50 bài tập Tổng hợp dao động hay và khó trong DĐĐH có lời giải chi tiết

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP VẬT LÝ 12
CHỦ ĐỀ :
PHẦN I : CỦNG CỐ LÝ THUYẾT
1. Độ lệch pha giữa hai dao động :
 Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình dao động lần lượt :
x1  A1cos t 1 ;x
 2 A cos
2


t  2



 Độ lệch pha giữa hai dao động :   2  1
 Nếu  > 0 dao động 2 nhanh pha hơn dao động 1
 Nếu  < 0 dao động 2 trễ pha hơn dao động 1
 Nếu  = 0 dao động 2 cùng pha với dao động 1
 Nếu   


dao động 2 vuông pha với dao động 1.
2

2. Phương pháp giản đồ Fresnen (Phương pháp giản đồ vec tơ quay):
Để biểu diễn dao động điều hòa x  A cos  t  
Lấy trục Ox theo phương ngang l{m chuẩn.

y

M

Vẽ vec tơ OM có :
φ

- Điểm đặt : tại O
- Vec tơ OM hợp với trục Ox một góc φ

x

O

- Độ lớn : OM = A
Lưu ý :
φ > 0 vẽ OM trên trục Ox, φ < 0 vẽ OM dưới trục Ox, φ = 0 vẽ OM trùng với trục Ox.
3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số :

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A

y
A2

φ2

φ

A1
φ1

x

O

Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình dao động lần lượt :
x1  A1cos t 1 ;x
 2 A cos
2


t  2

 . Tìm phương trình dao động tổng hợp.

 Phương trình dao động tổng hợp : x  Acos t  
 Biên độ dao động tổng hợp
A2  A12  A22  2A1A2 cos  2  1 



 Pha ban đầu của dao đông tổng hợp
tan  

A1 sin 1  A 2 sin 2
A1 cos 1  A 2 cos 2

 Phương pháp 1: Phương ph|p hình học
Tính   2  1
a. Nếu   0 thì: A = A1 + A2   1  2
b. Nếu    thì:
A  A1  A 2 ;    1 nếu A1 > A2;    2 nếu A1 < A2

2

c.    : A  A12  A22
d. A1 = A2: A  2A 1cos


2

 Phương pháp 2: Phương ph|p hình chiếu
A  A1  A2
 A x  A1cos1  A 2cos2  ...  A n cos n
A y  A1 sin 1  A 2 sin 2  ...  A n sin n

Chiếu lên Ox v{ Oy: 

Khi đó: A  A 2x  A 2y ; tan  

Ay

Ax

Vẽ giản đồ vectơ dựa trên giản đồ x|c định gi| trị của φ
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chú ý: Với b{i to|n từ 3 dao động th{nh phần trở lên ta dùng phương ph|p 2 rất tiện lợi v{ hiệu quả.

PHẦN II: 50 BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ LỜI GIẢI MINH HỌA
Bài 1: Một vật có khối lượng m = 500g thực hiện đồng thời hai dao động điều ho{ cùng phương có phương
trình dao động lần lượt l{: x1 = 3cos(5  t)cm; x2 = 5cos(5  t)cm.
a. Tìm phương trình dao động đổng hợp
b. Tính lực kéo về cực đại t|c dụng v{o vật.
c. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = 4cm lần thứ 2011.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có   0 nên:

A = A1 + A2 = 8 cm

Vậy: phương trình dao động tỏng hợp l{ : x = 8cos(5  t)cm
b. Lực kéo về cực đại t|c dụng lên vật : Fmax  m 2A  1N.
c. Sử dụng vòng trong lượng gi|c : Chu kỳ dao động T 

2
 0, 4s


M

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí M :
Ta có cos 

α

x 1

 1
     t1   s
A 2
3
 15

M0

Thời điểm vật qua ly độ x = 4cm lần thứ 2021
t  1005T  t1  412,067s

Bài 2: Vật có khối lượng m = 200g thực hiện đồng thời hai dao đồng điều ho{ cùng phương cùng tấn số có





phương trình dao động lần lượt : x1  4cos t   cm, x 2  5cos  t   cm . Biết biên độ dao động tổng
6


hợp cực đại.
a. Tìm  , viết phương trình dao động tổng hợp khi đó.
b. Tính năng lượng dao động, x|c định vị trí tại đó động năng bằng 3 lần thế năng.
c. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = - 4,5cm lần thứ 40.
Hướng dẫn giải:
a. Để phương trình dao động tổng hợp đạt gi| trị cực đại thì hai dao động th{nh phần phải cùng pha. do đó



