Tích phân lebesgue trên tập số thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG

TÍCH PHÂN LEBESGUE
TRÊN TẬP SỐ THỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG

TÍCH PHÂN LEBESGUE
TRÊN TẬP SỐ THỰC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này em đã nhận
được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tận tình
dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện thuận lợi cho
em thực hiện bản khóa luận này.
Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Hoàng Ngọc Tuấn
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình
thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên bản khóa luận này không
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ góp ý,
phê bình của các thầy cô và các bạn sinh viên để bản khóa luận này hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Đương


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và

nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa
Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Hoàng Ngọc Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Tích phân Lebesgue trên
tập số thực” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Đương


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực

1

1.1

Hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Hàm khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Giá trị tuyệt đối của một hàm khả tích . . . . . . . . . .

10

1.4

Chuỗi các hàm khả tích

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Chuẩn trong L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Sự hội tụ của tích phân Lebesgue

18

2.1

Hội tụ hầu khắp nơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Các định lý cơ bản về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Hàm khả tích địa phương

. . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4

Tích phân Lebesgue và tích phân Riemann . . . . . . . .

28

i


LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng
vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn. Để nắm vững hơn
các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn
đề tài tích phân Lebesgue: “Tích phân Lebesgue trên tập số thực”
.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về
giải tích và đặc biệt là tích phân Lebesgue.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tích phân Lebesgue trên tâp số thực.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
bao gồm 2 chương:
• Chương 1: “Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực” .
• Chương 2: “Sự hội tụ của tích phân Lebesgue”.
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã tận

tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.

Hà Nội, ngày 20/04/2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Đương

2


Chương 1
Xây dựng tích phân Lebesgue trên
đường thẳng thực
1.1

Hàm bậc thang

Mỗi hàm bậc thang trên đường thẳng thực là tổ hợp tuyến tính của
hữu hạn các hàm đặc trưng của khoảng nửa mở [a, b) ⊆ R. Do đó,
với mọi hàm bậc thang f , có các khoảng [a1 , b1 ), . . . , [an , bn ) và các số
λ1 , . . . , λn ∈ R sao cho
f = λ1 f1 + . . . + λn fn ,

(1.1)

trong đó

fk =



1

nếu x ∈ [ak , bk )


0

nếu trái lại.

là hàm đặc trưng của [ak , bk ). Rõ ràng, biểu diễn của một hàm bậc
thang trong (1.1) là không duy nhất. Mặt khác, nếu ta giả thiết [ak , bk )
là khoảng rời rạc và số các khoảng được dùng là ít nhất thì biểu diễn là
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

duy nhất. Biểu diễn đó có thể được tìm ra theo con đường sau:
Cho f là một hàm bậc thang và a0 , a1 , a2 , . . . , an là tất cả các điểm
gián đoạn của f . Nói cách khác, a0 , a1 , . . . , an là các điểm ở đó đồ thị
của hàm f có một bước nhảy. Ta có thể giả thiết những điểm được xếp
thứ tự nghĩa là, a0 < a1 < a2 < . . . < an . Kí hiệu gk (k = 1, 2 . . . , n) là
các hàm đặc trưng của các khoảng [ak−1 , ak ). Khi đó
f = α1 g1 + . . . + αn gn ,

trong đó αk = f (αk−1 ), k = 1, 2, . . . , n. Biểu diễn đó thỏa mãn điều kiện
cần tìm. Nó được gọi là biểu diễn cơ sở của hàm bậc thang f
Tập tất cả các hàm bậc thang trong R là một không gian vectơ.
Giá trị tuyệt đối của một hàm bậc thang là một hàm bậc thang. Nếu
f = α1 f1 + . . . + αn fn là biểu diễn cơ sở của hàm bậc thang f , thì
|f | = |α1 |f1 + |α2 |f2 + . . . + |αn |fn .
Với mọi hàm thực f và g ta có
1
1
min{f, g} = (f + g − |f − g|) và max{f, g} = (f + g + |f − g|).
2
2
Do đó, nếu g và f là hai hàm bậc thang thì min{f, g} và max{f, g} cũng
là hàm bậc thang .
Định nghĩa 1.1. (Tích phân của hàm bậc thang) Tích phân

