thaytoan net cac phuong phap tinh tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.06 KB, 32 trang )
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu
Cách chọn
Đặt x = |a| sint; với t ; hoặc x = |a| cost;
2 2
với t 0;
a2 x2
a
a
; với t ; \ 0 hoặc x =
;
sint
cost
2 2
với t 0; \
2
Đặt x = |a|tant; với t ; hoặc x = |a|cost;
2 2
với t 0;
x 2 a2
Đặt x =
a2 x 2
ax
hoặc
ax
Đặt x = acos2t
ax
ax
Đặt x = a + (b - a)sin2t
x a b x
1
a x2
Đặt x = atant; với t ;
2 2
2
1
Bài 1: Tính I
2
2
1 x2
dx
x2
Giải:
Đặt x = cost, t ; . dx = - sint dt
2 2
Đổi cận:
x
2
4
2
t
1
0
1
Khi đó:
I
2
2
=
2
0
2
1 x
1 cos t .sint
dx =
dt =
2
x
cos 2t
4
0
sin t .sin t
dt =
cos 2t
4
2
sin t
4
1
cos t dt = cos t 1dt
2
0
2
0
4
tan
t
t
4 = 1 . (vì t 0; nên sint 0 sin t sin t )
4
4
0
1
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
a
Bài 2: Tính I x 2 a 2 x 2 dx
0
Giải:
Đặt x = asint, t ; . dx = acostdt
2 2
Đổi cận:
x
0
a
t
0
2
2
a
Khi đó: I x 2 a 2 x 2 dx =
a
2
2
sin 2 t a 2 1 sin 2 t .acostdt = a 4 sin 2 tcos 2tdt =
0
0
4 2
0
a
4
sin
2
2tdt
0
4 2
a
=
8
a4 1
a4
1
cos
4
t
dt
=
t
sin
4
t
=
2
0
8 4
16
0
1
Bài 3: Tính I x 2 1 x 2 dx
0
Giải:
Đặt x = sint, t ; . dx = costdt
2 2
Đổi cận:
x
0
1
t
0
2
2
1
2
Khi đó: I x 2 1 x 2 dx = sin 2 t 1 sin 2 t .costdt =
0
0
2
1
1
sin 2 tcos 2 tdt = sin 2 2tdt =
40
40
2
1 1
1
= 1 cos 4t dt = t sin 4t 2 =
80
8 4
0 16
1
Bài 4: Tính I x 3 1 x 2 dx
0
Giải:
Đặt t = 1 x 2 t2 = 1 - x2 xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
1
1
Khi đó: I x 3 1 x 2 dx = I x 2 1 x 2 xdx =
0
e2
Bài 5: Tính I
e
0
1
1
1 t 2 .t.tdt =
0
0
t3 t5 1 2
.
t 2 t 4 dt = =
3
5
0
15
dx
x ln 5 x
2
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
Giải:
Đặt t = lnx dt =
Đổi cận:
x
t
dx
x
e2
2
e
1
e2
Khi đó: I
e
2
dx
=
x ln 5 x
1
1 2 15
= 4 .
4t 1 64
dt
t
5
1
4
Bài 6: Tính I x3 x 4 1 dx
0
Giải:
Đặt t = x4 + 1 dt = 4x3dx x 3dx
Đổi cận:
x
t
0
1
dt
4
1
2
1
4
Khi đó: I x3 x 4 1 dx =
0
2
1 4
1 2 31
t dt t 5 .
41
20 1 20
2
Bài 7: Tính I sin 5 xcoxdx
0
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
2
1
Khi đó: I sin 5 xcoxdx t 5 dt
0
0
1
.
6
12
Bài 8: Tính I
tan
4
xdx
0
12
12
sin 4 x
tan 4 xdx cos 4 x dx
Giải: Ta có:
0
0
Đặt t = cos4x ; dt 4 s in 4 xdx sin 4 xdx
Đổi cận:
x
t
0
1
dt
4
12
1
2
3
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
12
Khi đó: I
12
tan 4 xdx
0
0
1
2
1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
dx ln t 1 ln 2.
cos 4 x
41 t 41 t 4
4
2
2
2
Bài 9: Tính I cos 5 xdx
0
Giải:
2
Ta có:
2
2
5
cos xdx cos
0
4
2
xcoxdx 1 sin 2 x coxdx
0
0
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
2
2
5
2
2
2
I cos xdx 1 sin x coxdx 1 t
0
0
2
0
4
Bài 10: Tính I
0
2
2
2
dt 1 2t t
4
0
2t 3 t 5 1 5
dt t
.
