Sáng kiến Một số kinh nghiệm khai thác và phát triển các bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong sách giáo khoa giúp học sinh khá giỏi phát triển năng lực môn Đại số 7

PHẦN THỨ NHẤT: PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật, kinh tế, chính trị … như
hiện nay, đòi hỏi nguồn lực lao động phải năng động, sáng tạo để đáp ứng được
mục tiêu công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước.
Để chuẩn bị thật tốt cho đổi mới giáo dục theo nghị quyết số 29/NQ29NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi người dạy phải không ngừng đổi mới, đặc
biệt là phương pháp dạy, biết khơi dạy niềm đam mê, sự yêu thích môn học của
từng học sinh, từng đơn vị kiến thức.
Trong quá trình chỉ đạo chuyên môn và trực tiếp giảng dạy toán 7, tôi thấy
phần toán tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7 là mảng kiến
thức mới; học sinh khó tiếp thu và ít hào hứng. Bản thân cũng đã tham khảo
kiến các đồng nghiệp, nhìn chung đều đánh giá việc dạy học học sinh phần kiến
thức này còn khó khăn chưa có biện pháp để nâng cao năng lực học sinh thực
sự. Vì vậy bản thân rất trăn trở suy nghĩ tìm ra biện pháp để cùng tổ chuyên môn
xây dựng, triển khai, hoàn thiện. Hướng tới giúp học sinh yêu thích, phát triển
được phần toán tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau.
Vì vậy bản thân đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm khai thác và phát
triển các bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong
sách giáo khoa giúp học sinh khá giỏi phát triển năng lực môn Đại số 7”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Đề tài hướng tới việc giúp giáo viên có thêm công cụ để dạy tốt hơn phần
tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. Cụ thể học sinh được gây hứng
thú thông qua việc cùng phát triển các bài toán liên quan, nâng cao năng lực của
học sinh khá giỏi.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Đề tài bước đầu đưa ra một số biện pháp để khai thác, phát triển toán tỷ lệ thức
và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau cho học sinh khá giỏi học môn Đại số 7.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết:
Thu thập thông tin thông qua sách giáo khoa nhằm mục đích khai thác và

phát triển các dạng toán. Là cơ sở cho lý luận của đề tài, hình thành giả thuyết
khoa học, dự đoán về những thuộc tính của đối tượng nghiên cứu, xây dựng
những mô hình lý thuyết hay thực nghiệm ban đầu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin:
Dùng những câu hỏi (hoặc bài toán) nhất loạt đặt ra nhằm thu được số
những ý kiến chủ quan của họ về một vấn đề nào đó.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu:
Sử dụng các phương pháp (thu thập, tổng hợp, trình bày số liệu và tính
toán các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu) nhằm phục vụ cho quá trình phân
tích, dự đoán và ra quyết định.

1


PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lý luận
Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương
trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là
từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng
được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ
phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách
vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Tăng
cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên - học sinh theo
hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh
việc học tập những tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn
cần bổ sung các chủ đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải
quyết các vấn đề phức hợp.
Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành
và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm
thông tin...), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của

tư duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương
pháp đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương
pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành
nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức
dạy học. Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có
những hình thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp,
học ở ngoài lớp... Cần chuẩn bị tốt về phương pháp đối với các giờ thực hành để
đảm bảo yêu cầu rèn luyện kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
nâng cao hứng thú cho người học. Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy
học môn học tối thiểu đã qui định. Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm
nếu xét thấy cần thiết với nội dung học và phù hợp với đối tượng học sinh. Tích
cực vận dụng công nghệ thông tin trong dạy học.
Việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực
thể hiện qua bốn đặc trưng cơ bản sau:
- Một, dạy học thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp học
sinh tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri
thức được sắp đặt sẵn. Giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành
các hoạt động học tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã
biết vào các tình huống học tập hoặc tình huống thực tiễn...
- Hai, chú trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa và
các tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm
tòi và phát hiện kiến thức mới... Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân
tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần
hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo.