f của

một hàm bậc thang f (x) = λ1 f1 (x) + . . . + λn fn (x), trong đó fk là hàm
đặc trưng của [ak , bk ), k = 1, n, được xác định bởi
f = λ1 (b1 − a1 ) + . . . + λn (bn − an ).
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Rõ ràng, giá trị

Nguyễn Thị Đương

f là bằng tích phân Riemann của f . Từ các tính

chất của tích phân Riemann thấy rằng định nghĩa tích phân không phụ
thuộc vào biểu diễn riêng.
Định lý 1.1. Với mọi hàm bậc thang f và g ta có
(a)

(f + g) =

(b)

λf = λ f, (λ ∈ R);

(c) f ≤ g suy ra
(d) | f | ≤

f+

f≤

g;

g;

|f |.

Chứng minh. Tính chất (a) và (b) có được ngay từ Định nghĩa 1.2. Để
chứng minh (c) đầu tiên chứng tỏ rằng f ≥ 0 suy ra
nếu f = 0 thì

f ≥ 0. Thật vậy,

f = 0 theo (b). Nếu f ≥ 0 và f không triệt tiêu trên

R thì tất cả các hệ số trong biểu diễn cơ sở của f đều dương và do đó
f > 0. Bây giờ, nếu f ≤ g thì g − f ≥ 0 và do đó (g − f ) ≥ 0, suy ra
ta có
và

f≤

−f ≤

g, theo (a), (b). Vì f ≤ |f | và −f ≤ |f |, ta có
|f | theo (c), điều này suy ra |

f| ≤

f≤

|f |

|f | theo (b).

Định nghĩa 1.2. (Giá của một hàm) Giá của một hàm khác 0, kí hiệu
suppf , là tập tất cả các điểm x ∈ R mà f (x) = 0
Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm bậc thang trong đó giá được chứa trong
hợp của các khoảng mở [a1 , b1 ), . . . , [an , bn ). Nếu |f | < M, với hằng số
M nào đó thì

n

|f | ≤ M

(bk − ak ).
k=1

Bổ đề 1.2. Cho [a1 , b1 ), [a2 , b2 ), . . . là một phân hoạch của một khoảng

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

[a, b) nghĩa là, [a1 , b1 ), [a2 , b2 ), . . . là rời nhau và
∞

[an , bn ) = [a, b).

(1.2)

n=1

Khi đó

∞

(bn − an ) = b − a.

(1.3)

n=1

Chứng minh. Nếu c ∈ (a, b] thì [a1 , b1 ) ∩ [a, c), [a2 , b2 ) ∩ [a, c), . . . là một
phân hoạch của khoảng [a, c). Kí hiệu S là tập tất cả các điểm c ∈ (a, b]
sao cho
(bc,n − an ) = c − a,

(1.4)

an
trong đó bc,n = min{bn , c} và phép lấy tổng là tất cả n mà an < bc,n . S
là khác rỗng bởi vì a = an0 với an0 ∈ R và khi đó bn0 ∈ S. Suy ra b ∈ S.
Đầu tiên ta chứng minh rằng sup S ∈ S (sup S kí hiệu cận trên nhỏ
nhất của S). Thật vậy, nếu s = sup S và {sn } là một dãy không giảm
các phần tử của S hội tụ tới s thì
sn − a =

(bsn ,m − am ) ≤
am
Vì sn − a → s − a (1.5) suy ra

(bs,m − am ) ≤ s − a.

