Rèn luyện kĩ năng suy luận cho học sinh trong dạy học hình học lớp 8

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TƯ DUY

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SUY LUẬN CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 8

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN, 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TƯ DUY

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SUY LUẬN CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 8

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Cao Thị Hà

THÁI NGUYÊN, 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái nguyên, 16 tháng 4 năm 2017
Tác giả Luận văn

Hoàng Tư Duy
Xác nhận của khoa chuyên môn

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. Cao Thị Hà

i


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Cao Thị Hà, người thầy đã
tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học,
Phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 8,
trường THCS Quang Sơn đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá
trình thực nghiệm.
Dù đã rất cố gắng, xong Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm
khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.

Thái nguyên, 16 tháng 4 năm 2017
Tác giả Luận văn

Hoàng Tư Duy

ii


MỤC LỤC
Trang
TRANG BÌA PHỤ
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN........................................................................................................ ii
MỤC LỤC ............................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ...................................................................... iv
DANH MỤC CÁC BẢNG..................................................................................... v
MỞ ĐẦU................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài................................................................................................. 1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................... 2
3. Đối tượng, khách thể nghiên cứu ......................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 3
5. Giả thuyết khoa học............................................................................................. 3
6. Dự kiến đóng góp của luận văn ........................................................................... 4
7. Cấu trúc của luận văn .......................................................................................... 4
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 5
1.1. Suy luận ........................................................................................................... 5
1.1.1. Suy luận ........................................................................................................ 5
1.1.2. Các quy luật suy luận .................................................................................... 7
1.1.3. Các loại suy luận ........................................................................................... 9

1.1.4. Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận .................................................. 27
1.2. Kĩ năng suy luận............................................................................................. 33
1.3. Vai trò của suy luận trong dạy học hình học ................................................... 37
1.3.1. Dùng suy luận để xây dựng giả thuyết khoa học.......................................... 38
1.3.2. Dùng suy luận trong giải bài tập toán, chứng minh định lí .......................... 39
1.3.3. Dùng suy luận để phát hiện và sửa chữa sai lầm của HS.............................. 40
1.4. Thực trạng rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua dạy học toán ở
trường THCS ................................................................................................. 40
1.4.1. Đối với GV ................................................................................................. 40
1.4.2. Đối với HS .................................................................................................. 41
iii


1.5. Kết luận chương 1 .......................................................................................... 44
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG SUY LUẬN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH
HỌC LỚP 8 ......................................................................................................... 46
2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho HS kĩ năng suy luận có lí thông qua việc sử
dụng khái quát hóa từ một số trường hợp riêng. ............................................. 46
2.1.1. Mục đích của biện pháp............................................................................... 46
2.1.2. Nội dung của biện pháp............................................................................... 46
2.1.3. Kết luận....................................................................................................... 52
2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua quá trình vận
dụng phương pháp phân tích đi lên khi dạy hình học 8................................... 53
2.2.1. Mục đích của biện pháp............................................................................... 53
2.2.2. Nội dung của biện pháp............................................................................... 53
2.2.3. Kết luận....................................................................................................... 64
2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS trong dạy học hình học
trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm ................................................. 64
2.3.1. Mục đích của biện pháp............................................................................... 64

2.3.2. Nội dung của biện pháp............................................................................... 65
2.3.3. Kết luận....................................................................................................... 75
2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS nhờ hỗ trợ của biểu diễn
trực quan động trong môi trường hình học động............................................. 75
2.4.1. Mục đích của biện pháp............................................................................... 75
2.4.2. Nội dung của biện pháp............................................................................... 75
2.4.3. Kết luận....................................................................................................... 81
2.5. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 82
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM............................................................ 83
3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm................................................................. 83
3.1.1. Mục đích thực nghiệm................................................................................. 83
3.1.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................. 83
3.2. Tổ chức thực nghiệm ...................................................................................... 83
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm................................................................................ 83
iv


