Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THỊ KIM THÚY

TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 07 - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THỊ KIM THÚY

TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN
BÙ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG
GIAN XẠ ẢNH
Chuyên ngành: Hình học và tô pô
Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Văn Tấn

HÀ NỘI, 07 - 2017

Mục lục

Phần mở đầu

1

Lời cảm ơn

1

1 Lời giới thiệu

2

1.1

Một số định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Một số định lí và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Tâp các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong
không gian xạ ảnh

6

2.1

Định lí không gian con của Schmidt . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Trọng số Nochka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Định lí cơ bản thứ hai với trọng số . . . . . . . . . . . . .

19

2.4

Định lí chính mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33

1


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1991, Miu Ru và Pit-Mann Wong[Ivent.Math.(106)1991] đã chứng
minh được rằng: Cho K là một trường số và H1 , ..., Hq là một họ các siêu
phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh P n (K) . Đặt D là hợp
của các siêu phẳng nói trên. Giả sử k là số nguyên dương bất kì thỏa mãn
q > 2n − k + 1. Khi đó tập các điểm D- nguyên trong P n (K)D được chứa
trong hợp của hữu hạn các không gian con với số chiều không quá k − 1.
Đặc biệt với k = 1 và q > 2n thì tập các điểm D - nguyên của P n (K)D là
hữu hạn. Luận văn nghiên cứu kết quả nói trên của Miu Ru và Pit-Mann
Wong về " Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không
gian xạ ảnh".
2. Mục tiêu nghiên cứu
Tìm hiểu kết quả nghiên cứu của Ru và Wong về " Tập các điểm nguyên
của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh".
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp và nghiên
cứu lý thuyết. để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận văn, chúng tôi
sử dụng phương pháp nghiên cứu của lí thuyết phân bố giá trị, hình học
phức .
1

4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các
chương sau:
Chương 1. Lời giới thiệu, đây là các kiến thức nền tảng phục vụ cho
chương 2.
Chương 2. Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng
trong không gian xạ ảnh , trình bày định nghĩa và định lí để xây dựng
tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh.

2


Lời cảm ơn
Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy
cô ở bộ môn Hình học và tô pô nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt tác giả
trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Trần Văn Tấn, thầy đã tận tình chỉ bảo,
hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn
bạn bè, gia đình, đồng nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên
và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn
chế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả
rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Học viên

Hoàng Thị Kim Thúy

1


Chương 1
Lời giới thiệu
1.1

Một số định nghĩa

1.1.1 Giả sử K là một trường số. Một định giá trên K là một hàm giá trị
thực
|.| : K → R+
thỏa mãn ba tính chất sau đây
(1) x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0. (Không suy biến)
(2) xy = x y (Tính nhân)
(3) x + y ≤ x + y . (Bất đẳng thức tam giác)
Định giá được gọi là định giá không archimedean nếu nó thỏa mãn
x + y ≤ max( x , y ).
Hai định giá . 1 , .
λ thỏa mãn .

1

2

được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số dương

= λ . 2 . Tập các định giá chính tắc trên Q được kí hiệu

là MQ bao gồm một định giá archimedean .
.

p

với p là số nguyên tố.
2

∞

và các định giá p - adic


1.1.2 Cho K là một trường số, với mỗi định giá υ trên K ta kí hiệu Kυ là
bao đóng đầy của K với υ và nυ = [Kυ : Qυ ] được gọi là bậc địa phương.
Định nghĩa chuẩn với định giá archimedean
x

υ

= |x| nếu Kυ = R

x

υ

= |x|2 nếu Kυ = C

Nếu υ không là archimedean thì υ là mở rộng của định giá p - Cadic trong

Q với p là số nguyên tố, chuẩn được định nghĩa
x

υ

= |x|np υ

nếu x ∈ Q∗ . Với quy ước này, tồn tại một tập đầy đủ các giá trị không
tương đương MK trong K sao cho có công thức
x

υ

=1

(1.1)

υ∈MK

với mọi x ∈ K∗ . Khai triển

υ

trên bao đóng đại số Kυ của Kυ .

