Một số điều kiện chính quy ràng buộc trong quy hoạch toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Huyền Anh

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC
TRONG QUY HOẠCH TOÁN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Huyền Anh

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC
TRONG QUY HOẠCH TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo trong Tổ giải tích, Khoa Toán, Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Quang Huy,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn em trong quá
trình thực hiện khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017.
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Huyền Anh


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quang Huy.
Các kiến thức và tài liệu được trích dẫn trong khóa luận là trung
thực.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017.
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Huyền Anh

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Các điều kiện tối ưu

4

1.1

Điều kiện tối ưu bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Điều kiện tối ưu bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Điều kiện chính quy ràng buộc

18

2.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Mối quan hệ giữa các chính quy ràng buộc . . . . . . .

21

2.3

Chính quy ràng buộc bậc hai cho bài toán chứa ràng
buộc bất đẳng thức và ràng buộc đẳng thức. . . . . . .

25

Kết Luận

28

Tài liệu tham khảo

28

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tối ưu hay bài toán quy hoạch toán học đã được quan tâm
nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học. Các điều kiện tối ưu cho lớp bài
toán này thường được thiết lập dưới các điều kiện chính quy thích hợp
đối với hàm mục tiêu và tập ràng buộc. Nhiều công trình đã nghiên
cứu về các điều kiện chính quy và các điều kiện tối ưu, chẳng hạn,
xem [1–10] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Lớp bài toán này đã và
đang được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm, nghiên cứu.
Chính vì vậy tác giả đã chọn đề tài “Một số điều kiện chính quy ràng
buộc trong quy hoạch toán học ” cho việc tìm hiểu và nghiên cứu của
mình.
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1 nghiên cứu các điều kiện cần và đủ Karush-Kuhn-Tucker
cho bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức và ràng
buộc đẳng thức.
Chương 2 nghiên cứu một số chính quy ràng buộc và mối quan hệ
giữa chúng.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu và

các điều kiện chính quy ràng buộc cho bài toán quy hoạch phi tuyến
với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc đẳng thức.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch
phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc đẳng thức.
2. Nghiên cứu một số chính quy ràng buộc và mối quan hệ giữa
chúng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1. Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện cần và đủ tối ưu.
2. Phạm vi nghiên cứu: Bài toán quy hoạch toán học.

5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và
ngoài nước.

6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Khóa luận là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu về điều
kiện cần và đủ cực trị và một số điều kiện chính quy trong quy hoạch
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

toán học.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017.

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Huyền Anh

3


Chương 1
Các điều kiện tối ưu
Xét bài toán quy hoạch phi tuyến

(P )




min f (x)








với ràng buộc



gi (x) ≤ 0 ; i = 1, ..., m







hj (x) = 0 ; j = 1, ..., l






 x ∈ X,

trong đó X là một tập khác rỗng trong Rn và f : Rn → R; gi (x) :
Rn → R với i = 1, 2, .., m; hj (x) : Rn → R với j = 1, 2, .., l.
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu các điều kiện cần và đủ
Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán (P ).

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1

Nguyễn Thị Huyền Anh

Điều kiện tối ưu bậc nhất

Cho X là tập mở khác rỗng trong Rn , U là một tập lồi trong Rn . Kí
hiệu
C 1 = f : U → R| f liên tục và có các đạo hàm riêng
của f liên tục trên U .
Kí hiệu ∇f (x) là đạo hàm của hàm f theo x.
Hàm f : U → R, ∈ C 1 được gọi là hàm giả lồi nếu ∀x1 , x2 ∈ U tồn tại
một hàm thực k (x1 , x2 ) > 0 sao cho
(x1 − x2 )t ∇f (x2 ) ≤ k (x1 , x2 ) [f (x1 ) − f (x2 )] .
Hàm f được gọi là hàm tựa lồi nếu với mọi số thực a, tập
Ca− = {x ∈ U : f (x) ≤ a}
là tập lồi.
Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu với mọi số thực a, tập
Ca+ = {x ∈ U : f (x) ≥ a}
là tập lồi.
Một điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm số f trên
X nếu tồn tại r > 0 sao cho ∀x ∈ B (x0 , r) : f (x0 ) ≤ f (x).
Tập ràng buộc của bài toán (P ) kí hiệu là tập D, và được xác định
bởi
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

