Logic mệnh đề trong một số bài toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Phương Thúy

LOGIC MỆNH ĐỀ
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Phương Thúy

LOGIC MỆNH ĐỀ
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS. Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Lời cảm ơn
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận
được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô trong tổ Đại
số nói riêng và các thầy cô trong khoa Toán trường đại học Sư phạm
Hà Nội 2 nói chung, cùng với sự hỗ trợ giúp đỡ của các bạn sinh
viên.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán
trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp
đỡ em trong những năm học vừa qua và tạo điều kiện để em hoàn
thành khóa luận này.
Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo
ThS. Dương Thị Luyến đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ
em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

Hoàng Phương Thúy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của cô giáo ThS. Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắng
của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết
quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết
quả của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

Hoàng Phương Thúy


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Lời mở đầu

1

1 Logic mệnh đề

3

1.1

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các phép toán logic trên mệnh đề . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Phép kéo theo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.5

Phép tương đương . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Công thức của logic mệnh đề

. . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Sự tương đương logic giữa hai công thức . . .

8

1.3.3

Những đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Phép biến đổi công thức . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5

Các mệnh đề liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

1.5.1

Các mệnh đề liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2

Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và

đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6

1.7

Luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2

Một số luật quan trọng của logic mệnh đề . . 14

1.6.3

Liên hệ giữa đẳng thức và luật . . . . . . . . . 16

Hệ quả logic và qui tắc suy luận . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2

Luật và qui tắc suy luận . . . . . . . . . . . . 18

1.7.3

Một số qui tắc suy luận thường được vận dụng
trong các suy luận toán học . . . . . . . . . . 19

1.8

Logic vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1

Vị từ (hay hàm mệnh đề) . . . . . . . . . . . 22

1.8.2

Các phép toán logic trên các vị từ 1 - ngôi . . 24

1.8.3

Lượng từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.4

Qui tắc suy luận trong logic vị từ . . . . . . . 28

2 Suy luận và chứng minh
2.1

2.2

29

Suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2

Hai kiểu suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1

Khái niệm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2

Kết cấu của chứng minh . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3

Các phương pháp chứng minh trong toán học

31


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

3 Các yếu tố logic trong một số vấn đề Toán học ở phổ
thông

35

3.1

Yếu tố logic trong các định nghĩa Toán học . . . . . . 35

3.2

Yếu tố logic trong các định lí Toán học . . . . . . . . 36

3.3

Yếu tố logic trong các hằng đẳng thức và bất đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4

Yếu tố logic trong phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . 37

3.5

Các yếu tố logic trong một số bài toán chứng minh ở
phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6

Những sai lầm thường gặp trong chứng minh . . . . . 45
3.6.1

Sai lầm do suy luận không hợp logic . . . . . 46

3.6.2

Dựa vào tiền đề sai hoặc tiền đề chưa được
chứng minh, hoặc dựa vào một điều không
đúng với giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

54


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Lời mở đầu
Logic mệnh đề với các qui tắc suy luận logic có vai trò rất quan
trọng trong Toán học nói chung và trong môn Toán ở phổ thông nói
riêng. Việc sử dụng logic mệnh đề cùng các qui tắc suy luận logic
sẽ giúp người học không chỉ nắm vững kiến thức, hiểu rõ bản chất
vấn đề mà còn rèn luyện khả năng tư duy Toán học. Vận dụng logic

mệnh đề người học có thể dễ dàng suy luận, chứng minh, giải các
bài toán một cách đúng đắn, chính xác và hạn chế việc mắc sai lầm
khi giải bài. Vai trò của logic mệnh đề còn được đánh giá cao trong
sự phát triển tư duy cho con người, trong các hoạt động nhận thức
khoa học và trong cả các hoạt động nhận thức khác trong đời sống.
Do đó em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Logic mệnh đề trong một
số bài toán ở phổ thông".
Khóa luận gồm ba chương.
Chương 1 "Logic mệnh đề" trình bày một số khái niệm, công
thức, luật và qui tắc suy luận trong logic mệnh đề.
Chương 2 "Suy luận và chứng minh" trình bày một số khái niệm,
tìm hiểu chứng minh và kết cấu của chứng minh, các phương pháp
chứng minh toán học thường dùng.
Chương 3 "Các yếu tố logic trong một số bài toán ở phổ thông"
vận dụng logic mệnh đề để phân tích một số định nghĩa, định lí,
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, phân tích các suy
luận, một số bài toán chứng minh ở phổ thông, đưa ra một số sai
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

