Nghiên cứu trật tự từ trong mô hình heisenberg với các tương tác cạnh tranh trên mạng hình vuông bằng phương pháp popov fedotov

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LƯU THỊ HƯƠNG GIANG

NGHIÊN CỨU TRẬT TỰ TỪ TRONG MƠ HÌNH HEISENBERG
VỚI CÁC TƯƠNG TÁC CẠNH TRANH TRÊN MẠNG HÌNH
VNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP POPOV-FEDOTOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

HÀ NỘI, NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LƯU THỊ HƯƠNG GIANG

NGHIÊN CỨU TRẬT TỰ TỪ TRONG MƠ HÌNH HEISENBERG
VỚI CÁC TƯƠNG TÁC CẠNH TRANH TRÊN MẠNG HÌNH
VNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP POPOV-FEDOTOV
Chun ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Toàn Thắng

HÀ NỘI, NĂM 2017

LỜI CẢM ƠN

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và trân thành đến các cá nhân và tập thể
sau đây:
GS. TS. Nguyễn Tồn Thắng đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất
nhiều trong học tập và nghiên cứu cũng như trình thực hiện luận văn thạc sỹ.
Các thầy cơ giáo Khoa Vật lý, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội đặc biệt là các thầy cô giáo Bộ môn Vật lý lý thuyết đã cung cấp
những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và hoàn
thành luận văn.
Các bạn Lớp K25 Cao học Vật lý lý thuyết đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tơi hồn thành luận văn.
Những người thân trong gia đình, các bạn bè thân thiết đã luôn động viên,
giúp đỡ, ủng hộ, chia sẻ những khó khăn và tạo mọi điều kiện để tơi hồn thành
luận văn.
Tác giả

Lưu Thị Hương Giang


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng luận văn mang tên “NGHIÊN CỨU TRẬT TỰ TỪ
TRONG MƠ HÌNH HEISENBERG VỚI CÁC TƯƠNG TÁC CẠNH TRANH
TRÊN MẠNG HÌNH VNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP POPOV-FEDOTOV”
là cơng trình nghiên cứu riêng của tơi. Các số liệu trình bày trong luận án là
trung thực, đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng
bố trong bất cứ cơng trình nào khác.
Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2017

Tác giả luận văn

Lưu Thị Hương Giang


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................ 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 2
6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu .............................................................. 3
7. Bố cục luận văn .......................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN MƠ HÌNH HEISENBERG VÀ HỆ VẤP TỪ . 4
1.1. Mơ hình Heisenberg.................................................................................... 4
1.1.1 . Phân loại vật liệu từ ............................................................................ 4
1.1.2. Mơ hình Heisenberg ............................................................................. 7
1.2. Vấp từ.......................................................................................................... 8
1.2.1. Vấp tương tác ....................................................................................... 8
1.2.2 Vấp hình học .......................................................................................... 9
1.2.3 Tính chất chung của các hệ vấp từ [5,6]............................................. 10
CHƯƠNG 2. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP POPOV-FEDOTOV .. 13
2.1. Biểu diễn toán tử spin qua các toán tử chính tắc ..................................... 13
2.1.2. Biểu diễn các tốn tử spin qua các tốn tử chính tắc Boson. ............. 13
2.1.3. Biểu diễn các toán tử Spin qua các toán tử chính tắc Fermion. ......... 14
2.2. Vấn đề khử các trạng thái phi vật lý trong biểu diễn fermion ....................... 15
2.2.1. Trường hợp S=1/2............................................................................. 15

2.2.2. Trường hợp S=1 ................................................................................. 18
2.3. Tổng thống kê trong biểu diễn tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov ..... 19
2.4. Sơ đồ nghiên cứu pha trật tự từ trong mơ hình Heisenberg bằng phương
pháp tích phân phiếm hàm Popov .................................................................... 22
2.4.1. Tìm trạng thái cơ bản cổ điển bằng cách tham số hóa véc tơ spin 22
2.4.2. Hệ tọa độ định xứ: .............................................................................. 24
2.4.3. Tính tổng thống kê bằng phương pháp Popov-Fedotov: ................... 25
CHƯƠNG 3: Áp dụng phương pháp Popov-Fedotov cho mơ hình
Heisenberg phản sắt từ mạng hình vng với tương tác cạnh tranh........... 29
3.1. Mơ hình Heisenberg phản sắt từ với hai tương tác: ................................. 30
3.1.2. Hamiltonian và các đặc trưng mạng tinh thể ..................................... 30
3.2. Vec tơ trật tự từ Q và năng lượng trạng thái cơ bản cổ điển: ............ 33
3.3. Lý thuyết sóng spin trong biểu diễn Holstein – Primakov ....................... 34
3.3.1. Biểu diễn qua các tóan tử boson Holstein-Primakov: ........................ 35
3.3.2. Chéo hoá Bogoliubov: ....................................................................... 36
3.4. Kết quả phương pháp Popov-Fedotov ...................................................... 39
3.4.1 Công thức chung cho năng lượng tự do và độ từ hoá tự phát ............. 39
3.4.2. Thảo luận kết quả .............................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 45


