MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

Header Page 1 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Toàn

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 114.


Header Page 2 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Toàn

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số:
60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRẦN T UẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 2 of 114.


Header Page 3 of 114.

LỜI CẢM ƠN
Xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu, quý Thầy cô và các bạn học
viên khóa 23, Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh, đã giúp tôi trong suốt quá
trình học và hoàn thành luận văn này, tôi đã thực sự nhận được nhiều sự giúp đỡ và
động viên từ mọi người.
Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, người đã dành
thời gian chỉnh sửa, và hướng dẫn, giúp em có thể hoàn thành luận văn. Xin cám ơn
về những đóng góp quý báu của Thầy.
Xin cám ơn toàn thể quý Thầy đã tận tình giảng dạy, giúp chúng em trang bị
những kiến thức bổ ích trong quá trình học tập, để hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán và Phòng sau đại học,
Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể
hoàn thành luận văn trong thời hạn cho phép.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người luôn động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2014

Nguyễn Thanh Toàn

Footer Page 3 of 114.


Header Page 4 of 114.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 2
1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun ...................................... 2
1.2. Dãy khớp ................................................................................................ 3
1.3. Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh ........................................................... 4
1.4. Nhóm Abel ............................................................................................. 7
1.5. Hàm tử .................................................................................................... 8
1.6. Hệ xạ ảnh .............................................................................................. 10
Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC ................................. 13
2.1. Hàm tử .................................................................................................. 13
2.2. Một số kết quả trên tập các chỉ số đếm được ....................................... 19
2.3. Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc xk ............................. 28
( )
2.4. Các dãy phổ cho lim
 ........................................................................ 33
KẾT LUẬN .................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39
n

Footer Page 4 of 114.

Header Page 5 of 114.

1

MỞ ĐẦU
Giới hạn ngược được định nghĩa trên cơ sở định nghĩa của hệ xạ ảnh
trong phạm trù các R-mô đun trái. Tức là, với I là tập chỉ số, định hướng, ta
định nghĩa giới hạn ngược như sau:
“Cho { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên tập chỉ số I. Giới hạn

( uα : lim
 Aα → Aα )α∈I

ngược là limA
 α và một họ các đồng cấu chiếu

thỏa: f αβuβ = uα khi α < β , với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu
ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu
θ : M → lim
 Aα sao cho uα θ = ψ α ”.

Với định nghĩa giới hạn ngược như trên, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất
của hàm tử lim
 trên một tập các chỉ số đếm được, cũng như thứ nguyên đối
( )
đồng điều của một tập hợp bậc xk , các dãy phổ cho lim
 .
n

Toàn bộ luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức đã được biết đến trong đại số đại
cương, đại số đồng điều.
Chương 2: Nội dung của chương 2 được chia làm 4 phần.
Phần 1: Trình bày định nghĩa hàm tử lim
 và một số tính chất đối với các
hệ xạ ảnh mềm và cận mềm.
Phần 2: Nêu kết quả trên tập các chỉ số đếm được.
Phần 3: Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc xk .
( )
Phần 4: Về các dãy phổ cho lim
 .
n

Footer Page 5 of 114.


Header Page 6 of 114.

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần kiến thức chuẩn bị này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức
cần thiết về lý thuyết mô đun cần dùng cho việc triển khai nội dung ở
chương 2.
1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun
1.1.1. Định nghĩa
Cho A, B là các R- mô đun trái. Khi đó tập tích Descartes A × B với hai
phép toán cộng và nhân ngoài được định bởi,

( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) ,
r ( a, b ) = ( ra, rb ) ,

Với mọi ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a, b ) ∈ A × B và với mọi r ∈ R , là một R-mô
đun, được gọi là mô đun tổng trực tiếp của hai mô đun A và B, kí hiệu là:
A⊕ B.

1.1.2. Định nghĩa
Cho một họ bất kì các R- mô đun trái {M i }i∈I . Khi đó tích Descartes
=
∏ Mi
i∈I

{( x )

i i∈I

}

xi ∈ M i với hai phép toán như sau:

( xi )i∈I + ( xi′ )i∈I =
( xi + x′ )i∈I ,
r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I ,

Với mọi ( xi )i∈I , ( xi′ )i∈I ∈ ∏ M i và với mọi r ∈ R , là một R-mô đun trái
i∈I

và được gọi là mô đun tích trực tiếp của họ { X i }i∈I .
1.1.3. Định lý

Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Khi đó với bất kỳ R- mô đun
M, mỗi họ đồng cấu { fi : M → M i } được phân tích một cách duy nhất qua họ

Footer Page 6 of 114.


Header Page 7 of 114.

3



các phép chiếu  pi : ∏ M t → M i  . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một
t∈I


đồng cấu f : M → ∏ M i sao cho fi = pi f với mọi i ∈ I (Tính phổ dụng của
i∈I

tích trực tiếp)[1, định lý 5, tr.28].
1.1.4. Định nghĩa
Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Mô đun con của

∏M
i∈I

i

gồm

các bộ số x = ( xi ) mà hầu hết các thành phần xi = 0 trừ ra một số hữu hạn
được gọi là mô đun tổng trực tiếp của họ {M i }i∈I và ký hiệu là ⊕ M i hay
i∈I

⊕M i .