1.1.3 Kí hiệu OK là vành các phần tử nguyên của K, tức là OK là tập
hợp các phần tử α ∈ K thỏa mãn đa thức cực tiểu P (X) của nó trên Z có
dạng
P (X) = X h + a1 X h−1 + ... + ah , h = degQ α, ai ∈ Z.
Ta có tập chính tắc MK các định giá của K bao gồm một định giá tương

ứng với một ideal nguyên tố p của OK , một định giá tương ứng với một
phép nhúng thực σ : K → R, và một định giá tương ứng với một cặp phép
nhúng σ, σ : K → C. Ta kí hiệu MK∞ là tập các định giá archimedean của
K, MK0 là tập các định giá không archimedean của K. Một cách tự nhiên,
ta có
MK = MK∞ ∪ MK0 .
3


Với mỗi υ ∈ MK , kí hiệu Kυ là bao đầy của textbf K tương ứng với υ. Ta
chuẩn tắc các định giá sao cho p
ideal p và p ∩ Z = (p), và x

υ

υ

= p−[Kυ :Qp ]/[K:Q] nếu υ tương ứng với

= σ(x)

[Kυ :R]/[K:Q]

nếu υ tương ứng với

phép nhúng σ. Nếu υ là một định giá của K và ω là một định giá của mở
rộng trường L của K, khi đó ta nói rằng ω nằm trên υ (hoặc υ nằm dưới
ω), kí hiệu bởi ω|υ, nếu ω và υ xác định cùng một tô pô trên K.
1.1.4 Cho S là tập con hữu hạn của MK , chứa tất cả các định giá archimedean
của K. Kí hiệu OS gọi là giá trị S - nguyên của K, nghĩa là các giá trị

x ∈ K sao cho
x

υ

≤1

(1.2)

với mọi υ ∈
/ S. Điểm x = (x1 , ..., xn ) ∈ Kn được gọi là điểm S-nguyên
nếu xi ∈ OS với mọi 1

i

n. Cho D là tập các divisor ample hiệu quả

trên đa tạp xạ ảnh V và đặt 1 = x0 , x1 , ..., xN là một cơ sở của không
gian véc tơ: L(D) = {f |f là hàm hữu trên đa tạp V sao cho f = 0 hoặc
(f ) + D ≥ 0}. Khi đó P → (x1 (P ), ..., xN (P )) xác định phép nhúng của
V(K) − D vào trong không gian afin KN . Điểm P của V(K) − D gọi là
điểm D - nguyên nếu xi ∈ OS với mọi 1

1.2

i

N.

Một số định lí và tính chất

Định lý 1.1. (Định lí chính) Cho K là môt trường số và H1 , H2 , ..., Hq
là môt họ hữu hạn các siêu phẳng trong Pn (K), ở vị trí tổng quát.Cho
D=

Hj , thì với số nguyên bất kì 1

k

n thỏa mãn q > 2n − k + 1,

1 j q

tập các điểm D - nguyên của Pn (K) − D là chứa trong hợp hữu hạn các
không gian con xạ ảnh của Pn (K) số chiều là k − 1 . Đăc biệt, tập các
4


điểm D - nguyên của Pn (K) − {2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát } là
hữu hạn.
Nhắc lại rằng siêu phẳng H trong Pn (K) là được đại diện bởi véc tơ α
trong Kn+1 − {0}. Một họ các siêu phẳng H1 , H2 , ..., Hq được gọi là ở vị trí
tổng quát nếu tập các véc tơ đại diện {α1 , ..., αq } thỏa mãn điều kiện mọi
tập con bất kì của nó không vượt quá n + 1 phần tử là độc lập tuyến tính
trên K. Tổng quát hơn, cho V là một đa tạp xạ ảnh, D là divisor ample
trên V và tập {φ0 , ..., φN } là một cơ sở của L(D) sao cho
Φ = [φ0 , ..., φN ] : V → PN
là phép nhúng V vào trong PN với V − D bị nhúng trong KN . Chúng ta
đồng nhất hóa V với ảnh của nó Φ(V ). Chúng ta cũng có hệ quả trưc tiếp
của định lí cơ bản

Hệ quả 1.2. Cho V là một đa tạp xa ảnh, D là divisor ample trên V . Cho
D1 , ..., Dq là các divisor trong hệ tuyến tính |D| sao cho E = D1 +...+Dq là
đơn giản nhất. Nếu q > 2N − k + 1 ở đây N = dim L(D) − 1 và 1

k

n,

thì tập các điểm E - nguyên của V − E là chứa trong phần giao một số
hữu hạn các không gian con xạ ảnh, số chiều k − 1 của PN với V . Đặc
biệt, nếu q

2N + 1 thì tập các điểm E - nguyên của V − E là hữu hạn.