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Các hệ spin định xứ trên mạng hình vng đang thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà khoa học cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm trong thời gian gần đây, bởi
sự phát hiện các tính chất từ rất đa dạng trong các vật liệu siêu dẫn khơng truyền
thống có cấu trúc lớp như gốm siêu dẫn nhiệt độ cao hay vật liệu siêu dẫn chứa
sắt [1-3]. Sự tồn tại các pha trật tự từ phức tạp như trật tự phản sắt từ Neel, trật
tự xoắn, cấu trúc từ sợi đơn, sợi kép... gắn liền với hiện tượng vấp từ, nghĩa là

khi tương tác giữa các spin định xứ không thể thoả mãn trên một liên kết nào đó
[4].
Hiện tượng vấp từ được phân thành hai loại: vấp hình học và vấp tương
tác. Một thí dụ cụ thể của vấp hình học là hệ phản sắt từ trên mạng tam giác.
Lúc đó nếu spin trên hai đỉnh tam giác là phản song song thì trên đỉnh cịn lại
của tam giác spin sẽ khơng thể đồng thời thoả mãn liên kết phản sắt từ với hai
đỉnh kia. Cịn nếu ta xét mạng hình vng với tương tác theo cạnh và theo
đường chéo là phản sắt từ thì nếu spin thoả mãn liên kết phản sắt từ theo các
cạnh thì lại khơng thể thoả mãn liên kết theo đường chéo. Đó chính là vấp tương
tác.
Hệ vấp từ đang đặt ra nhiều vấn đề chưa có câu trả lời. Về mặt lý thuyết,
nguyên nhân là các toán tử spin khơng là những tốn tử chính tắc, vì vậy không
thể áp dụng các phương pháp nhiễu loạn truyền thống được xây dựng cho các
toán tử boson và fermion [5]. Người ta đã đề ra nhiều phương pháp khác nhau
để vượt qua khó khăn này. Những phương pháp thơng dụng nhất là biểu diễn
các tốn tử spin thơng qua các tốn tử chính tắc khác. Các biểu diễn được nhiều
nhà khoa học sử dụng nghiên cứu spin thông qua toán tử Boson như phương
pháp Holstein – Primakov, phương pháp Schwinger boson, phương pháp Dyson
– Maleev. Ngồi ra cũng có thể biểu diễn các toán tử spin qua các toán tử
fermion [5]. Khi biểu diễn toán tử spin qua các tóan tử chính tắc ln nảy sinh
các vấn đề, các trạng thái phi vật lý. Nếu spin bằng S thì số trạng thái trong
không gian Hilbert bằng 2S , nhưng trong khơng gian Fock của các tốn tử
boson, số boson n có thể là bất kì, cịn trong khơng gian Fock của các tốn tử
fermion số trạng thái cũng ln lớn hơn 2S, thí dụ với S=1/2 thì khơng gian của
1


các tốn tử fermion tương ứng có 4 trạng thái. Vì vậy với n > 2S thì các trạng
thái này là khơng vật lý. Ta ln phải có điều kiện ràng buộc n ≤ 2S. Điều kiện
ràng buộc có thể được tính đến bằng phương pháp thừa số Lagrange. Tuy nhiên

điều kiện ràng buộc phải được thỏa mãn trên mỗi nút nên số thừa số Lagrange
đưa vào phải bằng đúng số nút trong tinh thể (điều kiện ràng buộc định xứ), vì
vậy khơng thể tính chính xác được mà thường được thay bằng điều kiện ràng
buộc trung bình trên tồn tinh thể với một thừa số Lagrange. Hai nhà khoa học
Popov và Fedotov đã đề xuất một phương pháp để xét một cách chính xác điều
kiện ràng buộc đó khi biểu diễn các toán tử spin qua toán tử fermion [6].
Với mong muốn tiếp cận hệ spin vấp từ trên mạng hình vng bằng một
phương pháp tương đối hiện đại, em đã chọn đề tài: Nghiên cứu trật tự từ
trong mơ hình Heisenberg với các tương tác cạnh tranh trên mạng hình
vng bằng phương pháp Popov-Fedotov.
2. Mục đích nghiên cứu
Đọc và hiểu về các vật liệu từ, đặc biệt là về mơ hình Heisenberg vấp từ.
Tìm hiểu một số phương pháp nghiên cứu mơ hình Heisenberg, đặc biệt là
phương pháp biểu diễn qua các toán tử fermion mà Popov-Fedotov đề xuất, từ
đó áp dụng tính tốn cụ thể cho mơ hình Heisenberg vấp từ trên mạng hình
vng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Vật liệu từ với các spin định xứ S=1/2 được mơ tả bằng Hamiltonian
Heisenberg trên mạng hình vng với tương tác trao đổi phản sắt từ giữa các nút
lân cận gần nhất và tiếp lân cận gần nhất.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về mơ hình Heisenberg và hiện tượng vấp từ.
Tìm hiểu các phương pháp biểu diễn tốn tử spin qua tốn tử chính tắc,
đặc biệt là phương pháp Popov-Fedotov .
Áp dụng cho bài tốn cụ thể trên mơ hình Heisenberg phản sắt từ mạng
hình vng với tương tác cạnh tranh
Thực hiện tính số trên phần mềm Mathematica
5. Phương pháp nghiên cứu

2

Phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong hệ nhiều hạt kết hợp với tính
số trên máy tính.
6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Thu nhiệt độ chuyển pha trong điều kiện ràng buộc chính xác.
Thu độ từ hóa tự phát, năng lượng tự do trong gần đúng một vòng, nội
năng và nhiệt dung đẳng tích.
7. Bố cục luận văn
Dựa trên các vấn đề đã nêu trên, em dự kiến hoàn thành luận văn này với
bố cục gồm 3 chương sau:
Chương I: Tổng quan mơ hình Heisenberg và hiện tượng từ vấp.
Chương II: Tổng quan về phương pháp Popov-Fedotov.
Chương III: Áp dụng phương pháp Popov-Fedotov cho mơ hình
Heisenberg phản sắt từ mạng hình vng với tương tác cạnh tranh.