, A = A1 + A2 = 9cm
6






Phương trìn dao động tổng hợp: x  9cos  t   cm
6
W: www.hoc247.net



F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
2

b. Năng lượng dao động l{: W  m2 A 2 = 8.10–3J
W  Wđ  Wt
1
1
A
 W  4Wt  kA 2  4. kx 2  x    4,5cm
2
2
3
 Wđ  3Wt

Ta có: 

c. Sử dụng vòng tròn lượng gi|c:

M1
M0
α

x

M2

Thời điểm đầu tiên vật qua ly độ x = - 4,5cm vật ở M1:
cos 

x
A



 1
1


    1           t1  1  s
2
3
2

2

Thời điểm cuối cùng vật ở M2:
2  2 

2 2
2
 t2 
 s
3


3

Thời điểm vật qua ly độ x - - 4,5cm lần thứ 40 l{:
t  t1  t 2  19T 

1 2
  18.2  37,17s
2 3

Bài 3: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều ho{ cùng phương, biểu thức có dạng:
2 



x1  3 cos  2t   cm, x 2  cos  t 
 cm .
3 
6



a. Tìm phương trình dao động tổng hợp
b. Tính vận tốc của vật nặng tại li độ x = 2cm
c. X|c định thời điểm vật qua ly độ x =  3cm lần 2012 theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: x  x1  x 2  A cos  t   .
A  A12  A22  2A1A2 cos  2  1   2cm

tan  

W: www.hoc247.net

A1 sin 1  A 2 sin 2

 3
A1 cos 1  A 2 cos 2
3

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vậy:



x1  2cos  2t   cm
3


b. Vận tốc của vật tại ly độ x = 2cm
x2
v2


 1  v   A 2  x 2   12,57cm/s
A 2 2 A 2
M0

c. Sử dụng vòng tròn lượng gi|c:

M1

Thời điểm đầu tiên vật qua ly độ x =  3cm theo chiểu dương l{ qua M2, ta có:
cos 

x
 5
3

5

           
 t1 
 s
A
2
6
6
 12

φ
α
M2

Thời điểm vật qua ly độ x =  3cm lần 2012 theo chiều dương l{:
t  t1  2011T  2011,42s

Bài 4: Một vật có khối lượng m = 200g thực hiện đồng thời hai dao động điều ho{ cùng phương




x1  5cos  2t   cm, x 2  2cos  t   cm .
3
3



a. Tính gia tốc của vật tại thời điểm t = 0,25s. Lấy 2  10
b. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = 3,5cm lần thứ 20 theo chiều }m.
c. Tính vận tốc của vật nặng khi vật có gia tốc 10cm/s2
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp:


x  7 cos  2t  
3








Gia tốc: a  2 x  2 7 cos  2t    282 .cos  140 3 cm/s2.
3
6


b. Xử dụng vòng tròn lượng gi|c:
M1

Thời điểm đầu tiên vật qua ly độ x = 3,5cm theo chiều }m vật ở M1:
cos 

x 1

2
 1
          
 t1 
 s
A 2
3
3
 3

Thời điểm vật qua ly độ x = 3,5cm lần thứ 20 theo chiều }m l{:

φ
M0

t  t1  19T  19,33s

c. Ta có hệ thức liên hệ:

α

v2
a2
a2
2 2


1

v



A

  44,2cm/s
2 A 2 4 A 2
2

Bài 5: Một vật có khối lượng m = 400g tham gia đồng thời hai dao động điều ho{ cùng phương có phương

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai










trình dao động lần lượt x1  4cos  5 2t   cm, x 2  A2 cos 5 2t   cm . Biết độ lớn vận tốc của vật tại
2


thời điểm động năng bằng thế năng l{ 40cm/s.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tính năng lượng dao động, viết biểu thức của động năng v{ thế năng theo thời gian.
c. Tính vận tốc của vật nặng tại đó động năng bằng 3 lần thế năng.
Hướng dẫn giải:
1
2

1
2

a. Khi động năng bằng thế năng: 2Wđ  W  2. mv2  m2 A 2  A 

v
2  8cm


Hai dao động th{nh phần vuông pha: A  A12  A22  A2  A2  A12  4 3cm
Dựa v{o giản đồ véc tơ   



