
π
{λ ∈ C|λ = 0, | arg λ| < θ − }.
2
13

(1.5)


Từ (A3) ta thấy rằng họ (T(t))t≥0 bị chặn đều trên đoạn [0,T],
tức là
M := sup ||T (t)|| < ∞.
t∈[0,T]

Ta đặt (xem[2], tr212)
Mn := sup ||tn An T (t)||L(X) < ∞, ∀n ∈ {0} ∪ N.

(1.6)

0

Ngoài ra, với mỗi n ∈ N, có các hằng số kn,α sao cho:
(A5) ||An T (t)||L(Xα,∞ ,X) ≤ kn,α t−(n−α) , 0 < t ≤ T + 1, n ∈ N.
Chặn phổ và kiểu của A được định nghĩa tương ứng:
sA := sup{Reλ|λ ∈ σ(A)}
và
ωA := inf {ω ∈ R|∃M > 0 : ||etA ||L(X) ≤ Meωt ,∀t > 0}.
Ta đã biết s(A) = ω(A) (xem[2] tr58).
Mệnh đề sau đây mô tả tính tiệm cận của An etA khi t → ∞ rất quan
trọng với định lý chính.
Mệnh đề 1.4.1. (i) Nếu ω xác định bởi (1.3) là 0 thì với mỗi n ∈ N
và α ∈ (0, 1) tồn tại một hằng số Kn,α > 0 sao cho
sup ||tn−α An T (t)||L(Xα,∞ X) ≤ Kn,α < ∞.

(1.7)

t>0

(ii) Với mọi ε > 0 và n ∈ N ∪ {0} tồn tại Mn,ε > 0 sao cho
||tn An etA ||L(X) ≤ Mn,ε e(ωA +ε)t , t > 0.

(1.8)

Chứng minh. (i). Lấy x ∈ Xα,∞ và n ∈ N tùy ý.
Bởi (1.5), ta có
t
t
||tn An etA x|| ≤ 2n ||( )n−1+α An−1 e(t/2)A ||L(X) ||( )1−α Ae(t/2)A x||
2
2

n−α α
≤ 2 t Mn−1 ||x||α,∞ .
(ii). Nếu 0 < t ≤ 1 hoặc t ≥ 1 và ωA + ε ≥ ω ta dễ dàng suy ra (1.8).
Ta đi chứng minh (1.8) trong trường hợp t ≥ 1 và ωA + ε < ω.
Với ρ(A) ⊃ Sθ,ω ∪ {λ ∈ C : Reλ > ωA }, đặt
14


a = (ω − ωA − ε)|cosθ|−1
b = (ω − ωA − ε)| tan θ|
Ta có
Γε = λ ∈ C : λ = ξe−iθ + ω, ξ ≥ a
∪ λ ∈ C : λ = ξeiθ + ω, ξ ≥ a
∪ {λ ∈ C : Reλ = ωA + ε, |Imλ| ≤ b}
chứa trong ρ(A) và R(λ, A) L(X) ≤ Mε |λ − ωA |−1 trên Γε với mỗi
Mε > 0. Do đó, với mọi t hàm λ → eλt R(λ, A) là giải tích trong ρ(A).
Ta thấy rằng ω + γr,n có thể thay thế Γε .
Với mọi t ≥ 1
etA =

1
2πi

Mε
≤
π
Mε
≤
π

etλ R(λ, A)dλ
Γε
+∞

e(ω+ξcosθ)t
Mε
dξ
+
|ξeiθ + ω − ωA |
2π
a
1
b (ωA +ε)t
+
e
.
b|cosθ| ε

b

e(ωA +ε)t
dy
−b |iy + ε|

Như vậy (1.8) đúng với n = 0.
Tương tự, với mọi t ≥ 1, ta có
AetA =

1
2πi

etλ λR(λ, A)dλ
Γε

+∞
Mε
−1
≤
sup |λ(λ − ωA )| (2
e(ω+ξcosθ)t dξ +
2π λ∈Γε
a
∼
1
Mε
+ b e(ωA +ε)t ≤ Mε e(ωA +2ε)t t−1
≤
π |cosθ|

với ε tùy ý. (1.8) đúng với n = 1.
t

Từ đẳng thức An etA = Ae n A
An etA

n

e(ωA +ε)t dy)
−b

và với mọi n ≥ 2, ta có
t

L(X)

b

≤ M1,ε nt−1 e n (ωA +ε)

n

≤ (M1,ε e)n n!t−n e(ωA +ε)t .
15


Với p ∈ (1, ∞] và t ∈ [s, T], ta kí hiệu Xα,p là không gian các phép
nội suy
(X, D)α,p := {x ∈ X|t → ||t1−α−1/p AT(t)x|| ∈ Lp (0, 1)},
với chuẩn
||x||α,p = ||x|| + ||θ1−α−1/p AT (.)x||p ,
ở đây θλ : [0, T] → R xác định bởi θλ (t) = tλ và D là không gian D(A)
được trang bị biểu đồ chuẩn.
t

esA xds ∈ D(A) và

Bổ đề 1.4.2. Với mỗi x ∈ X, t ≥ 0 , tích phân
0
t

esA xds = etA x − x.