3


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN MƠ HÌNH HEISENBERG VÀ HỆ VẤP TỪ
1.1. Mơ hình Heisenberg
1.1.1 . Phân loại vật liệu từ
Vật liệu từ có thể là kim loại, bán dẫn hay điện mơi. Tính chất từ của vật
liệu là do chúng có các momen từ. Các hệ này có thể là nguyên tử , phân tử hay
ions với số electron là số lẻ, hoặc có một số phân tử với số electron là chẵn (O 2
và một vài hợp chất hữu cơ), hoặc các ngun tử có lớp vỏ khơng lấp đầy dù
rằng số electron là chẵn (lớp 3d, 4f, 5f). Trong mỗi lớp vỏ này mỗi electron
được đặc trưng bằng momen quỹ đạo : s - electron khơng có momen quỹ đạo, p electron có momen quỹ đạo bằng 1, d - electron momen có quỹ đạo bằng 2, f electron có momen quỹ đạo bằng 3…Như vậy các ion hay các nguyên tử trên
mỗi nút mạng có thể có momen góc (là tổng các momen quỹ đạo
và spin ),

bằng ½, 1, 3/2…Chính momen góc là cội nguồn của moment từ - đại lượng đặc
trưng cơ bản cho tính chất từ của các ion,nguyên tử, điện tử. Trong vật lí cổ điển
momen từ có thể hình dung như lưỡng cực từ. Trong cơ học lượng tử, momen từ
liên hệ với momen góc

như sau:

M  gBJ  gB L S 
trong đó:

 (1.1)

: magneton Borh, g: hệ số Lande

Tính chất từ của vật liệu thể hiện ở phản ứng của vật liệu khi có từ trường
ngồi, được đặc trưng bởi độ từ hố là trung bình nhiệt động học của momen từ
(1.1) và độ cảm từ là đạo hàm bậc 2 của năng lượng tự do F theo từ trường ngoài
H:
(1.2)

Một số vật liệu từ có mơmen từ dư hay cịn gọi độ từ hóa tự phát ngay cả
khi khơng có từ trường ngồi và được gọi là có trật tự từ. Ta cũng có thể hình
dung trật tự từ như là trạng thái khi các mômen từ trong các vật liệu định hướng
theo một quy tắc nhất định trong không gian được hiểu như một trật tự tầm xa .
Nếu mômen từ trên tất cả các nút song song với nhau thì ta có chất sắt từ. Nếu
mơmen từ trên một phân mạng phản song song với phân mạng khác thì đó là
phản sắt từ. Nếu trật tự phản song song khơng làm triệt tiêu mơmen từ tồn phần
4

thì ta có ferrit từ. Trật tự từ sẽ bị phá hủy do dao động nhiệt của các mômen từ ở
một nhiệt độ gọi là nhiệt độ tới hạn Curie TC cho vật liệu sắt từ và ferrit từ,
nhiệt độ Neel TN cho vật liệu phản sắt từ.
Trong Bảng 1.1 ta có thống kê cho 6 nhóm vật liệu chính
Loại vật liệu

Độ từ hóa của cả mẫu Trật tự từ tầm xa

Nghịch từ

Khơng có

Khơng có

Thuận từ

Khơng có

Khơng có

Sắt từ

Lớn

Có khi T < TC

Fernit từ

Vừa phải

Có khi T < TC

Phản sắt từ

Khơng có

Có khi T < TN

Sắt từ yếu

Nhỏ

Có khi T < TC

Bảng 1.1. Từ tính của vật liệu
Có thể điểm qua những tính chất cơ bản của từng nhóm vật liệu từ nêu
trên như sau [4]:
Nghịch từ
Tính nghịch từ là khi các vật liệu bị đẩy ra khỏi từ trường ngoài do tương
tác của từ trường ngoài với phân từ hoặc với các quỹ đạo nguyên tử có các
electron hợp thành từng cặp. Tính nghịch từ khơng phụ thuộc vào nhiệt độ, độ
lớn tỉ lệ thuận với khối lượng phân tử của vật liệu. Ngoại trừ hợp chất có gốc
Hydro, tất cả các ngun tử và phân tử có tính nghịch từ, mặc dù thường rất yếu.
Các vật liệu nghịch từ gồm các ngun tử khơng có mơmen từ (do các lớp lấp
đầy nên khơng có electron đơn lẻ). Khi đặt trong từ trường, từ hóa có hướng
ngược từ trường. Với các chất kim loại thì nghịch từ là do phản ứng của electron
với từ trường ngồi. Nói chung độ cảm nghịch từ  d là một phần đóng góp vào
độ cảm từ chung của vật liệu:

   p  d

(1.3)

Với kim loại thì:



5



Trong đó ( F ) là mật độ trạng thái ở mức Fermi. Từ (1.4) – (1.5) ta thấy
các kim loại thường là thuận từ. Một số vật liệu là nghịch từ như methane (có χd
~ -13,906.10-6 và χd ~ +0,189.10-6) hoặc các khí trơ He, Ne và ion F-,Cl-,Li+,…
Thuận từ
Tính thuận thuận từ là khi vật liệu bị hút bởi từ trường ngoài do tương tác
của từ trường với mơmen từ do vật liệu thuận từ có các electron khơng kết cặp.
Khi có từ trường ngồi, các mơmen từ định hướng theo từ trường, kết quả là độ
từ hóa khác không và tự cảm lớn hơn không. Do dao động nhiệt nên các mơmen
này cịn có xu hướng định hướng hỗn loạn ngẫu nhiên, vì vậy từ cảm phụ thuộc
nhiệt độ theo định luật Curie:

Hoặc định luật Curie - Weiss:
;
Sắt từ
Là các vật liệu có trật tự tầm xa tức là các mômen từ định hướng theo một
trật tự nhất định khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn nào đó. Nguyên nhân của
việc này là do tương tác trao đổi mạnh giữa các mômen từ định xứ hoặc do
tương quan mạnh của các hệ mômen từ linh động.
Trạng thái sắt từ cũng là trạng thái tự phát: Khi T < TC , từ độ tự phát

xuất hiện ngay cả khi H = 0. Tuy nhiên, thông thường khi H = 0 ta nhận thấy
vật liệu bị khử từ. Điều này được giải thích bởi cấu trúc đơmen.
Ferrit từ
Vật liệu ferrit (nhóm các vật liệu gốm) có cơng thức hóa học chung là
XO.Y2O3 với X là một kim loại hóa trị 3 (mà dùng phổ biến nhất là Sắt - Fe). Ví
dụ: ZnO.Fe2O3 , MnO.Fe2O3 , ferrit Bari BaFe12O19, hay các ferrit - garnet
(Y3Fe5O12 , 5Fe2O3.3Y2O3...).
6


Với vật liệu ferrit từ, hai vị trí mạng A và B trong tinh thể có các spin có
độ lớn khác nhau sắp xếp phản song song với nhau dẫn đến độ từ hóa tổng cộng
khác khơng cả khi từ trường ngồi bằng khơng. Từ độ tổng cộng này được gọi là
từ độ tự phát. Tồn tại nhiệt độ chuyển pha TC gọi là nhiệt độ Curie. Tại T > TC
trật tự từ bị phá vỡ và vật liệu trở thành thuận từ.
Phản sắt từ
Vật liệu phản sắt từ ( Cr, FeO, MnO, NiO, CoO ) cũng giống vật liệu
thuận từ ở chỗ nó có từ tính yếu, nhưng khác với vật liệu thuận từ, sự phụ thuộc
nhiệt độ của
của nó có một hõm tại nhiệt độ TN gọi là nhiệt độ Néel.
Khi T < TN các spin ở hai phân mạng A và B có trật tự phản song song.
Khi T > TN sự sắp xếp spin trở nên hỗn loạn,
thuận từ.

lại tăng như vật liệu

1.1.2. Mơ hình Heisenberg
Mơ hình Heisenberg là một trong số những mơ hình mơ tả hệ mômen từ
định xứ tương tác với nhau. Mô hình này được xây dựng dựa trên cơ sở của
tương tác Coulomb giữa các electron kết hợp với nguyên lí loại trừ Pauli.

Heisenberg đề xuất Hamiltonian tương tác của hệ các Si định xứ tại nút
spin có dạng:
(1.6)
Trong đó: Jij là hằng số tương tác, phụ thuộc vào khoảng cách giữa các
nút i và j.
Ta có:
• Nếu Jij> 0, Hamiltonian (1.6) mơ tả hệ phản sắt từ.
• Nếu Jij < 0, Hamiltonian (1.6) mơ tả hệ sắt từ.
Vì hằng số tương tác giảm theo bình phương của khoảng cách hai nút i và
j nên thường giới hạn các cặp i, j là các cặp lân cận gần nhất hay tiếp lân cận gần
nhất:
• Nếu chỉ giới hạn i,j là các nút lân cận gần nhất , ta có gần đúng n.n
(nearest- neighbor) và kí hiệu lấy tổng theo i,j là <i,j>.
• Nếu tính tiếp tới i,j là các nút tiếp theo lân cận gần nhất , ta có gần đúng
n.n.n (next- nearest neighbor) và kí hiệu lấy tổng theo i,j là <<i,j>>. Tương tự có

7


thể tính các gần đúng tiếp theo.
Ngồi ra:
• Nếu Jij phụ thuộc vào các hướng trong không gian tọa độ, ta có mơ hình
Heisenberg bất đẳng hướng trong khơng gian thực.
• Nếu Jij chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nút, ta có mơ hình
Heisenberg đẳng hướng.
• Nếu Jij phụ thuộc vào hướng trong khơng gian spin thì Hamiltonian (1.6)
viết lại dưới dạng:
H=

(1.7)