5


Chương 2
Tâp các điểm nguyên của phần bù
các siêu phẳng trong không gian xạ
ảnh
2.1

Định lí không gian con của Schmidt

Cho K, S và MK là được định nghĩa như trong lời giới thiệu.
Định lý 2.1. (Định lí không gian con) Cho {Lυ,i |υ ∈ S, 1

i

n + 1} là

các dạng tuyến tính của n - biến số với hệ số đại số. Giả sử rằng cố định
mỗi υ ∈ S (tâp hữu hạn các định giá trong K chứa tất cả các định giá
archimedean), n + 1 dạng tuyến tính Lυ,1 , ..., Lυ,n+1 là độc lập tuyến tính.
Khi đó với bất kì ε > 0 tồn tại tập hữu hạn J các siêu phẳng của Kn+1
sao cho bất đẳng thức

υ∈S 1 i n+1

1
Lυ;i (x)

{size(x)}ε

đúng với mọi điểm S - nguyên x = (x0 , ..., xn ) ∈ OS n+1 −

L.Ở đây
L∈J

size(x) = max max { xj
υ∈S 0 j n

6

υ}


Định lí của Schmidt có thể được xác định lại công thức trong điều kiện
về chiều cao và hàm Weil. Với điểm x = [x0 , ..., xn ] ∈ Pn (K), chiều cao

tương đối H(x) xác định bởi
max { xj

H(x) =
υ∈MK

υ}

0 j n

(2.1)

và chiều cao tuyệt đối (logarit) h(x) xác định bởi
h(x) =

1
log H(x).
[K : Q

(2.2)

nếu x = 0. Từ công thức (1.1), ta có chiều cao tương đối là
cao tuyêt đối là

1 và chiều

0. Với dạng tuyến tính L của (n + 1) - biến số với hệ

số đại số, (ta cũng đồng nhất L với một siêu phẳng của Pn ), hàm số Weil
λυ;L là xác định bởi

1
λυ;L (x) =
log
[K : Q]

(n + 1) L

max xj

υ

0 j n

L(x)

υ

(2.3)

υ

aj xj

trong đó mỗi dạng tuyến tính L(x) =
0 j n

L

υ

= max ai υ .
0 i n

Do đó
0

L(x) υ
(n + 1) L υ max xi
0 i n

sao cho λυ;L (x)

1.

(2.4)

υ

0. Giả sử L là siêu phẳng của Pn và điểm x ∈ Pn (K)

nhưng x ∈
/ L, hàm xấp xỉ và hàm đếm được xác định bởi
m(x, L) =

λυ,L (x), N (x, L) =
υ∈S

λυ,L (x).

(2.5)

υ ∈S
/

Từ (2.4) ta thấy cả hàm xấp xỉ và hàm đếm đều

7

0. Bởi định nghĩa (2.2)


của chiều cao ta có
m(x, L) + N (x, L) =
+

1
[K : Q]

log max { xj
υ∈MK

1
log
[K : Q]

υ∈MK

0 j n

(n + 1) L

L(x) υ

1
log
[K : Q]

= h(x) +

υ∈MK

υ}

υ

(n + 1) L
L(x) υ

υ

.

Như vậy ta có định lí tương tự của định lí cơ bản thứ nhất trong lý thuyết
Nevanlinna:
Định lý 2.2. (Định lí cơ bản thứ nhất) Nếu L là một dạng tuyến tính và
L(x) = 0, thì
1
(n + 1) L
log
[K : Q]
L(x) υ

υ∈MK

m(x, L) + N (x, L) = h(x) +
Định lý 2.3. Cho {Lυ,i |υ ∈ S, 1

i

υ

.

q} là các dạng tuyến tính (hoặc các

siêu phẳng trong Pn ) của (n + 1) - biến số với các hệ số đại số. Giả sử
rằng cố định mỗi υ ∈ S, các siêu phẳng Lυ,1 , ..., Lυ,q ở vị trí tổng quát. Khi
đó với ε > 0 bất kì tồn tại một tập hữu hạn J các siêu phẳng của Pn (K)
sao cho bất đẳng thức
λυ,Lυ ,i (x)
1 i q

(n + 1 + ε)h(x)

υ

đúng với mọi điểm x ∈ Pn (K) −

L.
L∈J

Chứng minh. Do cả hai vế của bất đẳng thức đều không phụ thuộc vào

cách chọn hệ t ọa độ thuần nhất của x ∈ Pn (K), ta có thể chọn hệ tọa độ
thuần nhất của x = [x0 , ..., xn ] sao cho mỗi xj là một S - nguyên (nghĩa là
xj ∈ OS , xem trong lời giới thiệu với các định nghĩa). Bởi (1.2) xj
8

υ

1


với mọi υ ∈
/ S và với mọi 0

j

n, như vậy

max { xj

H(x)
υ∈S

0 j n

(size(x))#S .