lầm thường gặp trong chứng minh.
Tác giả luận văn xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc và kính
trọng tới ThS. Dương Thị Luyến đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo
tác giả trong quá trình nghiên cứu, đọc tài liệu, góp ý chi tiết về
cách trình bày một số kết quả trong luận văn.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô giáo tổ Đại số
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và
thực hiện bản khóa luận này.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế về năng lực, khả
năng tự nghiên cứu của bản thân nên khóa luận không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn xem
xét, góp ý để khóa luận này được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

Hoàng Phương Thúy

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Chương 1
Logic mệnh đề
1.1

Mệnh đề

Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề là một khái niệm nguyên
thủy không định nghĩa. Những câu phản ánh đúng hay sai thực tế
khách quan được coi là những mệnh đề.
Ví dụ: "Số 30 chia hết cho 4" là mệnh đề sai.

"Tam giác có 3 góc nhọn là tam giác nhọn" là mệnh đề đúng.
Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán và nói chung các câu
không nhằm phản ánh tính đúng sai của thực tế khách quan đều
không được coi là mệnh đề.
Ví dụ: Các câu sau đây đều không là mệnh đề:
"Số 15 có phải hợp số không?"
"Hãy xác định trung bình cộng của 3 và 7."
"Số tự nhiên n là số nguyên tố."
"Căn phòng này đẹp quá!"
Ta thừa nhận rằng: Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có
mệnh đề nào không đúng mà cũng không sai, không có mệnh đề
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

nào vừa đúng vừa sai.
Như vậy ta hiểu: Mệnh đề là một câu khẳng định mà ta biết
được tính đúng sai của nó.
Mệnh đề đúng ta gán cho giá trị 1, mệnh đề sai ta gán cho giá
trị 0. Các giá trị 0, 1 gọi là giá trị chân lí của mệnh đề.
Ta thường kí hiệu mệnh đề là p, q, r, ... và gọi đó là các mệnh đề
đơn giản hay mệnh đề sơ cấp.
Khi p là mệnh đề đúng ta qui ước viết p = 1 và viết p = 0 khi p
là mệnh đề sai.

1.2
1.2.1

Các phép toán logic trên mệnh đề
Phép phủ định

Định nghĩa 1.1. Phép phủ định của mệnh đề p, ký hiệu là p, là
một mệnh đề sai khi p đúng và đúng khi p sai.
p
1
0

p
0
1

Bảng 1.1: Bảng chân lí của phép phủ định.

Phép phủ định trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ
"không" trong ngôn ngữ thông thường.
Ví dụ: Cho mệnh đề p: "9 chia hết cho 3" là mệnh đề đúng. Khi đó
phủ định của mệnh đề p là:
Mệnh đề p: "9 không chia hết cho 3" là mệnh đề sai.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Hoàng Phương Thúy

Phép hội

Định nghĩa 1.2. Cho 2 mệnh đề p và q, hội của 2 mệnh đề này là
một mệnh đề đúng khi cả p và q cùng đúng và sai trong các trường
hợp còn lại, ký hiệu là p ∧ q.
p
1
1
0
0

q p∧q
1
1
0
0
1
0
0
0

Bảng 1.2: Bảng chân lí của phép hội.

Phép hội trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ "và"
trong ngôn ngữ thông thường.
Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng là p: "2 là số chẵn" và q: "2 là số nguyên
tố". Khi đó mệnh đề hội của p và q là mệnh đề p ∧ q: "2 là số chẵn
và 2 là số nguyên tố" và đây là mệnh đề đúng theo định nghĩa của
phép hội.