(1.5)

am am
− am ) = s − a và do đó

s ∈ S.
Bây giờ ta chứng tỏ rằng s = b. Giả sử s < b. Khi đó s ∈ [ak , bk ] với
mọi k ∈ N và do đó bk ∈ S. Nhưng điều này có nghĩa rằng bk > s, mâu
thuẫn với định nghĩa của s.
Định lý tiếp theo mô tả một tính chất quan trọng của tích phân của
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

hàm bậc thang.
Định lý 1.2. Cho (fn ) là dãy không tăng của các hàm bậc thang không
âm sao cho lim fn (x) = 0 với mọi x ∈ R. Khi đó, lim
n→∞

n→∞

fn = 0.

Chứng minh. Vì dãy ( fn ) là không tăng và bị chặn dưới (bởi 0), nó hội
tụ. Cho
lim

n→∞

fn = ε.

(1.6)

Giả sử ε > 0. Cho [a, b) là nửa khoảng chứa giá của f1 (và do đó giá của
mọi fn , n = 1, 2, . . .). Cho α =

ε
2(b−a) .

Với n = 1, 2, . . . ta xác định

An = {x ∈ [a, b) : fn (x) < α} và B1 = A1 , Bn = An \An−1 với n ≥ 2.
∞

∞

Bn là các tập rời nhau vì An−1 ⊆ An và

Bn = [a, b) (vì
n=1

An = [a, b)).
n=1

Vì fn là hàm bậc thang, Bn là hợp hữu hạn của các tập rời nhau
Bn = [an,1 , bn,1 ) ∪ . . . ∪ [an,k , bn,k ).
Các khoảng

[a1,1 , b1,1 ), . . . , [a1,k1 , b1,k1 ), . . . [an,1 , bn,1 ), . . . , [an,kn , bn,kn ), . . .
thỏa mãn phép lấy tổng của Bổ đề 1.2. Vì vậy
∞

kn

(bn,k − an,k ) = b − a.
n=1 k=1

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

Cho n0 ∈ N sao cho
∞

kn

(bn,k − an,k ) < δ,

(1.7)

n=n0 +1 k=1

trong đó δ =

ε

2 max |f1 | .

Đặt B = B1 ∪ B2 . . . ∪ Bn0 và xác định hai hàm

bổ trợ g và h:

g(x) =



fn0 (x)

với x ∈ B,


0

nếu trái lại,

và h(x) =



0

với x ∈ B,


f (x)
n0

nếu trái lại.

Vì B ⊂ An0 , ta có fn0 (x) < α với x ∈ B. Do đó, g(x) < α với mọi x ∈ B,
sao cho
ε
g < α(b − a) = ,
2

(1.8)

theo Bổ đề 1.1. Làm tương tự như vậy với h, ta nhận được
h < δ max |fn0 | ≤ δ max |f1 | =

ε
2

(1.9)

bởi vì (1.7). Vì fn0 = g + h, ta có
fn0 =

g+

h < ε,

theo (1.8), (1.9). Vì dãy (fn ) là không tăng, ta có
lim

n→∞

fn ≤

fn0 < ε,

mâu thuẫn với (1.6). Bởi vậy ε = 0, định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho (fn ) là dãy các hàm bậc thang không giảm. Nếu
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

lim fn (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R thì lim

n→∞

n→∞

fn ≥ 0.

Chứng minh. Các hàm bậc thang max{0, −fn }, n = 1, 2, . . . , tạo thành
một dãy không tăng hội tụ tới 0 với mọi x ∈ R. Do đó, ta có

lim

n→∞

max{0, −fn } = 0.

Vì fn = max{0, fn } − max{0, −fn } với mọi n ∈ N, ta có
fn =

max{0, fn } −

max{0, −fn }.

Bây giờ, cho n → ∞, rõ ràng ta được điều phải chứng minh.