Vậy : x1  4 3 cos  5 2t 

7
6

7 
 cm
6 
1
2

b. Năng lượng dao động của vật l{: W  m2 A 2  0,048J



Biểu thức của động năng: Wđ  W sin 2  t    0, 048sin 2  5 2t 



Biểu thức của thế năng: Wt  Wcos 2  t     0, 048cos 2  5 2t 

7 
J
6 

7 
J
6 

c. Ta có:
W  Wđ  Wt 

4
1
4 1
A 3
Wđ  m2 A 2  . mv 2  v  
 42, 43 cm/s
3
2
3 2
2

Bài 6: Một vật có khối lượng m = 200g đồng thời thực hiện hai dao động điều ho{ cùng phương, cùng tần số có





phương trình dao động lần lượt x1  6cos  5t   cm, x 2  6cos  5t  cm .
2


a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tính thế năng của vật tại thời điểm t = 1s. Lấy 2  10
c. Tính qu~ng đường vật nặng đi được trong khoảng thời gian t = 2s.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A cos  t  
Biên độ: A  A12  A22  2A1A2cos  2  1   6 2cm

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Pha ban đầu: tan  

A1 sin 1  A 2 sin 2

 1    
A1cos1  A 2cos2
4






Phương trình dao động tổng hợp x  6 2 cos  5t   cm (1)
4




x  6 2 cos  5    6cm
4


b. Tại thời điểm t = 1s:
1
2

1
2

Thế năng của vật: Wt  kx 2  m2 x 2  0, 09J
c. Ta có: T 

2
t
 0, 4s 
 25

0,5T

Vậy qu~ng đường vật đi được trong thời gian t = 2s l{ s = 25.2A = 424,26cm





Bài 7: Cho hai dao động điều cùng phương cùng tần số góc có phương trình lần lượt l{ x1= 2cos t   cm;
2


x 2  2cos  t   cm . Một vật thực hiện đồng thời hai dao động trên .

a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = 2 2 cm lần thứ 100.
c. Tính qu~ng đường vật năng đi được trong thời gian 10,25s
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = Acos  t  cm (1)
Ta có: A = A 2x  A 2y = 2 2 ; tan  
Biện luận  Chọn  =

Ax

3
= -1   =
hoặc  = .
Ay
4
4

3
3 

rad. Vậy phương trình dao động tổng hợp l{ x  2 2cos  t   cm
4
4 


b. Sử dụng vòng tròn lượng giác:

M1
O
M0

Thời điểm đầu tiên vật qua M1: t1 

T 1
 s
4 2

Trong mỗi chu kỳ vật qua vị trí biên dương chỉ một lần. Vậy lần thứ 100
t  t1  99T  198,5s.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

c. Lập tỉ số:

t
 10,25
0,5T

Do đó: s1  10.2A  20A
Qu~ng đường vật đi trong thời gian t1  0,5T,0, 25  0,25s  1  t1 


 s2  A
4

Vậy qu~ng đường tổng cộng m{ vật đi được l{ s = s1 = s2 = 21A = 42 2 cm
Bài 8: Cho ba dao động điều cùng phương cùng tần số góc có phương trình lần lượt l{






x1  4cos  20t   cm ; x 2  2 3cos  20t   cm ; x 3  8cos  20t   cm .
6
3
2





Một vật thực hiện đồng thời ba dao động trên.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp
b. Tính vận tốc của vật nặng tại ly độ x = 4cm.
c. X|c định vị trí của vật nặng tại đó động năng bằng thế năng.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  x3  A cos  t   (1)
Chiếu (1) lên Ox, Oy ta có:

6


3


6

Ax = A1sin + A2 sin - A3 = - 3cm; Ay = A1cos + A2cos
Ta có: A = A 2x  A 2y = 6cm; tan  
Biện luận  Chọn  =
b. Từ hệ thức liên hệ:


= 3 3 cm
3

Ax

5

1
=
hoặc φ=
 =
Ay
6
6
3




rad  x  6cos  20t   cm
6
6


x2
v2

 1  v   A 2  x 2   281cm/s
A 2 2 A 2

c. Ta có:
W  Wđ  Wt  2Wt 

1 2
1
A
kA  2 kx 2  x  

 3 2cm / s
2
2
2

Bài 9: Cho bốn dao động điều cùng phương cùng tần số góc có phương trình lần lượt l{:




x1  10cos  20t   cm ; x 2  6 3cos  20t  cm , x 3  4 3cos  20t   cm ;
3
2


2 

x 4  10cos  20t   cm . Một vật có khối lượng m  500g thực hiện đồng thời bốn dao động trên.
3 


a. Tìm phương trình dao động tổng hợp .

