Các sai lầm thường gặp trong giải toán ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 21 trang )
w
w
w
w
w
w
w
w
w
.
.
.
l
l
l
a
a
a
i
i
i
s
s
s
a
a
a
c
c
c
.
.
.
p
p
p
a
a
a
g
g
g
e
e
e
.
.
.
t
t
t
l
l
l
S
S
S
A
A
A
I
I
I
L
L
L
A
A
A
À
À
À
M
M
M
T
T
T
H
H
H
Ư
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ơ
Ø
Ø
Ø
N
N
N
G
G
G
G
G
G
A
A
A
Ë
Ë
Ë
P
P
P
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G
G
G
G
G
G
I
I
I
A
A
A
Û
Û
Û
I
I
I
T
T
T
O
O
O
A
A
A
Ù
Ù
Ù
N
N
N
I. Sai lầm trong các bài toán tìm Max, Min:
ù Cần nhớ:
1.
ỵ
í
ì
= Ỵ $
Ỵ " £
Û =
)2(,)(:],[
)1(],,[,)(
))((
00
],[
cxfbax
baxcxf
cxfMax
ba
2.
ỵ
í
ì
= Ỵ $
Ỵ " ³
Û =
)4(,)(:],[
)3(],,[,)(
))((
00
],[
cxfbax
baxcxf
cxfMin
ba
Ví dụ 1: Tìm Max, Min của xCosxSiny
20062006
+ =
ù Sai lầm thường gặp:
Ta có:
2211
00
20062006
20062006
= Þ = + £ + =
= Þ ³ + =
Max
Min
yxCosxSiny
yxCosxSiny
Ø Nguyên nhân sai lầm:
·
Min
Sinx 0
y 0
Cosx 0
=
ì
= Û
í
=
ỵ
, Vô lí vì Sin
2
x + Cos
2
x= 1 ® dấu bằng không xảy ra
Þ
điều kiện (2) không thỏa.
·
ï
ỵ
ï
í
ì
=
=
Û =
1
1
0
2006
2006
xCos
xSin
y
Max
, Vô lí vì Sin
2
x + Cos
2
x= 1
ù Giải đúng:
1003210032
)()( xCosxSiny + =
10)1(
)()1(
210031003
1003210032
£ = £ + - = Û
+ - = Û
xCosttty
xCosxCosy
Với ,
· 01003)1(1003'
10021002
= + - - = tty
2
1
1
1
)1(
10021002
= Û
ê
ë
é
- = -
= -
Û
= - Û
t
tt
tt
tt
· 1)0( =y
1002
2
1
2
1
1)1(
=
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
=
y
y
Vậy:
1002
2
1
;1 = = MinyMaxy
Ví dụ 2: Tìm Max, Min của
2
2
+ +
+
=
CosxSinx
Cosx
y
ù Sai lầm thường gặp:
4
1
211
1
2
1)1 (
= Þ
+ +
³
+ +
+ +
=
Min
y
CosSinx
Cosx
y
Ø Nguyên nhân sai lầm:
ï
ỵ
ï
í
ì
=
=
= +
Û =
1
1
01
4
1
Cosx
Sins
Cosx
y
Min
, Vô lí vì dấu bằng không xảy ra.
ù Giải đúng:
TXĐ:
Â
2
2
+ +
+
=
CosxSinx
Cosx
y
(*),022)1( = - + - + Û yCosxyySinx
Để có Max, Min thì (*) phải có nghiệm x, điều này tương đương với:
222
)22()1( - ³ - + yyy
2
33
2
33
0362
2
+
£ £
-
Û
£ + - Û
y
yy
2
33
;
2
33 +
=
-
= ®
MaxMin
yy
ù Chú ý:
nghiệm có,CBCosxASinx = +
222
CBA ³ + Û
II. Sai lầm trong các bài toán dùng tính đơn điệu:
Ví dụ 1: (ĐH khối A, 2003)
Giải hệ phương trình
ï
ỵ
ï
í
ì
+ =
- = -
)2(12
)1(
11
3
xy
y
y
x
x
ù Sai lầm thường gặp:
Xét hàm số 0
1
)( ¹ - = t
t
ttf với
0)(
0
1
1)('
2
¹ Þ
> + =
ttf
t
tf
với tăng
yxyfxf = Û = Û )()()1(
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Vì hàm )(tf gián đoạn tại t = 0, nên không thể dùng tính đơn điệu.