3.2.2. Thời gian thực nghiệm ................................................................................ 83
3.2.3. Tiến hành thực nghiệm................................................................................ 83
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ........................................................................ 87
3.3.1. Đánh giá định tính ....................................................................................... 87
3.3.2. Đánh giá kết quả định lượng........................................................................ 87
3.4. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 88
KẾT LUẬN.......................................................................................................... 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 90
PHỤ LỤC

v

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

Cmt

Chứng minh trên

GSP

Geometer’s Sketchpad

GT

Giả thiết

GV

Giáo viên

Hbh

Hình bình hành

HS

Học sinh

KL

Kết luận

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1. 1................................................................................................................. 7
Bảng 1. 2................................................................................................................. 8
Bảng 1. 3................................................................................................................. 8
Bảng 1. 4............................................................................................................... 21
Bảng 1. 5............................................................................................................... 39
Bảng 1. 6............................................................................................................... 39
Bảng 1. 7: Mức độ thích học môn Toán................................................................. 41
Bảng 1. 8: Phân môn thích học nhất trong môn Toán ............................................ 42
Bảng 1. 9: Hoạt động của HS trong giờ Hình học .................................................. 42
Bảng 1. 10: Cảm nhận của HS trong giờ Hình học ................................................ 43

Bảng 1. 11: Khó khăn khi học Hình học ................................................................ 43
Bảng 3. 1: Điểm bài kiểm tra số 1 lớp thực nghiệm 8B.......................................... 85
Bảng 3. 2: Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 8A ............................................. 85
Bảng 3. 3: Điểm bài kiểm tra số 2 lớp thực nghiệm 8B.......................................... 87
Bảng 3. 4: Điểm bài kiểm tra số 2 lớp đối chứng 8A ............................................. 87

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết số 29 Trung Ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo khẳng định: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ,
thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng
khiếu...”, “Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”,
“Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học;
khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách
học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới
tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực.”
Nghị quyết 88 của Quốc Hội về đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ
thông khẳng định lại: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là tập trung phát triển trí tuệ,
thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng
khiếu...”, “Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”,
“Tiếp tục đổi mới phương pháp giáo dục theo hướng: phát triển toàn diện năng lực
và phẩm chất người học; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, bồi dưỡng
phương pháp tự học, hứng thú học tập, kĩ năng hợp tác, làm việc nhóm và khả năng
tư duy độc lập”, “Đổi mới căn bản phương pháp đánh giá chất lượng giáo dục theo
hướng hỗ trợ phát triển phẩm chất và năng lực HS; phản ánh mức độ đạt chuẩn quy
định trong chương trình; cung cấp thông tin chính xác, khách quan, kịp thời cho

việc điều chỉnh hoạt động dạy, hướng dẫn hoạt động học nhằm nâng cao dần năng
lực HS.”
Như vậy việc phát triển năng lực nói chung và năng lực tư duy hay suy luận
nói riêng là một trong những chủ trương quan trọng của Đảng và Nhà nước. Chủ
trương đó cũng đã được cụ thể hóa trong Luật Giáo dục.
Điều 28 của Luật Giáo dục năm 2005 về “Yêu cầu về nội dung, phương
pháp giáo dục phổ thông” có nêu rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo

1


nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.
Hoạt động dạy học luôn hướng tới mục tiêu hình thành người học có thói quen
suy nghĩ, tìm tòi và tự tìm ra kiến thức một chủ động, tích cực. Thông qua bài dạy
từ kiến thức đơn giản đến kiến thức khó GV tập cho HS có khả năng quan sát, khả
năng phân tích từ các trường hợp riêng lẻ rút ra tri thức chung, có tính quy luật từng
bước HS tự chiếm lĩnh tri thức và có khả năng khám phá tri thức mới. Vì thế suy
luận được sử dụng trong dạy học có vai trò không những trong quá trình hình thành
kiến thức mới cho HS mà còn giúp HS học cách học, tìm tòi và khám phá tri thức
đáp ứng mục tiêu dạy học.
Thực tế dạy học toán ở trường THCS cho thấy: khi dạy định lý nhiều GV bỏ
qua việc chứng minh, chỉ cần HS hiểu được định lí và vận dụng để làm bài tập. Khi
dạy học giải bài tập, nhiều GV chủ yếu mới cung cấp cho HS lời giải, chưa chú ý
đến việc rèn kĩ năng suy luận cho HS. Do đó, HS không hiểu được ý nghĩa của việc
chứng minh định lí và kĩ năng lập luận của nhiều HS còn hạn chế. Nhiều HS không
thấy được tầm quan trọng, sự cần thiết của việc lập luận nên lời giải chỉ có con số
và phép tính, không có căn cứ cho việc thực hiện đó. Một hiện tượng phổ biến khác

là nhiều HS thường chỉ suy luận theo cách làm mẫu của GV mà không hiểu được
bản chất của các lập luận đó. Chính vì vậy khi gặp một vấn đề mới HS rất lúng túng
trong việc trình bày diễn đạt cách làm.
Với những lí do trên, đề tài được lựa chọn là: “Rèn luyện kĩ năng suy luận
cho học sinh trong dạy học hình học lớp 8”.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu: Trên cơ sở nghiên cứu về suy luận, về kĩ năng suy luận
đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông
qua dạy học Hình học lớp 8.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về suy luận, về kĩ năng suy luận.
- Nghiên cứu thực trạng rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS và thực trạng kĩ
năng suy luận của HS lớp 8.