2


- Ba, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở

thành môi trường giao tiếp GV - HS và HS - HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và
kinh nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập
chung.
- Bốn, chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt
tiến trình dạy học thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học). Chú
trọng phát triển kỹ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của học sinh với nhiều
hình thức như theo lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu
chí để có thể phê phán, tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót.
Trong một nội dung, thời gian có hạn vì vậy để đảm bảo vấn đề nêu trên
tôi luôn củng cố phát triển các bài toán trong SGK. Nhằm hướng tới phát triển
năng lực của học sinh. Bởi vì, thông qua các bài toán phát triển đó phát hiện
những khó khăn mà học sinh gặp phải, đồng thời có biện pháp giúp học sinh
vượt qua khó khăn.
Cơ sở lí thuyết:
* Cơ sở thứ nhất: Tỉ lệ thức.
1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Dạng tổng quát:

hoặc a:b=c:d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ
2. Tính chất.
a) Tính chất 1 (Tính chất cơ bản)
=> ad = bc (với b,d≠0)
b) Tính chất 2 (Tính chất hoán vị)
Từ tỉ lệ thức

(a,b,c,d≠0) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng

cách:

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau
- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau
Cụ thể: Từ

(a,b,c,d≠0)

3


* Cơ sở thứ hai: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

2) Tính chất 2:

suy ra

(b≠±d)

ta suy ra

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Nâng cao.
1. Nếu

=k thì

2. Từ

=> +)

+)

(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
* Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c =>
Ta còn viết x:y:z = a:b:c
x y
3. Nếu =
a b

và

z y
y
y
=
ta đưa
và
về các dãy tỉ số bằng nhau bằng cách
c d
b
d

quy đồng với bội chung nhỏ nhất của (a; b).
x y
=
4. Nếu a.x = b.y thì a.x = b.y = 1 1 để sử dụng
a b
x y
x
y

x y
=
(k ≠ 0) nhưng không bằng =
5. Nếu = thì
a b
a.k b.k
a b
2
2
2
x y z
x
y
z
6. Nếu = = thì 2 = 2 = 2
a b c
a
b
c

II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng đề tài:
1, Thực tế trước khi áp dụng đề tài

4


- Khi chưa áp dụng đề tài cho thấy học sinh chưa chịu khó làm việc nhiều, chưa
được suy nghĩ nhiều, học sinh thường ỷ lại cho Thầy cô và bạn bè học khá,
chính vì vậy mà học sinh hiểu vấn đề chưa sâu, vận dụng máy móc, năm học
2014-2015 khi đang giảng dạy tại THCS Thiệu Nguyên tôi đã khảo sát 100 học

sinh lớp khối kết quả như sau:
Xếp loại
Số lượng
Tỉ lệ %
45.5
Yếu kém
46
34.7
Trung bình
35
14.9
Khá
15
5.0
Giỏi
5

- Qua kết quả khảo sát vấn đề liên quan đến việc phát triển các bài toán tỷ lệ
thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì chất lượng còn rất thấp. Đó là kết
quả mà bất kì giáo viên nào cũng phải trăn trở.
2, Nguyên nhân dẫn đến
+ Đa số học sinh là con em nông thôn điều kiện kinh tế còn gặp nhiều khó
khăn, phải giúp đỡ gia đình làm nghề phụ nhiều, đồ dùng học tập cũng như sách
tham khảo chưa đầy đủ. Thời gian tự học và làm bài ở nhà còn quá ít do vậy
những kiến thức các em tiếp thu được ở trên lớp không được ôn lại thì sẽ quên
ngay.
+ Toán 6 chủ yếu mở rộng các kiến thức liên quan bậc tiểu học, nhưng khi
sang đại số lớp 7 nội dung nhiều, mới và khó hơn. Vì vậy các em phải thay đổi
cách học, thay đổi hướng tư duy thì mới bắt nhịp được nội dung kiến thức. Giáo
viên chưa kịp đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tiếp cận năng lực học

sinh.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện
1. Các giải pháp thực hiện
* Thông qua đề tài
- Tìm ra phương pháp hiệu quả nhất để học sinh hiểu bài tốt hơn.
5


- Làm cho học sinh dễ tiếp thu bài dạy, khắc sâu được kiến thức đã học.
- Rèn cho học sinh biết cách tìm tòi sáng tạo, phát huy được tính tích cực, sáng
tạo của học sinh.
- Tạo cho các em có lòng say mê khoa học và vận dụng tốt kiến thức đã học vào
cuộc sống hàng ngày.
- Dùng phương pháp thống kê toán học để so sánh mức độ tiếp thu bài của học
sinh thông qua các tiết dạy áp dụng đề tài và không áp dụng đề tài.
- Lập biểu đồ so sánh mức độ lĩnh hội kiến thức của học sinh khi sử dụng
phương pháp đã chọn.
2. Nội dung việc phát triển các bài toán
a: Phát triển các bài toán cụ thể
Ví dụ: 1
Bài 54 ( Sách giáo khoa) đại số 7
Tìm hai số x và y biết:

x y
=
và x + y = 16
3 5

* Giáo viên hướng dẫn học sinh làm như sau
x y

= = K ⇒ x = 3K, y = 5 K
3 5
Vì x + y = 16 ⇔ 3K + 5 K = 16 ⇔ 8K = 16 ⇔ K = 2
⇒ x = 3. 2 = 6 ; y = 5. 2 = 10