ù Giải đúng:
Hệ
ỵ
í
ì
+ =
- = Ú ¹ =
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
+ =
=
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ -
Û
12
11
12
0
1
1)(
3
3
xy
xyyx
xy
xy
yx
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
+ =
- =
ỵ
í
ì
+ =
¹ =
Û
12
1
12
0
3
3
xy
xy
xy
yx
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
- -
= =
+ -
= =
= =
Û
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ï
ỵ
ï
í
ì
= +
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+ +
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-
- =
ỵ
í
ì
= + -
¹ =
Û
2
51
2
51
1
0
2
3
2
1
2
1
1
012
0
22
2
3
yx
yx
yx
VN
xx
xy
xx
yx
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
mx
mx
y
-
+
= đồng biến trên ),1( +¥
ù Sai lầm thường gặp:
YCBT 002),1(,0
)(
2
'
2
£ Û ³ - Û +¥ Ỵ " ³
-
-
= Û mmx
mx
m
y
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Không giải ),1(, +¥ Ỵ " ¹ xmx
ù Giải đúng:
YCBT ),1(, 0
)(
2
'
2
+¥ Ỵ " ³
-
-
= Û x
mx
m
y
0
1
0
),1(,
02
£ Û
ỵ
í
ì
£
£
Û
ỵ
í
ì
+¥ Ỵ " ¹
³ -
Û m
m
m
xmx
m
ù Chú ý:
ỵ
í
ì
¹
³
Û ³
0
0
0
B
A
2
B
A
III. Sai lầm trong các bài toán giải Bpt căn thức:
Ví dụ 1: (ĐH khối D, 2002)
Giải bất phương trình:
0232)3(
22
³ - - - xxxx
ù Sai lầm thường gặp:
0232)3(
22
³ - - - xxxx
ê
ê
ë
é
- £
³
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
- £ Ú ³
£ Ú ³
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
³ - -
³ -
Û
2
1
3
2
1
2
03
0232
03
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
Ø Nguyên nhân sai lầm:
ỵ
í
ì
³
³
Û ³
0
0
0
B
A
BA
, Sai lầm bởi vì nếu B = 0, thì Bpt đúng với mọi A, mà không
cần
0 ³A
ù Giải đúng:
v Cách 1: 0232)3(
22
³ - - - xxxx
ê
ê
ê
ë
é
ï
ỵ
ï
í
ì
³ -
> - -
= - -
Û
03 2
023 2
023 2
2
2
2
xx
xx
xx
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
- £
³
=
Û
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ï
ỵ
ï
í
ì
£ Ú ³
- < Ú >
- = Ú =
Û
2
1
3
2
03
2
1
2
2
1
2
x
x
x
xx
xx
xx
ù Chú ý:
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
³
>
=
Û ³
0
0
0
0
2
A
B
B
BA
n
v Cách 2: Có thể xét dấu:
Vậy nghiệm là:
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
- £
³
=
2
1
3
2
x
x
x
ù Bài tập: Áp dụng giải các Bpt sau:
1) 0252)52(
2
³ + - - xxx
2) 0)1(log13.43
2
3
12
³ - + -
+
x
xx
3) 0)42)(27(log123
3
2
³ - - + + -
x
xxx
4) 0
5
9
5
14
2log
2
5
1
³
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+ - - xxx
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình:
0
42
1
2
³
-
-
-x
x
ù Sai lầm thường gặp:
3
3
1
042
01
0
42
1
1
2
> Û
ỵ
í
ì
>
³
Û
ỵ
í
ì
> -
³ -
Û ³
-
-
-
-
x
x
x
x
x
x
x
Ø Nguyên nhân sai lầm:
ỵ
í
ì
>
³
Û ³
0
0
0
B
A
B
A
, Sai lầm bởi vì nếu A = 0, thì Bpt đúng với mọi B, mà không
cần
0 >B
ù Giải đúng:
ê
ë
é
>
=
Û
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
>
>
=
Û
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
> -
> -
= -
Û ³
-
-
-
-
3
1
3
1
1
042
01
01
0
42
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ù Chú ý:
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
>
>
=
Û ³
0
0
0
0
2
B
A
A
B
A
n
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình:
54322
222
- + £ - + + - + xxxxxx
ù Sai lầm thường gặp:
Điều kiện:
ê
ë
é
- £
³
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
- £ Ú ³
- £ Ú ³
- £ Ú ³
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
³ - +
³ - +
³ - +
5
1
51
31
21
054
032
02
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Bpt )1(,)5)(1()3)(1()2)(1( + - £ + - + + - Û xxxxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxxxx
- £ + + Û
+ £ + + + + Û
+ £ + + + Û
+ - £ + - + + - Û
322
532252
532
513121
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Vì
BAAB =
sai khi A, B đều âm.
ù Giải đúng:
Điều kiện:
ê
ë
é
- £
³
5
1
x
x
TH 1: x = 1, thế vào (1):
00 £
đúng
1 = Þx
nhận
TH 2: x > 1
513121)1( + - £ + - + + - Û xxxxxx
1322
532252
532
> - £ + + Û
+ £ + + + + Û
+ £ + + + Û
xxxx
xxxx
xxx
vì nghiệm Vô
TH 3:
5 - £x
532)1( - - £ - - + - - Û xxx
5322
532252
- £ £ - - - - Û
- - £ - - - - + - - Û
xxxx
xxxx
vì nghiệm Vô
Vậy nghiệm của Bpt là x = 1.