3
5 0 18
1
dx
cos 4 x
Giải:
Đặt t = tanx ; dt
Đổi cận:
x
0
t
Khi đó: I
0
2
Bài 11: Tính I
6
Giải:
4
1
0
4
1
dx
cos 2 x
4
1
t3 1 4
1
1
2
2
dx
1
tan
x
dx
1
t
dt
t .
0
0
cos 4 x
cos 2 x
30 3
cos 3 x
dx
s in 2 x
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
6
2
t
1
1
2
4
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
2
2
1
1
1
cos 3 x
(1 s in 2 x)
1 t 2
1
1
1
Khi đó: I
dx
cosxdx 2 dt 2 1 dt t 1 .
2
2
s in x
t
2
t
s in x
1
1t
2
6
6
2
2
2
Bài 12: Tính I sin 3 xcos 3 xdx
0
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
2
2
1
1
t4 t6 1 1
I sin 3 xcos3 xdx sin 3 x 1 sin 2 x cosxdx t 3 1 t 2 dt t 3 t 5 dt .
4 6 0 12
0
0
0
0
2
2
Bài 13: Tính I esin x sin 2 xdx
0
Giải:
Đặt t = sin2 x ; dt s in2 xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
2
Khi đó: I e
1
sin 2 x
sin 2 xdx et dt et
0
0
1
0
e 1.
2
sin 2 x
dx
2
1
cos
x
0
Bài 14: Tính I
Giải:
Đặt t = 1 + cos2x ; dt s in 2 xdx s in 2 xdx dt
Đổi cận:
x
0
2
t
2
1
2
1
2
2
sin 2 x
dt
dt
Khi đó: I
dx
ln
t
ln 2.
2 t 1 t
1 cos 2 x
1
0
4
Bài 15: Tính I tan 3 xdx
0
5
Giải:
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
Đặt t = tanx ; dt 1 tan 2 x dx 1 t 2 dt dx
Đổi cận:
x
0
t
4
1
0
4
Khi đó:
dt
t 1
2
0
2
1
1
1
1
t3
t
1 2t
t 2 1 1 d t 1
dt
t
dt
tdt
dt
2
2
2
2
0
t
1
t
1
2
t
1
2
2
t
1
0
0
0
0
0
1
I tan 3 xdx
1 1 1
1 1
1
ln t 2 1 ln 2 1 ln 2 .
0 2 2
2 2
2
1
1
dx
x
0 1
Bài 16: Tính I
Giải:
Đặt t = x ; t 2 x dx 2tdt
Đổi cận:
x
1
0
t
0
1
1
1
1
1
1
t
1
Khi đó: I
dx 2
dt 2 1
dt 2 t ln 1 t 2 1 ln 2 .
1 t
1 t
0
x
0 1
0
0
1
Bài 17: Tính I x 3 3 1 x 4 dx
0
Giải:
3
Đặt t = 3 1 x 4 t 3 1 x 4 x3dx t 2 dt
4
Đổi cận:
x
1
0
t
1
0
1
1
3
3 1 3
Khi đó: I x 3 3 1 x 4 dx t 3dt t 4 .
40
16 0 16
0
0
Bài 18: Tính I
x
1
2
1
dx
2x 4
Giải:
0
0
1
1
dx
2
2
x 2x 4
1
1 x 1
Ta có:
3
2
dx
Đặt x 1 3 tan t với t ; . dx 3 1 tan 2 t dt
2 2
Đổi cận:
x
-1
0
6
t
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
0
6
6
1
3
3
3
Khi đó: I 2
dx
dt
t 6
.
x 2x 4
3 0
3
18
1
0
0
1
x3
dx
1 x8
0
Bài 19: Tính I
Giải:
1
1
x3
x3
Ta có:
dx
0 1 x 4
1 x8
0
dx
2
1
Đặt x 4 tan t với t ; . x 3dx 1 tan 2 t dt
4
2 2
Đổi cận:
x
0
0
t
0
4
1
1
3
x
x
Khi đó: I
dx
8
4
1 x
0
0 1 x
e
1
Đặt t 1 ln x t 2 1 ln x 2tdt
Đổi cận:
x
t
1
1
e
Khi đó: I
1
1
Bài 21: Tính I
0
Giải:
2
4
1 1 tan t
1
1
dx
dt dt t 4 .
2
4 0 1 tan t
40
4
16
0
2
1 ln x
dx
x
Bài 20: Tính I
Giải:
4
3
dx
x
e
2
1 ln x
dx
x
ln 2 x
2 x
2
2
2
t.2tdt 2 t dt 2
1
1
t3 2 2 2 2 1
.