1.2

Hàm khả tích Lebesgue

Định nghĩa 1.3. (Hàm khả tích Lebesgue) Một hàm thực f xác định
trên R được gọi là khả tích Lebesgue nếu tồn tại một dãy các hàm bậc
thang (fn ) sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:
∞

|fn | < ∞;

(a)
n=1

∞

∞

fn (x) với mọi x ∈ R sao cho

(b) f (x) =
n=1

|fn (x)| < ∞.
n=1

Khi đó, tích phân của f được định nghĩa bởi
∞

f=

fn .

(1.10)

n=1

Nếu một hàm f và một dãy các (fn ) thỏa mãn (a) và (b), thì ta viết
∞

f

fn

hoặc f

n=1

7

f1 + f2 + . . . .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

f1 + f2 + . . . và f ≥ 0 thì

Bổ đề 1.3. Nếu f

f1 +

f2 + . . . ≥ 0.

Chứng minh. Cho ε > 0 và cho n0 ∈ N sao cho
∞

|fn | < ε,

(1.11)

n=n0 +1

(n0 tồn tại theo (a) trong Định nghĩa 1.3). Định nghĩa
gn = f1 + . . . + fn0 + |fn0 +1 + . . . + |fn0 +n |,
với n = 1, 2, . . . Vì (gn ) là dãy các hàm bậc thang không giảm sao cho
lim gn (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R, ta có lim

n→∞

n→∞

gn ≥ 0 theo Hệ quả 1.1. Do

đó,
∞

0≤

f1 + . . . +

|fn |

fn0 +
n=n0 +1
∞

≤

f1 + . . . +

∞

fn0 +

fn +

|fn | +

n=n0 +1
∞

=

n=n0 +1

∞

|fn |

fn + 2
n=1
∞

≤

|fn |

n=n0 +1

fn + 2ε,
n=1

bổ đề được chứng minh vì ε là bất kỳ.
∞

Hệ quả 1.2. Nếu f

∞

fn và f

gn , thì

n=1

Chứng minh. Vì 0

∞

n=1

∞

fn =
n=1

gn .
n=1

f1 − g1 + f2 − g2 + . . .. Theo Bổ đề 1.3, ta có
f1 −

g1 +

f2 −
8

g2 + . . . ≥ 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

và do đó

Nguyễn Thị Đương

∞

∞

fn −
n=1

gn ≥ 0,
n=1

bởi vì cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối. Tương tự, ta thu được
∞

∞

gn −
n=1

fn ≥ 0
n=1

và vì thế tổng của cả hai chuỗi bằng nhau.

Hệ quả 1.2 chỉ ra rằng các hàm bậc thang là khả tích và khi đó tích
phân trong Định nghĩa 1.2 và Định nghĩa 1.3 là bằng nhau. Thật vậy,
nếu f là một hàm bậc thang thì f

f + 0 + 0 + . . .. Chứng tỏ rằng mọi

hàm khả tích Riemann là hàm khả tích Lebesgue và hai tích phân bằng
nhau.
Không gian các hàm khả tích Lebesgue trên R được kí hiệu bởi L1 (R).
Trong các phần còn lại các hàm khả tích Lebesgue được gọi đơn giản là
hàm khả tích.
Định lý 1.3. L1 (R) là một không gian vectơ và

là một hàm tuyến tính

trong L1 (R). Hơn nữa, nếu f, g ∈ L1 (R) và f ≤ g thì
∞

Chứng minh. Nếu f

∞

gn và λ ∈ R thì

fn , g
n=1

f +g

n=1

f1 + g1 + f2 + g2 + . . .

và
λf = λf1 + λf2 + . . . ,

9

f≤

g.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

và do đó f + g ∈ L1 (R) vàλf ∈ L1 (R). Hơn nữa,
(f + g) =

f+

g

Nếu f ≤ g thì g − f ≥ 0 và do đó
này suy ra

1.3

g−

λf = λ

và

f.

(g − f ) ≥ 0 theo Bổ đề 1.3. Điều

f ≥ 0, định lý được chứng minh.