D = x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0 với i = 1, ..., m;
hj (x) = 0 với j = 1, ..., l;

x∈X ,

và I = {i : gi (¯
x) = 0} là tập chỉ số của ràng buộc bất đẳng thức của
bài toán (P ).
Sau đây ta trình bày các định lý về điều kiện cần và đủ KarushKuhn-Tucker.
Định lý 1.1. (Điều kiện cần bậc nhất) Xét bài toán (P ) và x ∈ D.
Giả sử f và mỗi gi với i ∈ I là khả vi tại x¯, gi với i ∈
/ I là liên tục tại
x và mỗi hj với j = 1, ..., l là khả vi liên tục tại x¯. Hơn nữa, giả sử
∇gi (x) với i ∈ I và ∇hj (x) với j = 1, ..., l là độc lập tuyến tính. Nếu
x¯ là một cực tiểu địa phương của bài toán (P ) thì tồn tại duy nhất các
bộ số ui ∈ R (i ∈ I) và vj ∈ R (j = 1, ..., l) sao cho
l

∇f (x) +

ui ∇gi (x) +

vj ∇hj (x) = 0
j=1

i∈I

ui ≥ 0 ; i ∈ I.
Hơn thế nữa, nếu mỗi gi với i ∈
/ I cũng khả vi tại x¯, điều kiện KarushKuhn-Tucker có thể được viết dưới dạng tương đương sau
m

∇f (x) +

l

ui ∇gi (x) +
i=1

vj ∇hj (x) = 0
j=1

ui gi (x) = 0 ; i = 1, ..., m
ui ≥ 0 ; i = 1, ..., m.

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Chứng minh. Theo định lí về điều kiện cần Fritz-John [1, Định lý 4.3.2]
thì tồn tại u0 ∈ R và các bộ số ui ∈ R với i ∈ I, vj ∈ R với j = 1, ..., l
không đồng thời bằng 0 sao cho
m

u0 ∇f (x) +

l

ui ∇gi (x) +
i=1

vj ∇hi (x) = 0
(1.1)

j=1

u0 ; ui ≥ 0 ; i ∈ I.
Lưu ý rằng u0 > 0 vì nếu u0 = 0 thì (1.1) sẽ mâu thuẫn với giả thiết về
sự độc lập tuyến tính của ∇gi (x) với i ∈ I và ∇hj (x) với j = 1, ..., l.
Do đó u0 > 0. Chia cả 2 vế của phương trình trong (1.1) cho u0 > 0
ta được:
m

∇f (x) +
i=1

l

ui
vj
∇gi (x) +
∇hj (x) = 0.
u0
u
0
j=1

(1.2)

Đặt:
ui =

ui
u0

(i ∈ I) ;

vj =

vj
u0

(j = 1, ..., l),

và thay vào (1.2) ta được kết quả đầu tiên của định lý.
Vì theo giả thiết ∇gi (x) với i ∈ I và ∇hj (x) với j = 1, ..., l là độc lập
tuyến tính nên sự tồn tại của các nhân tử Lagrange là duy nhất.
Bây giờ để chứng minh dạng tương đương của điều kiện cần ta cho
ui = 0 với i ∈
/ I. Định lý được chứng minh.
Lưu ý rằng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker của Định lý 1.1 có thể

