Kinh nghiệm sử dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số 7

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản của
chương I đại số 7 cũng là nội dung cơ bản của chương trình toán 7. Trong quá
trình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải toán về
dạng này. Ngoài ra trong các đề thi học sinh giỏi toán 7 đa số có toán về tỉ lệ
thức. Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách
bài tập chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dạy
phần này giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít những khó khăn để biên
soạn cho hết nội dung của chủ đề. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã
nghiên cứu, thấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày một số kinh nghiệm về
nội dung kiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng trong việc giảng
dạy cho học sinh.
Còn đối với học sinh, thông qua hướng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp
học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú
trong học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát
của học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi làm bài tập.
Trường THCS Lê Đình Chịnh của huyện Ngọc Lặc là trường tỉ lệ học sinh
giỏi tương đối cao so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu
thích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh. Là một giáo viên
được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học trò
học tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7,
tôi đã nghiên cứu và viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “Kinh nghiệm giải toán
về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở môn Đại số lớp 7”.
1.2. Mục đích của sáng kiến:
Giúp học sinh đại tra hiểu được kiến thức cơ bản và vận dụng kiến thức
một cách linh hoạt vào giải bài tập.
Giúp học sinh đi thi học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiều
cách giải bài toán dạng này để không còn thấy khó khăn khi gặp phải dạng bài
tập này
Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng

dạy được tốt hơn các bài tập về các dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau
Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích
cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành,
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một
phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
1.3.Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh của lớp 7A1+7A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học
2015-2016
- Giúp học sinh nghiên cứu cơ sở lý thuyết và phương pháp giải các bài tập về
các dạng toán tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:

1


Đề tài được viết dựa trên cơ sở thực tế hướng dẫn học sinh giải toán về tỉ lệ
thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp, các tiết dạy phụ đạo, các tiết dạy
bồi dưỡng học sinh giỏi
- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được
chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
-Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học
sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.Cơ sở lý luận
2.1.1.KIến thức cơ bản
a c

=
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số b d .

Ta còn viết :
a : b = c : d.
trong đó a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài) ; b và c là các trung tỉ (số hạng
trong).
a c
=
b. Tính chất của tỉ lệ thức: b d
a c
=
Tính chất 1: Nếu b d thì a.d = b.c

Tính chất 2: (Đảo lại) Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ
thức:
(ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau
- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau)
Cụ thể:
a c a b d c d b
=
=
=
=
b d ; c d ;b a; c a.
a c
a b d c d b
=

=
=
=
Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức b d suy ra các tỉ lệ thức: c d , b a , c a

c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
=
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức b d suy ra
a
=
b
Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau

a c a +c a −c
= =
=
b d b + d b − d , (b ≠ ± d)
c i
=
d j ta suy ra:

a c i a +c+i
a−c+i
= = =
=
b d j b + d + j b − d + j , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

2

a
a1 a2 a3
=
= = ... = n
bn thì
Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n ≥ 2): b1 b2 b3
a
a + a + a + ... + an a1 − a2 + a3 + ... − an
a1 a2 a3
=
= = ... = n = 1 2 3
=
b1 b2 b3
bn b1 + b2 + b3 + ... + bn
b1 − b2 + b3 + ... − bn

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
d. Nâng cao.

k1a + k2 c + k3e
a c e
=k
= = =k
k
b
+
k
d
+

k
f
b
d
f
1
2
3
1. Nếu
thì
a c
a±b c±d
=
=
d
2. Từ b d => b
a±b c±d
=
a
c

(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
a b c
= =
2) Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c => x y z

Ta còn viết x:y:z = a:b:c
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu
“- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta
một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được

những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới
của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
x y z
= =
Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: a b c . Ta

cũng viết:
x:y:z=a:b:c
2.1.2. Thực trạng vấn đề
Khi khảo sát ở các lớp khác nhau, qua chấm bài thi tôi thấy học sinh gặp
nhiều sai sót trong quá trình giải toán . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách
trình bày lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”giữa “=” với dấu “+”
x y
x
y
= (⇒)
=
d
3.3 7.3 thì các em lại dùng dấu “=” là sai.
Ví dụ: 3 7
x y z
= =
Ví dụ: Hãy tìm x, y, z biết 4 6 12 và x + y + z = 44
x y z
x + y + z 44
x
= = (⇒)
=
=2
= 2 ⇒ x = 4.2 = 8

S
4 + 6 + 12 22
Giải: 4 6 12
vậy 4

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Ví dụ : ở bài kiểm tra khảo sát giữa học kì I toán 7 năm học 2015-2016 có bài
x y z
x + y + z 44
+ + =
=
=2
học sinh còn trình bày : 4 6 12 4 + 6 + 12 22

Lí do là các em chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên nhớ nhầm.
Có những em học yếu về môn toán còn trình bày khi tìm ra giá trị x, y,z như sau :
x
y
z
= 2.4 = 8
= 2.6 = 12
= 2.12 = 24
4
; 6
; 12
3


Ngoài ra khi làm nhiều bài tập có nhiều đáp trường hợp thì các em vẫn không xét
hết các trường hợp có thể xãy ra.

Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán giúp các em không còn sai sót trong lời giải
của mình :
1. Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước
2. Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
3. Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.
4. Tính giá trị của biểu thức
2.1.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Hướng dẫn vận dụng kiến thức giải bài tập một một cách chính xác,
nhanh nhất ,ngắn nhất. giáo viên cần giúp học sinh định hướng kiến thức,
phương pháp cơ bản cần dùng để giải từng dạng toán cụ thể. Để khắc sâu kiến
thức giáo viên cần chọn những bài tập mang tính chất cơ bản và mang tính phát
triển các kiến thức ở mọi khía cạnh. Qua đó giúp học sinhvừa nắm được kiến
thức cơ bản vừa phát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài tạo hứng
thú yêu thích môn học.
2.1.3a) Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh
hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.
a c
a
c
=
=
Bài 1.1: Cho b d chứng minh rằng a − b c − d .
a c
= =k
Hướng dẫn: Đối với bài toán này ta có thể đặt b d
hoặc biến đổi tỉ lệ thức

cho trứơc để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.
- Giáo viên trình bày kĩ cho học sinh bốn cách giải sau:

Giải:

a c
b d
b
d
a −b c −d
a
c
=
⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒
=
=
a c
a
c
a
c ⇒ a − b c − d (đpcm)
Cách 1: b d
a c
a b a −b
a
c
= ⇒ = =
⇒
=
Cách 2: b d c d c − d a − b c − d (đpcm)
a c
a b
=

=
Cách 3: b d ⇒ c d ⇒ ad = bc ⇒ ac − ad = ac − bc ⇒ a ( c − d ) = c ( a − b )
a
c
=
⇒ a − b c − d (đpcm)

Cách 4: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)
a c
= =k
đặt b d
suy ra a = bk ; c = dk

Ta có :
a
bk
bk
k
=
=
=
a − b bk − b b(k − 1) k − 1 (1)
c
dk
dk
k
=
=
=
c − d dk − d d (k − 1) k − 1 (2)

4


a
c
=
Từ (1) và (2) suy ra a − b c − d
a c
=
Giáo viên lết luận : Như vậy để chứng minh tỉ lệ thức b d , ta thường dùng hai

phương pháp chính :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ tích ad bằng tích bc
Phương pháp 2 :chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị. Nếu trong đề bài đã cho trước
một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ hức đã cho bằng k, rồi
tính giá trị của mỗi tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách 4) cũng có
thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng , tính chất dãy tỉ số
bằng nhau, tính chất của đẳng thức… để biến đổi tỉ lệ thức đã cho đến tỉ lệ thức
phải chứng minh(cách 1,2)
Kinh nghiệm khi dạy với bài tập 1.1 giáo viên nên đưa cả 4 cách giải trên
để học sinh được biết tuy nhiên giáo viên cho học sinh nhận xét từng cách giải,
phân tích cách giải và chọn cách giải tối ưu cho bài và chọn cách giải phù hợp
với các bài tập dạng tương tự như bài tập 1.1 trên. Giáo viên có thể kết luận đối
với cách 4 thì ta có thể áp dụng được nhiều bài toán chứng minh đẳng thức từ
một tỉ lệ thức cho trước.
Sau khi làm song bài tập giáo viên cho học sinh làm bài tâp 1.2 sau
a c
a+b c+d
= ≠1
=

Bài 1.2. Chứng minh rằng : Nếu b d
thì a − b c − d với a, b, c, d ≠ 0.

Học sinh tự làm và yêu cầu học sinh làm theo cách 1 và cách 4
Giải:
Cách 1 :
a c
a
c
a +b c+d
= ⇒ +1 = +1 ⇒
=
d
b
d
Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: b d b
a+b b
⇒
=
c + d d (1)
a c
a −b c −d
a −b b
= ⇒
=
⇒
=
b d
b
d

c − d d (2)
a +b a −b
a+b c+d
=
⇒
=
Từ (1) và (2) => c + d c − d a − b c − d (đpcm)
a c
= =k
Cách 2: Đặt b d
suy ra a = bk ; c = dk
a + b bk + b b.(k + 1) k + 1
=
=
=
Ta có a − b bk − b b.(k − 1) k − 1 (1)

c + d dk + d d .(k + 1) k + 1
=
=
=
c − d dk − d d .(k − 1) k − 1 (2)
Và
a+b c+d
=
Từ (1) và (2) suy ra a − b c − d .
a c
=
Bài 1.3: cho tỉ lệ thức: b d chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau(giả thiết các tỉ lệ

thức đều có nghĩa):
5


2015a + 2016b 2015c + 2016d
=
a, 2015a − 2016b 2015c − 2016d
a 2 + b 2 ab
=
2
2
b, c + d cd

Hướng dẫn: - Làm như thế nào để xuất hiện 2015a, 2015c, 2016b, 2016d?
Muốn có 2015a, 2015c, 2016b, 2016d ta phải làm xuất hiện tỉ số nào?
Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được
không? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giải
theo cách 3
Giải:
a. Từ

a c
a b
2015a 2016b
2015a 2015c
2015a + 2016b 2015c + 2016d
= ⇒ = ⇒
=
⇒
=

⇒
=
b d
c d
2015c 2016d
2016b 2016d
2015a − 2016b 2015c − 2016d

(áp dụng kết quả của bài 2 )

a c
a b
a 2 b2 a 2 + b2
= ⇒ = ⇒ 2 = 2 = 2
2
b. Từ b d c d c d c + d (1)

a c
a b
a a b a
a 2 ab
= ⇒ = ⇒ . = . ⇒ 2 =
và từ b d c d c c d c c cd (2)
a 2 + b 2 ab
=
2
2
từ (1) và (2) suy ra c + d cd (đpcm)
a+b c+a
=

Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu a = bc thì a − b c − a điều đảo lại có đúng hay
2

không?
Nhận xét: Với bài toán này khi đưa ra, yêu cầu học sinh phân tích đề bài để

a+b c+a
=
hiểu nội dung yêu cầu của đề bài chiều thuận: Nếu a = bc thì a − b c − a đảo lại
a+b c+a
=
2
có nghĩa là: nếu a − b c − a thì a = bc có đúng không? Vậy là học sinh phải
2

chứng minh chiều thuận và chiều đảo.
Giải:
a 2 = bc ⇒

a b
a b a +b a −b
a +b c+a
= ⇒ = =
=
⇒
=
c a
c a c+a c−a
a −b c −a

+ Ta có:
+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có :
a+b c+a
=
a −b c −a
⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a)

hay ac − a 2 + bc − ab = ac + a 2 − bc − ab
⇒ 2bc = 2a 2
⇒ a 2 = bc
6


a c
=
a
+
c
=
2
b
(1)
2
bd
=
c
(
b
+

d
)
(2)
Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu
và
đk: b;d ≠ 0 thì b d

Nhận xét: ở bài toán này đề bài cho các đẳng thức từ các đẳng thức chứng minh tỉ
lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược như sau:
a c
=
Muốn có b d ⇐ cb = ad ⇐ ………….. ⇐ c ( b + d ) = ( a + c ) d căn cứ váo (1) và (2)cả
hai vế cùng bằng 2bd vậy từ a + c = 2b nhân cả hai vế với d. ta có thể trình bày

giải như sau :
Giải :

Ta có : a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3)
Từ (3) và (2)
⇒ c ( b + d ) = ( a + c) d

⇒ cb + cd = ad + cd
⇒ cb = ad
a c
⇒ =
b d (đpcm)
c ( a + c)
=
b ( b + a) 2
2

Bài 1.6: cho a, b, c là ba số khác 0 và a =bc chứng minh rằng:
thi khảo sát chất lượng học kì I của huyện Ngọc Lặc năm học 2015-2016)
Hướng dẫn:
2

(đề

( a + c)
2
=bc ta biến đổi để xuất hiện ( b + a )
2

2
Từ a

( a +c )
a
c
a +c
a 
c 
 a +c 
a =bc ⇒ = =
⇒ ÷ = ÷ =
÷=
2
b
a
b +a

b 
a 
 b +a 
( b +a )
2

2

2

2

2

Giải: Từ

(1)

2
c ( a + c)
a 2 bc c
a
=
2
=
=
=
 ÷
2
2

b
2
b + a)
(
(2)
b
b
b
b


a
=
bc
Ta lại có
(vì
) . Từ (1) và (2) ta có
2004
2004
2004
2004
( 2 x1 − 3 y1 ) + ( 2 x2 − 3 y2 ) + ( 2 x3 − 3 y3 ) + ... + ( 2 x2005 − 3 y2005 ) ≤ 0
2

Bài 1.7: Cho:

x1 + x2 + x3 + ... + x2005
= 1,5
Chứng minh rằng: y1 + y2 + y3 + ... + y2005

Hướng dẫn: giáo viên cho học sinh đọc, quan sát, suy ngẫm kĩ đề bài để phát hiện
ra vấn đề:
x1 + x2 + x3 + ... + x2005
= 1,5
y
+
y
+
y
+
...
+
y
1
2
3
2005
1)
2004
2004
2004
2004
( 2 x1 − 3 y1 ) ; ( 2 x2 − 3 y2 ) ; ( 2 x3 − 3 y3 ) ;...; ( 2 x2005 − 3 y2005 ) ≥ 0

2)

3)mà ( 2 x1 − 3 y1 )

2004

+ ( 2 x2 − 3 y2 )

2004

+ ( 2 x3 − 3 y3 )

2004

+ ... + ( 2 x2005 − 3 y2005 )

2004

≤0

4) Từ 2) suy ra được: ( 2 x1 − 3 y1 ) + ( 2 x2 − 3 y2 ) + ( 2 x3 − 3 y3 ) + ... + ( 2 x2005 − 3 y2005 )
2004
2004
2004
2004
2 x1 − 3 y1 )
+ ( 2 x2 − 3 y2 )
+ ( 2 x3 − 3 y3 )
+ ... + ( 2 x2005 − 3 y2005 )
=0
(
5) Từ 3) và 4)
2004

2004

2004

2004

7

≥0


6)Hay ( 2 x1 − 3 y1 )

2004

; ( 2 x2 − 3 y2 )

2004

; ( 2 x3 − 3 y3 )

2004

;...; ( 2 x2005 − 3 y2005 )

2004

=0

7) ( 2 x1 − 3 y1 ) ; ( 2 x2 − 3 y2 ) ; ( 2 x3 − 3 y3 ) ;...; ( 2 x2005 − 3 y2005 ) = 0
⇒

x
x1 x2 x3
3
=
=
= ... = 2005 =
y1 y2 y3
y2005 2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bàng nhau ta có:

x
x + x + x + ... + x2005 3
x1 x2 x3
=
=
= ... = 2005 = 1 2 3
= = 1,5
y1 y2 y3
y2005 y1 + y2 + y3 + ... + y2005 2

2.1.3b) Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
Giáo viên hướng dẫn học sinh. Đối với dạng bài tập này cần nhớ phương pháp
giải như sau:
Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số
a, b, c. Ta làm như sau:
x y z x+ y+z
s
s
s

s
= = =
=
x=
.a y =
.b z =
.c
a b c a + b + c a + b + c do đó
a+b+c ;
a+b+c ;
a+b+c
x y
=
Bài 2.1: Tìm hai số x, y biết : 3 5 và x + y = 16.