Giá trị tuyệt đối của một hàm khả tích

Định lý 1.4. Nếu f ∈ L1 (R) và f

f1 + f2 + . . . , thì |f | ∈ L1 (R) và ta

có

∞

f ≤

|f | ≤

|fn |.
n=1

Chứng minh. Cho f

f1 + f2 + . . . . Đặt
∞

Z=

x∈R:

|fn (x)| < ∞
n=1

và
sn = f1 + f2 + . . . + fn

với , n = 1, 2, . . . .

Khi đó f (x) = lim sn (x) với mọi x ∈ Z. Do đó cũng có
n→∞

|f (x)| = lim |sn (x)|,
n→∞

hoặc tương đương,
|f (x)| = |s1 (x)| + (|s2 (x)| − |s1 (x)|) + (|s3 (x)| − |s2 (x)|) + . . .

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

với mọi x ∈ Z. Nếu ta cho g1 = |s1 | và gn = |sn | − |sn−1 | với n ≥ 2 thì
∞

|f (x)| =

gn (x)
n=1

với mọi x ∈ Z. Hơn nữa, vì
|gn | = ||sn | − |sn−1 || ≤ |sn − sn−1 | = |fn |,
ta có

(1.12)

∞

|gn | ≤

|fn | và do đó

|gn | < ∞.
n=1

Có vẻ như |f |

g1 + g2 + . . ., nhưng có thể tồn tại các điểm không thuộc

∞

∞

|gn (x)| hội tụ và ta không thể đảm bảo rằng

Z mà chuỗi
n=1

gn (x) =
n=1

|f (x)| tại điểm đó. Ta có thể tránh các điểm này bằng cách cộng và trừ
∞

fn ;

các hằng số của chuỗi
n=1

|f |

g1 + f 1 − f 1 + g2 + f 2 − f 2 + . . . .

(1.13)

Điều này không làm thay đổi sự hội tụ tại các điểm của Z, nhưng làm
chuỗi phân kì tại mọi điểm. Vì
|g1 | +

|f1 | +

|f1 | +

|g2 | +

11

|f2 | +

|f2 | + . . . < ∞,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

khai triển (1.13) là đúng và do đó |f | là khả tích. Hơn nữa,
|f | =

g1 +

f1 −

=

g1 +

g2 + . . . ≤

≤

|f1 | +

f1 +

|g1 | +

f ≤

f2 + . . .

|g2 | + . . .

|f2 | + . . . .

Cuối cùng, vì f ≤ |f | và −f ≤ |f | ta có
và do đó,

f2 −

g2 +

f≤

|f | và − f ≤

|f |,

|f |.

Hệ quả 1.3. Nếu f, g ∈ L1 (R) thì min{f, g}, max{f, g} ∈ L1 (R).

Chứng minh. Vì
1
min{f, g} = (f + g + |f − g|) và
2

1
max{f, g} = (f + g + |f − g|)
2

khẳng định suy ra bởi các Định lý 1.3 và 1.4.

1.4

Chuỗi các hàm khả tích

Định nghĩa 1.4. Cho f là hàm thực và cho (fn ) là dãy hàm khả tích.
Nếu
∞

|fn | < ∞,

(a)
n=1

∞

∞

fn (x) với mọi x ∈ R sao cho

(b) f (x) =
n=1

thì ta viết f

|fn (x)| < ∞,
n=1

∞

f1 + f2 + . . . hoặc f

fn .
n=1

Bổ đề 1.4. Nếu f ∈ L1 (R) thì với mọi ε > 0 tồn tại dãy các hàm bậc
∞

thang (fn ) sao cho f

|fn | ≤

f1 + f2 + . . . và
n=1

12

|f | + ε.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chứng minh. Cho f

Nguyễn Thị Đương

g1 + g2 + . . . là một khai triển tùy ý của f trong

chuỗi của hàm bậc thang. Khi đó tồn tại n0 ∈ N sao cho
∞

ε
|gn | < .
2

n=n0 +1

Xác định
f1 = g1 + . . . + gn0
Khi đó rõ ràng f
f − f1

và fn = gn0 +n−1 với n ≥ 2.
|f1 | −

f1 + f2 + . . . vì

|f | ≤

f2 + f3 + . . ., ta được

∞

|f1 | −

|f | ≤

|fn |
n=2

và do đó

∞

|f1 | −

|fn | ≤

|f |.