31
3
dx
Đặt t ln 2 x dt
dx
2 x
Đổi cận:
x
t
1
1
ln2
0
1
0
ln 2
ln 2 x
t 2 ln 2 ln 2 2
Khi đó: I
dx tdt tdt
.
2 x
2 0
2
0
ln 2
0
7
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
2
cosx
dx
1 sin 2 x
0
Bài 22: Tính I
Giải:
Đặt sin x tan t với t ; cosxdx 1 tan 2 t dt
2 2
Đổi cận:
x
0
2
t
0
4
2
4
4
cosx
1 tan 2 t
Khi đó: I
dx
dt
dt
2
2
1 sin x
1 tan t
4
0
0
0
2
Bài 23: Tính I
3
Giải:
1
dx
sin x
x
1
x
2dt
dt 1 tan 2 dx dx
2
2
2
1 t2
1
1
2tdt 1
Ta tính:
dx
.
dt
2t 1 t 2 t
sin x
1 t2
Đổi cận:
x
3
2
t
1
3
3
1
1
2
1
1
3 1
Khi đó: I
dx dt ln t 3 ln
ln 3.
t
3
2
sin x
3
3
3
3
Đặt t tan
e
Bài 24: Tính I
1
1
dx
x 1 ln x
Giải:
Đặt t 1 ln x dt
Đổi cận:
x
t
1
1
e
Khi đó: I
1
dx
x
e
2
2
2
1
dt
dx ln t ln 2.
x 1 ln x
t
1
1
8
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
1
3
Bài 25: Tính I x5e x dx
0
Giải:
Đặt t x3 dt 3x 2 dx x 2 dx
Đổi cận:
x
t
0
0
1
1
1
3
Khi đó: I x 5e x dx
0
1 5
2
Bài 26: Tính I
1
dt
3
1
1
1 t
1 t1 1 t
e 1 t1 1
te
dt
te
e
dt
e
3 0
3 0 3 0
3 3 0 3
x2 1
dx
x4 x2 1
Giải:
1 5
2
Ta có:
2
x 1
dx
x x2 1
4
1
Đặt t x
Đổi cận:
x
1
1
1
x2
x2 1
1 5
2
1
x2
dx
1
1
1 2
x dx
2
1
x
1
x
1
1
dt 1 2 dx
x
x
1
t
1 5
2
1 5
2
1
0
1
dt
1 t2
0
Khi đó: I
Đặt t tan u dt 1 tan 2 u du
Đổi cận:
x
t
0
0
1
4
4
4
dt
1 tan 2 u
Vậy I
du du u 4 .
2
2
1 t
1 tan u
4
0
0
0
0
1
2
Bài 27: Tính I
1
dx
x 1 x3
Giải:
2
Ta có:
x
1
dx
1 x3
2
1
x 2 dx
x3 1 x3
Đặt t 1 x3 t 2 1 x 3 2tdt 3x 2 dx x 2 dx
2tdt
3
9
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
Đổi cận:
x
t
1
2
2
3
Khi đó:
2
I
1
dx
x 1 x3
2
x 2 dx
x 3 1 x3
1
2
3
3
dt
1
t 2 1 3
2
3
1
1
t 1 t 1 dt
2
3
1 t 1 3
1
1 1
2 1 1
2 1
1
ln t 1 ln t 1
ln
ln ln
ln
ln
3
2 1 3 2 2 1 3
2 3 t 1 2 3 2
2
Bài 28: Tính I
0
1
2
2 1
3x3
dx
x2 2 x 1
Giải:
2
Ta có:
2
3 x3
3x3
dx
0 x 2 2 x 1 0 x 12 dx
Đặt t x 1 dt dx
Đổi cận:
x
0
2
t
2
3
Khi đó:
3
2
3
3
3 t 3 3t 2 3t 1
3 t 1
3x3
3x 3
I 2
dx
dx
dt
dt
2
2
2
x
2
x
1
t
t
x
1
0
0
1
1
2
3
t2
9
1 3 3
2
3t 9 3t dt 3 9t 9ln t 3 32 12 9 3 1 9 ln 3 ln1 1 3 9 ln 3 8
t
t1 2
2
1
ln 2
Bài 29: Tính I
0
e 2 x 3e x
dx
e 2 x 3e x 2
Giải:
Đặt t e x dt e x dx
Đổi cận:
x
0
ln2
t
1
2
10
ln 2
I
0
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
Khi đó:
ln 2
2
2
e 2 x 3e x
ex 3
t 3
1
2
x
dx
e
dx
dt
dt
2x
x
2x
x
2
e 3e 2
e 3e 2
t 3t 2
t 1 t 2
0
1
1
2
2
2
2
1
1
3
4
9
4
27
2
dt
dt 2 ln t 1 ln t 2 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln 3 2 ln ln ln ln ln
1
1
t 1
t2
2
3
4
3
16
1
1
4
Bài 30: Tính I
1
dx
x 1 x
Đặt x t 2 dx 2tdt
Đổi cận:
x
1
4
t
1
2
4
2
2
2
dx
2tdt
dt
1 1
I
2
2
2
dt
t
1
t
t
1
t
t
1
t
x
1
x
1
1
1
1
Khi đó:
2
1
4
2
2 ln t ln t 1 2 ln ln 2 ln .
