Tính bội của cực tiểu toàn cục của hàm tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Việt Hà

TÍNH BỘI CỦA CỰC TIỂU TOÀN CỤC CỦA HÀM THAM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Việt Hà

TÍNH BỘI CỦA CỰC TIỂU TOÀN CỤC CỦA HÀM THAM SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, cho phép tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 - người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp
đỡ tôi hoàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời, tôi xin chân
thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích nói riêng, các thầy cô
trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung đã
tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên
cứu tại trường. Là sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên
không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Kính mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa
luận được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Lê Việt Hà


Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn,
khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành giải tích với đề tài "Tính
bội của cực tiểu toàn cục của hàm tham số" được hoàn thành
bởi chính sự nhận thức của tôi, không có sự trùng lặp với bất kì công
trình khoa học nào khác. Trong khi nghiên cứu khóa luận này, tôi đã
tham khảo và kế thừa thành quả của các nhà khoa học, các thầy cô
giáo với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Lê Việt Hà


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Một số khái niệm về tập lồi . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Một số khái niệm về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Hàm lồi, hàm lõm, hàm tựa lồi, hàm tựa lõm . .

6

1.2.2

Hàm nửa liên tục dưới, hàm lồi liên tục . . . . .

8

1.2.3

Điểm cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Tập mở, tập đóng, tập compact, tập liên thông . . . .

10

1.4

Điểm tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

2 Tính bội của cực tiểu toàn cục của hàm tham số

12

2.1

Điều kiện để hàm số có ít nhất hai cực tiểu toàn cục .

13

2.2

Ứng dụng với phiếm hàm tích phân

22

i

. . . . . . . . . .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Kết luận

28

Tài liệu tham khảo

29


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Lời mở đầu
Từ trước đến nay, toán học luôn gắn liền với các bài toán thực tế,
trong đó các bài toàn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực
trị) được rất nhiều người quan tâm như một số bài toán: tìm đường
đi ngắn nhất, nhanh nhất (theo thời gian), tổng lợi nhuận cao nhất,
diện tích lớn nhất... Những bài toán trên được xuất phát từ bài toán
của sản xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế, bài toán cực trị là
một phần quan trọng trong toán học.
Trong những năm gần đây, ngành toán học tối ưu đã có những

bước phát triển vượt bậc và nó mở ra rất nhiều hướng nghiên cứu
khác nhau như các hướng nghiên cứu:
- Tồn tại, duy nhất nghiệm cực trị,
- Xấp xỉ nghiệm cực trị,
- Đối ngẫu của bài toán cực trị,
- Điều kiện để hàm số có cực trị...
Trong hướng nghiên cứu đầu tiên, đa số các công trình nghiên cứu
thường liên quan đến tính tồn tại và duy nhất nghiệm. Nhưng nhà
toán học Ricceri lại nghiên cứu về tính bội của cực tiểu toàn cục của
hàm tham số (xem [7]) được công bố năm 2010.
Nội dung khóa luận của tôi là nghiên cứu bài báo [7]. Ngoài chương
kiến thức chuẩn bị thì chương 2 nghiên cứu mối quan hệ giữa giá trị
riêng và cực tiểu toàn cục. Nếu X, Y, Λ là ba tập khác rỗng, y là một
điểm thuộc Y và G : X × Λ → Y là một hàm số sao cho với mỗi
λ ∈ Λ thì phương trình G(x, λ) = y có ít nhất một nghiệm trong X.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Với λ∗ ∈ Λ, ta gọi λ∗ là giá trị riêng của phương trình G(x, λ) = y
nếu phương trình G(x, λ∗ ) = y có ít nhất hai nghiệm trong X. Ta dễ
dàng thấy, hàm Lagrange trong quy hoạch tuyến tính là trường hợp
riêng của bài toán tổng quát trên ứng với X, Y ≡ Rn , λ = R và
G(x, λ) = T1 (x) + λT2 (x),
với T1 , T2 là hai toán tử tuyến tính. Lí thuyết tổng quát xuất phát
trong trường hợp đó là một trong những phần quan trọng trong giải
tích tuyến tính.

Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu về vấn đề giá trị riêng
ở trên trong trường hợp Y = R, y = 0, Λ là một khoảng thực và
G(x, λ) = Ψ(x, λ) − inf Ψ(u, λ),
u∈X

cho trước Ψ : X × Λ −→ R.
Kết quả chính của khóa luận là định lí 2.2 được phát biểu như sau:
"Cho X là một không gian tôpô, I ⊆ R là một khoảng mở và
Ψ : X × I −→ R là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
a. Với mỗi x ∈ X, hàm Ψ(x, ·) là hàm tựa lõm và liên tục;
b. Với mỗi λ ∈ I, hàm Ψ(·, λ) có tập mức dưới đóng và compact;
c. sup inf Ψ(x, λ) < inf sup Ψ(x, λ).
λ∈I x∈X

x∈X λ∈I

Khi đó, tồn tại λ∗ ∈ I sao cho hàm số Ψ(·, λ∗ ) có ít nhất hai cực
tiểu toàn cục."
Kết quả trên đảm bảo sự tồn tại của một giá trị riêng với điều kiện
Ψ là hàm nửa liên tục dưới và inf-compact trong X, tựa lõm và liên
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

tục trong Λ và thỏa mãn: supΛ inf X Ψ < inf X supΛ Ψ. Trong trường
hợp Ψ là afin đối với biến λ và Λ = (0, +∞) thì ta có kết quả sau:
"Cho X là một không gian tôpô và J, Φ : X −→ R là hai hàm thỏa

mãn điều kiện sau:
a1 . Với mỗi λ > 0, hàm J + λΦ có tập mức dưới đóng và compact;
b1 . Tồn tại ρ ∈ (inf X Φ, supX Φ) và u1 , u2 ∈ X sao cho
Φ(u1 ) < ρ < Φ(u2 )
và
J(u2 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J
J(u1 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J
<
.
ρ − Φ(u1 )
ρ − Φ(u2 )
Khi đó, tồn tại λ∗ > 0 sao cho hàm số J + λ∗ Φ có ít nhất hai cực tiểu
toàn cục."
Cuối cùng, tôi đưa ra hai ứng dụng của định lí trên với phiếm hàm
tích phân.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài, do đó
khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Tôi kính mong thầy cô và
bạn đọc góp ý để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Lê Việt Hà
3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm về tập lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực, x và y là
hai phần tử thuộc X.
1.1.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.1. Giả sử A ⊂ X; x, y ∈ A. Đoạn nối x và y, kí hiệu
là [x, y] được định nghĩa bởi
[x, y] = {λx + (1 − λ)y ∈ A | ∀λ ∈ [0, 1]} .
Định nghĩa 1.2. Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A,
mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ A.
Nhận xét 1.1. Tập A là tập lồi nếu mọi x, y ∈ A thì [x, y] ⊂ A.
Ví dụ 1.1.1. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn
thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập
lồi. Trong khi mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Mệnh đề 1.1. Giả sử Aα ⊂ X(α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ
số bất kì. Khi đó, tập A = ∩α∈I Aα cũng là lồi.
Mệnh đề 1.2. Giả sử tập Ai ⊂ X lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, ..., m). Khi
đó, tập λ1 A1 + λ2 A2 + ... + λm Am là tập lồi.
Mệnh đề 1.3. Giả sử Xi là không gian tuyến tính, tập Ai là tập lồi,

Ai ⊂ Xi (i = 1, 2, ..., m). Khi đó, tích Descartes A1 × A2 × ... × Am là
tập lồi trong X1 × X2 × ... × Xm .
Mệnh đề 1.4. Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X −→ Y
là toán tử tuyến tính. Khi đó
a. Nếu tập A là tập lồi trong X thì T (A) là tập lồi trong Y,
b. Nếu B là tập lồi trong Y thì nghịch ảnh T −1 B của B là tập lồi.
Định nghĩa 1.3. Vectơ x ∈ X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
x1 , x2 , ..., xm ∈ X nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m) thỏa mãn
m

m

λi = 1 sao cho x =
i=1

λi xi .
i=1

Định nghĩa 1.4. Bao lồi của A (kí hiệu là conv A) là giao của tất cả
các tập lồi chứa A.
Nhận xét 1.2. Tập bao lồi conv A của A là một tập lồi và là tập lồi
nhỏ nhất chứa A.
Mệnh đề 1.5.
a. Tập conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.
b. Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Lê Việt Hà

Nón lồi

Định nghĩa 1.5. Một tập K ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi điểm
k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K. Hơn nữa, nếu K là tập lồi thì nó sẽ
được gọi là nón lồi.
Mệnh đề 1.6.
i. Giao của một họ bất kì các nón (nón lồi) là nón (nón lồi),
ii. Nếu K, L là các nón (nón lồi) thì K + L cũng là nón (nón lồi).