1.2.3

Phép tuyển

Định nghĩa 1.3. Cho 2 mệnh đề p và q, tuyển của 2 mệnh đề này
là một mệnh đề sai khi cả p và q cùng sai và đúng trong các trường
hợp còn lại, ký hiệu là p ∨ q.
p
1
1
0
0

q p∨q
1
1
0
1
1
1
0
0

Bảng 1.3: Bảng chân lí của phép tuyển.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Phép tuyển trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ
"hoặc" trong ngôn ngữ thông thường. Tuy nhiên, liên từ "hoặc"
trong ngôn ngữ thông thường thường có 2 nghĩa loại trừ và không
loại trừ. Phép tuyển ở đây (sử dụng trong Toán học) được hiểu theo
nghĩa không loại trừ.
Ví dụ: Cho mệnh đề đúng p: "2 < 5" và mệnh đề sai q: "2 = 5".
Khi đó tuyển của p và q là mệnh đề p ∨ q: "2 ≤ 5" và đây là mệnh
đề đúng theo định nghĩa của phép tuyển.
1.2.4

Phép kéo theo

Định nghĩa 1.4. Cho 2 mệnh đề p và q, p kéo theo q là một mệnh
đề chỉ sai khi p đúng và q sai, và đúng trong các trường hợp còn lại,
ký hiệu là p ⇒ q.
p
1
1
0
0

q p⇒q
1
1
0
0
1
1

0
1

Bảng 1.4: Bảng chân lí của phép kéo theo.

Phép kéo theo trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của cụm
từ "nếu ... thì..." trong ngôn ngữ thông thường.
Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng p: "Tam giác ABC cân tại A" và
q: "Tam giác ABC có AB = AC". Khi đó p kéo theo q là mệnh đề
p ⇒ q: "Nếu tam giác ABC cân thì AB = AC" và là mệnh đề đúng
theo định nghĩa của kéo theo.

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.5

Hoàng Phương Thúy

Phép tương đương

Định nghĩa 1.5. Cho 2 mệnh đề p và q, p tương đương q là một
mệnh đề đúng khi cả 2 mệnh đề p, q cùng đúng hoặc cùng sai, và
sai trong các trường hợp còn lại, ký hiệu là p ⇔ q.
p
1
1
0

0

q p⇔q
1
1
0
0
1
0
0
1

Bảng 1.5: Bảng chân lí của phép tương đương.

Phép kéo theo trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của cụm
từ "nếu và chỉ nếu" hay "khi và chỉ khi" trong ngôn ngữ thông
thường.
Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng p: "Tam giác ABC là tam giác vuông"
và q: "Tam giác ABC có AB 2 +AC 2 = BC 2 ". Khi đó p tương đương
q là mệnh đề p ⇔ q: "Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi
AB 2 + AC 2 = BC 2 " và là một mệnh đề đúng theo định nghĩa của
phép tương đương.

1.3

Công thức của logic mệnh đề

Từ các mệnh đề sơ cấp, nhờ các phép toán logic đã được định
nghĩa ở trên, ta có thể lập được những mệnh đề phức tạp hơn.
1.3.1

Định nghĩa

i) Các mệnh đề đơn giản p, q, r, ... là các công thức (ta gọi là các
biến mệnh đề).
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

ii) Nếu P, Q là các công thức thì P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q
là các công thức.
iii) Mọi dãy kí hiệu khác, không được xác định theo các qui tắc i)
và ii) đều không phải là công thức.
Trong logic mệnh đề, khái niệm công thức tương tự như khái niệm
biểu thức trong Toán học. Vì vậy, các công thức logic thực chất là
các biểu thức logic.
Như vậy, một công thức logic bao gồm: biến mệnh đề, các phép
toán logic, các dấu ngoặc đơn để chỉ thứ tự thực hiện các phép toán.
1.3.2