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

được viết dưới dạng vectơ như sau
∇f (x) + ∇g(x)t u + ∇h(x)t v = 0

ut g (x) = 0
u ≥ 0.
Ở đây ∇g (x) là ma trận Jacobian cấp m × n và ∇h (x) là ma trận
Jacobian cấp l × n mà số hàng của chúng theo thứ tự là ∇gi (x)t và
∇hj (x)t . Các vectơ u và v là các vectơ nhân tử Lagrange.
Định lý 1.2. (Điều kiện đủ bậc nhất) Xét bài toán (P ). Giả sử
điều kiện Karush-Kuhn-Tucker đúng tại x, tức là tồn tại các bộ số
ui ≥ 0 với i ∈ I và vj với j = 1, ..., l sao cho
m

l

ui ∇gi (x) +

∇f (x) +
i=1

v j ∇hj (x) = 0.

(1.3)

j=1

Đặt J = {j : v j > 0} và K = {j : v j < 0}. Hơn nữa, giả sử f là hàm
giả lồi tại x, gi là hàm tựa lồi tại x với i ∈ I, hj là tựa lồi tại x với
j ∈ J và hj là hàm tựa lõm tại x với j ∈ K. Khi đó x là một nghiệm
tối ưu toàn cục của bài toán (P ).
Đặc biệt, nếu giả thuyết lồi suy rộng trên hàm mục tiêu và hàm ràng
buộc bị hạn chế trên miền Nε (x) ( lân cận của x ) với một vài ε > 0
thì x là một cực tiểu địa phương của bài toán (P ).

Chứng minh. Giả sử x là môt nghiệm chấp nhận được bất kì của bài
toán (P ) hay x ∈ D [Trong trường hợp giả thuyết lồi suy rộng chỉ
đúng bằng cách hạn chế miền của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc
đến Nε (x) thì cho x là một nghiệm chấp nhận được bất kì của bài
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

toán (P ) mà cũng nằm trong Nε (x) ].
Khi đó, với i ∈ I, gi (x) ≤ gi (x), vì gi (x) ≤ 0 và gi (x) = 0. Từ tính
tựa lồi của gi tại x ta có
gi (x + λ (x − x)) = gi (λx + (1 − λ) x) ≤ max {gi (x) , gi (x)}
= gi (x) ,

∀λ ∈ (0, 1) .

Điều này nói lên rằng gi không tăng khi di chuyển từ x dọc theo hướng
x − x. Do đó từ định lý về hướng giảm [1, Định lý 4.1.2], ta có
∇gi (x)t (x − x) ≤ 0 ; i ∈ I.

(1.4)

Tương tự vì hj là tựa lồi tại x với j ∈ J và hj là tựa lõm tại x với
j ∈ K nên ta có
∇hj (x)t (x − x) ≤ 0 ; j ∈ J

(1.5)

∇hj (x)t (x − x) ≥ 0 ; j ∈ K.

(1.6)

Nhân (1.4) với ui ≥ 0, (1.5) với vj > 0 và (1.6) với vj < 0 sau đó cộng
lại ta nhận được
t


ui ∇gi (x) +


i∈I

vj ∇hj (x) (x − x) ≤ 0.

(1.7)

j∈J∪K

Nhân (1.3) với (x − x) và lưu ý rằng vj = 0 với j ∈
/ J ∪ K sau đó kết
hợp với (1.7) ta suy ra
∇f (x)t (x − x) ≥ 0.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Từ tính giả lồi của f tại x ta có
f (x) ≥ f (x) .
Định lý được chứng minh.

1.2

Điều kiện tối ưu bậc hai

Xét bài toán (P )
min{f (x) : x ∈ S},

(1.8)

trong đó
S = x ∈ X : gi (x) ≤ 0 với i = 1, ..., m và hj (x) = 0 với j = 1, ..., l ,
(1.9)
với X là một tập mở khác rỗng trong Rn và các hàm f : Rn → R,
gi (x) : Rn → R với i = 1, 2, .., m, hj (x) : Rn → R với j = 1, 2, .., l khả
vi liên lục hai lần.
Kí hiệu hàm Lagrange của bài toán là φ (x, u, v). Ta có
m

φ (x, u, v) = f (x) +

l

ui gi (x) +

i=1

vj h1 (x).