1
2
3
3
Giải:
1
Bài 31: Tính I
3
1 x dx
2
0
Đặt x sin t , t 0; dx costdt
2
Đổi cận:
x
0
1
t
0
2
Khi đó:
Giải:
1
I
0
2
3
0
2
2
2
1 cos 2t
1 sin t .costdt cos t.costdt cos tdt
dt
2
0
0
0
1 x dx
2
2
2
2
3
3
2
2
4
2
1
1
1
1
1 1 sin 2t
12
1 2cos 2t cos 2 2t dt dt cos 2tdt 2cos 2 2tdt . .
2
1 cos 4t dt
40
40
20
80
4 2 2 2
8 0
0
2
2
1
1
1 sin 4t
3
dt cos 4tdt .
.
2
8 80
80
8 16 8 4
8 16 16
0
2
Bài 32: Tính I cos 3 xdx
6
Giải:
11
2
2
2
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
2
sin 3 x 2
I cos 3 xdx cos 2 x.cosxdx 1 sin 2 x cosxdx 1 sin 2 x d sin x sin x
3
6
6
6
6
6
1 1 1
5
1
3 2 24 24
4
sin 4 x
sin x cos 4 x
0
Bài 33: Tính I
4
Giải:
4
4
4
4
sin 4 x
2 sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos 2 x
2sin 2 xcos2 x
dx 4
dx
dx
dx
4
4
2
2
1
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
1
2sin
xcos
x
2
0
0
0
0 1
sin 2 x
2
I
4
4
1 2
1
1 2
d 1 sin 2 x ln 1 sin 2 x 4 ln ln 2
1 2
2
2
0 1
sin 2 x 2
0
2
1
2
cos 3 x
dx
1 sin x
Bài 34: Tính I
4
Giải:
2
4
4
2
2 1 sin 2 x
2
cos 3 x
cos 2 x
I
dx
cosxdx
cosxdx 1 sin x cosxdx
1 sin x
1 sin x
1 sin x
4
4
1
1
2 3 2 2
cosx cosx sin x dx cosxdx s in 2 xdx sin x sin 2 x
2
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
sin x cosx
Bài 35: Tính I
dx
sin x cosx
4
Giải:
d sin x cosx
sin x cosx
I
dx
ln sin x cosx 2 ln 2
sin
x
cosx
sin
x
cosx
4
4
4
2
2
2
Bài 36: Tính I sin 3 xdx
0
12
2
2
2
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
3
cos x
1 2
I sin 3 xdx sin 2 x sin xdx 1 cos 2 x d cosx cosx
2 1
3
3 3
0
0
0
0
Giải:
Bài 37: Tính I
cos3 x
dx
sin x
Giải:
3
cos 3x
4cos x 3cosx
I
dx
dx
sin x
sin x
4cos 2 x 3
sin x
2
.cosxdx 4 1 sin x 3.d sin x
0
2
sin x
1
1 2
4 sin x
d sin x 4. sin x ln sin x C
sin1
2
Bài 38: Tính I
I
s in3x
dx
sin x
s in3x
3s inx 4sin 3 x
1
dx
dx 3 4 sin 2 x dx 3x 2 1 cos 2 x dx 3 x 2 x 2. sin 2 x c
sin x
sin x
2
x sin 2 x C
1
Bài 39: Tính I
0
Giải:
x
dx
x x2 1
4
2
Đặt t x dt 2 xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
1
1
x
1
dt
Khi đó: I 4
dx
2
x x 1
2 0 1 2 3
0
t
2 4
1
Đặt y t dy dt
2
Đổi cận:
t
0
1
y
1
3
2
2
3
1
1
dt
12
dy
Khi đó: I
2
2
2 0 1 3 2 1
3
2
t
2 y
2 4
4
3
2
y dz
dy
4
3
Đổi cận:
y
1
3
2
2
Đặt z
13
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
z
1
3
3
3
12
Khi đó: I
21
dy
2
3
2
2 y
4
Đặt z tan u dz 1 tan 2 u du
Đổi cận:
z
u
1
3
6
3
Ta được: I
1
3
Bài 40: Tính I
0
Giải:
1
3
dz
3 2 3
z
4
4
1
3
3
1
dz
z 1
2
3
dz
1 1 tan u
1
3
du
u
2
2
z 1
3 1 tan u
3 6 3
6
6
3
3
1
x
2 x 1
2
Đặt t 2 x 1 x
Đổi cận:
x
t
3
3