υ}

(2.6)

Mặt khác, ta có thể chọn tọa độ của x sao cho
size(x) =

max
υ∈S,0 j n

xj

υ

c H(x)

(2.7)

với mọi x ở đây c là một hằng số chỉ phụ thuộc vào S nhưng độc lập với
x. Cho x = (x0 , ..., xn ) và a = ideal sinh bởi {x0 , ..., xn }. Khi đó
H(x) = N a−1

max xj

υ

υ∈S 0 j n

Bởi định lí 6.3(Lang[7, trang 33]), tồn tại hằng số c > 0 và ideal nguyên
tố b tương đương tuyến tính với a sao cho N b

c. Nói cách khác, có thể

chọn xj nguyên sao cho

H(x)

c−1

max xj

υ∈S

0 j n

(2.8)

υ

Bất đẳng thức trong định lí của Schmidt (định lí 1.1) đưa đến sự tồn tại
của hằng số c1 và tập hữu hạn J các siêu phẳng của Pn (K) sao cho với
tập con bất kì {i1 , ..., in+1 } của {1, ..., q} bất đẳng thức
1
[K : Q]
ε

log
υ∈S 1 j n+1

1
Lυ;ij (x)

υ

1

log{max max { xi υ }}
υ∈S 0 i n
[K : Q]

(2.9)

εh(x) + cε
đúng với mọi điểm x = [x0 , ..., xn ] ∈ Pn (K) −

ε log c
[K : Q]
là ở vị trí

L. Ở đây cε =
L∈J

là độc lập với x và {i1 , ..., in+1 }. Do các siêu phẳng Lυ;1 , ..., Lυ;q

tổng quát, tồn tại hằng số c0 (phụ thuộc vào các siêu phẳng) sao cho với
mỗi υ và với mọi x,
9


#{i|

Lυ;i (x) υ
Lυ;i υ max xj

c0 }

n.

υ

0 j n

Từ đó S là hữu hạn, c0 có thể chọn là không phụ thuộc vào υ ∈ S. Như
vậy tồn tại hằng số c1 (không phụ thuộc vào x) và các tập con Iυ,x của
{1, ..., q} với #Iυ,x

n + 1 sao cho

1
[K : Q]
1
[K : Q]

(n + 1) Lυ;i
log

υ

max xj

Lυ;i (x)

υ∈S 1 i q

(n + 1) Lυ;i
log

υ

υ

max xj

0 j n

Lυ;i (x)

υ∈S i∈Iυ;x

υ

0 j n

υ

+ c1

υ

với mọi x. Bởi bất đẳng thức trên (và định nghĩa của hàm Weil) ta có
λυ,Lυ,i (x)

λυ,Lυ,i (x) + c1
υ∈S i∈Iυ,x

υ∈S 1 i q

max
I

λυ,Lυ,i (x) + c1
υ∈S i∈I

ở đây I có phạm vi trên tất cả các tập con của {1, ..., q} với #I

n + 1.

Bởi (2.8), (2.9) và định nghĩa của chiều cao tuyệt đối, ta có với x = 0
1
[K : Q]

log max xj
υ∈S

0 j n

υ

h(x) + c2

(2.10)

trong đó c2 là hằng số chỉ phụ thuộc vào K. Bây giờ (2.9) và (2.10) kéo
theo rằng
λυ,Lυ,i (x)
υ∈S 1 i q

εh(x) +

n+1
[K : Q]

1
+
max
[K : Q] I

log max xj
0 j n

υ∈S

log Lυ;i
υ∈S i∈I

(n + 1 + ε)h(x) + c4
10

υ

υ

+ c3


đúng với mọi điểm x ∈ Pn (K) −

L. Ở đây các hằng số c3 = c2 + cε và
L∈J

c4 = max
I

1
log Lυ;ij
[K : Q] υ∈S i∈I

υ

+ c3

là độc lập với x, maximum được lấy trên tất cả các tập con của {1, ..., q}
với #I

n + 1. Từ đó h(x) là không bị chặn, hằng số c4 có thể bị hấp thụ

bởi hữu hạn các siêu phẳng ngoại lệ.
Bởi định nghĩa của hàm xấp xỉ (2.5), ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.4. Cho {Li |1

i

q} là các dang tuyến tính (các siêu phẳng

trong Pn ) của (n + 1) - biến số, ở vị trí tổng quát. Khi đó với ε > 0 bất kì
tồn tại tập hữu hạn J các siêu phẳng của Pn (K) sao cho bất đẳng thức

m(x, Li )

(n + 1 + ε)h(x)

1 i q

đúng với mọi điểm x ∈ Pn (K) −

L.
L∈J

Chứng minh. Dễ dàng thay thế
Lυ;i (x) υ
(n + 1) Lυ;i υ max xj
0 j n

υ

bởi
Li (x) υ
(n + 1) Li υ max xj
0 j n

υ

trong chứng minh trên ta sẽ được điều cần chứng minh.