(1.10)

j=1

Xét hàm Lagrange theo u, v như sau:
l

L (x) ≡ φ (x, u, v) = f (x) +

ui gi (x) +
i∈I

vi hj (x),

(1.11)

j=1

ở đó I = {i : gi (¯
x) = 0} là tập chỉ số của ràng buộc bất đẳng thức tại
x.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Sau đây, ta xét các định lý về điều kiện cần và đủ bậc hai.
Định lý 1.3. (Điều kiện cần bậc hai) Xét bài toán (P ) và x là
một cực tiểu địa phương của bài toán (P ). Kí hiệu ma trận Hessian
của hàm Lagrange theo ui và vi tại x bởi
l
2

2

2

∇ L (x) ≡ ∇ f (x) +

vj ∇2 hj (x),

ui ∇ gi (x) +
j=1

i∈I

ở đó ∇2 f (x), ∇2 gi (x) với i ∈ I, ∇2 hj (x) với j = 1, ..., l theo thứ tự
là các ma trận Hessian của f , gi với i ∈ I và hj với j = 1, ..., l tính
tại x. Giả sử ∇gi (x) với i ∈ I và ∇hj (x) với j = 1, ..., l là độc lập
tuyến tính. Khi đó x là một điểm Karush-Kuhn-Tucker có các nhân
tử Lagrange u ≥ 0 và v theo thứ tự liên kết với ràng buộc bất đẳng
thức và ràng buộc đẳng thức. Hơn nữa dt ∇2 L (x) d ≥ 0 với mọi d ∈ C.
Trong đó, nón C được xác định như sau
C = d = 0 : ∇gi (x)t d = 0, i ∈ I + ; ∇gi (x)t d ≤ 0, i ∈ I 0 ;

∇hj (x)t d = 0, j = 1, ..., l ,
ở đó I + = {i ∈ I : ui > 0} và I 0 = {i ∈ I : ui = 0} .
Chứng minh. Từ Định lý 1.1 ta suy ngay rằng x là một điểm KarushKuhn-Tucker.
Nếu C = ∅ thì định lý hiển nhiên đúng.
Ngược lại, xét bất kì d ∈ C và kí hiệu I (d) = i ∈ I : ∇gi (x)t d = 0
với λ ≥ 0 và α : R → Rn xác định bởi phương trình vi phân và điều

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

kiện biên sau:
dα (λ)
= P (λ) d,
dλ

α (0) = x,

ở đó P (λ) là ma trận mà chiếu bất kì vectơ nào trong không gian không
của ma trận có các hàng ∇gi (α (λ)) , i ∈ I(d) và ∇hj (α (λ)) , j =
1, ..., l. Theo kết quả của [1, Định lý 4.3.1] [bằng cách xét gi với i ∈
I (d) và hj với j = 1, ..., l như những phương trình trong đó và xét gi
với i ∈ I − I (d) mà ∇gi (x)t d < 0 như bất đẳng thức trong đó ], ta
thu được α (λ) là chấp nhận được với 0 ≤ λ ≤ δ, với một vài δ > 0.
Hơn nữa, xét một dãy {λk } → 0+ và kí hiệu xk = α (λk ) , ∀k. Bằng
khai triển chuỗi Taylor ta có
L (xk ) = L (x) + ∇L(x)t (xk − x)

+ 21 (xk − x)t ∇2 L (x) (xk − x)

(1.12)