Sự tương đương logic giữa hai công thức

Mỗi công thức của logic mệnh đề sẽ nhận được những giá trị
chân lí 1 hoặc 0 tùy thuộc vào những hệ giá trị chân lí mà ta gán
cho các biến mệnh đề có mặt trong nó.
Định nghĩa 1.6. Cho hai công thức P và Q. Ta nói rằng P tương
đương logic với Q, ký hiệu P ≡ Q, nếu chúng cùng nhận giá trị chân

lí như nhau với mọi hệ giá trị chân lí có thể có của các biến mệnh
đề có mặt trong chúng.
Hệ thức P ≡ Q gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic.
Khái niệm đẳng thức trong logic mệnh đề tương tự như khái niệm
hằng đẳng thức trong Toán học.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Chú ý
1. Trong định nghĩa sự tương đương logic của hai công thức, không
bắt buộc phải giả thiết chúng cùng chứa các biến mệnh đề như
nhau.
2. Để chứng minh đẳng thức P ≡ Q ta có thể dùng phương pháp
lập bảng chân lí.
1.3.3

Những đẳng thức cơ bản

1. Đẳng thức về phủ định của phủ định
p≡p

(1.1)

2. Tính chất giao hoán của phép hội và phép tuyển
p∧q ≡q∧p

(1.2)

p∨q ≡q∨p

(1.3)

3. Tính chất kết hợp của phép hội và phép tuyển
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

(1.4)

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

(1.5)

4. Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyển và của
phép tuyển
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
9

(1.6)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1.7)

5. Tính chất lũy đẳng của phép hội và phép tuyển
p∧p≡p

(1.8)

p∨p≡p

(1.9)

p∧q ≡p∨q

(1.10)

p∨q ≡p∧q

(1.11)

6. Luật De Morgan

7. Đẳng thức liên quan đến phép kéo theo
(p ⇒ q) ≡ p ∨ q

(1.12)

(p ⇒ q) ≡ p ∧ q

(1.13)

p⇒q≡q⇒p

(1.14)

8. Đẳng thức có liên quan đến phép tương đương
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

(1.15)

p⇔q≡q⇔p

(1.16)

p⇔q≡p⇔q

(1.17)

9. Đẳng thức có liên quan đến các hằng 0 và 1
p∧0≡0
10

(1.18)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

p∧1≡p

(1.19)

p∨0≡p

(1.20)

p∨1≡1

(1.21)

p∨p≡1

(1.22)

p∧p≡0

(1.23)

Các đẳng thức trên đều có thể chứng minh được bằng cách lập bảng
giá trị chân lí. Sau đây ta sẽ chứng minh minh họa một đẳng thức,
các đẳng thức còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự.
Chứng minh đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p ∨ q (1.12) ta lập bảng các giá
trị chân lí như sau:
p
1
1
0
0

q p

1 0
0 0
1 1
0 1

p⇒q
1
0
1
1

p∨q
1
0
1
1

Từ bảng giá trị chân lí, ta thấy hai công thức p ⇒ q và p∨q nhận
giá trị chân lí như nhau với mọi hệ chân lí có thể có của các biến
mệnh đề có mặt trong chúng. Do đó ta có đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p∨q
(1.12).

1.4

Phép biến đổi công thức

Cũng giống như các phép biến đổi đồng nhất trong Toán học,
trong logic mệnh đề, từ các đẳng thức đã cho, chúng ta có thể thực
hiện phép biến đổi đồng nhất. Phép biến đổi đồng nhất được sử
dụng để chứng minh một đẳng thức hoặc đưa một công thức về

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

dạng đơn giản hơn. Để biến đổi đồng nhất thuận tiện, người ta qui
ước như sau:
1. Không viết dấu ngoặc ngoài cùng đối với mỗi công thức. Nếu
có dấu phủ định trên một công thức nào đó thì ta bỏ dấu ngoặc
ở hai đầu công thức.
2. Có thể thay ký hiệu ∧ (và) bởi dấu "." hoặc bỏ hẳn nó đi.
3. Các phép toán logic được thực hiện theo thứ tự: phủ định, hội,
tuyển, kéo theo, tương đương và ưu tiên thực hiện trong ngoặc
trước, ngoài ngoặc sau.

1.5
1.5.1

Các mệnh đề liên hợp
Các mệnh đề liên hợp

Trong Toán học, các mệnh đề thường được viết dưới dạng mệnh
đề kéo theo p ⇒ q , trong đó p là giả thiết, q là kết luận.
Nếu ta gọi p ⇒ q (1) là mệnh đề thuận thì:
q ⇒ p (2) là mệnh đề đảo của (1)
p ⇒ q (3) là mệnh đề phản của (1)
q ⇒ p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)
Ta gọi bốn mệnh đề (1), (2), (3), (4) là những mệnh đề liên hợp với

nhau.
Khi đó ta có kết luận về sự liên quan giữa các mệnh đề liên hợp:
+ Mệnh đề thuận tương đương logic với mệnh đề phản đảo.
+ Mệnh đề đảo tương đương logic với mệnh đề phản.