1.1.5. Định lý
Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Khi đó với bất kỳ R- mô đun
M, mỗi họ đồng cấu { ft : M t → M } được phân tích một cách duy nhất qua họ
các phép nhúng { jt : M t → ⊕ M i } . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một
đồng cấu f : ⊕ M i → M sao cho ft = fjt với mọi t ∈ I (Tính phổ dụng của
tổng trực tiếp)[1, Định lý tr 32].
1.2. Dãy khớp
1.2.1. Một số định nghĩa
Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn)
f
g
... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ...

được gọi là khớp tại mô đun B nếu imf = ker g
Một mô đun trong dãy các đồng cấu được gọi là mô đun trung gian nếu
tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.
Dãy các đồng cấu các R-mô đun được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại
mọi mô đun trung gian.

Footer Page 7 of 114.

Header Page 8 of 114.

4

f
g
Dãy khớp có dạng 0 
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 được gọi là dãy

khớp ngắn.
f
g
Dãy khớp các đồng cấu ... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ... được gọi là

chẻ ra tại mô đun B nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, tức là tồn tại một
mô đun con B1 sao cho=
B Imf ⊕ B1 .
Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi mô đun trung gian.
1.2.2. Định lý
χ
σ

Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0 
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 , ba phát

biểu sau là tương đương [1, định lý 1, tr 40].
i. Dãy là chẻ.
ii. Đồng cấu χ có nghịch đảo trái.
iii. Đồng cấu σ có nghịch đảo phải.
1.2.3. Mệnh đề
Nếu dãy khớp
f
g
... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ...

chẻ ra tại B thì B ≅ Imf ⊕ Img [1, hệ quả 2, tr 41].
1.2.4. Mệnh đề
α
β
Cho dãy khớp 0 
→ A 
→ B 
→ C với β là một đơn cấu thì A=0.

Chứng minh : Theo tính khớp của dãy trên, ta có A ≅ Im α

= ker=
β 0.
Tương tự ta có mệnh đề sau.
1.2.5. Mệnh đề
β
α
Cho C 
→ B 
→ A 
→ 0 với β là một toàn cấu thì A=0.

1.3. Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh
1.3.1. Định nghĩa
Một R- mô đun J là mô đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu χ : A → B , mỗi
đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ .

Footer Page 8 of 114.


Header Page 9 of 114.

5

1.3.2. Định lý
Hai mệnh đề sau đây là tương đương nhau :
i. R- mô đun J là nội xạ.
χ
σ
ii. Bất kỳ dãy với ngắn 0 
→ A 

→ B 
→ C 
→ 0 dãy các nhóm

Abel sau là khớp
σ
χ
0 
→ Hom ( C , J ) 
→ Hom ( B, J ) 
→ Hom ( A, J ) 
→0
*

*

[1, tr. 76].
1.3.3. Mệnh đề
R-mô đun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ ideal trái I của R và bất kì
đồng cấu f : I → J , luôn luôn tồn tại một phần tử q ∈ J sao cho với mọi
λ ∈ I , ta có f ( λ ) =λq . Nói cách khác mỗi đồng cấu f : I → J đều có thể mở

rộng được tới đồng cấu f : R → J (Tiểu chuẩn Baer)[1, Định lý 5, tr. 77].
1.3.4. Mệnh đề
Mỗi mô đun M đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ N ( M ) nào đó
[1, Định lý 9, tr. 82].
1.3.5. Định lý
Đối với bất kì R-mô đun J, các phát biểu sau là tương đương :
i. J là mô đun nội xạ.
ii. Mọi dãy khớp 0 → J → B → C → 0 là chẻ ra.

iii . J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mô đun nội xạ nào đó
[1, Định lý 10, tr. 82].
1.3.6. Mệnh đề
Tích trực tiếp của một họ mô đun J = ∏ J i là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi
i∈I

mô đun thành phần J i là nội xạ.
1.3.7. Định nghĩa
Mô đun P được gọi là mô đun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C và

Footer Page 9 of 114.


Header Page 10 of 114.

6

mỗi đồng cấu f : P → C tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ .
1.3.8. Định nghĩa
Mô đun X được gọi là mô đun tự do nếu X có một cơ sở.
1.3.9. Định lý
Mỗi mô đun tự do X đều là mô đun xạ ảnh [1, Định lý 1, tr. 73].
1.3.10. Định lý
Tổng trực tiếp của một họ mô đun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi
i∈I

mô đun thành phần Pi là xạ ảnh [1, Định lý 2, tr. 73].
1.3.11. Định lý
Đối với mỗi mô đun P, ba phát biểu sau là tương đương :
i. P là mô đun xạ ảnh.