1.2
1.2.1

Một số khái niệm về hàm lồi
Hàm lồi, hàm lõm, hàm tựa lồi, hàm tựa lõm

Trong phần này, ta gọi R là tập số thực mở rộng và kí hiệu là
R := R ∪ {+∞, −∞}. Cho X là không gian tôpô, M là một tập con
khác rỗng của X và f là phiếm hàm nhận giá trị thực mở rộng trên
M
f : M −→ R := [−∞, ∞].
Khi đó, miền hữu hiệu của f (kí hiệu là dom f ) và tập trên đồ thị của
hàm f (kí hiệu là epi f ) được xác định lần lượt theo:
dom f := {x ∈ M |f (x) < ∞}
epi f := {(x, Υ) ∈ M × R|f (x) < Υ}.
Ngoài ra, với mỗi α ∈ R, ta gọi tập mức dưới của hàm f (với mức α)
là

C(f ; α) := {x ∈ M | f (x) ≤ α}
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Ta dễ thấy tập C(f ; α) cũng bằng {x ∈ M | (x, α) ∈ epi f } .
Định nghĩa 1.6. Với các giả thiết như trên, ta nói hàm f là hàm lồi
trên M nếu tập trên đồ thị epi f là tập lồi.
Hàm f gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.
Hàm f gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ M .
Định nghĩa 1.7. Hàm f được gọi là tựa lồi nếu tập C(f ; α) lồi với
mọi α ∈ R. Hàm f được gọi là tựa lõm nếu −f là tựa lồi.
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : X → (−∞, +∞]. Khi
đó, f lồi nếu và chỉ nếu
i

i

i

λi f (x ), ∀m ∈ N, x ∈ X, λi ≥ 0 :

λi x ) ≤

f(

m

m

m

i=1

i=1

i=1

λi = 1.

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Chúng ta chỉ cần chứng minh
điều kiện cần. Thật vậy, rõ ràng mệnh đề đúng với m ≤ 2. Ta giả sử
mệnh đề đúng với m = k ≥ 2. Cho các điểm x1 , x2 , ..., xk+1 ∈ X và
k+1

các số λ1 , λ2 , ..., λk+1 > 0 sao cho

k

λi = 1. Ta đặt λ =
i=1

λi , khi đó
i=1

ta suy ra λk+1 = 1 - λ. Áp dụng Bất đẳng thức Jensen lần đầu cho
m = 2 và lần sau cho m = k ta nhận được

k+1

1
λi x ) ≤ λf (
λ

f(
i=1

k+1

k

i

i

k+1

λi x ) + λk+1 f (x
i=1

λi f (xi ).

)≤
i=1

Vậy khẳng định đúng với m = k + 1 và mệnh đề đã được chứng
minh.
Định nghĩa 1.8. Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

dương nếu với mọi x ∈ X, với mọi λ ∈ (0, +∞) thì
f (λx) = λf (x).
1.2.2

Hàm nửa liên tục dưới, hàm lồi liên tục

Định nghĩa 1.9. Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới
tại x0 nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Nói cách khác, với mọi γ < f (x0 ) tồn tại lân cận gốc V sao cho
f (x) > γ, ∀x ∈ x0 + V.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi
điểm x thuộc X.
Định nghĩa 1.10. Phiếm hàm f : X → R được gọi là hàm số nửa
liên tục dưới yếu theo dãy nếu f (x) ≤ lim inf f (xn ) với mọi dãy {xn }
x→+∞

trong X hội tụ yếu đến x ∈ X.
Mệnh đề 1.7. Cho f : X → R, khi đó ba mệnh đề sau là tương
đương:

a. Hàm f nửa liên tục dưới,
b. Tập mức dưới C(f ; α) đóng, với mọi α ∈ R,
c. Tập trên đồ thị epi f của hàm f là tập đóng trong X × R.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh a kéo theo b. Cho {xλ } là dãy
trong C(f ; α) hội tụ về x. Khi đó, f (x) ≤ lim inf f (xλ ) ≤ α nên
x ∈ C(f ; α).
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh b kéo theo c. Ta lấy (x, γ) ∈
/ epi f ,
ta có f (x) > β > γ suy ra x ∈
/ C(f ; β). Vì C(f ; β) đóng nên tồn tại
lân cận U của x sao cho U ∩ C(f ; β) = ∅, tức là V ∩ epi f = ∅ với
V = U × (−∞, β) là một lân cận của (x, γ). Vậy epi f đóng.
Cuối cùng, ta chứng minh c kéo theo a. Cho x0 ∈ X và γ < f (x0 )
ta có (x0 , γ) ∈
/ epi f . Do epi f đóng nên tồn tại lân cận gốc V và số
dương

sao cho [(x0 + V ) × (γ − , γ + )] ∩ epi f = ∅. Do định nghĩa

của tập epi f từ đây suy ra f (x) > γ với mọi x ∈ x0 + V .
Định lý 1.2. Cho hàm f lồi chính thường trên X, khi đó các mệnh đề
sau là tương đương:
a. Hàm f bị chặn trên trong một lân cận của x¯;

b. Hàm f liên tục tại một điểm x¯ ∈ X;
c. Phần trong int epi f = ∅;
d. Phần trong int dom f = ∅ và hàm f liên tục tại mọi điểm thuộc
int(dom f ).
1.2.3

Điểm cực tiểu toàn cục

Định nghĩa 1.11. Cho phiếm hàm f trên không gian tôpô X. Ta nói
x0 ∈ X là điểm cực tiểu địa phương của f trên X nếu tồn tại lân cận
gốc V sao cho
f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ x0 + V,

(1.1)

f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ X,

(1.2)

còn nếu ta có

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

thì ta nói x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f .
Rõ ràng, một điểm cực tiểu toàn cục cũng là cực tiểu địa phương.

Trong trường hợp hàm f lồi thì hai khái niệm này trùng nhau. Thật
vậy, giả sử (1.1) thỏa mãn. Với mọi x ∈ X ta chọn λ > 0 đủ nhỏ sao
cho λ(x − x0 ) ∈ V . Lúc đó
f (x0 ) ≤ f (x0 + λ(x − x0 )) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ),
suy ra f (x0 ) ≤ f (x). Vậy (1.2) cũng thỏa mãn.

1.3

Tập mở, tập đóng, tập compact, tập liên thông

Định nghĩa 1.12. Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Tập G ⊂ X được
gọi là tập hợp mở trong (X, τ ) nếu G ∈ τ (với X là một tập hợp, τ là
một họ các tập con của X).
Nhận xét 1.3.
- Tập ∅ và X là các tập hợp mở.
- Hợp một họ các tập hợp mở là tập mở.
- Giao hữu hạn các tập hợp mở là tập mở.
Định nghĩa 1.13. Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong không gian
tôpô (X, τ ) nếu X \ F là tập mở trong (X, τ ).
Nhận xét 1.4.
- Giao của một họ bất kỳ các tập đóng là tập đóng.
- Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
Định nghĩa 1.14. Cho không gian tôpô (X, τ ) và tập A ⊂ X, A = ∅.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Tập A được gọi là tập compact trong X nếu A với tôpô cảm sinh trên
X là không gian compact.
Định nghĩa 1.15. Không gian tôpô X được gọi là không gian liên
thông nếu không tồn tại các tập mở khác rỗng A và B trong X sao
cho A ∩ B = ∅, X = A ∪ B.
Định nghĩa 1.16. Tập con M của không gian tôpô X được gọi là tập
liên thông nếu M cùng với tôpô cảm sinh là không gian liên thông.

1.4

Điểm tụ

Định nghĩa 1.17. Nếu x là một điểm của không gian tôpô X, U là
tập mở chứa x thì U được gọi là một lân cận của x.
Định nghĩa 1.18. Một điểm x gọi là điểm tụ của một tập A khi mọi
lân cận của x đều chứa vô số điểm của A (x có thể thuộc A hoặc
không thuộc A).
Mệnh đề 1.8. Một điểm x là điểm tụ của tập A khi và chỉ khi mỗi
lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khác x.