2.2

Trọng số Nochka

Định nghĩa 2.5. Cho V là một không gian véc tơ trên F (trường có đăc
số 0) với số chiều (trên F) là k + 1, ta kí hiệu V ∗ là đối ngẫu của V. Với
11


1

k

n < q, tâp hợp các véc tơ khác không A = {υ1 , ..., υq } trong V ∗

được gọi là ở vị trí n - dưới tổng quát nếu không gian xạ ảnh sinh bởi n + 1
phần tử bất kì (phân biệt) của A là V ∗ . Nếu n = k thì khái niệm này trùng
với khái niệm ở vị trí tổng quát.
Nhận xét 2.6.
(i) Rõ ràng rằng {υ1 , ..., υq } là ở vị trí n - dưới tổng quát nếu {α1 υ1 , ..., αq υq }
là ở vị trí n - dưới tổng quát trong đó mỗi αj là một đơn vị của F (nghĩa
là αj ∈ F − {0}). Kí hiệu P(V ∗ ) là không gian xạ ảnh của V ∗ . Khi đó
các phần tử của P(V ∗ ) được đồng nhất với các siêu phẳng của không
gian xa ảnh P(V ). Tập hơp các siêu phẳng {aj ∈ P(V)|1

j

q}

được gọi là ở vị trí n - dưới tổng quát nếu {υ1 , ..., υq } là ở vị trí n dưới tổng quát ở đây υj ∈ V ∗ thỏa mãn P(υj ) = aj . Với n = k khái
niệm này trùng với khái niệm của siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
(ii) Nếu m < q, A = {υ1 , ..., υq } là ở vị trí n - dưới tổng quát thì nó cũng
là ở vị trí m - dưới tổng quát với mọi m

(iii) Cho {bj ∈ P(W ∗ )|1

j

n.

q} là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát,

trong đó W là một không gian véc tơ trên F với số chiều k + 1, thì
A = {aj = bj ∩ P(V ∗ )|1

j

q} là tập các siêu phẳng trong P(V ),

không nhất thiết ở vị trí tổng quát nhưng phải ở vị trí n - dưới tổng
quát. Giả sử tập hợp các véc tơ khác không A = {υ1 , ..., υq } trong V ∗
ở vị trí n - dưới tổng quát và tập con khác rỗng B của A, kí hiệu:
d(B) = chiều của không gian tuyến tính sinh bởi B

12

(2.11)


và chỉ số độc lập của B được xác định như sau
0 < i(B) =
Ta luôn có d(B)

1.

(2.12)

k + 1. Bởi định nghĩa của vị trí dưới tổng quát,

bất kì tập B với #B
k+1−p

d(B)
#B

n + 1, ta có #B = n + 1 − p thỏa mãn

d(B). Như vậy nếu #B
#B

n + 1 thì

d(B) + n − k.

(2.13)

Với mọi tập con B của A điểm liên kết
P (B) = (#B, d(B))
nằm trong mặt phẳng. Chú ý rằng sơ đồ B −→ P (B) không phải
là duy nhất. Tập hợp các điểm {P (B)|A ⊇ B} được gọi là biểu đồ
Nochka của A.
Xét các điểm O = (0, 0), U = (n − k, 0), V = (n + 1, k + 1),
2n − k + 1 k + 1
,

) và X = (2n − k + 1, k + 1), sao cho W là
W =(
2
2
giao điểm của đoạn U V và đoạn OX. Bởi giả thiết ở vị trí dưới tổng
quát, các điểm của biểu đồ Nochka với #B

n + 1 nằm trên đường

thẳng d(B) = k + 1 (nghĩa là chúng nằm trên đường nằm ngang đi
qua V , và phía bên phải V ). Mặt khác, bởi (2.13) các điểm của biểu
đồ Nochka với #B

n + 1 nằm ở phía trên đường thẳng qua U và V.