ù Chú ý:
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
£
£
- -
ỵ
í
ì
³
³
=
0
0
,
0
0
,
.
B
A
BA
B
A
BA
BA
nếu
nếu
ù Bài tập: Áp dụng giải các Bpt sau:
1) 181841521 58
222
+ - £ - + + + - xxxxxx
2) 4523423
222
+ - ³ + - + + - xxxxxx
ĐS:
ê
ë
é
³
=
4
1
x
x
IV. Sai lầm trong việc dùng phương trình hệ quả:
Ví dụ:
Giải phương trình:
)1(,1322
33
= - + - xx
ù Sai lầm thường gặp:
Lũy thừa 2 vế của (1), ta có:
1)322.(32.2332 2
3333
= - + - - - + - + - xxxxxx
ê
ë
é
=
=
Û
- = - - Û
- = - - Û
= - - + - Þ
1
2
)2()32)(2(
232.2
)2(,132.2353
3
33
33
x
x
xxx
xxx
xxx
Vậy nghiệm là:
ê
ë
é
=
=
1
2
x
x
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Pt (2) là pt hệ quả của pt (1), do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại.
ù Giải đúng:
Thử lại, bằng cách thế x = 2, x = 1 lần lượt vào (1), ta chỉ nhận một nghiệm x = 2.
ù Bài tập: Áp dụng giải các phương trình sau:
1)
5
6
,3,0,9222
333
- = - + + : ĐSxxx
2) 61,30,1334
33
- = - - + : ĐSxx
V. Sai lầm trong các bài toán Lagarit:
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
3log
2
1
log
2
1
)65(
3
3
22
9
- +
-
= + - x
x
xxLog
ù Sai lầm thường gặp:
Điều kiện:
3
3
1
03
0
2
1
065
2
> Û
ỵ
í
ì
>
>
Û
ï
ï
ỵ
ï
ï
í
ì
> -
>
-
> + -
x
x
x
x
x
xx
Pt 3log
2
1
log)65(
33
2
3
- +
-
= + - Û x
x
xxLog
nghiệm vô Pt
Vì
,3
2
1
2
3,3
2
1
)3)(2(
3
2
1
65
2
= Û
-
= - Û
> -
-
= - - Û
-
-
= + -
Û
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
Ø Nguyên nhân sai lầm:
· Sai lầm 1: Đặt điều kiện không đúng
· Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng
ù Chú ý:
)(log))((
00
0
0
2
xf
n
k
xfLog
AA
A
A
a
k
a
n
n
=
¹ Û >
¹ Û
>
ù Giải đúng:
Điều kiện:
ï
ỵ
ï
í
ì
>
¹
¹
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
¹ -
>
¹ + -
Û
ï
ï
ỵ
ï
ï
í
ì
> -
>
-
> + -
1
2
3
03
1
06 5
03
0
2
1
0)65(
2
22
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
Pt 3
2
1
log65
3
2
3
-
-
= + - Û x
x
xxLog
ê
ê
ë
é
=
=
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
- = -
-
= -
Û
-
= - Û
-
-
= - - Û -
-
= + -
Û
3
5
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
2
1
323
2
1
65
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
Vậy nghiệm của phương trình là:
3
5
=x
Ví dụ 2:
Giải phương trình:
3
4
1
3
4
1
2
4
1
)6(log)4(log3)2(log
2
3
+ + - = - + xxx
ù Sai lầm thường gặp:
Điều kiện:
ỵ
í
ì
< < -
¹
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
> +
> -
> +
46
2
0)6(
0)4(
0)2(
3
3
2
x
x
x
x
x
Pt
3
4
1
3
4
1
3
4
1
)6(log)4(log3)2(lo g + + - = - + Û xxx
2 x : nghiệm Vậy =
ê
ë
é
=
- =
Û
= - + Û
+ - = + Û
+ - = + Û
+ - =
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+ Û
,
2
8
0166
)6)(4(4).2(
)6()4(4.)2(
)6()4(log
4
1
:)2(log
2
3333
33
4
1
3
3
4
1
x
x
xx
xxx
xxx
xxx
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Công thức
m
aa
xxm loglog = , chỉ đúng khi m nguyên, bài trên giải sai, bởi vì
2
3
=m không phải là số nguyên.