χ
σ
ii. Mỗi dãy khớp 0 
→ A 
→ B 
→ P 
→ 0 là chẻ ra.

iii. P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mô đun tự do.
[1, Định lý 3, tr. 75].
1.3.12. Bổ đề con rắn
Cho sơ đồ giao hoán
f
g
A 
→ B 
→ C 
→0

a

b

c

f′
g′
→ A′ 
→ B′ 
→ C′

0 

Với các dòng là khớp, thì ta có dãy khớp
Kera → Kerb → Kerc → Cokera → Cokerb → Cokerc .

Hơn nữa, nếu f là đơn cấu thì Kera → Kerb là đơn cấu, nếu g ′ là toàn
cấu thì Cokerb → Cokerc cũng là toàn cấu.

Footer Page 10 of 114.


Header Page 11 of 114.

7

1.3.13. Bổ đề năm ngắn

Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau, trong đó dòng là khớp:
0 
→ A 
→ B 
→ C 
→0
α

β

γ

0 

→ A′ 
→ B′ 
→ C ′ 
→0

Khi đó, nếu α, γ là đơn (toàn, đẳng) cấu thì β cũng là đơn (toàn, đẳng)
cấu.
1.4. Nhóm Abel Ext ( X , Y )
1.4.1. Định nghĩa
Cho X, Y là hai R-mô đun. Ta gọi một mở rộng của Y bởi X là một dãy
khớp ngắn E của các R-mô đun
χ
σ
E : 0 → Y 
→ W 
→X →0.

1.4.2. Định nghĩa
Giả sử
χ
σ
E : 0 → Y 
→ W 
→X →0,
χ′
σ′
E ′ : 0 → Y 
→ W′ 
→X →0

Là hai mở rộng của Y bởi X. Kí hiệu E  E ′ nếu tồn tại một R-đồng cấu
β :W → W ′ sao cho biểu đồ sau giao hoán
χ
σ
E : 0 → Y 
→ W 
→X →0

β
χ′
σ′
→ W′ 
→X →0
E ′ : 0 → Y 

Dễ thấy β là một đẳng cấu và quan hệ  là một quan hệ tương đương.
Kí hiệu : Ext( X ,Y ) là tập hợp tất cả các lớp tương đương của các mở
rộng của Y bởi X. Và [E] là lớp tương đương của mở rộng E.
1.4.3. Định nghĩa
Cho [ E1 ] , [ E2 ] ∈ Ext ( X , Y ) . Khi đó,

Footer Page 11 of 114.


Header Page 12 of 114.

8

∇Y [ E1 + E2 ] ∆ X .
[ E1 ] + [ E2 ] =

Trong đó :
χ1 ⊕χ 2
σ1 ⊕σ2
 E1 ⊕ E2 : 0 → Y ⊕ Y 
→W1 ⊕ W2 
→X ⊕ X →0

với
χ1
σ1
χ2
σ2
E1 : 0 → Y 
→W1 
→ X → 0 ; E2 : 0 → Y 
→W2 
→X →0

 ∆ X là đồng cấu chéo của mô đun X xác định bởi công thức
∆ X=
( x)

∆X : X → X ⊕ X ,

( x, x ) , ∀x ∈ ∆ X

 ∇ X là đồng cấu đối chéo của mô đun X cho bởi công thức
∇X : X ⊕ X → X ,

x + x′
∇Y ( x, x′ ) =

1.4.4. Định lý
Với phép toán cộng được định nghĩa như trên thì tập Ext(X,Y) lập thành
một nhóm Abel.
1.5. Hàm tử Ext n
1.5.1. Các định nghĩa
Cho A và B là các mô đun trái, X là phép giải xạ ảnh của mô đun A và X
là phức thu gọn của phép giải X.
Xét phức sau :

(

)

δ
Hom X , B : Hom ( X 0 , B ) 
→ Hom ( X 1 , B ) → ...
δ
→ Hom ( X n , B ) 
→ Hom ( X n+1 , B ) → ...

Trong đó các đồng cấu δn = ( −1)

(

(

Khi đó, H n Hom X , B

n +1

Hom ( ∂ n , iB ) , ∀n ≥ 0 .

) ) được gọi là tích mở rộng n- chiều trên R của

các mô đun A, B và được kí hiệu là: ExtRn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) .
1.5.2. Định lý
Nếu A là mô đun trái xạ ảnh (tương ứng: B là mô đun trái nội xạ) thì ta
có ngay Ext n ( A, B ) = 0 với mọi n ∈ N và mọi mô đun trái B (tương ứng: mọi

Footer Page 12 of 114.


Header Page 13 of 114.

9

mô đun trái A) [1, Định lý 1&2, tr. 163].
1.5.3. Định lý
Với mọi mô đun trái A với mọi dãy khớp ngắn các mô đun trái
f
g
0 → B′ 
→ B 
→ B′′ → 0 .