2


- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS
thông qua dạy hình học lớp 8.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả, khả thi của một số
biện pháp sư phạm đã đề xuất.
3. Đối tượng, khách thể nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Kĩ năng suy luận, các kĩ năng thành phần của kĩ năng
suy luận.
3.2. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học ở môn toán lớp 8.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học toán, một số tài liệu tham
khảo về rèn luyện suy luận vào dạy học toán, các cơ sở về tâm lý học, giáo dục học,
SGK, sách GV, sách tham khảo về hình học ở trường trung học cơ sở hiện hành.

- Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học phục vụ cho luận văn.
- Nghiên cứu các công trình các vấn đề liên quan trực tiếp đến luận văn (các
luận văn, các luận án, chuyên đề, giáo trình...).
4.2. Phương pháp quan sát – điều tra
Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở trường THCS qua dự giờ, điều tra,
phỏng vấn GV.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THCS để
xem xét tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp sư phạm đã được đề xuất.
4.4. Phương pháp thống kê toán học: Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và
số liệu thực nghiệm sư phạm.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đưa ra được các quan niệm về suy luận, kĩ năng suy luận, xác định được
các kĩ năng thành phần của kĩ năng suy luận, đề xuất và thực hiện một cách hợp lí
một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua dạy học
hình học lớp 8 thì sẽ phát triển kĩ năng suy luận cho HS nói riêng và kĩ năng toán
học nói chung, góp phần nâng cao chất lượng dạy toán ở THCS.

3


6. Dự kiến đóng góp của luận văn
6.1. Những đóng góp về mặt lý luận
Đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận
cho HS thông qua dạy học Hình học ở trường THCS
6.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
- Nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường THCS.
- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS
trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THCS.
- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề
có liên quan trong luận văn.

7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận
cho học sinh thông qua dạy học hình học lớp 8
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo

4


Chương 1.
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Suy luận
1.1.1. Suy luận
Theo logic học của tác giả Nguyễn Như Hải [9, Tr. 129] thì suy luận là hình
thức logic của tư duy, trong đó các phán đoán được liên kết lại với nhau để rút ra
phán đoán mới. Như vậy, thực chất của suy luận là dựa trên những tri thức có giá trị
chân thực để liên kết chúng lại với nhau, nhằm rút ra tri thức mới mà ta chưa biết ở
trong các phán đoán trước đó. Trong nhận thức khoa học, để rút ra được những tri
thức mới một cách đúng đắn, có giá trị chân thực, không nhất thiết phải kiểm chứng
bằng thực tiễn mà nó chỉ đòi hỏi sự liên kết giữa các phán đoán phải tuân theo
những quy luật và những quy tắc nhất định. Các quy luật và quy tắc này là những
điều kiện cần của suy luận đúng đắn.
Bất kỳ suy luận nào cũng có ba bộ phận hợp thành là tiền đề, lập luận và kết luận.
Tiền đề là các phán đoán có trước được sử dụng để liên kết chúng lại với
nhau nhằm rút ra phán đoán mới. Trong mỗi một suy luận, tiền đề của nó có thể chỉ
một phán đoán nhưng cũng có thể bao gồm nhiều phán đoán liên kết chặt chẽ với

nhau để rút ra phán đoán mới.
Lập luận là cách thức liên kết logic giữa các phán đoán cho trước để rút ra
phán đoán mới. Cách thức liên kết logic này không chỉ thể hiện ở trình tự sắp xếp
các phán đoán thuộc tiền đề mà còn bao gồm cả những quy luật và quy tắc logic chi
phối trình tự sắp xếp đó để rút ra phán đoán mới một cách tất yếu.
Kết luận là phán đoán mới được rút ra từ tiền đề thông qua những lập luận
logic. Kết luận có nhiều loại khác nhau: có kết luận phù hợp, có kết luận không phù
hợp với hiện thực khách quan; có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu,... từ
những lập luận logic của các tiền đề [9, Tr. 129-130].
Theo Chu Cẩm Thơ [19, Tr. 50 – 51] suy luận hay suy lí là một hình thức cơ
bản của tư duy đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra
phán đoán mới, phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận
của suy luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là là lập luận.