11


Chương 2
Tính bội của cực tiểu toàn cục của
hàm tham số
Chương này nghiên cứu mối quan hệ giữa giá trị riêng và cực tiểu
toàn cục của hàm tham số. Nếu X, Y, Λ là ba tập khác rỗng, y là một
điểm thuộc Y và G : X × Λ → Y là một hàm sao cho với mỗi λ ∈ Λ
thì phương trình G(x, λ) = y có ít nhất một nghiệm trong X. Với

λ∗ ∈ Λ, ta gọi λ∗ là giá trị riêng của phương trình G(x, λ) = y nếu
phương trình G(x, λ∗ ) = y có ít nhất hai nghiệm trong X.
Ta dễ dàng thấy hàm Lagrange trong quy hoạch tuyến tính là
trường hợp riêng của bài toán tổng quát trên ứng với X, Y ≡ Rn , λ = R
và
G(x, λ) = T1 (x) + λT2 (x),
với T1 , T2 là hai toán tử tuyến tính. Lí thuyết tổng quát xuất phát
trong trường hợp đó là một trong những phần quan trọng trong giải
tích tuyến tính.
Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu về vấn đề giá trị riêng

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

ở trên trong trường hợp Y = R, y = 0, Λ là một khoảng thực và
G(x, λ) = Ψ(x, λ) − inf Ψ(u, λ),
u∈X

cho trước Ψ : X × Λ −→ R.
Kết quả chính của chúng ta là định lí 2.2. Kết quả này đảm bảo
sự tồn tại của một giá trị riêng với điều kiện Ψ là hàm nửa liên tục
dưới và inf-compact trong X, tựa lõm và liên tục trong Λ và thỏa
mãn: supΛ inf X Ψ < inf X supΛ Ψ. Trong trường hợp Ψ là afin với λ và
Λ = (0, +∞) ta thu được định lí 2.3. Cuối cùng, tôi đưa ra hai ứng
dụng của định lí 2.3 với phiếm hàm tích phân.

2.1

Điều kiện để hàm số có ít nhất hai cực tiểu
toàn cục

Cho một hàm số f : X −→ R. Cho một tập S ⊆ X × I, với mỗi
(x, λ) ∈ X × I, ta đặt
Sx = {µ ∈ I : (x, µ) ∈ S},
S λ = {u ∈ X : (u, λ) ∈ S}.
Định lý 2.1 (Xem [8], Theorem 2.3). Cho X là một không gian tôpô,
I ⊆ R là một tập compact và S, T ⊆ X × I. Ta giả sử rằng S là liên
thông và S λ khác rỗng với mọi λ ∈ I, trong đó Tx là không rỗng và
liên thông với mọi x ∈ X và T λ là mở với mọi λ ∈ I. Khi đó, ta có
S ∩ T = ∅.
Sử dụng định lí 2.1 ta chứng minh định lí 2.2 như sau:
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Định lý 2.2. Cho X là một không gian tôpô, I ⊆ R là một khoảng
mở và Ψ : X × I −→ R là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
a. Với mỗi x ∈ X, hàm Ψ(x, ·) là hàm tựa lõm và liên tục;
b. Với mỗi λ ∈ I, hàm Ψ(·, λ) có tập mức dưới đóng và compact;
c. sup inf Ψ(x, λ) < inf sup Ψ(x, λ).
λ∈I x∈X

x∈X λ∈I

Khi đó, tồn tại λ∗ ∈ I sao cho hàm số Ψ(·, λ∗ ) có ít nhất hai cực
tiểu toàn cục.
Chứng minh. Lấy r thỏa mãn
sup inf Ψ(x, λ) < r < inf sup Ψ(x, λ).
λ∈I x∈X

x∈X λ∈I

(2.1)

Chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng, với mỗi λ ∈ I thì hàm
Ψ(·, λ) có duy nhất một cực tiểu toàn cục, ta gọi là xλ . Ta chỉ ra rằng
ánh xạ λ −→ xλ là liên tục. Thật vậy, để chứng minh điều này ta cần
chỉ ra rằng: nếu {λn } là một dãy trong I hội tụ đến λ ∈ I thì xλ là
một điểm tụ của {xλn }. Ta lấy một tập compact [a,b] ⊂ I sao cho
λn ∈ [a,b] với mọi n ∈ N.
Từ điều kiện a dễ dàng chỉ ra rằng
{x ∈ X : Ψ(x, λ) ≤ r} =
λ∈[a,b]

{x ∈ X : Ψ(x, a) ≤ r} ∪ {x ∈ X : Ψ(x, b) ≤ r} .