Mệnh đề 2.7. Cho A = {υ1 , ..., υq } là tập các véc tơ trong V ∗ ở vị trí
n-dưới tổng quát. Khi đó tồn tại duy nhất dãy sắp thứ tự các tập con của
A:
13


Hình 2.1: Biểu đồ Nochka

A ⊃ Bs ⊃ Bs−1 ⊃ ... ⊃ B1 ⊃ B0 = ∅
thỏa mãn các tính chất sau đây. Với Pi = P (Bi )(i = 1, ..., s) và P0 = O.
Khi đó
(i) σ(Pi−1 , Pi ) < σ(Pi−1 , X)(1

i

s) trong đó σ kí hiệu độ nghiêng của

đường thẳng được chỉ ra,
(ii) σ(O, Pi ) < σ(O, X) với 1
(iii) σ(Pi−1 , Pi ) < σ(Pi , Pi+1 )(1

i

s,
i

s) trong đó tập Ps+1 = X,

(iv) Cho A là tập hơp các tập con B với #B
giả sử Ai là tập các B ∈ A với Bi
σ(Pi , Pi+1 )
14

n + 1 và với 0

B. Khi đó
σ(Pi , P (B))

i

s,


với bất kì B ∈ Ai , bất đẳng thức luôn đúng nếu i < s và B ∈ Ai+1 .
Chứng minh. Xây dựng các tập Bj bằng quy nạp. Giả sử B0 , ..., Bj đã được

xây dựng thì theo giả thiết quy nạp,(i) và (ii) là thỏa mãn với mọi 1
(điều kiện này là ∅ nếu j = 0), (iii) và (iv) là thỏa mãn với 1
kiên này là ∅ nếu j
Nếu σ(Pj , P (B))

i

j

i < j (điều

1).
σ(Pj , X) với mọi B trong Ai , nghĩa là (iv) là thỏa

mãn với i = j. Xét j = s. Bởi (i) của của giả thiết quy nạp, ta có
σ(Ps−1 , Ps ) < σ(Ps−1 , X). Điều này dẫn đến σ(Ps−1 , Ps ) < σ(Ps , X) (xét
tam giác Ps−1 Ps X), nó là (iii) với trường hợp i = j = s. Bây giờ ta có thể
giả sử rằng tồn tại B trong Aj sao cho
σ(Pj , P (B)) < σ(Pj , X).

(2.14)

Cho σj = min {σ(Pj , P (B))} và Mj = {B ∈ Aj |σ(Pj , P (B)) = σj }. Nếu
B∈Aj

B ∈ Aj thì σ(Pj , P (B)) < σ(Pj , X) và bởi (ii) ta cũng có σ(O, Pj ) <
σ(O, X). Điều kiện này gắn với chú thích ở trước mệnh đề hệ quả là
P (B) nằm trong tam giác OU W , nhưng không nằm trên đoạn OW . Do đó
d(B) < (k + 1)/2. Bây giờ ta cần chỉ ra rằng nếu B và C nằm trong Mj thì
B∪C cũng nằm trong Mj . Trước tiên, từ đó d(B∪C)

d(B)+d(C) < k+1,

ở vị trí dưới tổng quát dẫn đến rằng #(B ∪ C) < n + 1. Như vậy B ∪ C là
nằm trong Aj . Ta có
d(B ∪ C) − d(Bj = d(B) + d(C) − d(B ∩ C) − d(Bj )
= d(B) − d(Bj ) + d(C) − d(Bj ) − d(B ∩ C) + d(Bj )
σj {#(B) − #(Bj ) + #(C) − #(Bj ) − #(B ∩ C) + #(Bj )}
= σj {#(B ∪ C) − #(Bj )},
15


nghĩa là σ(Pj , P (B ∪ C))

σj . Như vậy B ∪ C ∈ Mj đáp ứng yêu cầu.

Bây giờ xác định Bj+1 là hợp của các tập trong Mj . Từ đó dẫn đến
Bj+1 ∈ Mj . Bằng xây dựng, σj = σ(Pj , Pj+1 )

σ(Pj , P (B)) với mọi

B trong Mj . Chú ý rằng bất đẳng thức luôn đúng nếu B ∈ Mj+1 . Như
vậy (iv) được kiểm nghiệm với i = j. Bởi giả thiết (3.4), σ(Pj , Pj+1 ) =
σ(Pj , P (Bj+1 )) < σ(Pj , X) sao cho (i) được kiểm nghiệm với i = j + 1.
Liên kết điều này với σ(O, Pj ) < σ(O, X) (bằng phương pháp quy nạp,
(ii) đúng với i

j) dẫn đến rằng điểm Pj+1 nằm dưới đường thẳng OX.