Ta có dãy khớp
( )

( )
δ
→ Hom ( A, B ) 
→ Hom ( A, B′′ ) 
→ Ext1 ( A, B′ ) →
0 → Hom ( A, B′ ) 
Hom i , f

Hom i , g

f
g
δ
→ Ext n ( A, B ) 
→ Ext n ( A, B′′ ) 
→ Ext n+1 ( A, B′ ) → ...
... → Ext n ( A, B′ ) 
*

*

Tương tự , ([1], Định lý 6, tr 168) nếu B là mô đun trái và mọi dãy khớp
f
g
ngắn các mô đun trái 0 → A′ 
→ A 
→ A′′ → 0 thì ta có dãy khớp
Hom( g ,i )
Hom( f ,i )
δ

→ Hom ( A, B ) 
→ Hom ( A′, B ) 
→ Ext1 ( A′′, B ) →
0 → Hom ( A′′, B ) 
g
f
δ
→ Ext n ( A, B ) 
→ Ext n ( A′, B ) 
→ Ext n+1 ( A′′, B ) → ...
... → Ext n ( A′′, B ) 
*

*

[1, Định lý 5, tr. 168].
1.5.4. Mệnh đề
f
g
Cho A,B là các mô đun trái và 0 → M 
→ P 
→ A → 0 là một dãy

khớp ngắn,trong đó P là mô đun xạ ảnh. Khi đó

Ext1 ( A, B ) ≅

Hom ( M , B )

Im ( Hom ( f , iB ) )

.

1.5.5. Hệ quả
Với giả thiết như trong Mệnh đề 1.5.4, ta có
Ext1 ( A, B ) ≅ Ext ( A, B )

nhờ đẳng cấu ϕ :

(

Hom ( M , B )

Im ( Hom ( f , i ) )

→ Ext ( A, B )

)

Định bởi ϕ α + Im ( Hom ( f , i ) ) = α [ E ] với mọi α ∈ Hom ( M , B ) .
1.5.6. Định lý
Cho A là mô đun trái. Khi đó các khẳng định sau là tương đương :
i. A là xạ ảnh.

Footer Page 13 of 114.


Header Page 14 of 114.

10

ii. Ext1 ( A, B ) = 0 với mọi mô đun trái B.
iii. Ext n ( A, B ) = 0 với mọi n > 0 và với mọi mô đun trái B [2, tr. 69].
1.6. Hệ xạ ảnh
1.6.1. Định nghĩa
I được gọi là một tập định hướng bên phải khi, với mỗi cặp phần tử

( α, β ) thuộc

I, tồn tại phần tử γ ∈ I mà γ ≥ α và γ ≥ β .

1.6.2. Định nghĩa

{ Aα } , α ∈ I
( α, β ) thuộc

là một họ các R-mô đun với I là tập định hướng. Với mỗi

I, α ≤ β , f αβ là R-đồng cấu từ Aβ vào Aα .

Giả sử f αβ thỏa mãn điều kiện:
i. Với mỗi α ∈ I , f αα là tự đồng cấu.
ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì f αγ = f αβ fβγ .
Ta gọi { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên I.
Nếu { Aα , f αβ } và {Bα , g αβ } là các hệ xạ ảnh, cấu xạ từ { Aα , f αβ } vào

{B , g } là một họ các R-đồng cấu {u } của A
α

α

α

αβ

vào Bα , cho α ≤ β , ta có sơ

đồ giao hoán
Aα ←
Aβ
f αβ
uβ

uα

Bα ←
Bβ
f αβ

Dễ thấy hệ xạ ảnh I (I cố định) với cấu xạ trên là giao hoán.
1.6.3. Định nghĩa
Ta có dãy sau

{ A , f } 
{ } →{ B , g } 
{ } →{C , h }
α

αβ

là khớp khi và chỉ khi

Footer Page 14 of 114.

uα

α

αβ

vα

α

αβ


Header Page 15 of 114.

11

1. Aα 
→ Bα 
→ Cα
uα
vα
là dãy khớp, với mỗi α ∈ I .
1.6.4. Định nghĩa
Cho { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên tập định hướng I.
Giới hạn ngược là limA

 α và một họ các đồng cấu chiếu ( uα : lim
 Aα → Aα )α∈I
thỏa:
i. f αβuβ = uα khi α < β .
ii. Với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu ψ α : M → Aα thỏa mãn
f αβψβ =ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu θ : M → lim
 Aα sao cho

uα θ = ψ α .

1.6.5. Mệnh đề
Giới hạn ngược của bất kì hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } các R-mô đun trái trên tập
chỉ số định hướng I là tồn tại.
Tất nhiên, giới hạn ngược là một hàm tử khớp trái.
1.6.6. Mệnh đề
Nếu { Aα , f αβ } là hệ xạ ảnh của R-mô đun trái, ta có đẳng cấu tự nhiên
Hom ( M ,lim
 Aα )  lim
Hom ( M , Aα )

với mọi R-mô đun trái M.
1.6.7. Định nghĩa
Cho { Aα } , α ∈ I là một họ các R-mô đun với I là một tập định hướng.
Với mỗi ( α, β ) thuộc I, α ≤ β , g αβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ .
Giả sử g αβ thỏa mãn điều kiện:
i. Với mỗi α ∈ I , g αα là tự đồng cấu.
ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì g αg = gβg g αβ .

