Chuyên đề KSHS_QUÁCH DUY TUẤN_0914342498

Hàm số_Quách Duy Tuấn
Vấn đề 1: Txđ của hàm số
Tìm tập xác định của các hàm số (Bài 1-7):
1)
x
x
y


=
1
2
D = [-2; -1) (1; 2]
2)
4
25
2
2


=
xx
x
y
D = (- ; -2] [2; + )
3)
673)
1
(loglog4
22
22

++=
xx
x
xy
D = [6; 8]
4)
)423(log
2
2
xxxy
++=
D = (- ; 1] [2; + )
5)
)43(log
2
+=
xy
D = [-1; + )
6)
22
122223 xxxxy
+++++=
D = [-1; 1]
7)
43.59
+=
xx
y
D = (- ; 0] [log
3

4; + )
Tìm m để các hàm số sau có TXĐ là R
8)
33)1(2)1(
2
++=
mxmxmy
m [1; + )
9)
]12)2(2[log2
2
2
+++=
mxmmxmxy
m (1; +)
10)
)2.4lg(
1
mmy
xx
+=
+
m (-1; 0]
Vấn đề 2: Tgt của hàm số
Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
1)
2cossin
cos2
+
+

=
xx
x
y
T =
]
2
195
;
2
195
[
+
2)
4
12
2
++

=
xx
x
y
T =
]
15
1924
;
15
1924

[
+
3) y = 5sinx + cos2x T = [-6; 4]
(Sử dụng đạo hàm: t = sinx)
4) y = x
4
6x
2
+ 2, x [-2; 1] T = [-7; 2]
5) y = x
4
+ (1 - x)
4
T = [1/8; + )
(y có nghiệm x = 1/2)
6)
341
2
++=
xxy
T = [1; 2]
7)
xxy
++=
63
T = [3; 3
2
]
(Sd đạo hàm hoặc BĐT )
8) y = e

2x
3e
x
+ 2 T = [-1/4; + )
9)
12
12
+

=
x
x
y
T = (-1; 1), (Dùng đạo hàm: t = 2
x
)
10)
xx
y







=
2
2
2

3
, với
2
1

x
T =[1; + )

Vấn đề 3: đạo hàm và đạo hàm cấp cao
1. Cho hàm số f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 2006). Tính f(0)
f(0) = 2006!

1
Hàm số_Quách Duy Tuấn
Tính đạo hàm của các hàm số
2. y = log
sinx
(cosx + 1)
3. a)
(
)
22
ln axxy
++=
, a > 0 1/
22
ax
+
b)
22

ln axxy
+=
, a > 0 1/
22
ax

4.
x
x
xy
4
)2(
=
5. Cho hàm số y = cosx. Chứng minh
)
2
cos(
)(

nxy
n
+=
6.[ĐHGT_97] Cho hàm số y = sin
2
5x. Tính y
(n)
(x)
y
(n)
=

+
2
)1(
10sin
2
10

n
x
n
7.[ĐHGT_96] Cho hàm số y = ln(2x + 1). Tính y
(n)
y
(n)
=
n
n
n
x
n
)12(
2)!.1(
.)1(

1
+



8.[ĐH Nông Nghiệp I_96] Tính đạo hàm cấp n của hàm số
4
1
2

=
x
y
y
(n)
=






+



++
11
)2(
1

)2(
1
!.)1(
4
1
nn
n
xx
n
9. Cho hàm số
23
32
2
++
+
=
xx
x
y
a. Tìm a, b sao cho
21
+
+
+
=
x
b
x
a
y

b. Tính y
(n)
a = 1, b = 1
10.[ĐH Luật HN_00] Tính đạo hàm cấp n (Không chứng minh)
12
23
2
2
+
+
=
xx
xx
y

y
(n)
=








+

++

11
1
)1(
2
)12(
2
!.)1(
nn
n
n
xx
n

Vấn đề 4: tính đơn điệu của hàm số
1. Tìm m để hàm số luôn đồng biến( đồng biến trên R)
y =
3
1
x
3
2x
2
+ (m + 1)x 1 m 3
2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
y =
3
1 m

x
3
2(2 - m)x
2
+ 2(2 - m)x + 5 2 m 3
3. Xác định m để hàm số đồng biến trên MXĐ

1
1
2

+
=
x
mxx
y
m 0
4. Xác định m để hàm số đồng biến trên MXĐ

mx
mmmxxm
y

++
=
)2(2)1(
232
m -1
5. Với giá trị nào của m thì hàm số y = x + m.cosx luôn tăng
-1 m 1

