Các phương pháp giải bài toán chia hết và áp dụng trong chương trình THCS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

VŨ THỊ OANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

VŨ THỊ OANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số:

60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội – 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện bản luận văn, tôi đã nhận đƣợc sự động viên,
giúp đỡ và góp ý chân thành của các thầy, cô, gia đình và bạn bè đồng nghiệp,
nếu không có những sự giúp đỡ ấy, tôi đã không thể hoàn thành tốt bản luận
văn của mình.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn T.S
Phạm Văn Quốc, khối chuyên toán, trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên, Đại
học quốc gia Hà Nội, ngƣời đã dành nhiều thời gian nhiệt tình chỉ bảo, hƣớng
dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin
học, phòng Sau đại học, trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia
Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập, không
chỉ về mặt kiến thức mà còn cả về mặt chuyên môn, phƣơng pháp. Kiến thức
sâu rộng, sự tận tụy, hăng say, lòng yêu nghề của các Thầy luôn là tấm gƣơng
sáng để chúng tôi học tập theo.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong Sermina của bộ môn
Phƣơng pháp toán sơ cấp đã có những ý kiến đóng góp quý báu để bản luận
văn đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Ngoài ra, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn bè, đồng nghiệp đã tạo
điều kiện, giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn, sự biết ơn đến gia đình mình, những
ngƣời đã động viên, giúp đỡ tôi trong một quá trình dài, tạo điều kiện để tôi
có thể có thể học tập và hoàn thành bản luận văn.
Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014
Học viên

Vũ Thị Oanh

1


MỤC LỤC

Phần 1. Lời mở đầu.

3

Phần 2. Nội dung.

6

Chương 1. Tổng quan về phép chia hết trên tập hợp số nguyên.

7

1.1. Phép chia hết.

7

1.2. Phép chia có dƣ.

7

1.3. Một số kiến thức liên quan.

9

Chương 2. Các phương pháp giải bài toán chia hết.

11

2.1. Phƣơng pháp sử dụng các tính chất của phép chia hết và
phép chia có dƣ.

11

2.1.1.Phƣơng pháp sử dụng các tính chất chia hết.

11

2.1.2. Phƣơng pháp sử dụng các dấu hiệu chia hết.

13

2.1.3. Phƣơng pháp sử dụng định lý phép chia có dƣ.

17

2.2. Phƣơng pháp đồng dƣ.

20

2.3. Phƣơng pháp dùng hằng đẳng thức.

27

2.4. Một số phƣơng pháp khác.

31

2.4.1. Phƣơng pháp tuần hoàn.

31

2.4.2. Phƣơng pháp quy nạp.

34

2.4.3. Phƣơng pháp phản chứng .

37

2.4.4. Phƣơng pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet.

39

Chương 3. Áp dụng các phương pháp giải bài toán chia hết.

42

Phần 3. Kết luận.

80

Tài liệu tham khảo.

82

2


Phần 1

Lời mở đầu

3


LỜI MỞ ĐẦU
Bertrand Russell, một nhà toán học xuất sắc ngƣời Anh đã từng viết :
“Toán học nắm giữ không chỉ sự thật mà cả vẻ đẹp tối thượng, một vẻ đẹp
lạnh lùng và mộc mạc như của một tác phẩm điêu khắc, tinh khiết và hoàn
hảo tuyệt vời, chỉ có ở nghệ thuật vĩ đại nhất ”.
Quả thật là nhƣ vậy, toán học làm cho những ngƣời học, ngƣời nghiên
cứu về nó phải thích thú, phải ngƣỡng mộ trƣớc vẻ đẹp của khoa học, của tự
nhiên. Và một trong những điều góp phần làm nên vẻ đẹp ấy là phép chia hết.
Phép chia hết không chỉ là điểm bắt đầu, là nguồn của rất nhiều nội dung khác
thú vị trong toán học, mà bản thân nó cũng chứa đựng trong mình những tính
chất đẹp đẽ, những mối quan hệ phong phú, những tính chất tƣởng nhƣ đơn
giản nhƣng lại rất phức tạp, đôi lúc tƣởng nhƣ rất phức tạp thì lại thành ra
đơn giản.
Là một giáo viên dạy toán cấp trung học cơ sở, phép chia hết luôn song
hành cùng các bài giảng toán của tôi qua các khối lớp, từ lớp 6 đến lớp 9, đặc
biệt là khối lớp 6 khi học về số học và khối lớp 8. Phép chia hết có một vai trò
quan trọng, nhƣ trên tôi đã nói, nó luôn là tính chất mở đầu, là cái gốc, là