Footer Page 15 of 114.

Header Page 16 of 114.

12

Ta gọi { Aα , g αβ } là một hệ cảm ứng của R-mô đun trên tập chỉ số I.
1.6.8. Định nghĩa
Cho { Aα , g αβ } là một hệ cảm ứng của R-mô đun trên tập định hướng I.
Giới hạn trực tiếp là limA
 α và một họ các đồng cấu nhúng

( vα : Aα → lim
 Aα )α∈I
i.

thỏa:

vβ g αβ = vα khi α < β .

ii. Với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu ψ α : Aα → M thỏa mãn
ψβ g αβ =
ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu θ : limA
 α → M sao cho

θvα =
ψα .

1.6.9. Mệnh đề
Giới hạn trực tiếp của bất kì hệ xạ ảnh { Aα , g αβ } các R-mô đun trái trên
tập chỉ số định hướng I là tồn tại [3, tr. 239].

1.6.10. Mệnh đề
Nếu

{A , g }
α

αβ

là hệ cảm ứng của R-mô đun trái, ta có đẳng cấu

Hom ( lim
 Aα , M ) ≅ lim
Hom ( Aα , M ) với mọi R-mô đun trái M [3, tr. 240]

Footer Page 16 of 114.


Header Page 17 of 114.

13

Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC
2.1. Hàm tử lim

2.1.1. Định nghĩa
Với mỗi hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } , T { Aα , f αβ } là mô đun con của mô đun tích

∏A

α

α∈I

{a }

được tạo thành bởi các phần tử

a

, a a = f aβ aβ với mỗi

( α, β ) ∈ I , α ≤ β .
2.1.2. Định nghĩa
Nếu {uα } là một họ các R-đồng cấu từ { Aα , f αβ } vào {Bα , g αβ } , T {uα }

({ } )

là R-đồng cấu xác định bởi T {uaaa
} a a = {u a } .
T được gọi là hàm tử giới hạn xạ ảnh, kí hiệu
T { Aα , f αβ } = lim
 uα .
 Aα hay T {uα } = lim
I

I

2.1.3. Định nghĩa

{

}

Cho A α , f αβ là một hệ xạ ảnh và

{

} {
}
là một phép giải của {A , f } ; hàm tử dẫn xuất R T được định nghĩa
0
1
(0)
(1)
→ Qα( ) , pαβ
→ ... (1)
0 → { Aα , f αβ } → Qα( ) , pαβ

α

n

αβ

R nT { Aα , f αβ } = H n ( lim
 {Qα , pα } )

{

}

Ta thấy R nT chỉ phụ thuộc vào A α , f αβ . Nếu {uα } là một cấu xạ từ

{A , f } đến {B , g } , R T {u } được xác định hiển nhiên.
α

αβ

α

n

αβ

α

( )
n
Nếu không có sự nhầm lẫn, ta viết lim
 Aα để chỉ R T { Aα , f αβ } .
n

Từ đó, nếu 0 → { Aα , f αβ } → { Bα , g αβ } → {Cα , hαβ } → 0 là dãy khớp, ta có
dãy sau khớp

Footer Page 17 of 114.


Header Page 18 of 114.

14

()
()
0 → lim
 Aα → lim
Bα → lim
Cα → lim
 Aα → lim
 Bα → ...
1

1

( )
( )
(
( )
→ lim
 Aα → lim
 Bα → lim
 Cα → lim

n

n

n

n +1)

Aα → ...

(2)

2.1.4. Định nghĩa

{

}

Hệ xạ ảnh A α , f αβ được gọi mà mềm nếu với mỗi đồng cấu chính tắc
lim
 Aα → lim
 Aα là toàn ánh với mọi J ⊆ I .
I

J

2.1.5. Mệnh đề
Mọi hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } có thể nhúng vào một hệ xạ ảnh mềm.
Chứng minh :
Mô đun Bα = ∏ Aα0 với phép chiếu là một hệ xạ ảnh, Bα là xạ ảnh mềm.
α 0 ≤α

{

}

: A → B , g ( a ) = f 0 a , a0 ≤ a xác định phép

Hơn nữa, đồng cấu g aaaaaaaaa
nhúng của { Aα , f αβ } vào hệ xạ ảnh tạo bởi Bα . 
2.1.6. Hệ quả
Nếu hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } là một vật nội xạ trong phạm trù các hệ xạ ảnh
thì { Aα , f αβ } là mềm.
Chứng minh :
Theo Mệnh đề 2.1.5, { Aα , f αβ } là hệ con của hệ xạ ảnh mềm. Từ

{ A , f } là nội xạ, nên là nhân tử trực tiếp của một hệ xạ ảnh mềm, do đó
α

αβ

{ A , f } là hệ xạ ảnh mềm.
α

αβ

2.1.7. Định nghĩa
Một tập con U ⊆ I là mở nếu U chứa bất kỳ phần tử α thì U chứa tất
cả phần tử trước α

Footer Page 18 of 114.