A
0

Nếu trong phép cộng, hàm số s → AesA x thuộc L1 ([0, t], X) thì
t

etA x − x =

AesA xds.
0

16


Chương 2
Tính giải được toàn cục của
phương trình Parabolic Volterra
nửa tuyến tính với trễ vô hạn
2.1

Phát biểu bài toán

Giả sử X là một không gian Banach, a là một hàm khả tích trên R,
a(t) = 0 với t < 0.
Xét phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính sau:
d
(u(t) − a ∗ u(t)) = A(u(t) − a ∗ u(t)) + f (u)(t) + g(t), t ∈ R. (2.1)
dt

Trong đó A : D(A) ⊂ X −→ X là toán tử quạt (không nhất thiết xác
định trù mật) trong X và
∞

a ∗ u(t) :=

t

a(t − σ)u(σ)dσ =
−∞

a(t − σ)u(σ)dσ.
−∞

Lấy s ∈ R bất kì, cố định. Với mỗi b > s, t ∈ [s, b] và hàm u :
(−∞; b] −→ X, ta định nghĩa hàm số ut : (−∞; 0] −→ X bởi công
thức
ut (σ) = u(t + σ), σ ∈ (−∞; 0].
Giả sử B là không gian nửa chuẩn của các hàm từ (−∞; 0] vào X
thỏa mãn các điều kiện sau:
17


(B1) Tồn tại một hằng số dương H và các hàm K(.), M (.) từ R+ vào
R+ , K liên tục và M bị chặn địa phương sao cho với mỗi s ∈ R
và τ > 0, nếu x : (−∞; s + τ ] −→ X, x ∈ B là hàm liên tục trong
[s, s + τ ] thì với mọi t ∈ [s; s + τ ] các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) xt ∈ B,
(ii) |x(t)| ≤ H||xt ||B (điều này tương đương với |ϕ(0)| ≤ H||xt ||B ,
với mọi ϕ ∈ B),

(iii) ||xt ||B ≤ K(t − s) sups≤σ≤t |x(t)| + M (t − s)||xs ||B .
(B2) Với mỗi hàm x(.) trong (B1), t −→ xt là một hàm nhận giá trị
trong B liên tục theo t trên [s, s + τ ].
(B3) Không gian B là đầy.
Xét toán tử D : B −→ X xác định bởi:
∞

Dϕ := ϕ(0) −

a(σ)ϕ(−σ)dσ.
0

Giả sử giá trị của hàm u trên (−∞; s] đã biết nghĩa là u(t) = ϕ(t)
với t ∈ (−∞; s]; trong đó ϕ là hàm đã biết. Khi đó phương trình (2.1)
được biến đổi thành hệ:
d
dt Dut

us

= ADut + f (u)(t) + g(t), t ≥ s
=
ϕ ∈ B.

(2.2)

Đây là phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Bài toán
này được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Chúng ta sẽ nghiên
cứu tính giải được địa phương và toàn cục của bài toán (2.2).

2.2

Tính giải được địa phương của bài toán tuyến
tính

Trong phần này chúng ta nghiên cứu sự tồn tại tuyến tính địa phương
của phương trình parabol với trễ vô hạn.
d
dt Dut

us

= ADut + g(t) , t ∈ [s, T]
=
ϕ ∈ B.

Chúng ta đưa ra các định nghĩa sau.
18

(2.3)


Định nghĩa 2.2.1. Một hàm số u : (−∞, T ] → X được gọi là một
nghiệm cổ điển của (2.3) nếu ánh xạ t → Dut thuộc C([s, T], X) ∩
C((s, T], D(A)) ∩ C 1 ((s, T ], X) và u thỏa mãn (2.3).
Trước hết, chúng ta nghiên cứu công thức biến thiên hằng số sau.
Mệnh đề 2.2.2. Nếu u là nghiệm cổ điển của (2.3) thì
t

Dut = e(t−s)A Dϕ +

e(t−σ)A g(σ)dσ, s ≤ t ≤ T.