- Cách 1: Đặt

Vậy x = 6 ; y = 10
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y
x + y 16
= =
=
= 2 ⇒ x= 3. 2 = 6 ; y = 5. 2 = 10
3 5
3+5
8

Vậy x = 6 ; y = 10
*Phát triển bài toán
+Trường hợp 1: Với kết quả tìm được x = 6 ; y = 10 vậy x – y = ?(- 4). Vậy
các em tìm ra lời bài toán mới ?
Tìm hai số x và y biết

x y
=
và x – y = - 4 ( Giải bài toán này tương tự như
3 5

trên)

+ Trường hợp 2: Tính 2x + 3y = ? học sinh sẽ tính được 2x + 5y = 62. Từ kết
quả thiết lập bài toán mới ?
Học sinh thiết lập bài toán: Tìm hai số x và y biết
Khó khăn ở bài toán này là ở tỉ lệ thức

x y
=
và 2x + 5y = 62
3 5

x y
=
chưa có 2x ; 3y vì vậy giáo viên
3 5

gợi ý học sinh dựa vào tính chất cơ bản của phân số để làm xuất hiện 2x ; 3y
Từ

x
y
x y
2x 3y
= ⇔
=
( nhân cả tử và mẫu với 2; nhân cả tử và mẫu với 3)
3 5
6 15
3
5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

2 x 3 y 2 x + 3 y 42
=
=
= 2 ⇒ x = 3. 2 = 6 ; y = 5. 2 = 10
=
6 15
6 + 15
21

Vậy x = 6 ; y = 10

6


+ Trường hợp 3: Tính 5x - 2y = ? học sinh sẽ tính được 3x – 2y = 10. Cho
học sinh thiết lập bài
Học sinh thiết lập bài toán: Tìm hai số x và y biết

x y
=
và 5x – 2y = -2
3 5

Giải bài toán trên củng cho ta đáp số là: x = 6 ; y = 10
+ Trường hợp 4: Phát triển thành bài toán bằng lời từ bài toán:
x y
=
và x + y = 16

3 5

Tìm số bút bi của hai An và Bình, biết số bút của An và Bình lần lượt tỷ lệ
với 3; 5. Hai bạn có cả thảy 16 bút.
-Ngoài các trường hợp phát triển đã nêu ở trên giáo viên cho học sinh về nhà
phát triển thêm các trường hợp khác
- Từ bài toán cơ bản trong sách giáo khoa bản thân tôi đã giúp học sinh xây
dựng, phát triển thành các bài toán khó hơn, giúp học sinh ham học, tạo cho học
sinh tính sáng tạo tìm tòi trong học tập.
Ví dụ: 2
Bài 61 ( Sách giáo khoa) đại số 7
- Nội dung bài toán: Tìm ba số x, y, z. Biết rằng
x y
=
2 3

(1)

;

y z
=
4 5

(2)

và x+ y – z = 10

Đối với bài toán này sự tư duy của học sinh gặp khó khăn do chưa có dãy tỉ
số bằng nhau có mặt cả x, y,z. Bản thân đã gợi cho học sinh hướng giải như

sau
Dựa theo tính chất cơ bản của phân số để đồng nhất hai tỉ lệ thức
Ta có:

y
y
và
ta thấy BCNN (3;4) = 12 nên ta nhân các mẫu của tỉ lệ thức
3
4

(1) với 12:3 = 4; tỉ lệ thức (2) với 12:4 = 3 để đưa về dãy tỉ số bằng nhau như
sau
x y
x
y
y z
y
z
⇔ = (1) ; = ⇔
=
=
(2)
2 3
8 12
4 5
12 15
x
y
z

Từ (1) và (2) ta có: = = .Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
8 12 15
x
y
z
x + y − z 10
= = =
=
= 2 ⇒ x = 8. 2= 16 ; y = 12. 2 = 24 ; z = 15. 2 =
8 12 15 8 + 12 − 15 5