Header Page 19 of 114.

15

2.1.8. Bổ đề

Cho hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } , các điều kiện sau là tương đương :
i. Với mỗi tập định hướng J ⊂ I , đồng cấu chính tắc lim Aα → lim Aα là
←

I

←

J

toàn ánh.
ii. Với mỗi U ⊂ I là tập mở định hướng, đồng cấu chính tắc
lim Aα → lim Aα là toàn ánh.

←

I

←

U

Chứng minh :
Hiển nhiên ta có i → ii . Hơn nữa, tập hợp con định hướng J được chứa
trong một tập mở tối tiểu U. U chứa các phần tử của J do đó U là tập định
hướng và mỗi phần tử thuộc J đều thuộc U, vậy ta có ii → i . 
2.1.9. Định nghĩa
Ta nói rằng một hệ xạ ảnh là cận mềm nếu thỏa các điều kiện tương
đương của Bổ đề 2.1.8.
Rõ ràng một hệ mềm là cận mềm, điều ngược lại nói chung không đúng.

Bổ đề sau đây là một hệ quả trực tiếp từ định nghĩa của một hệ cận mềm.
2.1.10. Bổ đề
Nếu một hệ xạ ảnh là cận mềm thì thu hẹp của nó tới bất kì tập hợp con
định hướng nào của I cũng là cận mềm.
2.1.11. Định nghĩa
Một thứ tự λ là tự số giới hạn khi và chỉ khi tồn tại thứ tự nhỏ hơn λ, và

∀β < λ, ∃γ thỏa β <γ <λ.
2.1.12. Định nghĩa
Cho X là không gian tôpô, C là phạm trù các nhóm Aben. Một cậnbó F trên X là một hàm với giá trị trong C được cho bởi:
i.Với mỗi tập mở U của X, có một tương ứng với F(U) trong C.
ii. Với mỗi bao hàm tập hợp V ⊆ U, tương ứng với một cấu xạ thu
Footer Page 19 of 114.


Header Page 20 of 114.

16

hẹp : F(U) → F(V) trong C.
Nếu F là một cận-bó trên X, và U là một tập mở của X, thì F(U) được
gọi là phần của F trên U. Một phần trên X được gọi là phần toàn cục.
2.1.13. Mệnh đề
Cho 0 → {A α , f αβ } 
{vα } →{Cα , hαβ } → 0
{uα } →{ Bα , g αβ } 
là dãy khớp các hệ xạ ảnh. Nếu {A α , f αβ } là cận mềm, thì
→ lim
→ lim
0 → limA

 α 
Bα 
Cα → 0 (*)
lim
lim
uα
vα

Là khớp.
Chứng minh :
Ta có giới hạn ngược là một hàm tử khớp trái, từ đó ta có limv
 α là toàn
ánh.
Ta chứng minh bằng quy nạp. Nếu I là hữu hạn,ta có (*) hiển nhiên là
dãy khớp. Giả sử nếu I vô hạn, và giả sử bổ đề đúng với bất kì tập hợp các chỉ
số (thứ tự và định hướng ). I có thể được biểu diễn bởi hợp của một họ sắp thứ
tự tốt I µ , µ ∈ Ω , Ω có thứ tự, định hướng, có bậc nhỏ hơn x sao cho mỗi giới
hạn v , thì=
Iv

I

µ

,µ ⊂ ν .

Cho s là bất kì trong {Cα , hαβ } . Do Bổ đề 2.1.10 và giả thiết quy nạp,
các thu hẹp sµ của s tới I µ là một phần tµ của {Bα } . Để chứng minh limv
 α
toàn ánh, ta chứng minh có thể chọn tµ , µ ∈ Ω sao cho tµ là thu hẹp của tv với

mỗi cặp µ, v : µ < v , tức là để tµ , µ ∈ Ω là phần của {Bα , g αβ } trên I.
Theo giả thiết quy nạp, với v ∈ Ω , có tµ thuộc {Bα } , µ < v để tλ là thu
hẹp của tµ với λ < µ . Ta sẽ chỉ ra rằng có thể tìm được tv thu hẹp đến tµ ,
với µ < v

Footer Page 20 of 114.


Header Page 21 of 114.

17

Nếu v là tự số giới hạn , rõ ràng có thể tìm được tv thu hẹp đến tµ , với
µ < v do I v =

I

µ

.