6.[ĐHHH_00] Cho hàm số y = -
3
1
x
3
+ (a - 1)x
2
+ (a + 3)x 4. Xác định a để hàm số đồng biến
trên khoảng (0; 3) a 12/7

2
Hàm số_Quách Duy Tuấn
7.[ĐHTL_95] Cho hàm số y =
3
3
ax
- (a - 1)x
2
+ 3(a - 2)x +
3
1
. Tìm a để hàm số đồng biến trên
[2; + ) m 2/3
8.[ĐHSP Quy Nhơn_99] Cho hàm số
1
2)1(2
2
+
+++
=

x
xmx
y
. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;
+) m 0
9.[ĐHKT_95] Cho hàm số
mx
mxmx
y

+++
=
1)1(2
2
.Tìm m để h/s đồng biến trên (1; +) m
3 - 2
2
10.[ĐHKTQD_00] Xác định khoảng tăng, giảm, các điểm CĐ, CT : y = x.e
-3x

đb/(-; 1/3 ), nb/(1/3; +), y
CĐ
= y(1/3) = 1/3e
vấn đề 5: cực trị của hàm bậc ba
1. Xác định m để hàm số có CĐ và CT : y = x
3
+ mx
2
+ 3mx + 5
m < 0, m > 9

2. [ĐH Huế D_97Với giá trị nào của m thì hàm số y = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x 6 đạt CĐ tại
x = 1 m = 1
3. Tìm m để hàm số y = x
3
(m + 3)x
2
+ mx + m + 5 đạt cực tiểu tại x = 2
m = 0
4. [ĐHBK_00]Tìm m để hàm số không có cực trị y = mx
3
+ 3mx
2
(m - 1)x 1
0 m 1/4
5. [ĐHQG TPHCM A_01] Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ và CT. Lập PT đờng thẳng đi qua CĐ
và CT của đồ thị hàm số y = 2x
3
+ 3(m - 3)x
2
+ 11 3m
m 3, y = -(m - 3)
2
x + 11 3m
6. Cho hàm số y = mx

3
3mx
2
+ (2m + 1)x + 3 m. Xác định m để hàm số có CĐ và CT.
CMR khi đó đờng thẳng nối CĐ, CT luôn đi qua một điểm cố định
m < 0, m > 1; y =
3
2

(m - 1)x +
3
1
(10 - m)
Điểm cố định A(-1/2; 3)
7. [ĐH Huế A_01] Xác định m để hàm số y = x
3
-
2
3
mx
2
+
2
1
m
3
có các điểm CĐ, CT đối xứng
nhau qua đờng thẳng y = x m 0 (có CĐ, CT), m =
2
8. Cho hàm số y = 2x

3
3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1. Tìm m để đồ thị có hai điểm cực trị đối
xứng nhau qua đờng thẳng y = x + 2
m = -1, m =
4
171

9. Cho hàm số y = 4x
3
mx
2
3x + m. CMR m hàm số luôn có CĐ, CT đồng hoành độ các
điểm CĐ, CT luôn trái dấu x
CĐ
.x
CT
= -1/4 < 0
10. Cho hàm số y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x 1. Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại x
1
, x
2
và
2
21

=+
xx
m = -1
Vấn đề 6: cực trị của hàm bậc 4 và hàm b
2
/b
1
1. Xác định m để hàm số y = -x
4
+ 2mx
2
có ba cực trị m > 0
2. Xác định m để hàm số y = (1 - m)x
4
mx
2
+ 2m 1 có đúng một cực trị

3
Hàm số_Quách Duy Tuấn
m 0 hoặc m 1
3.[HVQHQT_97] Xác định m để hàm số y = x
4
2mx
2
+ 2m + m
4
có các điểm cực đại, cực tiểu
lập thành một tam giác đều. m =
3

3
4. Cho
1
23)2(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.Gọi các giá trị cực đại, cực
tiểu là y
CĐ
, y
CT
. CMR y
CĐ
2
+ y
CT
2
>1/2 m > -1/2 m > -1/2
5.[ĐHSPHN I_01] Cho hàm số
1
22
2
+
++
=

x
mxx
y
. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu
và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.
m = 1/2
6.[ĐHTL A_98] Cho hàm số
1
2

+
=
x
mmxx
y
. CMR hàm số có cực trị với mọi m và khoảng cách
giữa các điểm cực trị không đổi. d =
20
7.[ĐHANA_99]Cho
1
8
2

++
=
x
mmxx
y
. Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở
về hai phía đờng thẳng 9x 7y 1 = 0 -3 < m < 9/7