Do đó σ(O, Pj+1 ) < σ(O, X) là (ii) với i = j + 1. Từ (iv) với i = j − 1

và B = Bj+1 ta có σ(Pj−1 , Pj ) < σ(Pj−1 , Pj+1 ). Điều này dẫn đến rằng
σ(Pj−1 , Pj ) < σ(Pj , Pj+1 ) (bởi xét trong tam giác Pj−1 Pj Pj+1 ). Như vậy
(iii) được kiểm nghiệm với i = j. Đến đây hoàn thành các bước quy nạp.
Từ đó cấc tập B0 , B1 , ... là dãy tăng thực sự và A là tập hữu hạn, xây dựng
trên kết thúc sau một số hữu hạn bước, kết thúc chứng minh của mệnh đề.
Dãy {Bi } các tập con của A, xây dựng trong mệnh đề trước, giả sử
tăng lên đa giác trong mặt phẳng được gọi là đa giác Nochka của A,
{O = P0 , P1 = P (B1 ), ..., Ps = P (Bs ), Ps+1 = X} với OP1 , P1 P2 , ..., Ps−1 Ps ,
Ps Ps+1 là các đoạn thẳng. Nếu tập Bs+1 = A thì

(B1 − B0 ) ∪ (B2 − B1 ) ∪ ... ∪ (Bs − Bs−1 ) ∪ (A − Bs ) = A
là sự phân chia của A. Nếu phần tử a ∈ A nằm trong Bi+1 − Bi (0

i

s),

ta gán nó với trọng số Nochka
ω(a) = σi = σ(Pi , Pi+1 ) = độ nghiêng của đoạnPi Pi+1 .
Ý nghĩa của trọng số Nochka là giả thiết của đinh lí sau đây.
16

(2.15)


Định lý 2.8. (Nochka-Chen) Với các giả thiết và kí hiệu ở trên, ta có
(i)

k+1
2n − k + 1

(ii) 0

ω(a)

σs

k+1
,
n+1

σs với a ∈ A,

ω(a) = k + 1 + σs (#A − 2n + k + 1),

(iii)
a∈A

(iv) Với bất kì tập con B của A với #B
ω(a)

n + 1,
d(B).

a∈A

Chứng minh. Do Ps nằm dưới đường thẳng OX, σs = σ(Ps , X) > σ(O, X) =
(k + 1)/(2n − k + 1). Thực ra Ps nằm trong tam giác OU W , như vậy
σ(Ps , X)

σ(U, X) = (k + 1)/(n + 1). Như vậy (i) được kiểm nghiệm.

Tính chất (ii) được rút ra trực tiếp từ (iii) của mệnh đề trước. Với chứng
minh của (iii), tập Bs+1 = A, ta có
σi (#Bi+1 − #Bi ) =

ω(a) =
a∈A

0 i s

{d(Bi+1 ) − d(Bi )} + σs (#A − #Bs ) = d(Bs ) + σs (#A − #Bs ).
0 i s−1

Bởi định nghĩa,
σs = σ(Ps , X) =

k + 1 − d(Bs )
2n − k + 1 − #Bs

(2.16)

Do đó d(Bs ) = k + 1 − σs (2n − k + 1 − #Bs ). Hệ quả phép thế (iii). Với
(iv) ta xét hai trường hợp (a) #(B ∪ Bs )

n + 1, (b) #(B ∪ Bs ) < n + 1

tách biệt nhau.
Nếu #(B ∪ Bs )

n + 1, thì ở vị trí dưới tổng quát dẫn đến
k+1

d(B ∪ Bs ).

Bởi tính chất (ii), trọng số Nochka thỏa mãn σs−1 ω(a)
17

(2.17)
1. Như vậy


ω(a)

σs #B.

a∈B

Từ đó #B

n + 1, áp dụng (2.13). Ta có, #B

d(B) + n − k. Như vậy

σs {d(B) + n − k} = d(B)σs {1 +

ω(a)
a∈B

Từ (2.17), k + 1

n−k
}.
d(B)

d(B) + d(Bs ) sao cho
d(B)σs {1 +

ω(a)
a∈B

n−k
}
k + 1 − d(Bs )

n + 1 − d(Bs )
k + 1 − d(Bs )
2n − k + 1 − #B
d(B)σs
k + 1 − d(Bs )

= d(B)σs

= d(B)
Bây giờ ta giả sử rằng #(B ∪Bs ) < n+1. Khi đó tập Bi+1 = Bi ∪(B ∩Bi+1 )
chứa Bi và #Bi+1

#(B∪Bs ) < n+1 với mọi i. Nó dẫn đến rằng Bi+1 ∈ Ai

và bởi phần (iv) của mệnh đề trước,

σ(Pi , P (Bi+1 )) =

σi = σ(Pi , Pi+1 )

d(Bi ∪ (B ∩ Bi+1 )) − d(Bi )
.
#(Bi ∪ (B ∩ Bi+1 )) − #(Bi )

Từ đó Bi+1 chứa Bi , ta có
#(Bi ∪ (B ∩ Bi+1 )) − #(Bi ) = #(B ∩ Bi+1 ) − #(B ∩ Bi )
và
d(Bi ∪ (B ∩ Bi+1 ) − d(Bi )

d(B ∩ Bi+1 ) − d(B ∩ Bi ).