+ (xk − x) 2 β [x; (xk − x)] ,
ở đó β [x; (xk − x)] → 0 khi xk → x. Vì gi (xk ) = 0 với mọi i ∈ I (d) ⊇
I + và hj (xk ) = 0 với mọi j = 1, ..., l nên từ (1.11) ta có L (xk ) = f (xk ).
Tương tự, L (x) = f (x). Hơn nữa, vì x là một điểm Karush-KuhnTucker nên ta có ∇L (x) = 0. Ngoài ra, vì xk = α (λk ) là chấp nhận
được nên xk → x khi λk → 0+ hoặc khi k → ∞, và vì x là một cực
tiểu địa phương nên chúng ta phải có f (xk ) ≥ f (x) với k đủ lớn. Do
đó, từ (1.12) ta có
f (xk ) − f (x) 1 (xk − x)t 2
xk − x
=
∇ L (x)
2
λk
2
λk
λk
xk − x
+
λk
12

2

β [x; (xk − x)] ≥ 0,

(1.13)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

với k đủ lớn.
Ta lại có
xk − x
α (λk ) − α (0)
= lim
k→∞
k→∞
λk
λk
lim

(1.14)

= α (0) = P (0) d = d,
vì d đã có trong không gian không của ma trận có các hàng ∇gi (x) , i ∈
I(d) và ∇hj (x) , j = 1, ..., l. Lấy giới hạn ở (1.13) khi k → ∞ và
sử dụng (1.14), ta thu được dt ∇2 L (x) d ≥ 0. Định lý được chứng
minh.
Quan sát rằng tập C được định nghĩa như trong định lý là một tập
con của G0 ∩ H0 trong đó
G0 = d = 0 : ∇gi (x)t d ≤ 0, i ∈ I
H0 = d : ∇hj (x)t d = 0, j = 1, ..., l ,
và độ cong không âm của L tại x đòi hỏi ∀d ∈ C, nhưng không cần
thiết ∀d ∈ G0 ∩ H0 . Hơn nữa, nếu bài toán không bị ràng buộc, Định

lý 1.3 khẳng định rằng ∇f (x) = 0 và H (x) là nửa xác định dương tại
cực tiểu địa phương x.
Định lý 1.4. (Điều kiện đủ bậc hai) Xét bài toán (P ) và cho x là
một điểm Karush-Kuhn-Tucker của bài toán (P ) cùng với các nhân tử
Lagrange u và v liên kết với các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức,
theo thứ tự. Cho I = {i : gi (¯
x) = 0} và kí hiệu I + = {i ∈ I : ui > 0}
và I 0 = {i ∈ I : ui = 0}, ( I+ và I0 như vậy đôi khi được gọi là tập
ràng buộc thực sự mạnh và tập ràng buộc thực sự yếu, theo thứ tự ).

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Kí hiệu ma trận Hessian của hàm Lagrange theo ui và vi tại x bởi
l
2

2

2

∇ L (x) ≡ ∇ f (x) +

vj ∇2 hj (x).

ui ∇ gi (x) +

j=1

i∈I

Ở đó ∇2 f (x), ∇2 gi (x) với i ∈ I, ∇2 hj (x) với j = 1, ..., l theo thứ tự
là các ma trận Hessian của f , gi với i ∈ I và hj với j = 1, ..., l, tất cả
được tính tại x. Định nghĩa nón
C = d = 0 : ∇gi (x)t d = 0, i ∈ I + ; ∇gi (x)t d ≤ 0, i ∈ I 0 ;
∇hj (x)t d = 0, j = 1, ..., l .
Khi đó, nếu dt ∇2 L (x) d > 0, ∀d ∈ C, ta có x là một cực tiểu địa
phương chặt của bài toán (P ).
Chứng minh. Chứng minh phản chứng. Giả sử rằng x không là cực
tiểu địa phương chặt. Khi đó, như trong [1, Định lý 4.1.4], tồn tại một
dãy {xk } trong S hội tụ đến x sao cho xk = x và f (xk ) ≤ f (x) , ∀k.
Đặt
dk =

xk − x
,
xk − x

λk = xk − x

∀k

ta có xk = x + λk dk , ở đây dk = 1, ∀k, và ta có {λk } → 0+ khi
k → ∞. Vì dk = 1, ∀k nên tồn tại một dãy con hội tụ. Không mất
tính tổng quát, giả sử chính dãy đã cho biểu diễn cho dãy con hội tụ
này. Khi đó {dk } → d, ở đây dk = 1. Hơn nữa, ta có:
0 ≥ f (x + λk dk ) − f (x) = λk ∇f (x)t dk