Từ

30
Vậy x = 16 ; y = 24 ; z = 30.
Qua bài toán này nhấn mạnh học sinh hiểu rằng, nhiều bài toán phải biến đổi
để làm để làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau
*Phát triển bài toán
- Dựa vào phát triển bài toán 54 (sách giáo khoa) ở trên hãy phát triển lời bài
toán này ?
Học sinh sẽ đi theo các hướng sau
- Trường hợp 1: Tìm ba số x, y, z. Biết rằng
7


x y
=
2 3

;

x z
= và 2x+ y + z = 70
4 5

- Trường hợp 2: Tìm ba số x, y, z. Biết rằng
x y
=
2 3

;

x z
= và 3x- 2 y + z = 30
4 5

- Học sinh phát triển bài toán theo kiểu trên trong quá trình giải đều cho ta
đáp số đúng là x = 16 ; y = 24 ; z = 30
- Để phát triển bài toán lên mức khó hơn, bản thân hướng dẫn học sinh thực
hiện như sau, tinh : x2 + y2 + z2 = ? và học sinh sẽ tính được x2 + y2 + z2 =
1732.
Từ kết quả hãy thiết lập bài toán mới
Thiết lập bài toán: Tìm ba số x, y, z. Biết rằng
x z
= và x2 + y2 + z2 = 1732
4 5
x y
x
y
x z

x
z
= (1) ; = ⇔
=
Hướng dẫn học sinh từ = ⇔
(2)
2 3
8 12
4 5
12 15
x
y
z
Từ (1) và (2) ta có: = =
khó khăn ở học sinh là ở tử các tỉ số trong
8 12 15
x y
=
2 3

;

dãy tỉ số bằng nhau chưa có mặt x2, y2, z2 vì vậy hướng dẫn học sinh thực
hiện như sau, luỹ thừa bậc hai các tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau
x
y
z
x2
y2
z2

⇒
=
=
Từ
=
=
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta
8 12 15
64 144 225

có
x2
y2
z2
x2 + y2 + z 2
1732
=
=
= 4 ⇒ x2= 64. 4 = 256 = 16 2. Nên x = 16
=
=
64 144 225 64 + 144 + 225 433
x
y
z
16 y
z
⇔
⇒ y = 12. 2 = 24 ; z =
=

hoặc x = - 16, với x = 16, = =
=
8 12 15
8 12 15

15. 2 = 30
Vậy x = 16, y = 24, z = 30
Với x = - 16,

x
y
z
− 16 y
z
⇔
= =
=
=
8 12 15
8
12 15

⇒ y = 12.(- 2) = - 24 ; z = 15.(-2) = -30

Vậy x = -16, y = -24, z = - 30
Bất ngờ trong trường hợp này là có thêm trường hợp thứ hai là x = -16, y = -24,
z = - 30
- Cho học sinh nhận xét nguyên nhân có thêm trường hợp trên ? ( do x = 16 ⇒
x2= 162 ⇔ x = 16 hoặc x = - 16 ; y = 24 ⇒ y2 = 242 ⇔ y = 24 hoặc y = - 24 ; z =
30 ⇒ z2= 302 ⇔ z = 30 hoặc z = - 30

- Qua bài toán trên học sinh rút ra từ một bài toán sách giáo khoa. Nếu thêm các
dữ kiện sẽ tạo nên một bài toán hay và khó, làm cho học sinh có cảm hứng trong
quá trình giải toán, góp phần phát triển mạnh mẽ năng lực học sinh.
Ví dụ: 3
Bài 62 ( sách giáo khoa ) đại số 7
8


- Tìm hai số x và y. Biết

x y
=
và x.y = 10
2 5

Gợi ý cho học sinh các cách giải sau
Cách 1: đặt

x y
= = k ⇒ x = 2k, y = 5k ⇒ x. y = 2k. 5k = 10 ⇔ k2= 12 ⇔ k=
2 5

1 hoặc k = - 1
x y
= = 1 ⇒ x = 2, y = 5
2 5
x y
Với k = -1 ta có = = -1 ⇒ x = -2, y = -5
2 5

Với k = 1 ta có

Vậy x = 2, y = 5
x y
x. y y 2
10 y 2
⇒
⇔ y2 = 52 ⇔ y = 5 hoặc y = - 5
=
=
⇔
=
Cách 2: Từ
2 5
2
5
2
5
x 5
x −5
⇒ x=-2
- Với y = 5 ⇒ = ⇒ x = 2 ; Với y = -5 ⇒ =
2 5
2
5

Vậy x = 2, y = 5
*Phát triển bài toán
Hướng dẫn học sinh, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đối với tỉ lệ
thức

x y
x y
x+ y
=
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau = =
. Hãy
2 5
2 5
2+5

đặt x + y = z ?
Và thiết lập bài toán mới ?