ù Giải đúng:
Điều kiện:
ỵ
í
ì
< < -
¹
46
2
x
x
Pt )6(log3)4(log332log3
4
1
4
1
4
1
+ + - = - + Û xxx
ê
ë
é
+ = Ú - =
- = Ú =
Û
ê
ê
ë
é
= - -
= - +
Û
ê
ë
é
+ - - = +
+ - = +
Û
+ - = + Û
+ - = +
Û
+ + - = - +
Û
331331
82
03 22
01 66
)6)(4()2(4
)6)(4()2(4
)6)(4(4.2
)6)(4(log4.2log
)6(log )4(log12log
2
2
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Vậy nghiệm của phương trình là: 3312 - = Ú = xx
Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai
hi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đến giả thiết của các định lí
mà đã vội vàng áp dụng hoặc lạm dụng suy diễn những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu
các trường hợp cần biện luận.
Thí dụ 1:
Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x:
2
( 1) 2( 1) 3 3
m x m x m
.
Biểu thức có nghĩa với mọi x khi và chỉ khi
2
( ) ( 1) 2( 1) 3 3 0
f x m x m x m x
'
2
0
1 0
0
( 1) 3( 1)( 1) 0
x
a
m
m m m
1
1
1
1
2( 1)( 2) 0
2
m
m
m
m
m m
m
.
Ta có kết quả
1
m
Nhớ rằng
2
( ) 0
f x ax bx c x
'
0
0
0
0
a b
c
a
. Lời giải xét thiếu trường hợp
0
a
.
Lời giải đúng là:
Biểu thức có nghĩa với mọi x
( ) 0
f x x
- Trường hợp 1:
1 0 1
0
2( 1) 0 1
0
3 3 0 1
m m
a b
m m
c
m m
, không có m thoả mãn.
- Trường hợp 2:
'
0
1
0
a
m
Tóm lại kết quả là
1
m
.
Thí dụ 2: Tìm m sao cho:
2
2
2 3 2
1 x R
2 2
x mx m
x mx
(*).
(*)
2 2
2 3 2 2 2
x mx m x mx x R
2 2
3 0 x R 0 m 12 0 12 0
x mx m m m
Sai lầm là nhân hai vế với
2
2 2
x mx
khi chưa biết dấu của biểu thức này.
Lời giải đúng là: Vế trái tồn tại
x R
2
2 2 0
x mx x R
2
2 2 0
x mx
vô nghiệm
2
0 16 0 4 4
m m
.
Khi đó
2
2 2 0
x mx x R
nên:
(*)
2 2 2
4 4 4 4
4 4
0
2 3 2 2 2 3 0
x m
m
x mx m x mx x R x mx m x R
2
4 4
4 4
4 0
12 0
12 0
m
m
m
m
m m
K
?
!
?
!
www.laisac.page.tl
Thí dụ 3: Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ:
2 2 2
6
x y m
x y m
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
6( )
F xy x y
.
Ta có
2
2 2 2 2
6 2 6
x y m x y xy m
2 2 2
2 6 3.
m xy m xy m
Do đó
2 2
3 6 ( 3) 12
F m m m
.
Vậy
min 12 3.
F m
Không có maxF vì F là hàm bậc hai với hệ số bậc hai dương.
Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y. Do đó đã xét F với mọi
m R
.
Lời giải đúng là:
Ta có
2 2 2 2
6 3
x y m x y m
x y m xy m
.
Theo định lí Viét đảo thì x, y là các nghiệm của phương trình
2 2
3 0
t mt m
(*).
Ta thấy x, y tồn tại khi và chỉ khi (*) có nghiệm
2
1
0 3 12 0 2 2
m m
.
Khi đó
2
3 6
F m m
với
2;2
m
.
Lập bảng biến thiên của F với
2;2
m
:
m -2 2 3
F
Từ đó ta có:
min 11 = 2
F m
max 13 2
F m
.
Thí dụ 4:
Tìm m sao cho phương trình:
2 2
(2 1) 0
x m x m
chỉ có một nghiệm thoả mãn
3
x
Cách 1
: Phương trình có nghiệm duy nhất
0
. Khi đó phương trình có nghiệm
1 2
.
2
S
x x
Do đó phương trình chỉ có một nghiệm thoả mãn
3
x
2 2
1
4 1 0
(2 1) 4 0
4
5
2 1
5
3
2
2
2
m
m
m m
m
m
m
, không có m thoả mãn bài toán.
Cách 2: Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1:
1 2
1
0
4
3
5
3
2
2
m
x x
S
m
, không có m thoả mãn T.H này.
- Trường hợp 2:
2
1 2
(3) 0
6 6 0
3 3 3 3
5
3 3 3
2 1
5
2
3
3
2
2
2
af
m m
m
x x m
S
m
m
.
Tóm lại
5
;3 3
2
m
?
!
13
-11
?
!
Cách 1 tỏ ra người giải chưa hiểu cụm từ "chỉ có một nghiệm" nên đã "phiên dịch" từng đoạn
theo yêu cầu, thành ra khác với nghĩa của bài toán. Nhớ cho: phương trình chỉ có một nghiệm x > 3
không có nghĩa là phương trình không được có 2 nghiệm ! Cách 2 là lời giải của người hiểu đúng bài
toán nhưng cố gắng làm gọn 2 trường hợp x
1
< 3< x
2
và 3 = x
1
< x
2
thành một trường hợp
1 2
3
x x
.