5


 Cấu trúc của suy luận: suy luận bao gồm hai thành phần cơ bản: Thứ nhất
các phán đoán xuất phát, gọi là tiền đề; thứ hai là phán đoán mới được rút ra gọi là
kết luận.
 Hình thức biểu diễn: Mỗi suy luận được biểu diễn dưới dạng một mệnh đề
kéo theo mà tiền đề là một mệnh đề hoặc hội của nhiều mệnh đề: A1 , A2, ..., Ai ^ B
(Các Ai là tiền đề (i=1,2,...n), B là kết luận)
Điều kiện cần và để suy luận đạt tới kết luận chân thực là phải xuất phát từ
tiền đề chân thực và quá trình suy luận phải đúng đắn, nghĩa là phải tuân theo quy
luật và quy tắc logic hình thức.
Theo nhà Toán học người Mỹ, G. Polya: Suy luận là sự kết nối những kinh
nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra các kết luận hợp lý từ các thông tin được cho
sẵn. Suy luận làm nền tảng cho sự thăm dò và khám phá các ý tưởng mới, đồng thời
đóng một vai trò trung tâm trong chứng minh.

Theo logic học đại cương của Nguyễn Anh Tuấn [21, Tr. 51-52]: Suy luận là
hình thức tư duy phản ánh những mối liên hệ phức tạp hơn (so với phán đoán) của
hiện thực khách quan. Về thực chất, suy luận là thao tác logic mà nhờ đó tri thức
mới được rút ra từ tri thức đã biết.
Sự tồn tại của suy luận trong tư duy là do chính hiện thực khách quan quy
định. Cơ sở khách quan của suy luận là mối liên hệ qua lại, phức tạp hơn của các
đối tượng.
Khả năng khách quan của suy luận là ở khả năng có sự sao chép cấu trúc từ
hiện thực, nhưng ở dạng tư tưởng. Còn tính tất yếu khách quan của chúng cũng gắn
với toàn bộ hoạt động thực tiễn của nhân loại, trong đó suy luận như là một hình
thức chuyển từ những tri thức đã biết sang những tri thức mới.
Cấu tạo của suy luận.
Mọi suy luận đều gồm có 3 bộ phận:
Tiền đề là tri thức đã biết, làm cơ sở rút ra kết luận. Những tri thức này biết
được nhờ quan sát trực tiếp; nhờ tiếp thu, kế thừa tri thức của các thế hệ đi trước
thông qua học tập và giao tiếp xã hội; hoặc là kết quả của các suy luận trước đó.
Kết luận là tri thức mới thu được từ các tiền đề và là hệ quả của chúng.

6


Cơ sở logic là các quy luật và quy tắc mà việc tuân thủ chúng sẽ đảm bảo rút
ra kết luận chân thực từ các tiền đề chân thực. Giữa tiền đề và kết luận là mối quan
hệ kéo theo logic làm cho có thể chuyển từ cái này sang cái kia. Chính là do có mối
liên hệ xác định giữa chúng với nhau cho nên, nếu đã thừa nhận những tiền đề nào
đó, thì muốn hay không cũng buộc phải thừa nhận cả kết luận.
Trong luận văn chúng tôi lấy quan niệm về suy luận của Polya làm cơ sở lý thuyết.
1.1.2. Các quy luật suy luận
Công thức hằng đúng là công thức luôn nhận giá trị 1 dù các biến mệnh
đề nhận giá trị bất kì nào. Công thức hằng đúng biểu thị các quy luật logic mệnh

đề, mà ta gọi là quy luật suy luận. Có nhiều quy luật suy luận nhưng chúng tôi
chỉ đề cập đến ba quy luật suy luận cần thiết cho suy luận khi học hình học trung
học cơ sở.
1.2.2.1 Quy luật không mâu thuẫn
Nội dung của quy luật này của hai mệnh đề A và A không thể đồng thời
cùng đúng. Công thức của quy luật không mâu thuẫn là: A  A 1
Dựa theo giá trị của liên kết “_” và “  ” công thức 1 là hằng đúng:
Bảng 1. 1
A

A

A A

A A

0

1

0

1

1

0

0

1

Ví dụ 1.1: A : Hai đoạn thẳng DE và FG bằng nhau.
A : Hai đoạn thẳng DE và FG không bằng nhau.