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 8

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b. X|c định lực kéo về t|c dụng v{o vật tại thời điểm t = 0.
c. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = - 3 6 cm lần thứ 9.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  x 3  x 4  A cos  t  
Chiếu (1) lên Ox, Oy ta có:

3


3


3


3

Ax = A1sin - A3 + A4 sin = 6 3 ; Ay = A1cos + A2 -A4 cos = 6 3
Ta có: A = A 2x  A 2y = 6 6 ; tan  
Biện luận  Chọn  =

Ax

3
= 1   = hoặc   
Ay

4
4




rad  x  6 6cos  20t   cm
4
4



b. Tại thời điểm t = 0: x  6 6cos    10,4cm.
4
Do đó lực kéo về l{: F  m2 x  -205,3N
Vậy lực kéo về ngược chiều dương v{ có độ lớn 205,3N.
c. Sử dụng vòng tròn lượng gi|c:

M

M0
α

φ

x

v

Thời điểm đầu tiên vật qua M:

cos 

x
A



1

5
 1
             
 t1 
 s
2
3
12
 48

Mỗi chu kỳ vật qua cùng một vị trí hai lần. Do đó lần thứ 9:
t  t1  4T  0,421s.

Bài 10: Cho hai dao động điều ho{ cùng phương cùng tần số góc có phương trình lần lượt l{


x1  2cos  2t   cm ; x 2  2sin
2





t  cm
2 
 . Một vật thực hiện đồng thời hai dao động trên.
2


a. Tìm phương trình dao động tổng hợp .

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b. X|c định gia tốc của vật tại ly độ 2cm.
c. Tính qu~ng đường chất điểm đi được từ thời điểm t1 = 4,25s đến thời điểm t2 = 4,375s
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = Acos(2 t   ) (1)
Chiếu (1) lên Ox, Oy ta có:
Ax = A1x + A2x = A1 = 2; Ay = A1y + A2y = 0 – A2 = -2
A = A 2x  A 2y = 2 2  tg 
Biện luận  Chọn  

Ay

Ax

= -1    


3
hoặc   .
4
4

3
3 

rad  x  2 2 cos  2t  
4
4 


b. Gia tốc của vật x|c định bởi: a  2 x  -78,96cm/s2, gia tốc ngước chiều dương
Ta có:
t1
T
 8,5  s1  8.2A  16A . Trong khoảng thời gian t  0,5T.0,5   s 2  A  s  s1  s 2  17A
4
0,5T
t2
3
 8, 75  s1,  8.2A  16A . Trong khoảng thời gian t ,  0,5T.0, 75  0,375s    t , 
4
0,5T





A 2

Qu~ng đường vật đi trong khoảng thời gian n{y l{ s,2  A  A 1  cos   2A 
4
2


Suy ra qu~ng đường chất điểm đi được từ thời điểm t1 = 4,25s đến thời điểm t2 = 4,375s là:
s  s,  s  18A 

A 2
A 2
= 0,828cm
 17A  A 
2
2

Bài 11: Cho ba dao động điều cùng phương cùng tần số góc có phương trình lần lượt l{:






x1  4cos  20t   cm ; x 2  2 3cos  20t   cm ; x 3  8cos  20t   cm . Một vật thực hiện đồng

6
3
2




thời ba dao động trên.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp .
b. X|c định thời điểm vật qua vị trí x = 3 2 cm lần thứ 8.
c. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ ly độ x = 3cm đến ly độ - 3 2 .
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 + x3 = Acos(20 t   )
Ax = A1cos





+ A2cos = 3 3 cm ; Ay = A1sin + A2 sin - A3 = - 3cm
6
6
3
3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 A = A 2x  A 2y = 6cm; tan  

Ay
Ax




5
1
3
    hoặc  =

3
6
6
3








Biện luận  Chọn    rad  x  6cos  20t   cm
6
6


M1

b. Sử dụng vòng tròn lượng gi|c:
Thời điểm đầu tiên vật qua M1:
cos 

α
φ

x 1


T 1
     1       t1  = s
A 2
3
2
4 40

M0
M2

Thời điểm cuối cùng vật qua M2:
2 1

4
 t2 
 s
3
 15

2  2  2 

Thời điểm vật qua vị trí x = 3 2 cm lần thứ 8:
t  t1  t 2  3T  0,39s

c. Dựa v{o vòng tròn lượng gi|c ta tính được  

7

7
 t min 

s
12
 240

Bài 12: Cho bốn dao động điều cùng phương cùng tần số góc có phương trình lần lượt l{




x1  10cos  20t   cm ; x 2  6 3cos  20t  cm ; x 3  4 3cos  20t   cm ;
3
2




2 

x 4  10cos  20t   cm . Một vật có khối lượng 100g thực hiện đồng thời bốn dao động trên.
3 


a. Tìm phương trình dao động tổng hợp
b. Tính động năng tại thời điểm vật có ly độ 6cm.
c. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = 6 3 cm lần thứ 11.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 + x3 + x4 = A cos  20t  