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề p ⇒ q là
đúng thì ta có thể kết luận rằng mệnh đề q ⇒ p là đúng mà không
cần phải chứng minh, khi đã biết mệnh đề p ⇒ q là sai ta kết luận
mệnh đề q ⇒ p là sai.
1.5.2

Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề có dạng
p ⇒ q là đúng, ta nói rằng:
+ p là điều kiện đủ để có q.
+ q là điều kiện cần của p.
Do đó khi đã chứng minh được mệnh đề p ⇔ q là đúng bằng cách
chứng minh hai mệnh đề p ⇒ q và q ⇒ p là đúng, ta nói rằng p là
điều kiện cần và đủ để có q hay p là điều kiện cần và đủ của q.

1.6
1.6.1

Luật của logic mệnh đề
Định nghĩa

Định nghĩa 1.7. Cho công thức A. Khi đó:
+ A gọi là hằng đúng nếu A nhận giá trị 1 với mọi hệ giá trị chân
lí có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A.
Khi đó ta cũng gọi A là một luật của logic mệnh đề và ký hiệu
| = A.
+ A gọi là hằng sai nếu A nhận giá trị 0 với mọi hệ giá trị chân lí
có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A.
Khi đó ta cũng gọi A là một mâu thuẫn.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

+ A gọi là thực hiện được nếu nó nhận giá trị 1 với ít nhất một hệ
giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong A.
Nhận xét 1.1. Dựa vào định nghĩa ta thấy:
1. Công thức A là hằng đúng khi và chỉ khi phủ định của nó A là
hằng sai.
2. Nếu A là hằng đúng thì A là thực hiện được.
3. Hai công thức hằng đúng thì tương đương logic với nhau. Hai
công thức hằng sai cũng tương đương logic với nhau.
1.6.2

Một số luật quan trọng của logic mệnh đề

|= p∨p

(1.24)

|= p∧p

(1.25)

|= p⇒p

(1.26)

|= p⇒p

(1.27)

|= p⇒p

(1.28)

|= p∧q ⇒p

(1.29)

|= p∧q ⇒q

(1.30)

|= p⇒p∨q

(1.31)

|= q ⇒p∨q

(1.32)

| = p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q

(1.33)

| = p ∧ (p ∨ q) ⇒ q

(1.34)

| = (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇒ (p ⇔ q)

(1.35)

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

| = (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

(1.36)

| = (p ⇔ q) ⇒ (q ⇒ p)

(1.37)

| = (p ⇔ q) ∧ (p ⇒ q) ⇒ p

(1.38)

| = (p ⇔ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)

(1.39)

| = (p ⇔ q) ⇔ (q ⇒ p)

(1.40)

| = p ⇒ (q ⇒ p)

(1.41)

| = (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ∨ q ⇒ r)

(1.42)

| = (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ⇒ (p ⇒ q ∨ r)

(1.43)

|= p⇔p

(1.44)

|= p∧p⇔p

(1.45)

|= p∨p⇔p

(1.46)

|= p∧q ⇔q∧p

(1.47)

|= p∨q ⇔q∨p

(1.48)

| = (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

(1.49)

| = (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

(1.50)

| = p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(1.51)

| = p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1.52)

| = (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)

(1.53)

|= p∨q ⇔p∧q

(1.54)

|= p∧q ⇔p∨q

(1.55)

| = (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

(1.56)

| = (p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ q)

(1.57)

| = (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ p) ⇒ (p ⇔ q)

(1.58)

15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

| = (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r)

(1.59)

| = (p ⇒ q) ⇔ p ∨ q

(1.60)

| = (p ⇒ q) ⇔ p ∧ q

(1.61)

| = (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇔ (q ⇒ (p ⇒ r))

(1.62)

| = (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ∧ q) ⇒ r)

(1.63)

Ta hoàn toàn có thể chứng minh các luật trên bằng cách lập bảng
giá trị chân lí.
Chẳng hạn ta chứng minh luật: | = p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (1.33) như sau:
Ta lập bảng các giá trị chân lí của công thức p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (*)

p
1
0
1
0

q p⇒q
0
0
0
1
1
1
1
1

p ∧ (p ⇒ q)
0
0
1
0

p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q
1
1
1
1

Từ bảng giá trị chân lí ta thấy công thức (*) luôn nhận giá trị
1 với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong nó.