Hai mệnh đề A và A không thể cùng đúng: Nếu A đúng thì A sai và ngược lại.
1.1.2.2. Quy luật bài trung
Nội dung của quy luật bài trung là hai mệnh đề A và A không thể đồng thời
cùng sai. Quy luật bài trung thể hiện qua công thức: A  A  2  .
Dựa theo giá trị của liên kết “_” và “  ” công thức hai là hằng đúng:

7


Bảng 1. 2
A

A

A A

0

1

1

1

0

1

Ví dụ 1.2: A : Hai tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau.
A : Hai tam giác ABC và MNP không đồng dạng với nhau.

Hai mệnh đề A và A nhất định phải có một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
1.1.2.3. Quy luật phản đảo
Công thức phản đảo là: A  B  B  A  3 . Dựa vào bảng giá trị của liên
kết “  ” và “_” ta thấy rằng vế trái và vế phải của  3 có cùng giá trị, tức là tương
đương với nhau.
Bảng 1. 3
A

B

A B

B

A

B A

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

Quy luật này dùng để làm cơ sở cho phép chứng minh bằng phản chứng và
giải quyết các bài toán quỹ tích.
Ví dụ 1.3: Chứng minh rằng: “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau”
GT

AB  NM; CD  NM

KL

AB // CD

Nếu AB và CD cắt nhau tại một điểm I chẳng hạn, thì từ I ta có thể hạ được
hai đường vuông góc với MN, trái với định lí đã biết: “Qua điểm O chỉ dựng được
một và chỉ một đường thẳng vuông góc với AB mà thôi”. Vậy AB // CD.

8

1.1.3. Các loại suy luận
Theo Polya [8,Tr. 4-5] cho rằng toán học tồn tại hai loại suy luận: suy luận
suy diễn và suy luận có lí. Chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận suy diễn
nhưng ủng hộ các giả thuyết bằng các suy luận có lí. Sự khác nhau giữa hai loại suy
luận này hết sức lớn và muốn màu muốn vẻ. Suy luận chứng minh là suy luận đáng
tin cậy không chối cãi được và dứt khoát. Suy luận có lí là suy luận còn bấp bênh,
phải tranh cãi và có điều kiện. Suy luận chứng minh thâm nhập các khoa học với
cùng mức độ như toán học, song tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có
khả năng cung cấp những hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh ta. Mọi cái
mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với các suy luận có lí là
suy luận duy nhất mà ta quan tâm trong công việc hằng ngày. Suy luận chứng minh
có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích bằng logic
(logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy luận chứng
minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một lí thuyết
nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có sự nhất quán
như logic chứng minh.
Polya nhấn mạnh “ Hai loại suy luận này không mâu thuẫn nhau, mà trái lại
bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ, điều chủ yếu là phân biệt chứng minh
với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không căn cứ. Trong một suy luận
có lí, điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí với dự đoán ít
hợp lí hơn. Nếu bạn chú ý tới cả hai sự khác nhau đó, thì cả hai suy luận này có thể
trở thành rõ ràng hơn”.
Theo tác giả Nguyễn Như Hải [9, Tr. 131] thì căn cứ vào mức độ khái quát
giữa các tri thức ở trong tiền đề so với mức độ khái quát các tri thức ở trong kết
luận mà người ta chia suy luận ra làm ba loại là suy luận quy nạp, suy luận suy diễn
và suy luận tương tự.
Theo Nguyễn Anh Tuấn [21, Tr. 51]: “Suy luận là hình thức tư duy phức tạp
hơn so với khái niệm và phán đoán, suy luận đồng thời cũng có những dạng biểu hiện
phong phú hơn. Chúng khác nhau về số lượng các tiền đề - một, hai, hay nhiều hơn,

về các phán đoán cấu thành - đơn hoặc phức; mức độ chuẩn xác của kết luận - xác
thực hay xác suất v.v.. Do vậy, để phân loại suy luận cần phải xuất phát từ chính bản
chất nó. Vì mọi suy luận đều là sự kéo theo logic từ một số tri thức này ra những tri
9