3


3

Ax = A1cos + A2 - A4 cos = 6 3

3

M0


3

Ax = A1sin - A3 + A4 sin = 6 3

 A = A 2x  A 2y = 6 6 ; tg 


φ

Ay
Ax

=1   =


3
hoặc   
4
4




M



Biện luận  Chọn  = rad  x  6 6 cos  20t   cm
4
4
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net



T: 098 1821 807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b. Động năng: Wđ  m2  A 2  x 2   3,55J
1
2

c. Thời điểm đầu tiên vật ở M:   2  2 

3
3T
 t1 
 0, 075s
4
4

Lần thứ 11: t = t1 + 5T = 0,575s.
Bài 13: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai dao động điều
hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x1  5cos 10t  và x 2  10cos 10t  (x1 và x2
tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tính cơ năng của chất điểm.
c. Tính vận tốc của chất điểm tại đó động năng bằng ba lần thế năng.
Hướng dẫn giải:

a. Phương trình dao động tổng hợp: : x = x1 + x2 + x3 + x4 = A cos 10t  
Hai dao động thành phần cùng pha  A = A1 + A2 = 15 cm.
Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  15cos 10t  cm
1
2

b. Cơ năng của chất điểm là: W  m2 A 2  0,1125J
1
2

1
2

c. Ta có: W  Wđ  Wt  4Wđ  m2 A 2  4 mv2  v  

A
  75cm/s
2

Bài 14: Một vật tham gia đồng thời v{o dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có










phương trình lần lượt là x1  2 cos 100t   cm ; x 2  sin 100 t   cm
6
3




a. Viết phương trình của dao động tổng hợp.
b. Vật có khối lượng l{ m = 100g, tính năng lượng dao động của vật.
c. Tính tốc độ của vật tại thời điểm t = 2s.
Hướng dẫn giải:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 12


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. Ta chuyển x2 về dạng phương trình cosin để tổng hợp:

 





x 2  sin 100t    cos 100t     cos 100t   cm
6
6 2
3




Khi đó hai dao động thành phần có cùng pha ban đầu, áp dụng chú ý ta được:


x  x1  x 2  3cos 100t   cm
3


b. Từ phương trình dao động tổng hợp ở c}u a ta có A = 3cm; ω = 100π (rad/s)
1
2

Năng lượng dao động là: W  m2 A 2  4, 44J










c. Tại thời điểm t = 2s: v  x ,  300 sin  200t    300  200    816, 2cm / s
3
3




Bài 15: Cho hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình


x1  A1cos  4t   cm và
6


x 2  A2cos  4t    cm

Phương trình dao động tổng hợp

x  9cos 4 t   cm . Biết biên độ A2 có giá trị cực đại.

a. Tính giá trị của A1 .
b. Viết phương trình dao động tổng hợp.
c. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0, suy ra tính chất của chuyển động khi đó
Hướng dẫn giải:
a. Vẽ giản đồ vec tơ
y

Dựa vào giản đồ vec tơ. Áp đụng định lý hàm số sin

A2

π/6

A2
A
A sin 
(1)

 A2 

sin  sin 
sin
6
6

Từ (1)  A2max khi α = 900: A 2 

W: www.hoc247.net

α

x

A1
A

A
 2A  18cm
1
2

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Tam giác OAA2 vuông tại A nên ta có:
A12  92  A22  A1  A22  92  9 3cm

b. Dựa vào giản đồ vec tơ:  

  2
 
2 6 3




Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  9cos  4t 



c. Ta có v  x ,  36 sin  4t 

2 
 cm
3 

2 
2 

2
2
 cm / s;a  144 cos  4t   cm / s
3 
3 


khi t = 0: v  18 3cm / s;a  722cm / s 2  a.v  0 chất điểm chuyển động nhanh dần.
Bài 16: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có





phương trình: x1  5cos  t   cm ; x 2  5cos  t  cm .
3


a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tính chất của chuyển động tại thời điểm t = 0.
c. x|c định thời điểm vật qua ly độ x = 5 3 cm lần thứ 20.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A cos  t  
Biên độ: A  A12  A22  2.A1A2 .cos(2  1 ) = 5 3 cm
Pha ban đầu: tan  