(2.4)

s

Chứng minh. Lấy u là một nghiệm cổ điển của (2.3) trong [s,T] và lấy
t ∈ [s, T]. Vì ánh xạ t → Dut thuộc vào C([s, T], X) ∩ C((s, T], D(A)) ∩
C 1 ((s, T ], X) nên Dut ∈ D(A) với mọi t ∈ (s, T].
Từ đó, hàm v : [s, T ] → X xác định bởi
v(σ) = e(t−σ)A Duσ , với s < σ ≤ t < T
và
v(s) = e(t−s)A Dϕ, v(t) = Dut

(2.5)

nằm trong C([s, t], X) ∩ C 1 ((s, T ), X).
Hơn nữa,
v (σ) = −Ae(t−σ)A Duσ + e(t−σ)A

d
Duσ
dσ

d
Duσ
dσ
= e(t−σ)A g(σ), s < σ < t.
= e(t−σ)A −ADuσ +

Như vậy, với 0 < 2 < t − s thì
t−

e(t−σ)A g(σ)dσ.

v(t − ) = v(s + ) +
s+

Từ đây cùng với (2.5) khi cho → 0 ta nhận được (2.4).
Định nghĩa 2.2.3. Một hàm u : (−∞, T ] → X được gọi là một nghiệm
nhẹ của bài toán (2.3) nếu u liên tục trên [s, T ] thỏa mãn phương trình
(2.4) và us (σ) = ϕ(σ) với mọi σ ∈ (−∞, 0].
19


Mệnh đề 2.2.4. Với g ∈ L1 ([s, T], X), nếu u là một nghiệm nhẹ của
(2.3) thì
t

Duσ dσ ∈ D(A)
s

và
t

Dut = Dus + A

t

Duσ dσ +

g(σ)dσ, s ≤ t ≤ T.

s

(2.6)

s

Chứng minh. Giả sử u là một nghiệm nhẹ của bài toán (2.3).
Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có
t
(t−s)A

Dut = e

e(t−σ)A g(σ)dσ.

Dus +
s

Như vậy,
t

t

Duσ dσ =
s

t

e

(σ−s)A

Dus dσ +

s

τ

s
t

s
t

e(σ−s)A Dus dσ +

=

e(τ −σ)A g(σ)dσ

dτ

s

t

e(τ −σ)A g(σ)dτ.

dσ
s

σ

Từ gợi ý ở Bổ đề 1.4.2, ta có
t

Duσ dσ ∈ D(A)
0

và
t

t

Duσ dσ = e

A

(t−s)A

[e(t−σ)A − 1]g(σ)dσ.

Dus − Dus +

s

s

Từ đây suy ra (2.6).
Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm cổ điển của bài toán
(2.3).
Định lý 2.2.5. Giả sử α ∈ (0, 1) và u là một nghiệm nhẹ của bài toán
(2.3). Nếu g ∈ C α ([s, T], X) thì
(i) t → Dut ∈ C α ([s+ , T], D(A)) ∩ C 1+α ([s+ , T], X) với mọi
∈ (0, T − s),
20


(ii) u là một nghiệm cổ điển của (2.3) khi Dϕ ∈ D(A) và
(iii) (Du.) và ADu. đều thuộc C α ([s, T], X) và có một hằng số C sao
cho
||Du.||C 1+α ([s,T],X) + ||ADu.||C α ([s,T],X)
≤ C ||g||C α ([s,T],X) + ||Dϕ||D(A) + ||ADϕ + g(s)||DA (α,∞) , (2.7)
với điều kiện Dϕ ∈ D(A) và ADϕ + g(s) ∈ Xα,∞ , ở đó Du. và
(Du.) tương ứng là ánh xạ t −→ Du(t) và đạo hàm của nó.
Chứng minh. Trước tiên, ta chứng minh (iii).
Vì u là một nghiệm nhẹ của (2.3). Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có
t
(t−s)A

Dut = e

e(t−σ)A g(σ)dσ.

Dϕ +
s

Ta chia ánh xạ t −→ Dut làm 2 thành phần v1 và v2 với
t

(t−σ)A
[g(σ) − g(t)]dσ, t ∈ [s, T]
v1 (t) =
s e
t
(t−s)A
v 2 (t) = e
Dϕ + s e(t−σ)A g(t)dσ, t ∈ [s, T].