Tiếc rằng khi viết điều kiện "tương đương" với yêu cầu này lại không đúng. Như vậy sẽ bỏ sót trường
hợp
1 2
3
2
S
x x
. Chính vì vậy mà với m = 2 phương trình trở thành
2
1
5 4 0
4
x
x x
x
thoả
mãn bài toán, nhưng m = 2 không có trong kết luận của cách giải thứ 2.
Lời giải đúng là:
Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1:
1 2
1
0
4
3
5
3
2
2
m
x x
S
m
, không có m thoả mãn T.H này.
- Trường hợp 2:
2
1 2
(3) 0
6 6 0
3 3
3 3 3
2 1
5
3
3
2
2
2
f
m m
m
x x m
S
m
m
.
- Trường hợp 3:
2
1 2
3 (3) 0 6 6 0 3 3 3 3
x x af m m m
.
Tóm lại:
3 3;3 3 .
m
- Trường hợp 3:
2
1 2
3 (3) 0 6 6 0 3 3 3 3
x x af m m m
.
Tóm lại:
3 3;3 3 .
m
Thí dụ 5: Tìm m sao cho phương trình
2
2( 1) 1 0
mx m x m
không có nghiệm ở ngoài (-1; 1).
Phương trình không có nghiệm ở ngoài (-1; 1)
1 2
1 1
x x
'
2
1
0
( 1) ( 1) 0
0
(4 3) 0
( 1) 0
3
3
1
0 4
(1) 0
4
0
1
1 1
1 1
1
2
1 1
x
m
m m m
m
m m
af
m
m
m
af
m
m
S
m
m
m
Có thể thấy với m = 0 thì phương trình trở thành
1
2 1 0 1;1
2
x x
nên m = 0 thoả
mãn. Ngoài ra lời giải còn thiếu cả trường hợp phương trình vô nghiệm.
Như vậy để có lời giải đúng phải bổ sung thêm trường hợp a = 0 (thử trực tiếp) và trường hợp
'
0
0
x
a
.
Đáp số đúng là
3
4
m
hoặc
0
m
?
!
VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n
1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn.
VD1: tÝnh tÝch ph©n
4
2
0
1I x dx
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai: ®Æt
sinx t
suy ra dx=costdt
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2 1
1 sin .cos . cos .
2 8 4
t
I t t dt t dt dt
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt
0 0
sin
4 4
x t
x t arc
arcsin arcsin arcsin
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2
1 sin .cos . cos .
2
1 1
arcsin sin 2arcsin
2 4 4 4
t
I t t dt t dt dt
2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n
VD2: tÝnh
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1
1 3
0 1
x t
x t
3
4
5 4
1
3
1 1 20
1
1
4 4 3 81
dt t
I
t
Lêi gi¶i ®óng:
®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx
1 3
0 1
x t
x t
3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t
3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2
0
.
x
I x e dx
Giải:
* lời giải sai:
đặt
' 1
'
x x
u x u
v e v e
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e
*Lời giải đúng:
đặt
x x
u x du dx
dv e v e
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e
Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1: cho
n N
; CMR
2
0
sin sin 0I x nx dx
* Lời giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) trên
0;2
ta có:
f(x) là hàm liên tục trên
0;2
và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ
I=0
*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì
a
a
f x dx
=0
* Lời giải đúng: Đặt
x y
2
0
sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx
=
1 sin sin
n
ny y dx
Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên
,
là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)
g(y) là hàm lẻ.
Vậy thì I=0
Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên
0,
. Hãy so sánh
0
sinI xf x dx
và
0
sinJ f x dx
*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:
sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x
0
cos cos
0
I xf x f x dx
Do f liên tục /[0;
]
0
cos 0 0 cosf f I f x dx
(1)
Mà
0
sin
2
J f x dx
(2)
Từ (1) và (2) ta có
I J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
* Lời giải đúng:
Đặt
x t
ta có:
0
0
sin sinI xf x dx t f t dt
0 0
sin sinf x dx xf x dx
0 0
2 sin sin
2
I f x dx I f x dx
Vậy ta có I=J
ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm
,C a b
sao cho:
c b
a c
f x f c dx f c f x dx
* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b]
f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx
* Nguyên nhân sai lầm:
Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai.
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân
ít nhất một điểm
,C a b
sao cho:
b b
a a
f x dx f c b a f c dx
0
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx
Hay ta có:
c b
a c
f x f c dx f c f x dx
(ĐPCM).
Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích
phân
I. Kiến thức chung
- Cho hàm số
y f x
khả tích trên
;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
y = f(x) , x = a, x = b là :
b
a
S f x dx
II. Những sai lầm thờng gặp
1. Sử dụng sai công thức
VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
0; 1; 4
y x
y x x
Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:
4
2 3
1
4
1
(9 ) 9 7
1
3
S x dx x x
Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y
Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng là: 9
3
2
1
9S x dx
3 4
2 2
1 3
3 3
(9 ) 9
3 4
1 1 65 38
9 9 9
1 3
3 3 2 3
x dx x dx
x x x x
o 1 3 4 x
2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi:
2
0; 1
1; 0
y y
y x x
Lời giải sai:
2
1 1y x y x
0 1
1 2
y x
y x
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
3
2
1
2
2 2
1 1
1
3 3
S x dx x
Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:
1 2
S S S
với :
2
1
1 1S
2
3
2
2
1
2
2 1
1 1 1
1
3 3
4
3
S x dx x x
S
3. Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:
2
1
2
2
2 1
6 9
3 5
;
2 2
y x x C
y x x C
x x
y
Lời giải sai:
1 2
2;1C C
1 2 3 x
Vậy diện tích của hình giới hạn là:
5
2
2
2 2
3
2
2
3 3
1 3
2 5
1 1
2
1 3
3
3 3
2
2
1 1 1 1 7
3 24 24 3 12
S x dx x dx
x x
Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)
2
y=(x-3)
2
Lời giải đúng:
1 2
2;1C C
Diện tích hình giới hạn là:
1 2
S S S
1 3 x
2
2 2
1
3
2
2
2
3
2
3 1
2
1
4 8 2 8
3
2
2
S x x dx
x dx x x
5
2
2 2
2
2
5
2
2
2
1 3
5
1
2
4 8 (2 8 )
2
2
S x x dx
x dx x x
Vậy S =
1 1
1
2 2
Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
I, công thức:
1
2
Cho hình phẳng giới hạn bởi
2
0
0
0
2
b
b
y f x
Vox f x dx
y
x a
Voy xf x dx
x b
Nếu hình phẳng giới hạn bởi
1
2
2 2
1 2
. 0
d
c
x f y x
x g y x
Voy x x dx
c y d
f y g y
II, Một số sai lầm thờng gặp:
1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn
2
2 2
0x y b a a b
quay
quanh trục 0x.
* Lời giải sai: y
Phơng trình đờng tròn (C):
2
2 2
x y b a
có thể viết
2 2
2
1
2 2
2 2
2
y b a x C
y b a x x a
y b a x C
Vậy thể tích của hình xuyến là: x
2 2
2 2 2 2
a
a
Vox b a x b a x dx
2
2 a b
* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích:
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx
mà
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx
.
* Lời giải đúng:
2 2
2 2 2 2 2
2
a
a
Vox b a x b a x dx a b
2. Sử dụng nhầm Voy
ví dụ: Tính Voy của hình
2
1
2
y x
x
x
* Lời giải sai:
2
5
4
1
2
31
1
5 5
x
Voy x dx
* Sai lầm: Đã sử dụng công thức
2
b
a
Voy y dx
đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy
lời giải bị sai.
* Lời giải đúng.
2
2
1
15
2 .
2
Voy x x dx
Đố
i v
ớ
i các b
ạ
n h
ọ
c sinh khi m
ớ
i h
ọ
c v
ề
toán t
ổ
h
ợ
p thì ít nhi
ề
u c
ũ
ng g
ặ
p nh
ữ
ng khó kh
ă
n
nh
ấ
t
đị
nh. Khó kh
ă
n
đầ
u tiên g
ặ
p ph
ả
i là m
ộ
t bài toán không bi
ế
t khi nào s
ử
d
ụ
ng t
ỏ
h
ợ
p,
khi nào s
ử
d
ụ
ng ch
ỉ
nh h
ợ
p, tuy nhiên khó kh
ă
n này s
ẽ
nhanh chóng
đượ
c gi
ả
i quy
ế
t n
ế
u
ta
để
ý b
ả
n ch
ấ
t c
ủ
a t
ổ
h
ợ
p là s
ắ
p x
ế
p tu
ỳ
ý ko có th
ứ
t
ự
, còn ch
ỉ
nh h
ợ
p thì có th
ứ
t
ự
. V
ấ
n
đề
tôi nêu trong bài vi
ế
t này là m
ộ
t s
ố
sai l
ầ
m c
ơ
b
ả
n khi gi
ả
i toán v
ề
t
ổ
h
ợ
p.
1. Sai l
ầ
m 1: Nh
ầ
m l
ẫ
n gi
ữ
a ch
ỉ
nh h
ợ
p và t
ổ
h
ợ
p.
Bài số 1: Mộ
t tổ có 12 học sinh nữ và 10 h
ọc sinh nam. Cần chọn ra 6 họ
c sinh ( 3 nam, 3
n
ữ
)
để
ghép thành 3
đ
ôi bi
ể
u di
ễ
n v
ă
n ngh
ệ
. H
ỏ
i có bao nhiêu cách ghép?