1
+ λ2k dtk ∇2 f (x) dk + λ2k αf (x; λk dk ) ;
2
14

(1.15)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

0 ≥ gi (x + λk dk ) − gi (x) = λk ∇gi (x)t dk
1
+ λ2k dtk ∇2 gi (x) dk + λ2k αgi (x; λk dk ) ,
2

(1.16)
i ∈ I;

0 = hj (x + λk dk ) − hj (x) = λk ∇hj (x)t dk
1
+ λ2k dtk ∇2 hj (x) dk + λ2k αhj (x; λk dk ) , i ∈ j, ..., l;
2

(1.17)

ở đó αf , αgi với i ∈ I, và αhj với j = 1, ...l, tất cả tiến đến 0 khi
k → ∞. Chia các biểu thức (1.15), (1.16), (1.17) cho λk > 0 và lấy
giới hạn khi k → ∞, ta thu được

∇f (x)t ≤ 0;

∇gi (x)t d ≤ 0,
t

∇hj (x) d = 0,

i ∈ I;
(1.18)

j = 1, ..., l.

Bây giờ, từ x là một điểm Karush-Kuhn-Tucker, ta có
l

∇f (x) +

ui ∇gi (x) +

vj hj (x) = 0.
j=1

i∈I

Lấy các số hạng bên trong của tổng này nhân vô hướng với d và sử
dụng (1.18) ta suy ra
∇f (x)t = 0;

∇gi (x)t d = 0,

t

∇gi (x) d ≤ 0,

0

i∈I ;

i ∈ I+
(1.19)

t

∇hj (x) d = 0,

j = 1, ..., l.

Vì thế, d ∈ C . Hơn nữa, nhân mỗi số hạng của (1.16) với ui (i ∈ I),
mỗi số hạng của (1.17) với vj (j = 1, ..., l), và cộng vào sau đó sử dụng
công thức
l
t

t

∇f (x) dk +

vi hj (x)t dk = 0,

ui gi (x) dk +

j=1

i∈I

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

ta thu được
λ2k t 2
0 ≥ dk ∇ L (x) dk
2
l

+

λ2k

αf (x; λk dk ) +

ui αgi (x; λk dk ) +

vj αhj (x; λk dk ) .
j=1

i∈I

Chia bất đẳng thức trên cho λ2k > 0 và lấy giới hạn khi k → ∞, ta
thu được dt ∇2 L (x) d ≤ 0, ở đó dk = 1 và d ∈ C. Đây là điều mâu
thuẫn với giả thiết. Vậy x phải là cực tiểu địa phương chặt cho bài
toán toán (P ). Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Xét bài toán (P ) và cho x là một điểm Karush-KuhnTucker liên kết với các nhân tử Lagrange u và v theo thứ tự tương ứng
với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc đẳng thức.
Hơn nữa, giả sử tập các vectơ ∇gi (x) với i ∈ I + = {i ∈ I : ui > 0} và
∇hj (x) với j = 1, ..., l chứa một tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính.
Khi đó, x là một cực tiểu địa phương chặt cho bài toán.
Chứng minh. Theo điều kiện độc lập tuyến tính đã phát biểu ở hệ
quả, ta có C = ∅. Do đó Định lý 1.4 hiển nhiên đúng. Hệ quả được
chứng minh.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Một vài nhận xét có liên quan đến Định lý 1.4:
1. Ta có thể hạn chế hơn nữa nón C để kết quả chứa ràng buộc
∇f (x)t d = 0. Mặc dù điều này là hơp lệ, nhưng ta không hạn chế
C hơn, vì khi x là một điểm Karush-Kuhn-Tucker và d ∈ C nên
hiển nhiên ta có ∇f (x)t d = 0.
2. Nếu bài toán không bị ràng buộc thì Định lý 1.4 khẳng định rằng
nếu ∇f (x) = 0 và nếu ∇2 f (x) ≡ H (x) là xác định dương thì x
là một cực tiểu địa phương chặt.