(2.8)

Vì Ae.A ∈ C((s, T ], L(X)) nên tích phân
t

Ae(t−σ)A [g(σ) − g(t)]dσ
s+

tồn tại với mọi ∈ (0, T − s).
Hơn nữa, bởi (1.6) ta thấy rằng
t

t

||Ae

(t−σ)A

|t − σ|α−1 ds

[g(σ) − g(t)]||ds ≤ M1

s+

s

≤ M1 (T − s)α ,
với s + ≤ t ≤ T . Điều này được suy ra từ định lí hội tụ bị chặn và
tính đóng của A với mọi t ∈ [s, T], tích phân
t

Ae(t−σ)A [g(σ) − g(t)]dσ
s

21


tồn tại, v1 (t) ∈ D(A) và
t

Ae(t−σ)A [g(σ) − g(t)]dσ.

Av1 (t) =
s

Ngoài ra, từ (A1) và Bổ đề 1.4.2 ta suy ra v2 (t) ∈ D(A) và
Av2 (t) = Ae(t−s)A Dϕ + (e(t−s)A − 1)g(t), t ∈ (s, T ].

Do đó
Dut ∈ D(A) ⊂ Xα,p , ∀t ∈ (s, T ].

(2.9)

Ta có:
Av1 (t) − Av1 (τ )
τ

[e(t−σ)A −e(τ −σ)A ][g(σ) − g(τ )]dσ

=A
s
τ

t

+A

e

(t−σ)A

e(t−σ)A [g(σ) − g(t)]dσ

[g(τ ) − g(t)]dσ + A

s

τ

τ

=

t−σ

AeηA dη [g(σ) − g(τ )]dσ

A
τ −σ

s

t
(t−s)A

+ [e

(t−τ )A

−e

Ae(t−σ)A [g(σ)−g(t)]dσ. (2.10)

][g(t) − g(τ )]+
τ

Do đó bởi (1.6), ta có
||Av1 (t) − Av1 (τ )||

τ

≤

t−σ

AeηA dη [g(σ)−g(τ )]dσ

A
τ −σ

s

t

+ ||[e

(t−s)A

−e

(t−τ )A

Ae(t−σ)A [g(s)−g(t)]dσ

][g(t)−g(τ )]||+
τ

τ

≤ M 2 [g]C α
s
t

+ M 1 [g]C α

(τ − σ)α

t−σ

τ −2 dτ dσ + 2M 0 [g]C α (t − τ )α
τ −σ

(t − σ)α−1 ds

τ

≤

M1
M2
+ 2M 0 +
α(1 − α)
α

[g]C α (t − τ )α .
22

(2.11)

Như vậyAv1 là liên tục H¨older trên đoạn [s,T]. Hơn nữa, nếu
Dϕ ∈ D(A) và ADϕ + g(s) ∈ Xα,∞ thì bởi (A5) và (1.6) ta có
||Av2 (t) − Av2 (τ )||
≤ (etA − eτ A )(ADϕ + g(s)) + (etA − eτ A )[g(τ ) − g(σ)]
+ [etA − 1][g(t) − g(τ )]
t

t

≤

Ae
τ

σA

eσA dσ

α

L(Xα,∞ ,X)

ds||ADϕ + g(s)||α,∞ + τ [g]C α A

τ

L(X)

α

+ (M 0 + 1)[g]C α (t − τ )
k1,α
≤
ADϕ + g(s) α,∞ (t − τ )α +
α

M1
+ M 0 + 1 [g]C α (t − τ )α .
α
(2.12)

Do đó Av2 là liên tục H¨older và đánh giá (2.7) được suy ra dễ dàng.
Vậy (iii) được chứng minh.
(i) Ta thấy rằng
t

Dut = e

(t−s− )A

e(t−σ)A gσdσ,

Dus+ +
s+

với t ∈ [s+ , T].
Lấy ∈ (0, T − s) tùy ý. Bởi (2.9) và
ADus+ + g(s + ) = e(s+ /2)A ADus+ /2 + g(s + )
s+

Ae( −σ)A (g(σ) + g(s + ))dσ

+
s+ /2

∈ D(A) ⊂ Xα,∞ ;
ta có Dus+ ∈ D(A), (i) được suy ra từ (iii).
Ta thấy Av1 là liên tục H¨older trên [s, T ] bởi (2.10) và (2.11). Hơn
nữa, Av2 rõ ràng liên tục trên (s,T]. Do đó, nếu Dϕ ∈ D(A) thì bởi
(2.8) Du. ∈ C([s, T ], X) và ADu. ∈ C((s, T ], X). Vì vậy để chứng minh
(ii), ta chứng minh Du. thỏa mãn (2.3) và Du. ∈ C 1 ((s, T ], X).
Thật vậy, từ Du. thỏa mãn (2.6) và bởi Mệnh đề 2.2.4 với mọi t, h
với t, t + h ∈ (s, T ].
Dut+h − Dut
1
=
A
h
h

t+h

t+h

Duσ dσ +
t

g(σ)dσ .
t

23

(2.13)