- Bài toán mới: Tìm x, y, z. Biết

x y
z
= =
và x.y.z = 70
2 5 7

Hướng dẫn học sinh giải bài toán
Đặt

x y
z
= =
= k ⇒ x = 2k, y = 5k, z = 7k ⇒ x.y.z = 2k.5k.7k = 70 ⇔ k3= 1
2 5

7

⇔ k =1

Với k = 1 ta có

x y
z
= = = 1 ⇒ x = 2, y = 5, z = 7
2 5 7

- Nhận xét: Bài toán này được xây dựng từ bài toán có hai đáp số, nhưng
kết quả chỉ tìm được một đáp số do nguyên nhân nào ?
x y
=
và x.y = 10 nên x, y phải cùng âm hoăc cùng dương
2 5
x y
z
= =
Từ
nên x, y, z phải cùng dấu mà x.y.z = 70 ⇒ x, y, z phải cùng dấu
2 5
7

Giải thích

dương nên chỉ tìm được một đáp án
Ví dụ 4
Bài 63 ( sách giáo khoa ) đại số 7

Nội dung bài toán: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta thể suy ra tỉ lệ thức
a+b c+d
=
. Gợi ý học sinh các cách giải sau
a−b c−d
a c
- Cách 1:
Đặt = = k ⇒ a = k b, c = k d
b d

9


a + b kb + b b( k + 1) k + 1
c + d kd + d d (k + 1) k + 1
=
=
=
=
=
(1)
;
=
(2)
a − b kb − b b(k − 1) k − 1
c − d kd − d d (k − 1) k − 1
a+b c+d
=
từ (1) và (2) ⇒
(điều phải chứng minh)

a−b c−d
a c
- Cách 2: Từ = ⇒ bc = ad ⇔ 2bc = 2ad ⇔ bc – ad = ad – bc
b d

Ta có

Thêm cả hai vế với ac – bd ta có:

ac +bc –ad –bd = ac –bc +ad – bd

⇔ (a+b )(c –d ) = ( a –b)( c +d ) ⇒

a+b c+d
=
( điều phải chứng minh )
a−b c−d

*Phát triển bài toán
Giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển theo các hướng sau
Từ tỉ lệ thức:

a c
= ta có thể suy ra các tỉ lệ thức nào?.
b d

Học sinh cùng giáo viên cùng tìm tòi.

a
c

a
c
a + b c + d a + b c + d 2a − b 2c − d
=
=
=
=
=
;
;
;
;
……
a+b c−d a−b c−d
b
d
a
d
b
d

Hãy thiết lập cho nội dung đề bài toán ?
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức

a c
= (a − b ≠ 0, c − d ≠ 0) ta có thể suy ra các tỉ lệ
b d

thức

a
c
a
c
a + b c + d a + b c + d 2a − b 2c − d
=
=
=
=
=
;
;
;
;
……
a+b c−d a−b c−d
b
d
a
d
b
d

Cách chứng minh tương tự như bài 63( sách giáo khoa ) đại số 7
a+b c+d
=
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức nào ?
a−b c−d
a−b c−d
a+b a −b c−d c+d

=
=
=
;
;
………….
a+b c+d c+d c−d
a−b a +b

- Từ tỉ lệ thức

Hãy thiết lập cho nội dung đề bài toán ?
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức

a c
= (a − b ≠ 0, c − d ≠ 0) ta có thể suy ra các tỉ
b d

lệ thức

a−b c−d
a+b a −b c−d c+d
=
=
=
;
;
………….
a+b c+d c+d c−d
a−b a +b

Cách chứng minh tương tự như bài 63( sách giáo khoa ) đại số 7
- Nhận xét: từ một tỉ lệ thức cơ bản qua các phép biến đổi sẽ tạo nên nhiều
bài toán mới phức tạp hơn, kích thíc cho học sinh muốn tìm tòi khám phá,
lòng say mê trong học tập.
Ví dụ: 5
Bài 64 (sách giáo khoa) đại số 7
Nội dung bài toán: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9 ; 8 ; 7 ; 6.
Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 em. tính số học sinh
mỗi khối ?
- Gợi ý học sinh cách giải sau:

10


Gọi số học sinh khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c, d. Vì số học sinh khối 6, 7,
8, 9 tỉ lệ với 9; 8; 7; 6. Nên

a b c d
= = =
9 8 7 6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a b c d b − d 70
= = = =
=
= 35
9 8 7 6 8−6
2

-Vậy số học sinh khối 6 là 315 học sinh, khối 7 là 280 học sinh, khối 8 là 245
học sinh, khối 9 là 210 học sinh
*Phát triển bài toán
- Từ kết quả số học sinh tìm được ở các lớp hãy tính ?
1. a – b +c + 2 d
2. 2a – b + 2c
3. a + 2b – c – d
……..
……..
- Học sinh sẽ tính được
1.
a – b +c + 2 d = 700
2.
2a – b + 2c = 840
3.
a + 2b – c – d = 420
- Từ kết quả trên hãy thiết lập các bài toán mới ?
Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Tính số học sinh của
mỗi khối trong các trường hợp sau ?
a, Số học sinh khối 6 trừ đi số học sinh khối 7 cộng với số học sinh khối 8 và
cộng hai lần số học sinh khối 9 là 700 ?
b, Hai lần số học sinh khối 6 trừ đi số học sinh khối 7 và cộng hai lần số học
sinh khối 7 là 840 ?
c, Số học sinh khối 6 cộng hai lần học sinh khối 7 trừ đi học sinh khối 8 và
trừ đi học sinh khối 9 là 420 học sinh ?
- Khó ở các bài toán này là từ dãy tỉ số bằng nhau

a b c d
= = = học sinh dựa

9 8 7 6

theo tính chất cơ bản của phân số để biến đổi thành các dãy tỉ số bằng nhau
là:
a b c 2d
= = =
;
9 8 7 12

2a b 2c
= =
18 8 14

;

a 2b c d
=
= =
9 16 7 6

Sau khi thiết lập được các dãy tỉ số trên giải các bài toán trở thành đơn giản
b: Phát triển tổng thể các bài toán
- Từ các bài toán cụ thể giáo viên hình thành cho học sinh phát triển tổng thể
các bài toán là hết sức quan trọng. Giúp học sinh có sự sáng tạo, tự tin hơn,
phát huy được tính tích cự sáng tạo trong học tập của học sinh. Sự tư duy
toán có chiều sâu đối với học sinh
- Học sinh có thể tự ra đề toán và tự giải, thông qua đó những học sinh học
tốt hơn có thể ra đề toán để hướng dẫn học sinh học yếu hơn tạo ra phong
trào thi đua trong lớp học, để tạo ra phong trào thi đau bạn cùng tiến

11


- Từ các bài toán sách giáo khoa đã hướng dẫn ở trên giáo viên cùng học sinh
phát triển các bài toán theo các hướng sau:
Ví dụ 1: Cho: x = 2, y = 3, z = 4. Hãy xây dựng các đề toán và định hướng
cách giải các bài toán ?
Từ: x = 2, y = 3, z = 4, học sinh sẽ thiết lập được các dãy tỉ số sau
x y z x y z x y
z
= = ; = = ; = =
;vv
2 3 4 4 6 8 6 9 12

Từ: x = 2, y = 3, z = 4, học sinh tính được các tổng hiệu sau
x + y + z = 9 ; x – y + z = 3 ; 2x – y + z = 5 ; x - 2y + 3z = 8 ; x 2 + y2 + z2 =
29
x2 -2 y2+ 3 z2 = 43 ; x3 +y3 + z3 = 99 ; v v
Từ các dãy tỉ số bằng nhau và các tổng, học sinh có thể thiết lập các bài toán
Bài 1: Cho

x y z
= = . Tính x, y, z trong các trường hợp sau ?
2 3 4

a, x + y + z = 9
b, x – y + z = 3
c, 2x – y + z = 5
d, x - 2y + 3z = 8
e, x2 + y2 + z2 = 29

g, x2 -2 y2+ 3 z2 = 43
h, x3 +y3 + z3 = 99
Bài 2: Cho

x y z
= = . Tính x, y, z trong các trường hợp sau ?
4 6 8

a, x + y + z = 9
b, x – y + z = 3
c, 2x – y + z = 5
d, x - 2y + 3z = 8
e, x2 + y2 + z2 = 29
g, x2 -2 y2+ 3 z2 = 43
h, x3 +y3 + z3 = 99
Bài 3: Cho

x y
z
= = . Tính x, y, z trong các trường hợp sau ?
6 9 12

a, x + y + z = 9
b, x – y + z = 3
c, 2x – y + z = 5
d, x - 2y + 3z = 8
e, x2 + y2 + z2 = 29
g, x2 -2 y2+ 3 z2 = 43
h, x3 +y3 + z3 = 99
- Ở các bài toán trên các câu a, b,c, d, và h. khi giải ra đều cho ta cùng đáp số

là x = 2, y = 3, z = 4. Riêng câu e và g khi giải ngoài đáp số là x = 2, y = 3, z =
4 còn có thêm đáp số x = - 2, y = - 3, z = - 4