Hướng dẫn: Với bài này học sinh chỉ cần vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải, tuy nhiên yêu cầu đối với bài này giáo viên cần hướng dẫn, trình
bày cụ thể và nêu những chú ý mà học sinh có thể dẫn đến sai như đặt ra ở mục
thực trạng của vấn đề.
x y y z
= ; =
2 3 4 5 và x + y – z = 10.(Bài 61-

Bài 2.2. Tìm ba số x, y, z, biết rằng:
trang 31 SGK toán 7 tập 1)
Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất
y
y
hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số 3 và 4 có hai số

hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới (ta
tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy
đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4) =12 từ đó
mẫu chung của 3 và 4 là 12
Giải:
BCNN(3;4) =12 nên ta biến đổi như sau:
x y
x y
1
= ⇒ =
2 3
8 12 ( nhân cả hai vế với 4 ) (1)
y z
y
z
1
• = ⇒ =
4 5 12 15 ( nhân cả hai vế với 3 )
(2)
x y
z
= =
Từ (1) và (2) 8 12 15 . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y
z
x + y − x 10
=
= =
= =2
8 12 15 8 + 12 − 15 5

•

Vậy
x = 8.2 = 16
y = 12.2 = 24

8


z = 15.2 =30
giáo viên : ở bài toán này chúng ta phải biến đổi để xét x, y, z tỉ lệ với các
số nào?
x y
y z
=
=
Bài 2.3. Tìm x, y, z cho : 3 4 và 5 7 và 2 x + 3 y − z = 372

Hướng dẫn : Hướng dẫn học sinh nhận ra đây chính là bài toán kết hợp bài 2.1 và 2.2
- Trước hết ta phải biến đổi xét xem x, y, z tỉ lệ với các số nào
- Sau đó làm xuất hiện tổng : 2 x + 3 y − z = 372

Giải :
BCNN(4 ;5)=20 nên ta biến đổi như sau :
x y
x
y
1
= ⇒ =
Ta có : 3 4 15 20 (nhân cả hai vế cho 5 ) (1)

y z
y
z
1
= ⇒
=
5 7
20 28 (nhân cả hai vế cho 4 ) (2)
x
y
z
=
=
Từ (1) và (2) suy ra 15 20 28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được :
x = 90 ; y = 120 ; z = 168
Bài 2.4. Tìm x, y, z biết :
x −1 y − 2 z − 3
=
=
( 1)
3
4
a. 2
và 2x + 3y –z = 50
2x 3y 4z
=
= ( 2)
b. 3 4 5

và x + y +z = 49

Nhận xét : Đối với câu a học sinh có thể tìm ra cách giải tương tự bài 2.2, từ câu
a học sinh có thể tự suy luận và tìm ra cách giải câu b, nếu học sinh không làm
đươc thì giáo viên hướng dẫn như sau : ở bài toán này giả thiết cho x + y +z =
49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế
nào để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2 ;3 ;4) = 12 và khử
tử để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z
Giải :

2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3
2.( x − 1) 3.( y − 2) z − 3
=
=
=
=
3.3
4 hay
4
9
4
a. Ta biến đổi (1) như sau : 2.2

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 2 x − 2 + 3 y − 6 − z + 3 ( 2 x + 3 y − z ) + −2 − 6 + 3 50 − 5
=
=
=
=

=
=5
4
9
4
4+9−4
9
9
x −1
= 5 ⇒ x = 11
2
y−2
= 5 ⇒ y = 17
3
z −3
= 5 ⇒ z = 23
4

2) Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
9


2x 3 y 4z
2x
3y
4z
x
y
z
=

=
⇒
=
=
=
=
3
4
5
3.12 4.12 5.12 hay 18 16 15

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
y
z
x+ y+z
49
=
= =
=
=1
18 16 15 18 + 16 + 15 49

x = 18; y = 16; z = 15
Bài 2.5. Tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài toán và cho học sinh nêu các phương pháp
làm đã sử dụng trong bài.
Giải :
a b
=

Từ 2a = 3b suy ra 3 2
b c
=
Từ 5b = 7c suy ra 7 5

Ta tìm BCNN(2,7)=14.
a b
a
b
a
b
= ⇒
=
⇒
=
Từ 3 2 3.7 2.7 21 14 (1)
b c
b
c
b
c
= ⇒
=
⇒ =
Từ 7 5 7.2 5.2 14 10 (2)
a
b
c
= =
Từ (1) và (2) ta có : 21 14 10

a
b
c
3a
7b
5c
3a 7b 5c
= = ⇒
=
=
⇒
=
=
Từ 21 14 10 3.21 7.14 5.10 63 98 50
3a 7b 5c
=
=
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số bằng nhau 63 98 50
3a 7b 5c 3a + 5c − 7b 30
=
=
=
=
=2
ta có : 63 98 50 63 + 50 − 98 15

Từ đó ta tính được a = 42 ; b = 28 ; c = 20
x y z
= =
2

2
2
Bài 2.6. Tìm các số x, y, z biết 5 7 3 và x + y + z = 747

Hướng dẫn : Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài toán
Giải :
x y z
= = =k
⇒ x = 5k ; y = 7 k ; z = 3k
Đặt 5 7 3
2
2
2
2
2
2
Vì x + y + z = 747 nên 25k + 49k + 9k = 747
747
⇒ 83k 2 = 747 ⇒ k 2 =
= 9 ⇒ k = ±3
83
Với k = 3, ta có : x = 5k = 5.3 = 15; y = 7k = 7.3 = 21; z = 3k = 3.3 = 9