Và ta có mơ hình Heisenberg bất đẳng hướng trong không gian spin. Nếu
coi Si là các vector thơng thường, ta có giới hạn mơ hình Heisenberg cổ điển. Vì
hiện tượng từ có bản chất lượng tử nên ta phải coi Si là các toán tử vector. Các
tốn tử spin Si thỏa mãn các tính chất của toán tử momen xung lượng. Hệ thức
giao hoán giữa các thành phần của chúng có dạng:
(1.8)
trong đó

là tensor phản đối xứng hoàn toàn theo cả 3 chỉ số (tensor Levi-

Civita).
Như vậy,
khơng là các tốn tử chính tắc như các tốn tử Fermion hay
Boson. điều này là nguyên nhân gây khó khăn khi làm việc với Halmintonian
(1.6) dù nó chỉ chưa tích của 2 tốn tử spin.
1.2. Vấp từ.
Cách đây sáu thập kỷ, hệ spin vấp lần đầu tiên đã được nghiên cứu. Sự
vấp được sinh ra bởi sự cạnh tranh của các loại tương tác khác nhau hoặc bởi
tính đối xứng mạng, khi tương tác trên các liên kết không đồng thời thỏa mãn
điều kiện cực tiểu năng lượng của cả hệ. Vấp từ có hai loại là vấp tương tác và
vấp hình học.
1.2.1. Vấp tương tác
Do sự cạnh tranh giữa các loại tương tác khác nhau mà không biết tương tác nào
sẽ chiếm ưu thế hơn, thường được gọi là vấp tương tác. Ví dụ, ta xét một mạng
hình vuông, tương tác lân cận giữa các nút gần nhất là trao đổi phản sắt từ. Lúc
đó ta có hệ phản sắt từ trên hình 1.2a). Bây giờ ta xét thêm tương tác theo đường
8

chéo cũng là trao đổi phản sắt từ. Trao đổi phản sắt từ theo đường chéo làm cho
các spin trên bốn đỉnh có thể đồng thời thỏa mãn với tương tác theo cạnh và theo
đường chéo. Kết quả là có những chỗ ta không xác định được sự định hướng của

(a)
spin. Điều này được thể hiện trên Hình 1.2b).

(b)

Hình 1.2: (a) Mơ hình mạng trật tự phản sắt từ (FM); (b) mạng từ bị vấp do
cạnh tranh tương tác phản sắt từ theo cạnh và theo đường chéo.
1.2.2 Vấp hình học
Về loại vấp thứ hai, thường được gọi là vấp hình học là khi chỉ có một
loại tương tác. Ví dụ, ta xét một mơ hình phản sắt từ mạng tam giác. Nếu ở
mạng hình vng thì trao đổi này sẽ tạo ra trật tự phản sắt từ và không có tính
vấp; nhưng ở mạng tam giác,nếu ở hai đỉnh mơ men từ phản song thì ở đỉnh cịn
lại sẽ song song với một trong hai đỉnh đó. Ở những chỗ bị phá vỡ đó, tương tác
giữa các spin khơng có lợi về mặt năng lượng so với năng lượng cực tiểu thông
thường của tương tác phản sắt từ khi hai spin định hướng ngược chiều nhau.
Điều này được thể hiện trên Hình 1.2: Hình 1.2a)thể hiện mạng trật tự phản sắt
từ (AFM) đối với mạng hình vng hai chiều, cịn Hình 1.2b) thể hiện mạng trật
tự phản sắt từ cho mạng tam giác liên kết phản sắt từ luôn bị phá vỡ ở một cạnh.
Nếu một vật liệu có đồng thời cả hai loại vấp này thì hiện tượng càng
phức tạp hơn. Hiện nay nhiều tính chất của hệ spin vấp vẫn chưa được hiểu thấu
đáo.

9


(a)

(b)

Hình 1.3: (a) Mơ hình mạng trật tự phản sắt từ (AFM);
(b) mạng phản sắt từ bị vấp do cấu trúc hình học.
Hệ quả của hiệu ứng vấp là trong trạng thái cơ bản tất cả các liên kết
không được thoả mãn đầy đủ. Trong các hệ spin vấp, một số spin xử sự như các
spin tự do. Trong các hệ spin vấp, cấu hình trạng thái cơ bản thường là khơng
đồng tuyến. Vì thế trạng thái cơ bản của hệ spin vấp là suy biến bậc cao.
Điều thú vị đối với các hệ vấp hình học này là do tương quan giữa thăng
giáng lượng tử và vấp hình học có thể xuất hiện những trạng thái rất đặc biệt
như "chất lỏng spin" và kích thích cơ bản spin phân số (s = 1/2) hoặc kích thích
cơ bản với điện tích phân số . Ở đây "chất lỏng spin" được hiểu là trạng thái mà
đối xứng tịnh tiến và đối xứng quay của spin bị vi phạm. Trạng thái "kỳ quái"
chất lỏng spin và kích thích spin phân số lần đầu tiên được Anderson và Farekas
đề xuất cách đây hơn 30 năm [16] . Sự tồn tại của trạng thái này được khẳng
định đối với hệ một chiều 1D, song với hệ hai chiều 2D điều này vẫn còn đang
được tranh cãi cả về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm.
1.2.3 Tính chất chung của các hệ vấp từ [5,6]
Khi hệ bị vấp, ở trạng thái cơ bản tất cả các mối liên kết khơng được thỏa
mãn đồng thời. Để tìm những tính chất chung của hệ vấp, trước hết ta xét một
mơ hình đơn giản nhất là tương tác phản sắt từ chỉ có một thành phần theo trục
z: Mơ hình Ising, trong đó Sz chỉ nhận một trong hai giá trị lên (up) và xuống
(down).
,J>0
(1.9)
Trên mạng có cấu trúc hai phân mạng (như mạng hình vng) thì trạng
thái cơ bản sẽ có spin trái chiều trên các nút lân cận. Tuy nhiên trên mạng có cấu
trúc lớn hơn hai phân mạng thì tình hình sẽ khác.
Xét mạng gồm ba phân mạng trên các đỉnh của tam giác đều (xem hình