3
1
3
4
2
dx
t 1
dt
dx
2
2
0
1
1
3
t 1
3
dt 1 1 1
1
1 3 1
2
2
Khi đó: I
dx 2 . 2 dt ln t ln 3
2
t
2 4 1t t
4
t 1 4
3
0 2 x 1
1
1
3
x
0
9
Bài 41: Tính I x 2 x 1 dx
1
Giải:
Đặt t x 1 dt dx
Đổi cận:
x
-1
0
t
0
1
0
1
9
1
2
1
I x 2 x 1 dx t 1 t 9 dt t 2 2t 1 t 9 dt t11 2t10 t 9 dt
Khi đó:
1
0
0
0
t12
t 11 t10 1 1 2 1
1
2
11 10 0 12 11 10 660
12
2
dx
1 cosx
0
Bài 42: Tính I
Giải:
14
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
x
d
dx
dx
x
2
I
tan 2 1
x
x
1
cosx
2
2
2
0
0 2cos
0 cos
0
2
2
2
2
2
1
Bài 43: Tính I x15 . 1 3 x8 .dx
0
1
Ta có:
1
15
8
8
8
7
x . 1 3x .dx x . 1 3x .x dx
0
0
Đặt t 1 3x 8 dt 24 x 7 dx dx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
0
1
dt
24
1
4
5
3
4
2
2 4
3
1
t
1
1
1
1
t
t
29
I x15 . 1 3 x8 .dx x8 . 1 3x8 .x 7 dx
. t . dt t 2 t 2 dt
3 1 270
3
24
72 1
72 5
0
0
1
2
2
1
1
1
Bài 44: Tính I
0
4
x3
x x2 1
dx
Giải:
1
I
0
x3
1
x3
2
x x 1
dx
0
1
1
2
x2 1 x
x 1 x
2
x 1 x
1
x 3 x 2 1dx x 4 dx x 2 x 2 1.xdx
0
0
1
0
dx
0
x3
x2 1 x
x
2
1 x
2
dx
1
x
0
3
x 2 1 x 4 dx
1
x5 1
1
x 2 x 2 1.xdx
5 0 0
5
J
Đặt t x 2 1 dt 2 xdx
Đổi cận:
x
0
t
1
1
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1 3
1 1
1 5 2 2 3 2
J t 1 t . dt t 2 t 2 dt t 2 dt t 2 dt t 2 t 2
1 3
1
2
21
21
21
5
1
Khi đó:
5
3
2 2 1 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3
5
3
15 15 15
2 2 1
Vậy I
15 15
4
sin 4 x
dx
1 cos 2 x
0
Bài 45: Tính I
Giải:
15
4
Ta có:
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
4
sin 4 x
1 cos
2
0
x
dx
0
2sin 2 xcos 2 x
dx
1 cos 2 x
2
Đặt t 1 cos x dt 2sin xcosxdx sin 2 xdx
cos 2 x t 1 cos 2 x 2cos 2 x 1 2 t 1 1 2t 3
Đổi cận:
x
0
4
t
2
3
2
3
2
Khi đó:
3
2
2
2 2t 3 dt 2
6
6
I
4 dt 4 dt 4t 6 ln t 3
t
t
t
3
2
2
2
2
3
3
4
4 2 6 ln 2 ln 2 6 ln
2
2
3
2
dx
1 sin 2 x
Bài 46: Tính I
4
2
2
2
2
dx
dx
dx
1
dx
1
tan x
2
2
2
2
4
1 sin 2 x
sin x cosx
cos 2 x
4
4
4 2 cos x
4
4
4
Giải: I
4
Bài 47: Tính I
0
co s 2 x
3
sin x cosx 2
21
2
4
dx
Giải:
4
4
cosx sin x cosx sin x dx
3
0 sin x cosx 2
sin x cosx 2
0
Đặt t cosx sin x 2 dt cosx sin x dx
co s 2 x
Ta có:
x
0
t
2
2 2
I
0
Khi đó:
dx
3
4
2 2
t 2 dt 2
t
3
0
2
1
1
1 1
1 2
1 1 2 2
t 2 t 3 dt t t 2
2 2 6 4 2 3 9
0
1 2 2 2 2
1 2
2
9 2
6 4 2 9 9 2 32 2
1
2 1
4 2 49
18
2 1
4 2 5
18
2 1
16
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
4
co s 2 x
dx
sin x cosx 2
0
Bài 48: Tính I
Giải:
4
Ta có:
0
4
cosx sin x cosx sin x dx
co s 2 x
dx
sin x cosx 2
sin x cosx 2
0
Đặt t cosx sin x 2 dt cosx sin x dx
Đổi cận:
x
0
4
t
2
2 2
Khi đó:
2 2
I
0
t 2 dt 2
t
0
2