Với k = -3, ta có : x = 5k = 5.(−3) = −15; y = 7k = 7(−3) = −21; z = 3k = 3(−3) = −9
Vậy các cặp số (x, y, z) cần tìm là : (15, 21, 9) và (-15, -21, -9)
Bài tập tương tự :
1) Một số A được chia thành 3 phần tỉ lệ nghịc với 5 ; 2 ; 4. Biết
10

rằng tổng các lập phương của ba phần đó bằng 9512. Hãy tìm số A
2) Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng
với 3 ; 4 ; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5 ; 1 ; 2
Bài 2.7. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:

3

3
70 , các tử của chúng tỉ lệ

a −9
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 9
9
8
1 và a1 + a 2 + ... + a 9 = 90

Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau làm như sau:
Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a − 9 ( a1 + a 2 + ... + a 9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 ) 90 − 45
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 9
=
=
=1
9
8

1
9 + 8 + ... + 1
45
Từ đó dễ dàng suy ra : a1 = a2 = a3 = ... = a9 = 10

Ngoài cách trên, trong quá trình dạy cho học sinh tôi thấy học sinh làm
cách khác hay hơn nhiều so với cách trên, đó là học sinh đã trừ các tỉ số bằng nhau
với 1, đưa về dãy tỉ số:
a − 10 ( a1 + a2 + ... + a10 ) − ( 10 + 10 + ... + 10 )
a1 − 10 a 2 − 10
90 − 90
=
= ... = 9
=
=
=0
9
8
1
9 + 8 + ... + 1
9 + 8 + ... + 1
sau đó các em tìm a1; a2 ;...; a10 một cách dẽ dàng ( a1 = a2 = a3 = ... = a9 = 10 )

8
Bài 2.8. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng 9 số
17
học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng 16 số học sinh lớp 7B. Tính số học

sinh của mỗi lớp.
Hướng dẫn : loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm, thể hiện các

mối quan hệ qua ẩn khi đó bài toán trở về dạng quen thuộc mà chúng ta đã được
học
Nếu gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. thì theo đề bài
ta
8
17
x z=
y
9 ,
16 . Vậy ta đi giải bài toán tìm x, y, z
có : x + y + z = 153,
8
17
y= x z=
y
9 ,
16 .
biết: x + y + z = 153,và
y=

Giải :
Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài ta có :x
8
17
x z=
y
9 ,
16 .
+ y + z = 153,
8

17
y= x z=
y
9 ,
16 .
X + y + z = 153,
z 17
17
z
y
=
z=
y
=
16 nên y 16 hay 17 16 (1)
Do
8
y 8
y x
y x
y= x
=
=
=
9 nên x 9 hay 8 9 hay 16 18 (2)
Do
y=

11

x y z
= =
Từ (1) và (2) ta có 18 16 17 .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z
x+y+z
153
= =
=
=
=3
18 16 17 18+16+17 51

Từ đây tìm được x= 54; y=48; z= 51.
Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51.
Bài 2.9: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235
m3 . biết rằng thời gian để bơm được 1 m 3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4
phút và 5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?
Hướng dẫn: giải tương tự như bài 2.8:
Giải:
Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m 3), y (m3),
z(m3)
Theo bài ra ta có : x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z.

3x 4 y 5z
x
y
z

=
=
= =
60 60 60 hay 20 15 12 (2).

Từ 3x = 4y = 5z suy ra
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có :
x
y
z
x+y+z
235
= = =
=
=5
20 15 12 20+15+12 47

Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60
Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m 3 , 75m3
và 60m3
Bài 2.10: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của
5
10
số thứ nhất với số thứ 2 là 9 , của số thứ nhất với số thứ ba là 7 .

Hướng dẫn: - Xét ba số cần tìm tỉ lệ với ba số nào?
- Tìm mối quan hệ giữa ba số với BCNN của chúng.
Giải:
Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
Theo bài ra ta có : BCNN (x , y , z) = 3150

x 5
=
y 9 hay
x 10
=
hay
z 7

x y
x
y
=
=
5 9 hay 10 18 (1)
x z
=
10 7
(2)
x
y z
= =
Từ (1) và (2) ta có : 10 18 7
x
y z
= =
Đặt 10 18 7 =k

12



⇒ y = 18.k = 32.2.k 

 ⇒ BCNN (x, y, z)=2.5.k.32 .7
⇒ z = 7.k
⇒ x = 10k = 2.5.k

Mà BCNN (x, y, z)=3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 .7= 2.32.52.7
Từ đó suy ra : k = 5
Suy ra x=10 . 5 = 50; y =18 . 5 = 90; z =7 . 5 = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
2.1.3c) Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng
x a
=
y
b.
Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = P và
x a
x y
x y
= ⇒ = .
= =k
Từ y b a b
Đặt a b
, ta có x=k.a, y=k.b. do đó:
P
2
x. y = ( ak ) . ( bk ) = ab.k 2 ⇒ k = ab
. Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.

Chú ý:
Cần lưu ý cho học sinh khi giải được hai trường hợp k,
Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x y xy
= =
a b ab (sai)
x y
=
Bài 3.1: (Bài 62 SGK –Toán 7 tập 1) Tìm hai số x và y, biết rằng 2 5 và xy=10.