12


Ví dụ 2: Để phat triển theo hướng khó hơn bài Bài 63 ( sách giáo khoa ) đại số
7 giáo viên có thể hướng dẫn học theo hướng phát triển sau:
- Từ

a c
a b
7 a 3b
⇒
=
= ⇒
=
. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta
b d
c d
7c 3d

có

7 a 3b
7 a + 3b 7a − 3b
=
=
=
.

7c 3d
7c + 3d 7c − 3d

a
=
b
a c
a b
a a
Từ = ⇒ = ⇒ . =
b d
c d
c c
2
2
a
b
a.b
2a 2
⇒ 2 = 2 =
⇒ 2
c.d
c
d
2c

Do vậy ta có lời bài toán từ
-

c

7 a + 3b 7a − 3b
=
. Chứng minh
d
7c + 3d 7c − 3d
b b
a b
. = .
d d
c d
2
5a
3b 2 7ab
= 2 = 2 =
7cd
5c
3d

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2a 2 5a 2 3b 2 7ab 2a 2 + 3b 2 5a 2 − 7 ab
=
=
=
=
=
2c 2 5c 2 3d 2 7cd 2c 2 + 3d 2 5c 2 − 7cd
a c
2a 2 + 3b 2 5a 2 − 7 ab
=
Do vậy ta có lời bài toán từ = . Chứng minh 2

b d
2c + 3d 2 5c 2 − 7cd
a c
a2 c2
- Từ = ⇒ 2 = 2 . Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
b d
b
d
2
2
a
c
a2 + c2
a2 − c2
=
= 2
= 2
b2 d 2
b +d2
b −d2
a c
a2 + c2
a2 − c2
Do vậy ta có lời bài toán từ = . Chứng minh 2
=
b d
b +d2
b2 − d 2
x y z
x y

y z
x z
= ;
= ;
=
Ví dụ 3 Từ dãy tỉ số bằng nhau = = ⇒
a b c
a b b c
a c
x y
xb − ya
= 0 (1)
Từ = ⇒ xb = ya ⇒ xb – ya = 0 ⇒
a b
c
y z
yc − bz
= ⇒
=0
Tương tự
(2)
b c
a
x z
xc − az
⇒
=
=0
(3)
a c

b
xb − ya yc − bz xc − az
=
=
Từ (1) ; (2) và (3) ⇒
c
a
b
x y z
xb − ya yc − bz xc − az
=
=
Do vậy ta có lời bài toán từ = = .Chứng minh
a b c
c
a
b

13


PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Về phía hoc sinh
Thông qua đề tài học sinh đã chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự
học chủ động. Vì vậy học sinh biết cách suy luận biết cách tự tìm lại những kiến
thức đã quên và biết cách tìm tòi phát hiện kiến thức mới. Học sinh được nâng
cao năng lực thông qua rèn luyện các thao tác tư duy như phân tich, tổng hợp,
đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy lại thành quen tạo điều kiện cho học sinh có thể
tự học, hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến
thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của học sinh.