công cụ để phát triển số học nói riêng và toán học nói chung.
Bởi có vai trò quan trọng, tính chất biến hóa, đa dạng và phong phú mà
phép chia hết luôn đƣợc sử dụng nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi thƣờng
xuyên, các đề thi học sinh giỏi trong nƣớc và quốc tế, các đề thi vào lớp 10,
vào các khối lớp chuyên,..., do đó, các phƣơng pháp để giải các bài toán chia
hết luôn là vấn đề đƣợc quan tâm, nghiên cứu.
Để giúp cho bản thân và học sinh của mình thấy đƣợc vẻ đẹp, những
điều kì diệu của toán học, cũng nhƣ cung cấp cho các em các phƣơng pháp để
có thể giải đƣợc các bài toán chia hết, tôi đã chọn đề tài: Các phương pháp
giải bài toán chia hết và áp dụng trong chương trình THCS.

4


Nội dung của khóa luận bao gồm các vấn đề sau đây:
- Tổng quan về phép chia hết trên tập hợp số nguyên.
- Trình bày các phƣơng pháp giải toán chia hết.
- Các bài toán áp dụng trong chƣơng trình THCS và các cách giải theo
các phƣơng pháp đã trình bày.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhƣng do kiến thức còn hạn chế, thời gian
không nhiều nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả
mong nhận đƣợc sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014.
Học viên

Vũ Thị Oanh

5

Phần 2
Nội dung

6


Chƣơng 1
Tổng quan về phépchia hết trên tập hợp số nguyên
1.1. Phép chia hết
1.1.1. Định nghĩa: Cho hai số nguyên a và b,b ≠ 0. Nếu có số nguyên k
sao cho a=bk thì ta nói a chia hết cho b.
Kí hiệu a ⋮ b (a chia hết cho b) hoặc b│a (b chia hết a).
Khi đó, a đƣợc gọi là bội của b và b đƣợc gọi là ƣớc của a.
1.1.2. Các tính chất chia hết : vớia, b  Z, b ≠ 0
 Nếu a ⋮ b và b⋮ c thì a ⋮ c (tính chất bắc cầu).
 Nếu a ⋮ b thì am ⋮ b (mZ).
 Nếu ai⋮ mthì a1+a2+...+an⋮ m (tính chất chia hết của tổng).
 Nếua⋮ m và b⋮ m thì a+b⋮ m.
 Nếu ab ⋮ c và (b,c)=1 thì a⋮ c.
 Nếu ai⋮ mi với i=1,2,...,n thì a1.a2...an⋮ m1.m2...mn.
Đặc biệt, nếu a ⋮ b thì an⋮ bn.
1.2. Phép chia có dư
1.2.1. Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số nguyên và b>0. Ta nói rằng a
chia cho số b có thƣơng là q và số dƣ là r, nếu a có thể biểu diễn
bằng đẳng thức a=b.q+r, trong đó 0r1.2.2. Định lý về phép chia có dư:Giả sử a, b là hai số nguyên và b>0.
Khi đó có thể chọn đƣợc các số nguyên q và r sao cho 0  r < b và
a = bq + r. Các số q, r xác định theo điều kiện trên là duy nhất.
Chứng minh:

7


* Sự tồn tại:
Chọn số tự nhiên c sao cho |a|-cb, (-c+1)b, (-c+2)b, ..., -2b, -b, 0b, ..., (c-1)b, cb.
Với b>0 thì đây là một dãy tăng, có số đầu -cb<a, số cuối cb>a (do
|a|< c).
Nhƣ vậy trong dãy sẽ có một số bé hơn hoặc bằng a, kí hiệu qb, số
tiếp theo lớn hơn hoặc bằng a, kí hiệu (q+1)b.
Ta có: qb  a < (q+1)b, nhƣ vậy ta đã chọn đƣợc thƣơng q.
Kí hiệu r là a-bq thì a=bq+r.
Khi đó: qb  bq+r < (q+1)b hay 0  r < b.
Vậy thƣơng q và số dƣ r đã tìm đƣợc.
* Tính duy nhất:
Giả sử a có thể biểu diễn đƣợc bằng 2 cách:
a= b𝑞1 + 𝑟1 với 0 𝑟1 < b; a= b𝑞2 + 𝑟2 với 0 𝑟2 < b.
Trừ 2 vế tƣơng ứng của hai đẳng thức, ta có:
(𝑞1 − 𝑞2 )𝑏 + 𝑟1 − 𝑟2 = 0 suy ra 𝑟1 − 𝑟2 = −(𝑞1 − 𝑞2 )𝑏. (1)
vậy 𝑟1 − 𝑟2 ⋮ 𝑏. (*)
Giả sử 𝑟1 ≠ 𝑟2 , ta có thể giả sử 𝑟1 > 𝑟2 .
Mặt khác, 𝑟1 − 𝑟2 ≤ 𝑟1 < 𝑏, nên𝑟1 − 𝑟2 ⋮ b mâu thuẫn với (*).
Vậy 𝑟1 = 𝑟2 , b ≠ 0 nên từ (1) suy ra 𝑞1 = 𝑞2 .
Vậy dạng biểu diễn phép chia có dƣ là duy nhất.

8


Tài liệu tham khảo

[1] Hà Nghĩa Anh- Nguyễn Thúy Mùi- Huỳnh Kì Tranh, (2012), Đề thi
tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (Đề thi của các trƣờng chuyên, chọn
trên toàn quốc), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Trần Thị Vân Anh, (2012), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Vũ Hữu Bình (chủ biên), (2012), Tài liệu chuyên toán THCS Toán
6,7,8,9, NXB Giáo dục Việt Nam.
[4] Vũ Hữu Bình,(2002), Nâng cao và phát triển Toán 6,7,8,9, NXB Giáo
dục.
[5] Doãn Minh Cƣờng (chủ biên), (2013), Ôn thi vào lớp 10 trung học phổ
thông chuyên môn Toán, NXB Giáo dục Việt Nam.
[6] Nguyễn Ngọc Đạm- Vũ Dƣơng Thụy, (2013), 10 chuyên đề toán dành
cho học sinh THCS, NXB Giáo dục Việt Nam.
[7] Lê Hồng Đức (chủ biên), (2005), Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi toán
THCS, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[8] Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), (2009), Các bài giảng về số học, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[9] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc,
NXB Giáo dục.
[10] Nguyễn Tiến Quang, (2001), Bài tập số học, NXB Giáo dục Việt
Nam.
[11] Đặng Huy Ruận, (2005), Phương pháp giải bài toán chia hết, NXB
Khoa học và kĩ thuật.
[12] Nguyễn Đức Tấn, (1997), 351 Bài toán số học chọn lọc, NXB
Giáo dục.

9


[13] Đỗ Đức Thái, (2000), Toán bồi dưỡng học sinh năng khiếu, NXB

Đại học Quốc gia Hà Nội.
[14] Tôn Thân (chủ biên), (2013), Các chuyên đề chọn lọc toán 6,7,8,9,
NXB Giáo dục Việt Nam.
[15] Bùi Văn Tuyên, (2006), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán
6,7,8,9, NXB Giáo dục.
[16] Các tác giả, Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.
[17] Một số trang web trên mạng internet.

10