Giáo viên đưa ra bài tập yêu cầu học sinh là trong 5 phút giáo viên xem xét và chỉ ra
sai lầm nếu có trình bày cách giải và nhấn mạnh những điểm mà học sinh còn mắc sai
lầm.
x y xy
= =
(cần tránh sai lầm áp dụng ‘‘tương tự ’’ tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 2 5 2.5

Hướng dẫn giải :
x y
= =k
Đặt 2 5
, ta có x =2k, y =5k.
2
2
Vì xy=10 nên 2k.5k=10 ⇒ 10k = 10 ⇒ k = 1 ⇒ k = 1 hoặc k = −1

+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2 ; y = 5 ; x = - 2 ; y = - 5

2
Chú ý : với bài này cần lưu ý khi k = 1 ⇒ k = ±1
x 3
=
Bài 3.2 : Tìm x, y biết rằng : y 5 và xy = 135 .

Hướng dẫn : Bài này làm tương tự bài 3.1. để học sinh biết cách giải khác giáo
viên hướng dẫn cho các em làm theo cách khác như sau :
x 3
x y
x x y x
x 2 xy 135
= ⇒ =
⇒ . = . ⇒
=
=
=9
9 15 15
Từ y 5 3 5 vì x ≠ 0 nhân cả hai vế với x 3 3 5 3
2
2
2
suy ra x = 9.9 = ( 9 ) = ( −9 ) ⇒ x = 9 hoặc x = −9
13


135
= 15
9
với

135
x = −9 ⇒ y =
= −15
−9
với
x=9⇒ y =

Bài 3.3 : Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m 2 có chiều rộng
5
bằng 19 chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.

Hướng dẫn : loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm ,thể hiện các
mới quan hệ qua ẩn đưa về bài toán dạng tìm hai số khi biết tích và tỉ số của
chúng.
Giải :
Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt là x (m)
,y(m).
Theo bài cho ta có x . y = 76,95 và

x=

5
x y
. y hay =
19
5 19

x y
=
=k

Đặt 5 19
, ta có x = 5.k ; y=19.k

Vì

x

76,95
nên
(5.k).(19.k)=76.95
⇒ 95k = 76,95 ⇒ k = 76,95 : 95 = 0,81 ⇒ k = 0,9 hoặc k = −0,9 .
+ với k = 0,9 thì x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1.
+ với k = -0,9 thì x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1.
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật nên x=4,5 và y= 17,1
Vậy chiều rộng : 4,5(m) ; chiều dài : 17,1(m).
Bài 3.4 : Tìm x, y và z biết
2

.

y

=

2

x y z
= =
a) 12 9 5 và xyz = 20 .
x y z

= =
b) 2 3 5 và xyz = 810

Hướng dẫn giải :
x y z
= = =k
Đặt 12 9 5
, ta có x = 12k ; y=9k; z=5k .
20
1
1
3
3
⇒
540
k
=
20
⇒
k
=
=
⇒
k
=
12
k
.
9
k

.
5
k
=
20
540 27
3.
Vì xyz = 20 nên ( ) ( ) ( )
1
1
1 5
x = 12. = 4 y = 9. = 3 z = 5. =
3
3
3 3
Suy ra
;
;
5
x = 4; y=3; z= .
3
Vậy
x y z
= = =k
b) Tương tự câu a : đặt 2 3 5
, ta có x=2k ; y=3k ; z=5k.
3
3
vì xyz = 810 nên (2k).(3k).(5k)=810 ⇒ 30k = 810 ⇒ k = 810 : 30 = 27 ⇒ k = 3 .

Vậy x = 6 ; y = 9 ; z =15.
14


Bài 3.5 : ba lớp 7A ; 7B ; 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói
tăm dự địnhchia cho ba lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4 :5 :6
nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã
mua.(Bài 24 trang 32 – các chủ đề nâng cao toán 7 của tác giả Huỳnh Quang
Lâu)
Hướng dẫn : ở bài toán này ta phải tìm ra lớp nào nhận được nhiều hơn dự
định 4 gói tăm bằng cách tìm số tăm của mỗi lớp so với tổng số tăm của ba lớp
phải mua.
Giải :
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là : a, b, c
a b c a+b+c x
5x
6x x
7x
= = =
= ⇒ a = ;b =
= ;c =
18
18
18
18 3
18
Ta có : 5 6 7

(1)

Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có :
a , b , c , a , + b, + c ,
x
4 x , 5x x , 6 x
= = =
= ⇒ a, =
;b =
= ;c =
4 5 6
15
15
15
15 3
15

(2)
So sánh (1) và (2) ta có : a > a’ ; b=b’ ; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
6x 7 x
x
−
=4⇒
= 4 ⇒ x = 360
90
Vây: c’ – c = 4 hay 15 18

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
2.1.3d) Dạng 4 : Tính giá trị của biểu thức :
Bài 4.1 :

3x − y 3

x
=
Cho tỉ lệ thức x + y 4 . Tính giá trị của tỉ số y (bài tập 54 sách nâng cao

và phát triển toán 7 của tác giả Vũ Hữu Bình)
Bài giải :
Cách 1 :

3x − y 3
=
x
+
y
4 ⇒ 4(3x – y) = 3(x+y) ⇔ 12x – 4y = 3x + 3y
Từ
⇔ 12x – 3y = 3(x+y) ⇔ 9x = 7y
x
7
Vậy y = 9