n=2

Vì vậy,
∞

∞

|fn | =

|f1 | +

n=1

|fn |
n=2
∞

=

|f1 | −

∞

|fn | + 2
n=2
∞

≤

|f | + 2

n=2

|fn |
n=2
∞

=

|f | + 2

|gn |
n=n0 +1

<

|f | + ε.

13

|fn |

|f1 − f | và


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định lý 1.5. Nếu f

Nguyễn Thị Đương

f1 + f2 + . . . , trong đó f1 , f2 , . . . là các hàm khả

tích, thì f là khả tích và

f=

f1 +

f2 + . . ..

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.4, tồn tại các hàm bậc thang fn,k (n, k ∈ N)
sao cho
fn = fn,1 + fn,2 + . . . .
và
|fn,1 | +

|fn | + 2−n ,

|fn,2 | + . . . ≤

với mọi n ∈ N. Cho (hn ) là một dãy sắp xếp từ tất cả các hàm gn,k . Khi
đó f

h1 + h2 + . . .. Vì vậy, f ∈ L1 (R) và
f=

h1 +

h2 + . . . =

f1 +

f2 + . . . ,

bởi vì tất cả các chuỗi liên quan là hội tụ tuyệt đối.
Hệ quả 1.4. Cho f1 , f2 , . . . ∈ L1 (R). Nếu

∞

|fn | < ∞, thì tồn tại

n=1

một hàm khả tích f sao cho f

f1 + f2 + . . ..

Chứng minh. Hàm f có thể được xác định như sau:

f (x) =






∞

∞

fn (x)

|fn (x)| < ∞,

nếu

n=1

n=1




0

trái lại.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Nguyễn Thị Đương

Chuẩn trong L1(R)

Định nghĩa 1.5. (L1 − chuẩn) Hàm

·

: L1 (R) → R xác định bởi

|f | được gọi là chuẩn trong L1 (R) hoặc L1 − chuẩn.

f =
Hàm

·

được định nghĩa tốt theo Định lý 1.4. Theo Định lý 1.3, ta

có
λf =

|λf | =

|λ||f | = |λ|

|f | = |λ| f .

Vì |f + g| ≤ |f | + |g|, ta có
f +g =

|f + g| ≤

|f | +

|g| = f + g .

Tuy nhiên, ta không thể nói rằng cặp (L1 (R), · ) là một không gian
định chuẩn. Có các hàm khác không f mà

|f | = 0. Xét, ví dụ, hàm

f (x) = 0 với mọi x khác 0 và f (0) = 1. Đây là một hàm khác không,
nhưng

|f | = 0. Khó khăn này có thể được giải quyết trong định nghĩa

sau.

Định nghĩa 1.6. (Hàm trống) Một hàm f được gọi là một hàm trống
nếu

|f | = 0.

Định lý 1.6. Nếu f là một hàm trống và |g| ≤ |f |, thì g là một hàm
trống.
Chứng minh. Thấy rằng khó khăn ở đây chỉ là sự khả tích của g. Để
chứng minh g là khả tích, ta thấy
g

|f | + |f | + . . . .
15

(1.14)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

Thực tế, vì f là một hàm trống, ta có

|f |+ |f |+. . . = 0+0+. . . < α.