A1 sin 1  A 2 sin 2
3



A1 cos 1  A 2 cos 2
3
6





Vậy phương trình dao động tổng hợp l{: x  5 3cos  t   cm
6












b. Ta có: v  5 3 sin  t   cm / s;a  5 32cos  t   cm / s 2
6
6





Tại thời điểm t = 0:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


v  5 3 sin    2,5 3cm / s;
6

a  5 32cos    7,52cm / s 2  a.v  0
6

Do đó tại thời điểm t = 0 vật chuyển động nhanh dần.
c. Sử dụng vòng tròn lượng gi|c:

M0
M

φ


6

Thợi điểm đầu tiên vật ở M:     

5
 5
 t1 
 s
6
 6

Mỗi chu kỳ vật chỉ qua vị trí biên }m một lần. Vậy lần thứ 20:
t = t1 + 19T = 38,83s
Bài 17: Một vật tham gia đồng thời v{o dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có




5 



phương trình lần lượt là x1  A1cos  20t   cm ; x 2  3cos  20t   cm . Biết tốc độ cực đại
6
6 



của vật trong qu| trình dao động là vmax  140cm / s .
a. Tính biên độ dao động A1 của vật.
b. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: vmax  140cm / s  A  A 

140
 7cm
20

 5  
   A12  3A1  40  0
 6 6

Mà: A2  A12  A22  2A1A2cos  2  1   49  A12  9  6A1 cos 
Giải phương trình ta được: A1 = 8cm và A1 = -5cm (loại)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b. Phương trình dao động tổng hợp:

A sin 1  A 2 sin 2
Độ lệch pha: tan   1

A1 cos 1  A 2 cos 2

x  x1  x 2  A cos  t  
1
1
8.  3.
51,8
2
2
 1, 27   
180

3
3
8.
 3.  

2
 2 



Vậy phương trình dao động tổng hợp là x  7 cos  20t 

51,8 
 cm
180 

Bài 18: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều ho{ cùng phương, cùng tần số có





phương trình x1  3cos 10t   cm , x 2  cos 10t    cm . Một vật thực hiện đồng thời hai
2


dao động trên.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tính vận tốc trung bình của chất điểm từ thời điểm ban đầu đến thời điểm đầu tiên
vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
c.Tính vận tốc trung bình của vật trong một chu kỳ dao động.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A cos  t  
Biện độ: A  A12  A22  2.A1A2 .cos(2  1 ) = 2cm
2

   3
A1 sin 1  A 2 sin 2
 3
Pha ban đầu: tan  
A1 cos 1  A 2 cos 2
   

3

Biện luận: Chọn  

2
2 

vậy phương trình dao động là: x  2cos 10t   cm
3
3 


b. Sử dụng vòng tròn lượng giác:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 16


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

M0
α

M

Ta có    

 

2 6

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương vật ở M, do đó qu~ng đường vật
đi được là:
s  A   A  Asin    3cm

Thời gian chất điểm đi tưd M đến M0:
     

5
 1
t
 s
6
 12
s
t

Vận tốc trung bình: v   36cm / s

c. Vận tốc trung bình trong một chu kỳ: v 

4A 2A

 40cm/s.
T


Bài 19: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều ho{ cùng phương, cùng tần số có





phương trình: x1  3cos  20t   cm , x2 = cos( 20 t) cm. Một vật thực hiện đồng thời hai
2


dao động trên.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. X|c định thời điểm vật qua vị trí biên dương lần thứ 51.
c. X|c định thời điểm đầu tiên vật qua li độ x = -1cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A cos  t  

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 17


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Biện độ: A  A12  A22  2.A1A2 .cos(2  1 ) = 2cm
2


   3
A1 sin 1  A 2 sin 2
Pha ban đầu: tan  
 3
A1 cos 1  A 2 cos 2
   

3

Biện luận: Chọn  




vậy phương trình dao động là: x  2cos  20t   cm
3
3


b. Sử dụng vòng tròn lượng giác:
Thời điểm đầu tiên vật qua M1: t1 






M1

1
s
60

α

Mỗi chu kỳ vật qua vị trí biên dương 1 lần, do đó lần thứ 51:

M2

φ
M0

t  t1  50T  5,02s

c. Thời điểm đầu tiên vật qua ly độ x = -1 cm theo chiều dương vật ở M2:
cos 

x
A



1

5
 1
           
 t1 
 s

2
3
3
 12

Bài 20: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng






3 

tần số có c|c phương trình l{: x1  4cos 10t   cm ; x 2  3cos 10t   cm.
4
4 


a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tìm vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
c. X|c định vị trí tại đó động năng bằng 2 lần thế năng.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A cos  t  
Biện độ: A  A12  A22  2.A1A2 .cos(2  1 ) = 5cm

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 18


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Pha ban đầu: tan  

A1 sin 1  A 2 sin 2

A1 cos 1  A 2 cos 2

Vậy phương trình dao động tỏng hợp là:
b. Vận tốc cực đại và gia tốc cực đại: vmax = A = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = A = 500
cm/s2 = 5m/s2.
1
2

1
2

c. Ta có: W  Wđ  Wt  3Wt  kA 2  3 kx 2  x  

A
6

cm
3
3

Bài 21: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động:


x1  2 3cos  2t   cm ,
3






x 2  4cos  2t   cm ; x 3  8cos  2 t   cm .
6
2



Một vật thực hiện

đồng thời 3 dao động trên.
a. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
b. Tìm giá trị vận tốc cực đại của vật.
c. X|c định thời điểm vật qua ly độ x = 3cm lần thứ 20.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A cos  t  
Chiều lên Ox, Oy:




 
A X  2 3cos 3  4 cos 6  8cos   2 



 A  A 2x  A 2y  6cm

 A  2 3 sin   4sin   8sin    


 X
3
6
 2

Pha ban đầu x|c định bởi: tan  

Ay
Ax



1


6
3





Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  6cos  2t   cm
6


b. Vận tốc cực đại của vật: vmax  A  12cm / s

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 19


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

c. Sử dụng vòng tròn lượng giác:

M1

x
φ
M0
M2

Thời điểm đầu tiên vật qua M1:
cos 

x 1



            t1 
 0,25s
A 2
3
2


α

Thời điểm cuối cùng vật qua M2:
2  2  2 

2 2
4
 t2 
 s
3

3

Mỗi chu kỳ vật qua ly độ x = 3cm hai lần. Vậy lần thứ 20:
t  t1  t 2  9T  9,917s

Bài 22:

Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức





x  5 3cos  6t   cm . Dao động thứ nhất có biểu thức là x1  5cos  6t   cm .
3
2



a. Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
b. X|c định vận tốc trung bình của chất điểm từ thời điểm ban đầu đến thời điểm
vật qua ly độ x = 2,5 3cm theo chiều dương của trục tọa độ
c. Biết khối lượng của chất điểm là m = 500g. Tính lực kéo về tác dụng vào chất điểm tại
thời điểm ban đầu, và lực kéo về cực đại.
Hướng dẫn giải:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 20


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  A  A1  A2  A2  A  A1 (1)
Chiều lên Ox, Oy:



A 2X  5 3cos 2  5cos 3
 A  A 2x  A 2y  5cm

 A  5 3 sin   5sin 
 2y
2
3

Pha ban đầu x|c định bởi: tan 2 

A sin   A1 sin 1
2
 3
A cos   A1cos1
3



Vậy phương trình dao động thứ hai là: x 2  5cos  5t 

2 
 cm
3 
M0

b. Sử dụng vòng tròn lượng giác:

β
α


2


6

Ta có      ;cos 

x
A



x

1

    M0 ở ly độ x = - 2,5 3cm
2
3
M

Do đó: s  A; t 

2 2

s
 s  vTB   64,95 cm/s.
 15
t

c. Lực kéo kề cực đại: Fmax  m2 A  10,68N


Tại thời điểm t = 0: x  5 3cos   cm  0  F  0
2
Bài 23: Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với c|c phương










trình: x1  5cos  5t  cm ; x 2  3cos  5t   cm ; x 3  8cos  5t   cm .
2
2




a. X|c định phương trình dao động tổng hợp của vật.
b. Tính vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0.

c. Tính qu~ng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong thời gian t 

T
8

Hướng dẫn giải:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 21


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  x3  A cos  t  
Chiều lên Ox, Oy:


 
A X  5cos0  3cos 2  8cos   2 



 A  A 2x  A 2y  5 2cm

 A  5sin 0  3sin   8sin    



 X
2
 2


 
 8sin   
2
 2   1     
Pha ban đầu x|c định bởi: tan  

4
 
5cos0  3cos  8cos   
2
 2
5sin 0  3sin






Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  5 2 cos  5t   cm
4












b. Ta có: v  25 2 sin  5t   cm / s , v  125 22 cos  5t   cm / s 2 khi t = 0:
4
4




 
 
v  25 2 sin     25cm / s , v  125 22 cos     1233, 7cm / s 2
 4
 4

c. Qu~ng đường lớn nhất mà vật đi được: smax  2A sin




t
 2A sin
 5, 41cm

2
2

Qu~ng đường nhỏ nhất mà vật đi được: smin  2A 1  cos
Bài 24:

 
t 

  2A 1  cos   1,076cm/s
2 
2 


Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cùng phương:





x1  A1cos 10t   cm ; x 2  A 2cos 10t   cm Phương trình dao động tổng
3
2



hợp là

x  5cos 10t   cm .Biết biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất

a. Tính A2max.
b. Viết phương trình dao động tổng hợp.
c. Tính vận tốc của vật năng tại ly độ x = 2,5cm.
Hướng dẫn giải:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 22


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. Ta biểu diễn c|c dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên.

α

A1

A2

φ1
φ
A

Áp dụng định lý hàm số sin:
A sin    1 
A2

A

 A2 
sin    1  sin 
sin 

Vì α, A không đổi để A 2max khi và chỉ khi   1 

A 2max 




    1 
2
2
6

A sin    1  5
  10cm
1
sin 
2






b. Phương trình dao động tổng hợp: x  5cos 10t   cm

6


c. Vận tốc của vật nặng: v   A2  x 2   136,03cm/s
Bài 25: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình
dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất











điểm lần lượt là x1  4cos  4t   cm ; x 2  4 2cos  4t   cm ,
3
12


a. Trong qu| trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là bao nhiêu.
b. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động trên tìm phương trình dao động tổng hợp.
Hướng dẫn giải:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 23


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. Khoảng cách giữa hai chất điểm là: x = x1 – x2 hay A  A1  A2 (1)



A x  4 cos 3  4 2cos 12
Chiếu 1 lên Ox. Oy: 
 A  A 2x  A 2y  4cm
 A  4sin   4 2 sin 
 x
3
12

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là 4cm bằng biên độ dao động tổng hợp.
b. Phương trình dao động tổng hợp: x  x1  x 2  x3  A cos  t  
Chiều lên Ox, Oy:



A X  4cos 3  4 2 cos 12  7, 46cm
 A  A 2x  A 2y  8,94cm

 A  4sin   4 2 sin   4,93cm
 y

3
12

Pha ban đầu x|c định bởi: tan  

Ay
Ax

 0.66   

33,5
180



Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  8,94cos  5t 

33,5 
 cm
180 

Bài 26: Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương.

Hai dao động n{y có phương trình l{ x1  A1 cos  t  và x 2  A 2 cos  t   . Gọi W l{ cơ năng


2

của vật. Tính khối lượng của vật nặng.
Hướng dẫn giải:

Vì   2  1 


 A1  A 2  A 2  A12  A 22
2
1
2

Từ biểu thức cơ năng: W  m2 (A12  A 22 )  m 

2E
  A12  A 22 
2





Bài 27: Hai dao động điều hòa cùng tần số x1  A1cos  t   cm và x 2  A2cos  t   cm có
6




phương trình dao động tổng hợp là x  9cos  t   . Biết biên độ A2 có giá trị cực đại

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 24


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. Tìm giá trị của A1.
b. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
Hướng dẫn giải:
Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ. Theo định lý hàm số sin:

A2
φ1

A2
A
A sin 

 A2 

sin  sin 
sin
6
6

A2 có giá trị cực đại khi sin = 1   =

α

A1

A


2

A2max = 2A = 18cm  A1 = A22  A2  182  92  9 3 cm

2

b. Dựa vào giản đồ vec tơ ta có:    1 

2
3




Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  9cos  t 
Bài 28:

2 
 cm
3 

Một vật thực hiện đông thời 2 dao động điều hòa: x1  A1cos  t  cm ,

x 2  2,5 3cos  t  2  cm v{ người ta thu được biên độ dao động tổng hợp là là 2,5 cm.. Biết

A1 đạt cực đại.
a. H~y x|c định φ2 .
b. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
Hướng dẫn giải:
a. Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ. Theo định lý hàm số sin:
A1
A
A sin 

 A1 
sin  sin(  2 )
sin(  2 )

A1 có giá trị cực đại khi sin = 1   

W: www.hoc247.net

A

A2
2


A1


2

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 25