µ
Nếu v không là tự số giới hạn , đặt v = µ + 1 . Như trên, sµ+1 là một phần
′ 1 trên I µ+1 , có thu hẹp tµ′ vào I µ tương ứng trong {Cα } . Từ đó, tµ − tµ′
của tµ+

là một phần của rµ trên I µ của hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } . Vì hệ xạ ảnh là cận mềm,
′′ 1 thuộc
nên rµ là một phần của rµ+1 trên I µ+1 . Nếu tµ+

{Bα } sinh

bởi rµ+1 , thì

′ 1 + tµ+
′′ 1 cảm sinh sµ+1 vào {Cα } và thu hẹp đến I µ là tµ′ + ( tµ − tµ′ ) =
tµ .
=
tµ+
tµ+
1
′ 1 thỏa mãn điều kiện, suy ra điều phải chứng minh. 
Do đó tµ+

2.1.14. Hệ quả
Cho

0 → {A α , f αβ } 
{uα } →{ Bα , g αβ } 
{vα } →{Cα , hαβ } → 0
là dãy khớp các hệ xạ ảnh, nếu {A α , f αβ } và {Bα , g αβ } là hệ cận mềm, thì

{C , h } cũng là hệ cận mềm.
α

αβ

Chứng minh:
Cho U là tập con định hướng của I và s là phần trên U trong {Cα , hαβ } .

Áp dụng Mệnh đề 2.1.13 với U, s là một phần của t trên U trong {Bα , g αβ } .
Vì

{B , g } là hệ cận mềm, t có thể mở rộng đến một phần toàn cục, cảm
α

αβ

sinh vào {Cα , hαβ } một phần toàn cục, có thu hẹp vào U trùng với s. 
2.1.15. Định lý
Nếu hệ xạ ảnh {A α , f αβ } là cận mềm, thì lim ( n ) Aα = 0 với n > 0 .
←


Chứng mimh :
Nhúng {A α , f αβ } vào hệ xạ ảnh {Qα } , tồn tại {Cα } sao cho

Footer Page 21 of 114.


Header Page 22 of 114.

18

0 → {A α } 
→{Qα } 
→{Cα } → 0 (3)
vα

là dãy khớp.

( )
Theo định nghĩa chúng ta có lim
 Qα = 0 với n > 0 .
n

Áp dụng dãy khớp (2), ta có
()
()
→ lim
→ lim
→ lim
lim
Qα 
Cα 
 Aα 
 Qα = 0
lim
vα
1

1

()
Theo Mệnh đề 2.1.13 thì limv
 Aα = 0 .
 α là toàn ánh, do đó lim
1

(
Ta chứng minh bằng quy nạp trên n. Giả sử lim



n −1)

X α = 0 với mỗi hệ

cận mềm { X α } trên U.
( )
Các dãy lim
 khớp, áp dụng (3), có
n

( )
(
lim
 Aα  lim

n

n −1)

Cα (4)

Theo Hệ quả 2.1.6 và 2.1.14, {Cα } là cận mềm. Do đó, theo giả thiết quy
(
nạp lim


n −1)

Cα = 0 kết hợp với (4) suy ra điều phải chứng minh. 

2.1.16. Định lý
Cho {A α } là một hệ xạ ảnh, và
0 → {A α } → { Fα0 } → { Fα1} → ... → {Fαn } → ... (5)

là dãy khớp. Nếu {Fαn } là hệ cận mềm với mỗi n ≥ 0 , thì

(

( )
n
lim
 Aα  H lim
 Fα
n

)

với limF
 α là phức (mô đun) thu được từ (5).
Chứng minh :
Dùng hạt nhân và đối hạt nhân, từ (5) ta có dãy khớp
0 → {A αn−1} → { Fαn } → { Aαn } → 0 , n = 0,1, 2,...

với {A α−1} = { Aα }

Footer Page 22 of 114.

Header Page 23 of 114.

19

Do lim
 bảo toàn khớp trái nên dãy sau là khớp

(

)

n −1
n
n
n
0 → limA
 α → lim
Fα → lim
 Aα → H lim
 Fα → 0

( )
Từ dãy khớp hàm tử lim
 và Định lý 2.1.15 cho ta dãy khớp
n

( ) n −1
() n
n −1
n

n
0 → limA
0
 α → lim
Fα → lim
 Aα → lim
 A α → lim
 Fα =
1

1

(1) n −1
Từ hai dãy khớp chứng tỏ có một đẳng cấu H n+1 ( lim
Fα )  lim
 A α .

Như trong Định lý 2.1.15, ta sẽ thu được, bằng cách thay đổi bởi các đẳng cấu
( ) n −1
( ) n −1
(
lim
 A α ≅ lim
 A α ≅ .... ≅ lim

1

(

2

)

(
và do đó H n+1 lim
 Fα ≅ lim


n +1)

n +1)

A αn−1

Aα . 

Nhận xét: Tính mềm (hay cận mềm) của một hệ xạ ảnh là một tính chất
( )
tôpô, Định lý 2.1.16 chỉ ra rằng lim
 A α là nhóm Abel không phụ thuộc vào
n

vành cơ sở R.
2.2. Một số kết quả trên tập các chỉ số đếm được
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu chi tiết các trường hợp tập các chỉ
số I là tập đếm được, định hướng.
2.2.1. Định nghĩa
Cho A là một tập hợp và ≤ là một quan hệ thứ tự trên A. Một tập con B
của A được gọi là cùng gốc nếu thỏa mãn điều kiện:
Với mỗi a ∈ A , tồn tại b ∈ B mà a ≤ b .