17

Chương 2
Điều kiện chính quy ràng buộc
Xét bài toán quy hoạch phi tuyến

(P )




min f (x)








với ràng buộc



gi (x) ≤ 0 ; i = 1, ..., m







hj (x) = 0 ; j = 1, ..., l






 x ∈ X,

trong đó X là một tập khác rỗng trong Rn và f : Rn → R; gi (x) :
Rn → R với i = 1, 2, .., m; hj (x) : Rn → R với j = 1, 2, .., l.
Trong chương này, chúng ta đi nghiên cứu một số chính quy ràng buộc
và mối quan hệ giữa chúng.

2.1

Một số khái niệm

Cho S là một tập khác rỗng trong Rn và cho x ∈ cl S. Trong đó, cl S
là bao đóng của tập S.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Nón tiếp tuyến của S tại x là nón xác định bởi

T = d : lim λk (xk − x) = d ,
k→∞

(2.1)

ở đó λk > 0, xk ∈ S với mỗi k, xk → x.
Nón sinh bởi các hướng chấp nhận được (cone of feasible directions)
của S tại x là nón xác định bởi
M = {d = 0 : x + λd ∈ S}

(2.2)

ở đó λ ∈ (0, δ) với δ > 0.
Nón sinh bởi các hướng tiệm cận (cone of attainable directions) của
S tại x là nón xác định bởi
A=

d = 0 : lim+
λ→0

α (λ) − α (0)
=d ,
λ

(2.3)

ở đó δ > 0, α : R → Rn , α (λ) ∈ S, α (0) = x.
Nón sinh bởi các hướng phần trong (cone of interior directions) của S
tại x là nón xác định bởi
G0 = d : ∇gi (x)t d < 0

với i ∈ I.

(2.4)

Kí hiệu các tập

I = {i : gi (x) = 0}
G = d : ∇gi (x)t d ≤ 0
H0 = d : ∇hj (x)t d = 0
19

với i ∈ I,

(2.5)

với j = 1, ..., l.

(2.6)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền Anh

Định nghĩa 2.1. (Chính quy ràng buộc Slater) Chính quy ràng
buộc Slater đúng tại x nếu
(i) X là tập mở,
(ii) gi với i ∈ I là giả lồi tại x, gi với i ∈
/ I là liên tục tại x,

(iii) hj với j = 1..., l là tựa lồi, tựa lõm, và khả vi liên tục tại x,
(iv) {∇hj (x)}j=1,...l là độc lập tuyến tính,
(v) Tồn tại x ∈ X sao cho gi (x) < 0 ∀i ∈ I và hj (x) < 0 ∀j =
1, ..., l.
Định nghĩa 2.2. (Chính quy ràng buộc độc lập tuyến tính)
Chính quy ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) đúng tại x nếu
(i) X là tập mở,
(ii) gi với i ∈
/ I là liên tục tại x,
(iii) hj với j = 1..., l là khả vi liên tục tại x,
(iv) {∇gi (x)}i∈I và {∇hj (x)}j=1,...l là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 2.3. (Chính quy ràng buộc Cottle) Chính quy ràng
buộc Cottle đúng tại x nếu
(i) X là tập mở,
(ii) gi với i ∈
/ I là liên tục tại x,
(iii) hj với j = 1..., l là khả vi liên tục tại x,
(iv) {∇hj (x)}j=1,...l là độc lập tuyến tính,
20