L
ời giả
i 1: - Số cách ch
ọn thứ
tự 3 nữ
trong 12 nữ là
3
12
A
(cách)
- S
ố cách chọn th
ứ tự
3 nam trong 10 nam là
3
10
A
(cách)
-
Vậy số
cách chọn 3
đôi nam nữ là:
3
12
A
3
10
A
(cách)
L
ờ
i gi
ả
i 2
: - S
ố
cách ch
ọ
n 3 n
ữ
trong 12 n
ữ
là
(cách)
3
12
C
-
S
ố
cách ch
ọ
n 3 nam trong 10 nam là
(cách)
3
10
C
- Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: (cách)
3
12
C
3
10
C
L
ờ
i gi
ả
i 3
: - S
ố
cách ch
ọ
n 3 n
ữ
trong 12 n
ữ
là
(cách)
3
12
C
- Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là (cách)
3
10
C
-
Do
đ
ó s
ố
cách ch
ọ
n 6 h
ọ
c sinh ( 3 nam, 3 n
ữ
) là:
(cách)
3
12
C
3
10
C
- Vì một đôi có hai bạn ( 1 nam, 1 nữ) nên chọn ra 1 bạn nam(trong 3 bạn nam) và
một bạn nữ( trong 3 bạn nữ) thì có: 3.3 = 9(cách)
- Vậy số cách chọn thoả mãn là: 9 (cách)
3
12
C
3
10
C
L
ờ
i gi
ả
i 4
: - S
ố
cách ch
ọ
n 3 n
ữ
trong 12 n
ữ
là
(cách)
3
12
C
-
S
ố
cách ch
ọ
n 3 nam trong 10 nam là
(cách)
3
10
C
- Do đó số cách chọn 6 học sinh ( 3 nam, 3 nữ) là: (cách)
3
12
C
3
10
C
- Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách) ghép giữa các đôi này với nhau(là hoán
vị của 3 học sinh nam hoặc của 3 học sinh nữ)
- Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3! (cách)
3
12
C
3
10
C
Đâu là lời giải đúng?
Phân tích: - Lời giải 1: Rõ ràng là sai vì bài toán ko yêu cầu thứ tự
- Lời giải 2: Thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi
- Lời giải 3: Có vẻ như đúng, tuy nhiên ở bước cuối đã nhầm lẫn việc chọn ra 3
đôi với việc chỉ đơn thuần chọn ra 1 nam và 1 nữ
- Lời giải 4: Là lời giải đúng.
2. Sai lầm 2: “ Các phần tử còn lại tuỳ ý trong tập còn lại”
Xin nêu ra một bài toán vô cùng đơn giản , nhưng lại có các cách làm như sau:
Bài số 2: Một nhóm 5 bạn học sinh A,B,C,D,E. Cần chọ ra 3 bạn thì có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải 1: Chọn 3 bạn trong 5 bạn là một tổ hợp chập 3 của 5. Số cách chọn là (cách)
3
5
C
Lời giải 2: - Đầu tiên chọn 1 bạn thì có (cách)
1
5
C
- Tiếp theo chọn 1 bạn trong 4 bạn còn lại có (cách)
1
4
C
- Cuối cùng chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có (cách)
1
3
C
- Vậy có (cách)
1
5
C
1
4
C
1
3
C
-
Lời giải 3: - Đầu tiên chọn 1 bạn thì có (cách)
1
5
C
- Tiếp theo chọn 2 bạn còn lại trong 4 bạn có (cách)
2
4
C
- Vậy có (cách)
1
5
C
2
4
C
Lời giải 4: - Đầu tiên chọn 2 bạn thì có (cách)
2
5
C
- Tiếp theo chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn có (cách)
1
3
C
- Vậy có (cách)
2
5
C
1
3
C
Đâu là lời giải đúng?
Phân tích: Lời giải 1: Tất nhiên là lời giải đúng
Vậy sai lầm là gì khiến các lời giải còn lại đều sai?
Xin phân tích cái sai của lời giải 2:
Đầu tiên chọn 1 bạn trong 5 bạn, dĩ nhiên là có 5 cách rồi
+ Nếu lần đầu chọn A ( còn lại B,C,D,E), lần 2 chọn B( còn lại C,D,E), lần 3 chọn C thì ta có
3 bạn là A,B,C
+ Nếu lần đầu chọn B ( còn lại A,C,D,E), lần 2 chọn C( còn lại A,D,E), lần 3 chọn A thì ta lại
có 3 bạn là A,B,C
…………………………………….
Như vậy số cách chọn ra 3 bạn A,B,C đã bị lặp
Các lời giải còn lại giải thích tương tự. OK?