- Thông qua đề tài tạo cho học sinh kĩ năng quan sát phân tích, tổng hợp, phán
đoán, suy luận lô gíc
- Từ đề tài tạo cho học sinh có lòng yêu thích môn toán, đem lại niềm vui hứng
thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao năng lực cho người học.
- Học sinh dẽ tiếp thu bài dạy, khắc sâu được kiến thức đã học.
-Rèn cho học sinh biết cách tìm tòi sáng tạo, phát huy được tính tích cực, sáng
tạo của học sinh.
- Tạo cho các em có lòng say mê khoa học và vận dụng tốt kiến thức đã học vào
cuộc.
sống hàng ngày.
- Học sinh không còn tiếp thu một cách thụ động mà chủ động tích cực suy
nghĩ, tìm tòi để giải quyết vấn đề, củng cố và khắc sâu các kiến thức đã học ở
những năm trước.
- Kết quả học sinh hiểu bài sâu hơn, yêu thích môn học hơn.
2. Về phía Giáo viên:
Sau khi nghiên cứu, áp dụng tôi thấy phương pháp dạy học của người
Thầy đã tiếp cận năng lực của học sinh rõ nét hơn. Người thầy đã thực sự là
trung tâm để dẫn dắt, hướng dẫn học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề.
3. Kết luận chung
Theo tôi, để đổi mới phương pháp dạy học theo năng lực người học, người thầy
phải không ngừng học hỏi để làm mới mình trong từng đơn vị kiến thức, từng
tiết, từng chủ đề …. Vì vậy:
- Người giáo viên phải có kiến thức đa dạng.
- Giáo viên phải xác định được những vấn đề cần đổi mới.
- Điều quan trọng là phải lưu ý một số lĩnh vực thực tế giảng dạy:
+ Lập kế hoạch và chuẩn bị môi trường lớp học, giảng dạy và trách nhiệm
chuyên môn
+ Cung cấp một khuôn khổ tuyệt vời cho cuộc đối thoại về kinh nghiệm lớp học
và sự phát triển giáo viên.
+ Thúc đẩy hoạt động hiệu quả nhất việc sử dụng thời gian và làm cho cả lớp

tham gia
+ Cung cấp đầu vào hay lập mô hình thích hợp để phổ biến tài liệu mới, kiểm tra
hiểu biết và thay đổi tiến độ giảng dạy phù hợp tạo ra cách sử dụng kiến thức
độc lập, theo hướng dẫn.
14


- Giáo viên phải nắm vững kỹ năng truyền đạt kiến thức
- Việc dạy cách học, học cách học hoặc hướng vào người học để phát huy tính
chủ động của người học.
Đổi mới phương pháp dạy học phụ thuộc vào đối tượng, điều kiện, hoàn cảnh vì
vậy giáo viên cần phải chủ động và có sáng kiến.
- Làm cho học sinh biết tự học, tự vận dụng
- Luôn liên hệ với thực tiễn đang thay đổi
- Làm cho học sinh biết hợp tác và chia sẻ.
- Tận dụng sự hỗ trợ của phương tiện dạy học
- Học cách thức đi tới sự hiểu biết. Coi trọng sự khám phá và khai phá trong học
thuật.
- Học kỹ năng thực hành và thái độ thực tiễn trong nghề nghiệp
- Học phong cách độc lập, sáng tạo, linh hoạt trong nhận thức và hành động.
Biết mềm hóa tư duy và tuy cơ ứng biến.
- Học phương pháp nghiên cứu đi từ phân tích đối tượng và môi trường để tìm
giải pháp đồng bộ giải quyết những tình huống đa chiều.
4. Kết quả đạt được
* Kết quả áp dụng đề tài trong công tác giảng dạy
Thời gian khảo sát: Cuối chương I đại số 7 của năm học 2015 – 2016 tại khối 7
trường THCS Thiệu Châu.
Xếp loại
Số lượng
Tỉ lệ %

8.6
Yếu kém
3
Trung bình
9
25.7
Khá
18
51.4
14.3
Giỏi
5
Minh họa bằng biểu đồ:

Qua kết quả trên ta thấy rõ ràng: Sau khi áp dụng đề tài số HS yếu kém đã
giảm đi rất nhiều và số HS khá giỏi tăng lên rõ rệt. Góp phần nâng cao năng lực

15


học sinh khá giỏi mảng kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong sách
giáo khoa Toán lớp 7.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà bản thân đã thực hiện trong năm học
2015 – 2016. Rất mong được sự góp ý, chia sẻ của các đồng nghiệp.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

Trần Thị Thơ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 4 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Lê Văn Hanh

16


MỤC LỤC
Nội dung
PHẦN THỨ NHẤT: PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lý luận
II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng đề tài
1, Thực tế trước khi áp dụng đề tài
2, Nguyên nhân dẫn đến
III. Giải pháp tổ chức và thực hiện
1. Các giải pháp thực hiện
2. Nội dung việc phát triển bài toán
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Về phía học sinh
2. Về phía giáo viên
3. Kết luận chung

4. Kết quả đạt được
MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
1
1
1
1
1
2
3
4
5
5
5
6
13
14
14
14
15
17

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1 (Nhà xuất bản Giáo dục)
2. Học tốt Toán 7 (Nhà xuất bản quốc gia TP. Hồ Chí Minh)

17