I chứa một tập hợp con cùng gốc đẳng cấu với tập N số tự nhiên với thứ
tự thông thường, và ta có thể giả sử I= N . Thật vậy, kết quả tổng quát hơn
của Định lý 2.1.16 là lim ( ) Aα ≅ lim ( ) Aα với mỗi hệ xạ ảnh { Aα } và bất kỳ
n

←

J

n

←

I

tập hợp con cùng gốc J của I.
2.2.2. Mệnh đề
Một hệ xạ ảnh

Footer Page 23 of 114.

{ A , f } với N
i

ij

là tập hợp các chỉ số là mềm khi và chỉ


Header Page 24 of 114.

20

khi fi ,i +1 là toàn ánh với mọi i ∈ N .
Chứng minh:
Một tập hợp con mở của N có dạng {i i ≤ n} với n thích hợp. Như vậy ,

An là toàn ánh khi và chỉ khi f j , j +1 là toàn ánh
đồng cấu lim A i → lim A i =
←

i∈N

←

i≤n

với j ≥ n . Ở đây n có thể là một số nguyên. 
Tất nhiên trong trường hợp này các thuật ngữ "mềm" và "cận mềm" là
như nhau.
2.2.3. Định lý
( )
Cho hệ xạ ảnh { Ai , fij } với N là tập hợp các chỉ số, ta có lim
 Ai = 0
n

với n ≥ 2 .
Chứng minh:
Theo Mệnh đề 2.1.5 có dãy khớp
0 → { Ai , fij } → {Bi , gij } → {Ci , hij } → 0

với {Bi , gij } là hệ mềm. Vì vậy gi ,i +1 là toàn ánh với mọi i, điều này có
được bằng phép săn biểu đồ, và tương tự trong trường hợp hi ,i +1 . Từ Mệnh đề
2.2.2, ta có {Ci , hij } là hệ mềm. sau đó áp dụng Định lý 2.1.16.
Nhận xét 1: Mệnh đề 2.2.2 dẫn đến một kết quả mạnh hơn so với định
lý 2.2.3 là bất kỳ hệ xạ ảnh với N là tập hợp các chỉ số có độ dài phép giải
mềm ≤ 1 , ta nói “chiều mềm” của N với thứ tự thông thường là ≤ 1 .
Với N là tập các chỉ số với thứ tự thông thường. Cũng trong trường hợp
()
I = N , ta mô tả tường minh lim
 Ai . Cho fi = fi ,i +1 và xét đồng cấu
1

∏ A → ∏ A
i∈N

i

δA

i∈N

i

Cho bởi:
δ A ( a1 , a2 ,..., an ,...) =−
( a1 f1a2 , a2 − f 2a3 ,..., an − f n an+1 ,...)

Footer Page 24 of 114.

Header Page 25 of 114.

21

Rõ ràng Kerδ A ≅ lim
e A1 , là đẳng cấu tự nhiên. Ta chứng minh rằng
()
lim
e Ai ≅ Cokerδ A .
1

Dễ dàng kiểm tra được Cokerδ A =
0 , nếu { Ai } là hệ xạ ảnh mềm (các
ánh xạ là toàn ánh).
Và nếu
0 → { Ai } → { Bi } → {Ci } → 0

là dãy khớp, với {Bi } là hệ mềm, ta có sơ đồ giao hoán
0 → ΠAi → ΠAi → ΠAi → 0
δA

δB

δC

0 → ΠAi → ΠAi → ΠAi → 0

Áp dụng bổ đề con rắn, ta có dãy khớp
0 → Kerδ A → Kerδ B → KerδC → Cokerδ A → Cokerδ B → CokerδC → 0

Từ {Bi } là hệ mềm, nên cokerδ B =
0 . Như đã biết, ta có sơ đồ giao hoán
mà mũi tên thẳng đứng là đẳng cấu:
0 → kerδ A → kerδ B → kerδC → kerδ D → 0

()
()
0 → lim
0
 Ai → lim
Bi → lim
Ci → lim
 Ai → lim
 Bi =
1

1

Trong dòng cuối cùng, ta sử dụng tính chất {Bi } là hệ xạ ảnh mềm. Bằng
()
phép "săn biểu đồ " chúng ta nhận được đẳng cấu lim
e Ai  Cokerδ A .
1

Nhận xét 2: Nếu tập chỉ số là không đếm được, ta không có một đẳng
()
()
cấu tương tự đối với lim
 (và lim

 , i > 1 ) .
1

i

Bây giờ, ta xem xét một hệ xạ ảnh của các nhóm Abel hữu hạn Ai , với
()
N là tập các chỉ số, và xác định cấu trúc của lim
 Ai .
1

Footer Page 25 of 114.