Do đó ta có luật (1.33).
1.6.3

Liên hệ giữa đẳng thức và luật

Đẳng thức và luật là hai khái niệm khác nhau của logic mệnh
đề, tuy nhiên, giữa chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Thật vậy, giả sử có A và B là hai công thức.
Nếu ta có luật | = A ⇔ B, tức là công thức A ⇔ B luôn nhận
giá trị 1 với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt
trong nó. Mà A ⇔ B chỉ nhận giá trị 1 khi và chỉ khi A và B cùng
nhận giá trị 1 hoặc 0. Khi đó ta có A ≡ B.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

Ngược lại, nếu ta có đẳng thức A ≡ B, tức là A và B cùng
nhận giá trị như nhau với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh
đề có mặt trong chúng. Khi đó công thức A ⇔ B luôn nhận giá trị
1 hay ta có luật | = A ⇔ B.
Vì vậy, ta có thể rút ra mối quan hệ giữa đẳng thức và luật qua
định lí sau.
Định lí 1.1. Giả sử A và B là hai công thức.
Ta có luật | = A ⇔ B khi và chỉ khi ta có đẳng thức A ≡ B.
Dựa vào định lí này, từ một đẳng thức ta sẽ rút ra một luật và
ngược lại.
Ví dụ:

+ Từ đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p ∨ q (1.12) đã được chứng minh ở trang
11 ta có thể suy ra luật | = (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) và đây cũng chính là
luật (1.61).
+ Từ luật | = (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) (1.54) ta có thể rút ra đẳng thức
p ⇒ q ≡ q ⇒ p.

1.7

Hệ quả logic và qui tắc suy luận

Phân tích các suy luận trong chứng minh toán học, người ta thấy
mỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản.
Trong mỗi bước suy luận đơn giản đó, ta đã "ngầm" vận dụng một
số qui tắc suy luận tổng quát để từ các mệnh đề đã được thừa nhận
là đúng (tiên đề, định lí, định nghĩa, giả thiết) có thể rút ra một
mệnh đề mới. Người ta gọi các mệnh đề xuất phát đã được thừa
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Thúy

nhận là đúng là các tiên đề, còn mệnh đề mới được rút ra (nhờ vận
dụng các qui tắc suy luận tổng quát) gọi là hệ quả logic của các tiên
đề.
Để có thể tìm ra những qui tắc suy luận tổng quát, ta đưa ra
một định nghĩa chính xác của khái niệm này.
1.7.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.8. Giả sử A1 , A2 , ..., An , B là những công thức.
Nếu tất cả các hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong
các công thức đó làm cho A1 , A2 , ..., An nhận giá trị 1 cũng đồng
thời làm cho B nhận giá trị 1 thì ta gọi B là hệ quả logic của các
tiên đề A1 , A2 , ..., An , khi đó ta cũng nói rằng có 1 qui tắc suy luận
từ các tiên đề A1 , A2 , ..., An tới hệ quả logic B.
Qui tắc suy luận đó được kí hiệu là
A1 , A2 , ..., An
B
hay A1 , A2 , ..., An | = B
1.7.2

Luật và qui tắc suy luận

Giữa hai khái niệm luật và qui tắc suy luận có mối liên hệ chặt
chẽ. Định lí dưới đây phản ảnh mối liên hệ quan trọng giữa luật và
qui tắc suy luận.
Định lí 1.2. Cho các công thức A1 , A2 , ..., An , B.
Ta có luật | = A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B khi và chỉ khi ta có qui tắc
A1 , A2 , ..., An
suy luận
.
B
18