2 2
2
2 2 2 ln 2 2 3 2 ln 3
1 dt t 2 ln t
0
t
3
2 1 2 ln 3 ln 2 2 2 1 2 ln
2 2
2
3
Bài 49: Tính I sin 2 x 1 sin 2 x dx
0
Giải:
Đặt t 1 sin 2 x 2 dt 2sin xcosxdx sin 2 xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
1
2
2
2
3
Khi đó: I sin 2 x 1 sin 2 x dx t 3dt
0
1
2
t4 2
1 15
4
41
4 4
2
Bài 50: Tính I sin xcosx 1 cosx dx
0
Giải:
Ta có:
2
2
2
2
I sin xcosx 1 cosx dx sin xcosx 1 2cosx cos 2 x dx cosx 2cos 2 x cos3 x .sin xdx
0
0
0
Đặt t cosx dt sin xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
1
0
17
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
0
1
t 2 2t 3 t 4 1 17
Khi đó: I t 2t 2 t 3 dt t 2t 2 t 3 dt
3
4 0 12
2
1
0
2
sin xcosx
Bài 51: Tính I
a 2cos 2 x b 2 sin 2 x
0
dx
Giải:
2
2
sin xcosx
Ta có: I
a 2cos 2 x b 2 sin 2 x
0
dx
0
2
sin xcosx
a 2 1 sin 2 x b 2 sin 2 x
dx
0
sin xcosx
dx
b 2 a 2 sin 2 x a 2
2tdt 2 b 2 a 2 sin xcosxdx
Đặt t b2 a 2 sin 2 x a 2 t 2 b 2 a 2 sin 2 x a 2
tdt
sin xcosxdx 2
b a2
Đổi cận:
x
0
2
t
|a|
|b|
b
b
ba
tdt
1
1
Khi đó: I
.
t
2
2
2
2
2
2
b a
ab
a b a
a t b a
2
Bài 52: Tính I
0
x 1
dx
3
3x 2
Giải:Đặt t 3 3 x 2 t 3 3 x 2 3t 2 dt 3dx; x
Đổi cận:
x
t
0
3
t3 2
3
2
2
2
t3 2
2
1 2
1 t5 t 2 2
1 42 4 2 37 4 2
Khi đó: I 3 .t 2 dt t 4 t dt 3
1
t
3
3
5
2
3
5
5
15
2
3
3
2
2
4
dx
Bài 53: Tính I
2
7 x x 9
Giải:
dx tdt
tdt
Đặt t x 2 9 t 2 x 2 9 t 0 tdt xdx; 2 2
x
x
t 9
Đổi cận:
x
4
7
t
4
5
dt
1 t 3 5 1 7
Khi đó: 2
ln
ln
t 9 6 t 3 4 6 4
4
5
18
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
4
dx
1 tan x
0
Bài 54: Tính I
Giải:
Đặt t tan x dt
Đổi cận:
x
1
dt
dt
dx 1 tan 2 x dx dx
2
2
cos x
1 tan x 1 t 2
0
t
4
1
0
1
dt
1
t 1
2
2 1 t 2 1 t2
0 1 t 1 t
0
1
I
Khi đó:
1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt
dt
2 01 t 2 0 t 2 1 2 0 t2 1
J1
J2
J3
1
Tính: J1
1 ln 2
1 dt
1
ln t 1
2 0 t 1 2
0
2
Tính: J 2
2
1
1
1 ln 2
1 tdt
1 d t 1 1
2
ln
t
1
2
2
2 0 t 1 4 0 t 1
4
0
4
4
1
Tính: J 3
1 dt
1
du (với t = tanu)
2
2 0 t 1 2 0
8
Vậy I
ln 2 ln 2 ln 2
2
4
8 8
4
2
Bài 55: Tính I
3
dx
sin x
Giải:
2
3
3
2
dx
sin xdx 2 sin xdx
Ta có:
2
2
sin x
sin x
1 co s x
3
Đặt t cosx dt sin xdx
Đổi cận:
x
3
2
t
0
1
2
Khi đó:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dt
dt
1 1
1
1 dt 1 dt
1
1 1
3
I
dt
ln t 1 ln t 1 2 ln ln
2
2
1 t
2 0 1 t 1 t
2 0 t 1 2 0 t 1
2
2 2
2
1 1 t
0
0
0
2
19
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
1 1 1
ln ln 3
2 3 2
1
x sin x
Bài 56: Tính I
dx
2
cos
x
0
Giải:
1
1
1
x sin x
xdx
sin x
Ta có: I
dx
dx
2
2
2
cos
x
cos
x
cos
x
0
0
0
I1
3
Tính I1
0
I2
xdx