Như vây
σi

d(B ∩ Bi+1 ) − d(B ∩ Bi )
.
#(B ∩ Bi+1 ) − #(B ∩ Bi )

18


Khi đó tổng của các trọng số Nochka có thể được đánh giá dễ dàng như
sau:
σi #(B ∩ Bi+1 ) − #(B ∩ Bi )

ω(a) =

a∈B

0 i s

d(B ∩ Bi+1 ) − d(B ∩ Bi )
0 i s

= d(B ∩ Bs+1 )
= d(B).

Nhận xét 2.9. Nếu n = k (cụ thể, ở vị trí tổng quát) thì σs = 1 và
ω(a) = 1 với mọi a.

2.3

Định lí cơ bản thứ hai với trọng số

Cho K, S và MK là được định nghĩa trong lời giới thiệu. Sử dụng trong số
Nochka, kết quả của bài 1 có thể được mở rộng từ trường hợp ở vị trí tổng
quát sang trường hợp ở vị trí dưới tổng quát. Trước tiên ta cần bổ đề kĩ
thuật là hệ quả của các tính chất của trọng số Nochka (định lí 2.8).
Bổ đề 2.10. Cho V là một không gian véc tơ trên F (trường có đặc số 0)
có số chiều k + 1, ta kí hiêu V ∗ là đối ngẫu của V và cho A = {υ1 , ..., υq }
là môt hệ các siêu phẳng của Pk ở vị trí n - dưới tổng quát với điều kiện
là 1

k

n < q. Cho E1 , ..., Eq là dãy các số thực với Ej

j. Khi đó bất kì tập con B của A với 0 < #B

1 với mọi

n + 1, tồn tại tập con C

của B sao cho {υj |υj ∈ C} là một cơ sở của không gian xạ ảnh sinh bởi
{υi |υi ∈ B} và
ω

υj ∈B

Ej j

Ei
υj ∈C

19


trong đó {ωj = ω(υj )|1

j

q} là các trọng số Nochka liên kết với A.

Chứng minh. Để không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
1

Eq

Eq−1

...

E1 . Xác định một dãy tăng các tập con của B

như sau. Đặt i1 = min {i|υi ∈ B} và I1 = {υi ∈ B|υi là bội của υi1 }. Nếu
B − I1 = ∅, chọn υi2 ∈ B − I1 sao cho i2 = min {i|υi ∈ B − I1 } và xác
định I2 = {υi ∈ không gian xạ ảnh sinh bởi υi1 và υi2 } . Theo quy nạp,
nếu Ij−1 là xác định và nếu B − Ij−1 = ∅, chọn υij ∈ B − Ij−1 sao cho
ij = min {i|υi ∈ B − Ij−1 } và xác định Ij = {υi ∈ B|υi ∈ không gian xạ
ảnh sinh bởi υi1 , ..., υij−1 }. Quá trình này dừng tai Ip ở đây p = số chiều
không giạn xạ ảnh sinh bởi B. Rõ ràng rằng Ip ⊇ Ip−1 ⊇ ... ⊇ I1 và
ip

ip−1

...

i1 . Tập C = υi1 , ..., υip

B. Tập I0 = ∅, thì B =

có bởi xây dựng một cơ sở của

(Ij − Ij−1 ) là hợp rời. Từ đó Eq

...

E1 , ta

1 j p

có bởi xây dựng Eij =
υi ∈B

max

υi ∈Ij −Ij−1

Eiωi =

trong đó αj =

Ei . Như vậy

1 j p υi ∈Ij −Ij−1

α

Eiωi
1 j p

Eij j

ωi . Từ đó các tập Ij là tăng, với bất kì 1

r

p,

υi ∈Ij −Ij−1

phần (iv) của định lí 2.2 dẫn đến rằng
αj =
1 j r

ωi =
1 j r υi ∈Ij −Ij−1

ωi

d(Ir ) = dimspanIr = r.

(2.18)

υi ∈Ir

Tiếp tục thấy rằng
α

1 j p

Eij j

Eij .
1 j p

Đến đây dễ dàng kiểm tra bằng quy nạp trên p. Với p = 1, α1

(i) và (ii) của định lí 2.8) và từ đó E1

1, ta có E1α1

sử rằng bất đẳng thức là đúng với p = k. Do αk+1

1 (bởi phần

E1 tầm thường. Giả
k +1−

αj
1 j k

và (2.18), ta có
20

k +1