Cách 2 :
3x
−1
3
y
=
3x − y 3
x
=
+1 4

y
Từ x + y 4 ⇒

x
3a − 1
3
Đặt y = a ⇒ a + 1 = 4

Bài 4.2:

y+z−x
x y z
= =
Cho 2 3 4 . Tính giá trị của biểu thức P = x − y + z

Hướng dẫn: ta đặt tỉ các số bằng k, tìm x, y, x theo k rồi thay vào P.
Cách 1:

15


x y z
= =
Đặt 2 3 4 = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k ≠ 0)
3k + 4k − 2k 5k 5
=
=
P = 2k − 3k + 4k 3k 3
5
Vậy P = 3

Hoặc có thể biến đổi nhu sau :
Cách 2 :

x y z
y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z
= =
=
=
=
5
2−3+ 4
3
Có 2 3 4 = 3 + 4 − 2
y+z−x x− y+z
y+z−x 5
⇒
=
⇒
=
5
3
x− y+z 3
5
Vậy P = 3

Nhận xét : Với hai cách trên thì cách 1 học sinh dễ phát hiện, dễ hiểu hơn cách
2
Bài 4.3 :
Cho dãy tỉ số bằng nhau

a
b
c
d
=
=
=
b + c + d a + c + d a + b + d b + c + a Tính giá trị của biểu thức
a+b b+c c+d d +a
M=
+
+
+
c+d a+d a+b b+c

Hướng dẫn giải :
a
b
c
d
=
=
=
Từ b + c + d a + c + d a + b + d b + c + a
a
b
c
d
⇒
+1 =

+1 =
+1 =
+1
b+c+d
a+c+d
a+b+d
b+c+a
a+b+c+d a+b+c+d a +b+c+d a +b+c+d
⇒
=
=
=
b+c+d
a+c+d
a +b+d
b + c + a (*)
+) Xét a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d )
⇒ M = −4
+) Xét a + b + c + d ≠ 0 Từ (*) ta có :
b+c +d = a +c +d = a +b+d = b +c +a
⇒a =b=c=d ⇒ M =4

Lưu ý: Với bài này giáo viên cần lưu ý cho học sinh xét hết các trường hợp có
thể xảy ra
Bài tập tương tự:
Cho dãy tỉ số bằng nhau
2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d
=
=
=

2011a
2011b
2011c
2011d

Tính giá trị của biểu thức

16


M=

a+b b+c c+d d +a
+
+
+
c + d a + d a + b b + c (đề thi hsg toán 7 huyện Ngọc Lặc năm học 2013-

2014)
Cũng là bài tập tương tự nhưng yêu cầu đề bài khác ví dụ:
Cho dãy tỉ số bằng nhau
a
b
c
d
=
=
=
b + c + d a + c + d a + b + d b + c + a Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị
a+b b+c c+d d +a

M=
+
+
+
c+d a+d a+b b+c
nguyên

Bài 4.4:

a+b b+c c+a
=
=
a
b
Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn c
 a  b  c 
P = 1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷
 b  c  a 
Tính giá trị của biểu thức

Bài giải:

a+b b+c c+a
a+b
b+c
c+a
=
=
⇒
+1 =

+1 =
+1
a
b
c
a
b
Từ c
a+b+c a+b+c a+b+c
⇒
=
=
c
a
b
(*)
+) Xét a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a
a + b b + c a + c −c − a −b −abc
×
×
=
× × =
= −1
b
c
a
b c a
abc
+) Xét a + b + c ≠ 0 Từ (*) ta có :
a =b=c⇒ P =8

P=

Nhận xét : trong quá trình dạy và học nhiều thầy cô và học sinh không
xét từng trường hợp mà chỉ đưa ra được trường hợp P = -1 vì vậy khi dạy cho
học sinh giáo viên cần lưu ý cho học sinh xét đầy dủ hai trường hợp như trên.
Bài 4.5 :
ab
bc
ca
=
=
Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn a + b b + c c + a
ab 2 + bc 2 + ca 2
P=
a3 + b3 + c 3
Tính giá trị của biểu thức

Bài giải :
ab
bc
ca
=
=
Với a, b, c ≠ 0 ta có : a + b b + c c + a
a+b b+c c+a
1 1 1 1 1 1
⇒
=
=
⇒ + = + = +

ab
bc
ca
b a c b a c
1 1 1
⇒ = = ⇒a=b=c
a b c
thay vào ta được P = 1

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tìm các số x,y,z biết rằng
17


x−2 x+4
=
a. x − 1 x + 7
x y z
= =
b. 10 6 21 và 5 x + y − 2 z = 28
c. 4 x = 3 y ; 7 y = 5 z và 2 x − 3 y + z = 6

d. x : y : z = 12 : 9 : 5 và xyz = 20

10
6
14
=
=

e. x − 5 y − 9 z − 21 và xyz = 6720
x + 16 y − 25 z + 9
=
=
16
25 và 2 x 3 − 1 = 15
f. 9

Bài 2.
Tìm các số x,y,z biết rằng
2
2
2
a. x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5 z − 3x − 2 y = 594

3 x − 1) = 2 ( y − 2 ) 4 ( y − 2 ) = 3 ( z − 3)
b. (
;
và 2 x + 3 y − z = 50
12 x − 15 y 20 z − 12 y 15 y − 20 z
=
=
7
9
11
c.
và x + y + z = 48
2x 3y 4z
=
=

d. 3 4 5 và − x − y − z = −49

Bài 3.
Tìm các số x,y,z biết :
x 3 y 5
=
=
y
2 ; z 7 và 2 x − 3 y + 5 z = 1
a.
2 x + 1 y − 2 2 x + 3 y −1
=
=
5
7
6x
c.
d,