cos 2 x
u x
du dx
Đặt
1
dv cos 2 x dx v tan x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
3
3
3
xdx
3
sin x
3 3 d cosx 3
I1
x
tan
x
tan
xdx
dx
ln
cosx
3
3
2
cos
x
3
cosx
3
cosx
3
0
0
0
0 0
0
3
1
ln
3
2
3
3
d cosx
sin x
1
Tính I 2
dx
3 2 1 1
2
2
cos
x
cos
x
cosx
0
0
0
3
ln 2 1
3
1
x3
Bài 57: Tính I
dx
x2 1
0 x
Giải:
Ta có:
Vậy I
1
I
0
2
x x 1
1
x3
1
x3
dx
0
x
1
2
x2 1 x
x 1
2
x 1 x
1
x3 x 2 1.dx x 4 x 2 x 2 1.xdx
0
0
0
1
dx
0
x3
x2 1 x
2
x 1 x
2
dx
1
x
0
3
x 2 1 x 4 dx
1
x5 1
1
x 2 x 2 1.xdx
5 0 0
5
2
Đặt t x 1 dt 2 xdx
Đổi cận:
x
0
t
1
1
2
20
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
Khi đó:
2
1
1
1 12 3
1
1 12 3
12 1
I t 1 t . dt t 2 t 2 dt t 2 dt t 2 dt
2
5 21
5
5 21
21
1
5
3
1 1 5 2 1 3 2 2
1 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2
1 2 2
t 2. t 2.
5 2
5 2
31
5 5
5 5 3 3 5
5
3
15 15
1
Bài 58: Tính I
x
dx
5 4x
Đặt t 5 4 x dt 4dx
Đổi cận:
x
-1
1
t
9
1
1
Giải:
1
I
Khi đó:
1
5t 1
9
9
dt 1 9 5 t
x
5 1
1
4 4
dx
dt
dt tdt
16 1 t
812 t
16 1
5 4x
t
9
1
9 1 2 3 9 5
5
1
5 13 1
t .
t
3 1 27 1
1 8
8 1 16 3
24
4 12 6
9
Bài 59: Tính I x 3 1 xdx
1
Giải:
Đặt t 1 x dt dx
Đổi cận:
x
1
9
t
0
-8
Khi đó:
9
8
3
I x 1 xdx
1
0
3 43 3 7 3 0
3
3
468
4
7
t t
2 2
7 8
4
7
7
4
3 4
1 t t dt 3 t t dt
3
0
3
8
dx
sin
x
sin
x
6
6
Bài 60: Tính I
Giải:
3
3
3
dx
dx
2dx
2
3
3 sin x sin xcosx
1
sin x sin x 6 sin x
sin x cosx 6
6
6
2
2
I
21
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
3
6
3
2dx
co s x
2
2
3 tan x tan x
6
3
2d tan x
tan x
3 tan x 1
2 3
6
d tan x
3 tan x
3 tan x 1
3
1
1
2 3
d tan x
3 tan x 1
3 tan x
6
3
2
6
3
d tan x
2
tan x
d
2 ln tan x 3 2 ln
3 tan x 1
3 tan x 1
6
6
1
3
3 tan x 1
2 ln 3 ln
2 ln 4 ln 2
3
6
3
2 ln 3 2 ln 2 ln
2
1
dx
e 3
0
Bài 61: Tính I
2x
Giải:
Đặt t e x dt e x dx
Đổi cận:
x
0
t
1
Khi đó:
1
e
e
e
e
e
d t2
dx
dt
tdt
1
2tdt
1
I 2x
2 2
e 3 1 t t 2 3 1 t 2 t 2 3 2 1 t 2 t 2 3
2 1 t t 3
0
1
e
e 1
1 1 1
1
1 2
e2 3
2
2
. 2 2
d
t
ln
t
ln
t
3
2
ln
1 6
2 31t
t 3
6
4
1
Bài 62: Tính I
dx
11 5 x
2
2
Giải:
Đặt t 11 5 x dt 5dx
Đổi cận:
x
-2
1
t
1
6
1
6
dx
1 dt
1 6 1 1 1
Khi đó: I
2
2
1
5
t
5
t
30
5 6
11
5
x
2
1
e
Bài 63: Tính I
sin ln x
x
1
Giải:
Đặt t ln x dt
Đổi cận:
x
1
dx
dx
x
e
22
t
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
0
1
sin ln x
e
Khi đó: I
x
1
1
dx sin tdt cost
0
1
0
cos1 cos 0 1 cos1
5
Bài 64: Tính I x 2 9dx
3
Giải:
t2 9
2t
2
t 9 t2 9
t2 9
x2 9 t x t
dx
dt
2t
2t
2t 2
Đổi cận:
x
3
5
t
3
9
Khi đó:
5
9 2
9
t2 9
t 9 t2 9
81 9
t 9 81
I x 2 9dx
. 2 dt 3 dt ln t 2 ...