8.[ĐHQG D_99] Cho hàm số
1
2
+
++
=
x
mxx
y
.Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm
đó nằm về hai phía đối với Oy m > 1
9. Cho hàm số
1
2
2
+
++
=
mx
mmxx
y
. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ
hơn 1 -1 < m < 1
10.Cho hàm số
mx
mxmx
y

++
=

12)1(
2
.Tìm m để hàm số có các cực trị luôn nằm trong góc phần
t thứ nhất m > 5

Vấn đề 7: GTLN và GTNN
1.[HVNH_98] Tìm min, max của hàm số y = - sin3x 3sin
3
x maxy = 2, tại sinx = -1
miny = -2, tại sinx = 1
2. Tìm min, max
xxy
+=
31
maxy = 2, miny =
2
3.[ĐHCSND_01] Tìm max y = 5cosx cos5x trên [-/4; /4] maxy = 3
3
khi x =

/6
4.[ĐH Dợc_01] Tìm min, max
)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy
+=
maxy = 5,miny = 1(t = sin2x)
5.[ĐHSPHNI_01] Tìm min, max
xx

xx
y
24
24
cos4sin3
sin4cos3
+
+
=
maxy = 8/5, khi sin
2
x = 1/3
miny = 4/3 khi sin
2
x = 1
6*.[ĐHNT_01] Giả sử x, y thay đổi thỏa mãn x> 0, y > 0 và x + y = 1. Hãy tìm min của
y
y
x
x
P

+

=
11
C
1
:Đại số, C
2

: Lợng giác
ĐS: miny =
2
khi x = y=1/2
7.[ĐHKTQD_97] Tìm max
90723
23
++=
xxxy
trên [-5; 5]
maxy = y(-5) = 400
8.[ĐHGT_97] Tìm min, max y = sinx cos
2
x + 1/2 maxy = 3/2, miny = -3/4

4
Hàm số_Quách Duy Tuấn
9.[HVNH_98] Tìm min
xx
y
cos
1
sin
1
+=
với x

(0; /2) C
1
: sd BĐT Côsi

C
2
: t = sinx +cosx,miny= 2
2
10. Tìm min, max
3cos2sin
cossin
++

=
xx
xx
y
sd TGT maxy = 1,miny = -1/2
Vấn đề 8: Tính lồi lõm và điểm uốn
1.[ĐHY_01] Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn
2
12
2
+
=
xx
ey
I
1
(0; 1/
e
), I
2
(2; 1/

e
)
2. CMR các hàm số sau có phần lồi, lõm nhng không có điểm uốn
a)
2
12
+

=
x
x
y
b)
x
x
y
1
2
+
=
3.CMR hàm số
1
12
2
++
+
=
xx
x
y

có ba điểm uốn và ba điểm uốn đó cùng nằm trên một đờng thẳng
I
1
(1;1),I
2
(-2; -1)I
3
(-1/2;0), y = (2/3)x + 1/3
4.[ĐHY_99] CMR hàm số
1
1
2
+
+
=
x
x
y
có ba điểm uốn thẳng hàng, viết phơng trình đờng thẳng đi
qua các điểm uốn I
1

4
31
;32
, I
2
(1; 1), I
3








+
+
4
31
;32
5. CMR các điểm uốn của đồ thị hàm số y = sinx/x nằm trên đờng cong (C) có phơng trình y
2
(4
+ x
2
) = 4
6.[HVCTQG TPHCM_99]
Cho hàm số y = mx
3

+ 3mx
2
+ 4 (C
m
). Tìm m để đồ thị (C
m
) có điểm uốn M(-1; 2)
m = -1
Sử dụng tính chất hàm lồi
7.[Đ78] CMR x [0; /2) ta có 2
sinx
+ 2
tgx
2
x+1
SD t/c hàm lồi sau đó xét
xét hàm f(x) = sinx + tgx 2x
8*.[ĐHNT TPHCM_96]CMR với mọi tam giác ABC, ta đều có

21
222222
3
222

+






+






C
tg
B
tg
A
tg


Xét hàm f(x) = (tgx)
22

9. Cho tam giác ABC. CMR

2
33

2
cos
2
cos
2
cos
++
CBA

10.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. CMR

2
2
222
BA
tgBtgAtg
+
+
Xét f(x) = (tgx)
2
Vấn đề 9: tcận_đồ thị của hàm số chứa dấu gttđ
1.[ĐHSPHNII_01] Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
1
3
2
+
+
=
x
x

y
y =1 là TCN bên phải
y = -1 là TCN trái
2.[HVKTQS_99] Tìm các đờng tiệm cận
1
2
+++=
xxxy
y = -1/2 là TCN trái

5