Hơn nữa, nếu chuỗi f (x) + f (x) + . . . là hội tụ tuyệt đối tại một điểm
x ∈ R nào đó, thì f (x) = 0. Nhưng thế thì g(x) = 0 và ta có g(x) =
|f (x)|+|f (x)|+. . .. Chứng tỏ rằng (1.14) đúng và do đó g là khả tích.
Hai hàm f và g được gọi là tương đương nếu f − g là hàm trống.
Dễ dàng kiểm tra rằng định nghĩa quan hệ này là một quan hệ tương

đương. Bây giờ ta định nghĩa không gian L1 (R) như không gian của các
lớp tương đương của các hàm khả tích Lebesgue. Lớp tương đương của
f ∈ L1 (R) là được kí hiệu bởi [f ], nghĩa là,
[f ] =

g ∈ L1 (R) :

|f − g| = 0 .

Với định nghĩa thông thường
[f ] + [g] = [f + g],

λ[f ] = [λf ],

[f ] =

|f |,

(L1 (R), · ) trở thành một không gian định chuẩn.
Trong thực tế, ta thường không phân biệt giữa L1 (R) và L1 (R).
Định nghĩa 1.7. (Hội tụ theo chuẩn) Ta nói một dãy hàm f1 , f2 , . . . ∈
L1 (R) hội tụ đến một hàm f ∈ L1 (R) theo chuẩn, kí hiệu fn → f i.n.,
nếu

|fn − f | → 0.

Đây là sự hội tụ thông thường trong một không gian định chuẩn.Ta
sử dụng tên đặc biệt cho sự hội tụ này vì khá nhiều loại sự hội tụ cũng
sẽ được dùng. Sự hội tụ này có tính chất sau:
Nếu fn → f i.n. và λ ∈ R thì λfn → λf i.n.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Đương

Nếu fn → f i.n. và gn → g, i.n., thì fn + gn → f = g i.n.
Hơn nữa,
Nếu fn → f i.n., thì |fn | → |f | i.n.,
những điều này suy ra trực tiếp từ biểu thức ||fn | − |f || ≤ |fn − f |.
Định lý 1.7. Nếu fn → f i.n. thì
Chứng minh.

fn −

Định lý 1.8. Nếu f

f =

fn →

(fn − f ) ≤

f.
|fn − f | → 0.

f1 + f2 + . . . thì chuỗi f1 + f2 + . . . hội tụ tới f

theo chuẩn.

∞

|fn | <

Chứng minh. Cho ε > 0. Tồn tại một số nguyên n0 sao cho
n=n0

ε. Vì
f − f1 − . . . − fn

fn+1 + fn+2 + . . . ,

với mọi n > n0 , ta có
|f − f1 − . . . − fn | ≤

|fn+1 | +

theo Định lý 1.4.

17

|fn=2 | + . . . < ε,


Chương 2
Sự hội tụ của tích phân Lebesgue
2.1

Hội tụ hầu khắp nơi

Định nghĩa 2.1. (Tập có độ đo không) Một tập X ⊆ R được gọi là tập
có độ đo không nếu hàm đặc trưng của nó là một hàm trống.
Định lý 2.1. Mọi tập con của tập có độ đo không là một tập có độ đo
không.
Mọi tập đếm được là tập có độ đo không. Hợp của các tập đếm được
là tập có độ đo không. Có những tập có độ đo không mà không đếm
được, ví dụ, tập Cantor.
Định nghĩa 2.2. (Bằng nhau hầu khắp nơi) Cho f và g là các hàm xác
định trên R. Nếu tập của tất cả các x ∈ R mà f (x) = g(x) là tập có độ
đo không, thì ta nói f bằng g hầu khắp nơi và viết f = g h.k.n.
Định lý 2.2. f = g h.k.n. nếu và chỉ nếu

|f − g| = 0.

Chứng minh. Cho h là hàm đặc trưng của tập Z (tập tất cả các x ∈ R
mà f (x) = g(x)).
18