2t
2t
4 2t 4t
6t 3
8 2
3
3
3
t x x2 9 x
Đặt
4
Bài 65: Tính I
1
sin x cosx
2
dx
12
Giải:
4
I
1
sin x cosx
2
1
dx
2
12
1
3
4
2 dx 2 cot x 4 2
sin x
12
4
12
4
1
1
Bài 66: Tính I sin xdx
0
Đặt t x dx 2td
Đổi cận:
x
0
t
0
Khi đó:
1
1
1
I 2 t sin tdt
0
u t
du dt
Đặt
dv sin tdt v cosx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
1
1
1
1
I 2 tcost 2 costdt 2 tcost 2 sin t 2 sin1 cos1
0 0
0
0
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
23
1
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt
u P x
dv ...
2
u ln x
dv ...
Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt
1
Bài 1: Tính I xe 2 x dx
0
du dx
u x
Đặt
1 2x
2x
dv e dx v e
2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
1 1
1 2x 1 1 2x
1 2 1 2x
1
1
1
e2 1
2x
I xe dx xe
e dx e e d 2 x e 2 e 2 x e 2 e 2 1
2
0 20
2
40
2
4
0 2
4
4
0
3
Bài 2: Tính I
0
x
dx
cos 2 x
u x
du dx
Đặt
dx
v tan x
dv co s 2 x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
4
3
x
3 3 sin x
3 3 d cosx 3
3
I
dx x tan x 3 tan xdx
dx
ln cosx 3
ln 2
2
cos
x
3
cosx
3
cosx
3
3
0
0
0
0 0
0
1
Bài 3: Tính I x 2e x dx
0
2
u x
du 2 xdx
Đặt
x
x
dv e dx v e
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
2 x
2 x 1
x
I x e dx x e 2 xe dx e 2 xe x dx
0 0
0
0
1
Tiếp tục tính: J xe x dx
0
u x
du dx
Đặt
x
x
dv e dx v e
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
24
1
J xe x dx xe x
0
Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
1
0
1
xe x dx 1
0
Vậy I = e - 2
1
Bài 4: Tính I 3x 1 e 3 x dx
0
du 3dx
u 3x 1
Đặt
1 3 x
3 x
dv e dx v 3 e
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
1 1
1
1
1
1 3 x
1
3 x
3 x 1
3 x
3 x 1
I 3x 1 e dx 3x 1 e
e dx 3x 1 e
e d e3 x 3 x 1 e 3 x e 3 x
3
0 0
3
0 30
3
0 3
0
0
2
Bài 5: Tính I x sin 2 xdx
0
2
2
2
2
1
cos
2
x
1
Ta có: I x sin 2 xdx x
dx xdx xcos 2 xdx
2
2 0
0
0
0
2
x2
2
0 xdx 2 2 8
0
2
Tính
xcos 2 xdx
0
du dx
u x
Đặt
1
dv cos 2 xdx v sin 2 x
2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
2
1
12
cos 2 x
1
0 xcos 2 xdx 2 x sin 2 x 2 2 0 sin 2 xdx 0 4 2 2
0
0
2
Vậy I x sin 2 xdx
0
2 4
16
2
Bài 6: Tính I esin x sin 2 xdx
0
2
Giải:
2
Ta có: I esin x sin 2 xdx 2 esin x sin xcosxdx
0
0
Đặt t sin x dt cosxdx
25