1+ 4 y 1+ 6 y 1+ 8y
=
=
19
5x
b, 13
y + z +1 x + z + 2 y + x − 3
1
=
=
=

x
y
z
x+ y+z

Bài 4.
a c
=
Cho tỉ lệ thức b d . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết

các tỉ số đều có nghĩa )
2a + 7b 2c + 7d
=
a. 3a − 4b 3c − 4d
2

a2 + b2
 a +b 
=

÷
2
2
c.  c + d  c + d

2015a − 2016b 2015c − 2016d
=
b, 2016c + 2017 d 2016a + 2017b
2

ab  2a + 3b 
=
÷
cd
 2c + 3d 
d,

7a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
= 2
2
e, 7a − 5ac 7b − 5bd

Bài 5.
Cho a + c = 2b và

2bd = c ( b + d )

a c
=
; b, d ≠ 0 CMR : b d

Bài 6.
a
a1 a2 a3
=
=
= L = 2014
a2015 chứng minh đẳng thức
Cho dãy tỉ số bằng nhau : a2 a3 a4
2014

 a + a + a + L + a2014 
a1
= 1 2 3
÷
a2015  a2 + a3 + a4 + L + a2015 

18


Bài 7.
a c
=
Cho b d các số x, y , z, t thỏa mãn ax + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0
xa + yb xc + yd
=
Chứng minh rằng: za + tb zc + td

Bài 8.

2a + 13b 2c + 13d
=
Cho tỉ lệ thức 3a − 7b 3c − 7 d Chứng minh rằng:

a c
=
b d

Bài 10.
x

y
z
t
=
=
=
Biết y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z
x+ y y + z z +t t + x
P=
+
+
+
z+t t + x x+ y y+ z
Tính

Bài 11.
Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số
của nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ;2 ;3
4/.Kết quả nghiên cứu vấn đề :
Sau một thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi thấy kết quả mang lại
rất khả quan và thu được kết quả như sau :
TSH Giỏi
Khá
Trung
Yếu
Kém
S
bình
SL
%

SL %
SL
%
SL %
SL %
14 21, 18 27, 28 42, 6
9
Đầu năm 66
2
2
4
Giữa
66
14 21, 20 30, 27 40, 5
7,6 0 0
HKI
2
3
9
66
20 30, 18 27, 28 42, 0
0
0 0
Cuối
3
2
4
HKI
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
1/.Bài học kinh nghiệm:

Qua kết quả nghiên cứu trên khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thì tơi nhận
thấy học sinh khơng còn sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức
cho trước, dạng tốn có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải
các bài tốn tương tự. Khi đưa ra một bài tốn các em nhận dạng nhanh được bài
tốn đó ở dạng nào.Các em có kỹ năng tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biết
cách biến đổi từ những dạng tốn phức tạp về dạng đã biết cách giải.Qua những
bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù hợp
kiến thức trong chương trình. Ngồi cách hướng dẫn giải của giáo viên tơi thấy
các em có nhiều cách giải rất hay thể hiện những điểm thơng minh trong các
phép biến đổi. Nhờ đó mà tăng số lượng học sinh khá, giỏi, tăng số lượng chất
lượng trong đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện.
19


- Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào
giờ dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để
luyện tập cho học sinh. Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho
trước, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiều
dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này được,
ngoài ra dạng toán dựa vào tính chất của tỉ lệ thức áp dụng trong bất đẳng thức
cũng chưa đưa ra được
Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tài
chưa đề cập đến.
2/.Hướng phổ biến áp dụng đề tài:
Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp “kinh nghiệm giải toán
về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7” trang bị cho học sinh
kiến thức cơ bản và chuyên sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nâng
cao về tỉ lệ thức và các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả. Vì
vậy, để thực hiện có hiệu quả, chúng tôi xin đưa ra một số đề xuất:
+ Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần

lưu ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót..
+ Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem cho
điều gì và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì. Bài tập sau có gì khác so với bài tập
trước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài toán thật nhanh.
+ Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn các bài tập có nội dung
lồng ghép những bài toán thực tế, có kiến thức liên môn để kích thích tính tò
mò, muốn khám phá những điều chưa biết trong chương trình Toán 7.
+ giáo viên dạy môn Hóa học cũng có thể tham khảo cách giải các bài
toán về tỉ lệ thức vì trong chương trình hóa 8,9 có nhiều bài giải liên quan đến
dạng toán này.
Sau khi thực hiện đề tài “kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau ở môn Đại số lớp 7” Tôi nhận thấy học sinh có hứng thú
học tập hơn, kết quả học tốt hơn. Tuy nhiên còn rất nhiều dạng toán nữa mà tôi
chưa đưa ra trong đề tài này được. Bởi vậy tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm vào
năm học sau.
Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lại
những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo
sách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của
tôi không tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong sự góp ý chân thành của
Hội đồng khoa học các cấp.
Ngọc Lặc, ngày 20 tháng 3 năm 2016
XÁC NHẬN
Tôi xin cam kết sáng kiến này do tôi tự làm,
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ không sử dụng sao chép coppy của người khác
Người viết

20


Phạm Thị Duyên

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán 7 tập I
2. Sách nâng cao và phát triển Toán 7 -tác giả Vũ Hữu Bình
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7 –tác giả: Bùi Van Tuyên
4. Các chủ đề nâng cao toán 7 của tác giả Huỳnh Quang Lâu
5.Các đề thi học sinh giỏi toán 7 của các huyện,các tỉnh trên mạng intenet

21