Bài số 3: Một lớp có 30 HS nam, 15 HS nữ. Chọn ra một nhóm gồm 6 HS sao cho có ít nhất 2
nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải 1 ( trực tiếp): Chia cụ thể các trường hợp:
- TH1: 2 nữ, 4 nam: (cách)
2
15
C
4
30
C
- TH2: 3 nữ, 3 nam: (cách)
3
15
C
3
30
C
- TH3: 4 nữ, 2 nam: (cách)
4
15
C
2
30
C
- TH4: 5 nữ, 1 nam: (cách)
5
15
C
1
30
C
- TH5: 6 nữ: (cách)
6
15
C
Vậy có tất cả……( cộng 5 TH lại)
Lời giải 2 (gián tiếp)
- Bước 1: Chọn 6 HS bất kỳ: (cách)
6
45
C
- Bước 2: Chọn 5 HS nam, 1 HS nữ: (cách)
5
30
C
1
15
C
- Bước 3: Chọn 6 HS nam:
6
30
C
- vậy số cách chọn thoả mãn là: -( + ) (cách)
6
45
C
5
30
C
1
15
C
6
30
C
Lời giải 3 ( Có vẻ “hay” vì… rất ngắn và… “độc đáo”)
- Bước 1: Chọn ra 2 nữ ( vì có ít nhất là 2 nữ) có: (cách)
2
15
C
- Bước 2: Chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có: (cách)
4
43
C
( Khi đó 6 bạn được chọnh luôn thoả mãn có ít nhất 2 nữ)
- Vậy có (cách)
2
15
C
4
43
C
Đâu là lời giải đúng?
Phân tích: ( Xin dành cho độc giả, OK?)
3. Sai lầm 3:
Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp.
Bài số 4: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta
chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ?
Giải
+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C cách.
10
20
+ Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài( có không quá2trong 3 loại dễ, trung bình và khó).
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
10
16
C
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
10
13
C
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
10
11
C
Vậy có đề kiểm tra.
()
10 10 10 10
20 16 13 11
C C C C 176451−++=
Tất nhiên lời giải trên là một lời giải đúng. Tuy nhiên tôi muốn chúng ta bàn luận các sai lầm
trong bài dưới đây :
Bài số 5 : Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta
chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ?
Chú ý rằ
ng so với bài số 4 thì bài số 5 ch
ỉ thay đổi một chút là thay vì chọn ra 10 câu thì
ch
ọ
n ra 7 câu. Nghe qua thì có v
ẻ
cách làm ch
ẳ
ng có gì khác, tuy nhiên s
ự
thay
đổ
i
đ
ó có th
ể
gây sai l
ầ
m. Hãy xem các l
ờ
i gi
ả
i sau :
Lời giải 1 :
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
7
20
C
+ Lo
ạ
i 2: ch
ọ
n 7 câu không th
ỏ
a yêu c
ầ
u.
- Tr
ườ
ng h
ợ
p 1: ch
ọ
n 7 câu d
ễ
trong 9 câu có
cách.
7
9
C
- Trườ
ng hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách.
- Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: ch
ọ
n 7 câu d
ễ
và
trung bình trong 16 câu có
cách.
7
16
C
- Trường hợp 4: chọn 7 câu d
ễ và khó trong 13 câu có cách.
7
13
C
- Trường hợ
p 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
7
11
C
Vậy có
(
)
7 7777
20 9161311
C 1 C C C C 63997−+ + + + =
đề ki
ểm tra!
Lời giải 2 :
+ Lo
ại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có
cách.
7
20
C
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
7
16
C
- Tr
ườ
ng h
ợ
p 2: ch
ọ
n 7 câu d
ễ
và khó trong 13 câu có
cách.
7
13
C
- Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: ch
ọ
n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có
cách.
7
11
C
V
ậ
y có
đề
ki
ể
m tra.
()
7 777
20 16 13 11
C C C C 64034
−++=
Lời giải 3 :
+ Lo
ạ
i 1: ch
ọ
n 7 câu tùy ý trong 20 câu có
cách.
7
20
C
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
-
Tr
ườ
ng h
ợ
p 1: 7 câu ch
ọ
n ra ch
ỉ
có 1 lo
ạ
i :
( là m
ộ
t lo
ạ
i d
ễ
ho
ặ
c trung
bình)
7
9
CC
+
7
7
7
)
- Tr
ườ
ng h
ợ
p 2: 7 câu ch
ọ
n ra có
đủ
hai lo
ạ
i :
* D
ễ
và trung bình :
( trong 16 câu d
ề
và TB thì khi ch
ọ
n ra 7 câu
77
16 7 9
C(CC
−+
thì 7 câu đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc một loại)
* Dễ và khó :
77
13 9
CC
−
* Trung bình và khó :
77
11 7
CC−
Vậy có đề kiểm tra.
()
77777
20 16 13 9 11
C C C C C 1 64071−+−+−=
Đâu là lời giải đúng?
www.laisac.page.tl