10


1.2). Năng lượng cực tiểu trên mỗi liên kết là    jS 2. Tam giác đều có ba liên
kết nên lẽ ra, năng lượng cực tiểu của tam giác là 3 jS 2 Nhưng với tương tác
Ising, năng lượng cực tiểu thực tế của tam giác chỉ là  jS 2 . Lí do là bao giờ cũng
có hai liên kết phản sắt từ với năng lượng trên mỗi liên kết là  jS 2 và một liên
kết sắt từ với năng lượng là jS 2. Mở rộng bài tốn cho mạng có N nút, mỗi nút
có 6 liên kết với 6 lân cận gần nhất thì mạng tam giác với tương tác phản săt từ
Ising sẽ có năng lượng ở trạng thái cơ bản là NJS 2 , lớn hơn nhiều so với năng
lượng trong trạng thái khơng bị vấp 3JS 2 . Do đó, đặc tính đầu tiên ta chứng
minh được đó là: vấp hình học làm tăng năng lượng trạng thái cơ bản.
Đặc điểm thứ hai là trạng thái cơ bản của hệ spin vấp có độ suy biến cao.
Thật vậy, mỗi tam giác do vấp hình học có một liên kết khơng thỏa mãn tương
tác phản sắt từ. Ta có thể chia mạng tam giác thành hai tập con: một tập con
gồm 2N/3 nút nằm trên mạng lục giác tổ ong, còn tập hợp con thứ hai gồm N/3
nút nằm tại tâm của lục giác đều. Dù spin ở tâm lục giác đều hướng theo hướng
nào (lên hay xuống) thì năng lượng trạng thái cơ bản vẫn không thay đổi và vẫn
đảm bảo mỗi tam giác cơ sở có một liên kết phản sắt từ không thỏa mãn. Ở tâm
của lục giác đều, mỗi spin có hai hướng. Vậy độ suy biến của hệ là 2N/3, sẽ là
lớn hơn theo bậc lũy thừa.
Các lý luận trên có thể mở rộng cho tương tác Heisenberg phản sắt từ tổng
quát và cho cấu trúc mạng khác. Vì vậy, hai đặc tính kể trên thuộc tính chung
cho mọi hệ vấp.

Hình 1.4: Chia mạng tam giác thành hai tập hợp con: một tập hợp con gồm
2N/3 nút nằm trên mạng lục giác tổ ong, còn tập hợp con thứ hai gồm N/3 nút
nằm tại tâm của lục giác đều.
11

Ta cũng chứng minh tương tự cho các cấu trúc mạng bị vấp khác. Ví dụ
các mạng tam sau đây:

Mạng tam giác

Mạng Kagomé

Mạng dàn
Mạng bounce
Hình 1.5: Một số mạng vấp hình học [6].

12


CHƯƠNG 2. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP POPOV-FEDOTOV
2.1. Biểu diễn tốn tử spin qua các tốn tử chính tắc
Các tốn tử spin tuân theo hệ thức giao hoán (1.8), như vậy các tốn
tử spin là khơng chính tắc nên gặp nhiều khó khăn trong nghiên cứu. Để
giải quyết vấn đề này cách thơng dụng nhất là biểu diễn các tốn tử spin
thơng qua các tốn tử chính tắc khác. Các biểu diễn được nhiều n
hà khoa học sử dụng nghiên cứu spin thơng qua tốn tử Boson như phương
pháp Holstein-Primakov, phương pháp Schwinger Boson, phương pháp
Dyson – Maleev hay qua các toán tử fermion.
2.1.2. Biểu diễn các toán tử spin qua các tốn tử chính tắc Boson.
Thơng dụng nhất là các toán tử spin S z ; S  được biểu diễn theo các toán tử
boson theo khai triển Holstein – Primakov như sau :
S z  S  a  a
 
x

y


 S  S  iS  a 2S  a a
 
x
y

 S  S  iS  2S  a a a

(2.1)

Nếu a  , a là các tử boson thì có thể thử lại từ (2.1) suy ra các thành phần
của toán tử Si thỏa mãn giao hốn tử (1.8).
Trên mỗi nút chỉ có một spin với giá trị hình chiếu trên trục lượng tử là –s,s+1,……S-1,S tức là có thể có 2S=1 giá trị. Tuy nhiên các tốn tử boson có
thể tạo ra các giá trị spin bất kỳ trên các nút, như vây các trạng thái với số
boson n>2s sẽ là phi vật lý.
Các tốn tử số hạt nằm trong căn nên khơng thuận lợi, vì vậy trong thực tế
người ta khai triển Taylor căn bậc hai :
1/2

 aa 


1 a  aa 1 a  aa  a
S  2S 1 
a

2
S

a


 ... 