(2.2)

Chú ý rằng, theo (2.1) và điều kiện b, ta suy ra dãy {xλn } nằm trong
vế trái của (2.2) là compact. Do đó, nó hội tụ và ta đặt y = lim xλn .
n→∞

14

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Vì vậy, (y, λ) là một điểm tụ của dãy {(xλn , λn )} trong X × I. Từ các
điều kiện a, b và bổ đề 4 của [10], ta thấy rằng hàm Ψ là hàm nửa
liên tục dưới trong X × I. Ta sẽ chứng minh
Ψ(ˆ
y , λ) ≤ lim sup Ψ(xλn , λn ).

(2.3)

n→∞

Thật vậy, ta chứng minh bằng phản chứng, tồn tại η sao cho
ˆ
lim sup Ψ(xλn , λn ) < η < Ψ(ˆ
y , λ).
n→∞

Khi đó, tồn tại một lân cận U của (y, λ) và ν ∈ N sao cho
Ψ(xλn , λn ) < η < Ψ(x, λ),

(2.4)

với mọi n > ν và mọi (x, λ) ∈ U . Nhưng vì (y, λ) là một điểm tụ của
{(xλn , λn )} nên tồn tại n1 > ν sao cho (xλn1 , λn1 ) ∈ U , mâu thuẫn với
(2.4). Vì vậy (2.3) là đúng. Bây giờ, ta lấy x ∈ X. Ta có

ˆ ≤ lim sup Ψ(xλ , λn ) ≤ lim Ψ(x, λn ) = Ψ(x, λ).
ˆ
Ψ(ˆ
y , λ)
n
n→∞

n→∞

Tức là y là một cực tiểu toàn cục của Ψ(·, λ), vì vậy, ta có y = xλ . Do
đó, xλ là một điểm tụ của {xλn }.
Bây giờ, ta lấy {In } là một dãy tăng của các tập compact sao cho
In . Ta cần chỉ ra rằng tồn tại n ∈ N sao cho

I=
n∈N

sup inf Ψ(x, λ) < inf sup Ψ(x, λ).

λ∈In x∈X

x∈X λ∈In

15

(2.5)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Thật vậy, giả sử ngược lại, ta có
∀n ∈ N.

sup inf Ψ(x, λ) = inf sup Ψ(x, λ)

λ∈In x∈X

x∈X λ∈In

Với mỗi n ∈ N, ta đặt
Cn =

x ∈ X : sup Ψ(x, λ) ≤ r .
λ∈In

Chú ý rằng Cn = ∅. Thật vậy, nếu trái lại thì
r ≤ inf sup Ψ(x, λ) = sup inf Ψ(x, λ) ≤ sup inf Ψ(x, λ),
x∈X λ∈In

λ∈In x∈X

λ∈I x∈X

mâu thuẫn với (2.1). Do đó, {Cn } là một dãy các tập con khác rỗng,
Cn = ∅. Ta lấy

đóng và compact trong X, không tăng. Vì vậy
n∈N

x∗ ∈

Cn . Khi đó, ta có
n∈N

sup Ψ(x∗ , λ) = sup sup Ψ(x∗ , λ) ≤ r
n∈N λ∈In

λ∈I

vì vậy
inf sup Ψ(x, λ) ≤ r,

x∈X λ∈I

mâu thuẫn với (2.1). Do đó, ta lấy n ∈ N để (2.5) thỏa mãn và lấy ρ
sao cho
sup inf Ψ(x, λ) < ρ < inf sup Ψ(x, λ).