2
2S 
2 2S
8 4S





1/2

 a a
S   2S a  1 

2S 





1 a a a 1 a aa a
 2S  a  

 ... 

2
2 2S
8 4S




13







(2.2)


Sau đó tùy theo khả năng và tùy theo bài toán, người ta giữ lại các bậc cần
thiết theo các tốn tử boson.
Ngồi biểu diễn Holstein – Primakov cịn có các biểu diễn qua các
toán tử boson khavs mhuw biểu diễn Dyson-Maleev hay

biểu diễn

Schwinger boson mà ta không đề cập ở đây.
2.1.3. Biểu diễn các toán tử Spin qua các tốn tử chính tắc Fermion.
Tốn tử spin S có thể được viết dưới dạng sau:
Si 

1
f iσ f i

2  ,

(2.3)

Trong đó α,β nhận 2S+1 giá trị, khi spin S=1/2 thì có thể l là 1,2 hoặc ↑,↓;
các tốn tử fi , f j là các toán tử sinh hủy fermion tuân theo hệ thức phản
giao hoán :

f


i

, f j    ij

(2.4)

và σ là các ma trận spin (2S+1)x(2S+1).
Trước hết ta xét trường hợp S=1/2. Với S=1/2 thì σ là các ma trận Pauli với
các thành phần như sau :
0 1

1 0 
 0 i 
; z  
.


0
 0 1

x 
; y  

i
1 0

(2.5)

Khai triển các thành phần của toán tử spin :
Sz 

1 
f  f   f  f   ;

2

Sx 

1 
f  f   f  f   ;

2

Sy 

và:

(2.6)

i 
f  f   f  f   .

2

S   S x  iS y  f f ; S   S x  iS y  f f

(2.7)

Sử dụng các hệ thức phản giao hốn của tốn tử fermion ta thấy hồn
tồn thỏa mãn hệ thức (1.8)).

14


Trong trường hợp S = 1 thì  thay vì là ma trận Pauli sẽ là các ma trận
3x3 sau:
1 0 0 


  0 0 0 
 0 0 1


z

0 1 0



   i 0 1
0 i 0


x

;

;

 0 1 0


   i 0 1 
 0 i 0 


y

(2.8)
trong đó các chỉ số  ,  sẽ nhận các giá trị 1, 2, 3 vì ma trận spin S = 1 là ma
trận 3x3.
2.2. Vấn đề khử các trạng thái phi vật lý trong biểu diễn fermion
2.2.1. Trường hợp S=1/2.
Trong không gian Fock của các từ Fermion thì trên mỗi nút có 4 trạng thái:
Trạng thái chân khơng:

0

(2.9a)

Trạng thái có 1 spin lên:

,0  1,0 i  fi 0

(2.9b)

Trạng thái có 1 spin xuống :

,0  1,0 i  fi 0

(2.9c)

Trạng thái có 2 spin:

2 i  ,   1,1 i  fi fi 0

(2.9d)

i

i

i

Trong không gian Hillbert mô tả các trạng thái vật lý thì trên mỗi nút
i chỉ có thể có 1 spin định xứ với hình chiếu spin lên (2.9b) hoặc xuống
(2.9c). Nếu định nghĩa số hạt Ferminon là:
ni   fi† fi

(2.10)



thì các trạng thái vật lý (2.9b) và (2.9c) tương ứng với:
ni  1

(2.11)

Các trạng thái không chứa hạt (2.9a) ( ni  0 ) và chứa hai hạt (2.9d)
(n=2) không là trạng thái vật lý và cần phải loại bỏ trong q trình tính
tốn, nghĩa là trên mỗi nút luôn phải áp đặt điều kiện ràng buộc (2.11).
15


Điều kiện ràng buộc (2.11) còn được gọi là phép chiếu trong khơng gian
Fock (2.9) của các tốn tử fermion lên không gian con vật lý (2.9b)-(2.9c).
Điều kiện ràng buộc này là trên từng nút, như vậy nếu như cách tiếp cận
thông thường bằng cách đưa vào tham số Lagrange thi ta cần đưa vào N
tham số (N là số nút mạng). Điều này là hồn tồn khơng khả thi. Vì vậy
thơng thường điều kiện (2.11) được làm yếu đi bằng cách xét trong gần
đúng trường trung bình, khi ràng buộc một hạt trên một nút được thay bằng
ràng buộc trung bình nhiệt động:
ni   fi , fi  1 cho mọi i

(2.12)



Để đảm bảo điều kiện ràng buộc (2.12) ta có thể chiếu khơng gian
Fock vào khơng gian vật lý bằng cách đưa vào chỉ một tham số Lagrange:
Pˆ =  d e









 fi fi 1



i

(2.13)

Giá trị của  thường được xác định trong gần đúng trường trung bình.
Để xét một cách chính xác điều kiện rang buộc mà không dùng tham số
Lagrange, Popov-Fedotov đã đề xuất một cách tiếp cận khác như sau:
Xét tổng thống kê:
Z  Tr e   H 

(2.14)

Thay vì (2.14) Popov-Fedotov đưa vào toán tử chiếu
1 i  Nˆ

Pˆ  N e 2
i

(2.15)

trong đó Nˆ   fi fi là tốn tử số hạt.
i

Lúc đó tổng thống kê có dạng:

16


   ( H i 2  fi fi ) 
1
 H ˆ
i


Z  Trf e .P   N Trf e

i


1
ˆ
 N Tr e   ( H   N 


i

(2.16)

trong đó H là H mà các toán tử spin đã được biểu diễn qua (2.3),  là thế
hóa học ảo   i


. Từ ta có:
2
1 
f f  ff  0 0
2  i i i i 
Si 0  fi f i 0  0

Siz 0 

Si 0  fi f i 0  0

(2.17)

1
S 2   fi fi  fi fi  fi fi 0  0
2

Si 2  fi fi fi fi 0  0
z
i

Si 2  fi fi fi fi 0  0

Điều này nghĩa là: H phi vat ly  H ni  1  0

(2.18)

Ngồi ra ta cịn có:  ni , H   0

(2.19)

Từ (2.19) ta suy ra có thể mơ tả vec tơ riêng của H bằng giá trị ni trên mỗi
nút ni   0,1, 2 và một số lượng tử khác  n nói chung có thể phụ thuộc ni .
i

Ta có vecto riêng của H ký hiệu là ni ,  n  n1 , n2 ,...nN ;  n
i

i

thỏa mãn

phương trình:



H ni ,  ni  E ni ,  ni



(2.20)

Khi đó (2.16) viết lại tường minh là:

Z PF 

1
iN




ni

ni  0,1,2

ˆ

ni ,  ni e   ( H   N ) ni ,  ni





 i .1
 i .0
 i .2  

  E ( ni 1,1 )
  .0 
2
2
ni  1, 1 e e  e
 e 2   (2.21)

 ni  1, 1 e

 ni 

 

  n
 e

1
 N
i
n

17


Khi thu được (2.21) ta đã sử dụng (2.19) và ta kí hiệu lại
E  ni  1, 1    n . Cơng thức (2.21) chính là tổng thống kê thơng thường, vì

vậy ta có thể sử dụng (2.21) để tìm các đại lượng vật lý.
2.2.2. Trường hợp S=1
Khi S=1 thì trong khơng gian Fock của các tốn tử fermion thì trên mỗi nút
có 8 trạng thái:
- 01 trạng thái chân khơng:

(2.22a)

0

- 03 trạng thái có 1 fermion

fi 0

- 03 trạng thái có 2 fermion:

fi fi 0

(2.22b)
(2.22c)

fi fi fi 0

- 01 trạng thái có 3 fermion

(2.22d)

Trong khơng gian Hillbert mơ tả các trạng thái vật lý thì trên mỗi nút i chỉ
có thể có 1 spin định xứ với hình chiếu spin S = 1, S = -1 hoặc S = 0 nghĩa
là ứng với trạng thái (2.22b) trong khơng gian Fock của các fermion. Ngồi
ra, do Hamiltonian (2.1) có đối xứng hạt-lỗ trống nên các trạng thái vật lý
(2.22b) và (2.22c) tương ứng với: ni  1 .Các trạng thái có hai fermion tương
đương với các trạng thái có một fermion và cũng là các trạng thái vật lý.
Các trạng thái không chứa hạt (2.22a) ( ni  0 ) và chứa ba hạt (2.22d) (ni =
3) không là trạng thái vật lý và cần phải loại bỏ trong q trình tính tốn,
nghĩa là trên mỗi nút luôn phải áp đặt điều kiện ràng buộc (2.11). Tương tự
như khi SƯ=1/2 để tính chính xác điều kiện ràng buộc có một fermion trên
mỗi nút, Popov-Fedotov đưa vào tốn tử chiếu []:
N

 i  i  Nˆ
ˆ    e 3
 3

(2.23)

Bây giờ ta hãy xét tổng thống kê trong biểu diễn Popov-Fedotov:

18


Z  Trf e

 H

N
   ( H i 3  fi  fi )   i  N
i


ˆ
i
.Pˆ     Trf e
    Tr e  ( H   N )  ,


 3

  3 

(2.24)
trong đó  là thế hóa học ảo   i


, Ta cũng có:
3

Siz 0  0,
Si 0  0,

(2.25)

Si 0  0,

Điều này nghĩa là: H phi vat ly  H ni  1  0.

(2.26)

Tương tự như khi dẫn cơng thức (2.21), ta có:

Z

PF

 i 


 3

N




ni

ni  0,1,2

ˆ

ni ,  ni e   ( H   N ) ni ,  ni





 i .1
 i .0
 i .2  

  E ( ni 1,1 )
  .0 
3
3
ni  1, 1 e e  e
 e 3 
 ni  1, 1 e

 ni 


 

  e  n .

 i 


 3

N

n

(2.27)
Như vậy bằng phép chiếu (2.15) cho S=1/2 và (2.23) cho S=1 ta có thể loại
bỏ các trạng thái phi vật lý trên mỗi nút, tức là tính được chính xác điều
kiện ràng buộc. Việc đưa vào toán tử chiếu (2.15) và (2.23) tương đương
với việc gán cho hệ một thế hóa học ảo   i

i

và   .
3
2

2.3. Tổng thống kê trong biểu diễn tích phân phiếm hàm PopovFedotov
Các tác giả Popov-Fedotov trong cơng trình gốc [6] đã biểu diễn tổng
thống kê với các phép chiếu qua tích phân phiếm hàm của các trạng thái
kết hợp fermion.

19