λ∈In x∈X

x∈X λ∈In

Tập
S = {(ˆ
xλ , λ) : λ ∈ In }

16

(2.6)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

và tập
T = {(x, λ) ∈ X × In : Ψ(x, λ) > ρ} .
Vì ánh xạ λ −→ xˆλ là liên tục nên tập S là liên thông. Theo (2.6), ta
cũng có Ψ(ˆ
xλ , λ) < ρ với mọi λ ∈ In , vì vậy
S∩T =∅

(2.7)

Mặt khác, theo điều kiện a, b và (2.6), ta nhận thấy rằng Tx là không
rỗng và liên thông với mọi x ∈ X, trong đó T λ là mở với mọi λ ∈ In .
Vì vậy, S và T thỏa mãn giả thiết của định lí 2.1 và do đó S ∩ T = ∅.
Điều này mâu thuẫn với (2.7). Ta suy ra, với mỗi λ ∈ I hàm Ψ(·, λ) có
ít nhất hai điểm cực tiểu toàn cục. Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 2.1. Chứng minh tương tự như trên, ta thấy rằng định lí 2.2
vẫn đúng nếu trong điều kiện c, ta thay thế "compact và đóng" thành
"compact theo dãy và đóng theo dãy".
Chú ý 2.2. Ta cũng chú ý rằng số λ∗ trong kết luận của định lí 2.2
có thể là duy nhất.
Để minh họa cho kết quả trên, ta xét ví dụ 2.1.1 như sau:
Ví dụ 2.1.1. Cho X = {x0 , x1 }. Xét hàm Ψ : X × R −→ R được xác
định bởi:

Ψ(x, λ) =



−λ

nếu (x, λ) ∈ {x0 } × R;


λ

trong trường hợp còn lại .

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

Rõ ràng, điều kiện a và b là thỏa mãn. Ta xét điều kiện c, ta chú ý
sup inf Ψ(x, λ) = 0,
λ∈R x∈X

và
inf sup Ψ(x, λ) = +∞.

x∈X λ∈R

Do đó, các giả thiết ở định lí 2.2 được thỏa mãn.

Cuối cùng, ta nhận thấy rằng, với λ = 0 thì hàm Ψ(·, λ) có duy
nhất một cực tiểu toàn cục (hay nói một cách chính xác, điểm cực
tiểu toàn cục là xo nếu λ > 0 và x1 nếu λ < 0). Khi hàm Ψ là afin với
λ và I = (0, +∞) thì định lí 2.2 có dạng như sau:
Định lý 2.3. Cho X là một không gian tôpô và J, Φ : X −→ R là hai
hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
a1 . Mỗi λ > 0, hàm J + λΦ có tập mức dưới đóng và compact;
b1 . Tồn tại ρ ∈ (inf X Φ, supX Φ) và u1 , u2 ∈ X sao cho
Φ(u1 ) < ρ < Φ(u2 )
và
J(u1 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J
J(u2 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J
<
.
ρ − Φ(u1 )
ρ − Φ(u2 )
Khi đó, tồn tại λ∗ > 0 sao cho hàm số J + λ∗ Φ có ít nhất hai cực tiểu
toàn cục.
Chứng minh. Ta thấy rằng, trong định lí 1 của [5], điều kiện b1 tương

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Việt Hà

đương với bất đẳng thức
sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) < inf sup(J(x) + λ(Φ(x) − ρ)).
λ≥0 x∈X

x∈X λ≥0

Mặt khác, vì hàm λ → inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) là lõm (và giá trị
x∈X

thực) trong (0, +∞) nên nó là nửa liên tục dưới trong (0, +∞) và vì
vậy
sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) = sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)).
λ≥0 x∈X

λ>0 x∈X

Do đó, điều kiện b1 tương đương với bất đẳng thức
sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) < inf sup(J(x) + λ(Φ(x) − ρ)).
λ>0 x∈X

x∈X λ>0

Cuối cùng, ta áp dụng định lí 2.2 với I = (0, +∞) và
Ψ(x, λ) = J(x) + λ(Φ(x) − ρ).
thì ta suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng định lí 2.3 ta chứng minh định lí 2.4 như sau:
Định lý 2.4. Cho S là một không gian tôpô và F, Φ : S −→ R là hai
hàm nửa liên tục dưới thỏa mãn điều kiện sau:
a2 . Hàm Φ có tập mức dưới compact;
b2 . Cho a > 0, ta có

x∈Φ

F (x)
= −∞.
(a,+∞) Φ(x)

inf
−1

Khi đó, với mỗi ρ đủ lớn, tồn tại λ∗ρ > 0 sao cho sự thu hẹp của hàm
số F + λ∗ρ Φ trên Φ−1 (−∞, ρ] có ít nhất hai cực tiểu toàn cục.
19