thức khác, cho nên phụ thuộc vào tính chất của sự kéo theo ấy, vào xu hướng diễn
biến tư tưởng trong suy luận có thể chia ra ba nhóm suy luận cơ bản là suy diễn, quy
nạp và loại suy”.
Theo Chu Cẩm Thơ [19, Tr. 51] “Suy luận có nhiều loại, tùy thuộc vào tính
chất của tiền đề, đặc điểm của quá trình kết luận. Chẳng hạn, ta có suy luận suy diễn
(gồm trực tiếp và gián tiếp) hoặc suy luận không suy diễn (gồm suy luận quy nạp và
loại suy)”.
Theo nhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles Sanders Peirce
(1839-1914) ba loại suy luận ngoại suy, quy nạp và suy diễn.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi chia thành bốn loại suy luận là suy luận suy
diễn, suy luận quy nạp, suy luận tương tự và suy luận ngoại suy.
1.1.3.1. Suy luận suy diễn
Theo Chu Cẩm Thơ [19, Tr. 51]: Suy diễn hay còn gọi là suy luận suy diễn là
loại suy luận có hai thuộc tính cơ bản: Thứ nhất, xuất phát từ những tiền đề khái
quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu. Tùy thuộc vào tính chất của phán
đoán tiền đề để phân loại suy diễn nhất quyết, hay có điều kiện hoặc lựa chọn.
Suy diễn là loại suy luận trong đó kết luận là tri thức riêng, có tính cụ thể hơn
được rút ra từ sự liên kết những tri thức chung hơn, có tính khái quát hơn.
Như thế chúng ta có thể hiểu:
Suy diễn là suy luận theo một quy tắc thỏa mãn điều kiện: Nếu tiền đề đúng
thì kết luận đúng. Ký hiệu:

A
[19, Tr. 51]

B

Suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một số dữ
liệu và một quy tắc suy luận đã biết (Petemonte, [26]).
Theo Logic học đại cương của Nguyễn Anh Tuấn “Suy diễn (latinh:
deductio) là suy luận từ tri thức chung hơn về cả lớp đối tượng ta suy ra tri thức
riêng về từng đối tượng hoặc một số đối tượng.”
Theo Giáo trình tổng quan về logic học đại cương của Nguyễn Như Hải [9,
Tr. 142-143]: Suy luận suy diễn là loại suy luận trong đó kết luận là tri thức riêng,
có tính cụ thể hơn được rút ra từ sự liên kết những tri thức chung hơn, có tính khái
quát hơn. Quá trình nhận thức diễn ra trong suy luận suy diễn đi từ cái chung, qua
cái riêng, rồi tới cái cụ thể. Vì vậy, mức độ khái quát trong các tiền đề cao hơn mức
độ khái quát trong kết luận.
10


Từ những nghiên cứu trên, chúng ta có thể thấy rằng:
Suy luận suy diễn là loại suy luận có hai thuộc tính cơ bản: thứ nhất, xuất
phát từ những tiền đề khái quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu. Suy luận
suy diễn là suy luận theo một quy tắc thoả mãn điều kiện: Nếu tiền đề đúng thì kết
luận đúng.
Từ đó ta có thể chia suy luận suy diễn thành hai loại:
a) Suy luận suy diễn từ một tiền đề
Các suy luận sau là các suy luận suy diễn từ một tiền đề.
Ví dụ 1.4: Tam giác ABC đều AB=BC=CA
Tam giác ABC có AB=BC=CA  tam giác ABC đều.
b) Suy luận suy diễn từ hai tiền đề
Tam đoạn luận là Suy luận suy diễn từ hai tiền đề, trong đó kết luận được rút
ra từ hai tiền đề.
Phép tam đoạn luận khẳng định (xác định)

Nếu các tiền đề là các phán đoán xác định thì có phép tam đoạn luận xác
định

A  B, A
hay ( A  ( A  B))  B
B

Tam đoạn luận khẳng định gồm 3 bước:
Bước 1: (Thường gọi là tiền đề lớn – là tiền đề hoặc định lí đã chứng minh
rồi). Nếu A thì B, tức A  B.
Bước 2: (Thường gọi là tiền đề nhỏ)
Có A.
Bước 3: (Thường gọi là kết luận)
Có B.
Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
(Hình 1.1)
Bước 1: Hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng
nhau (A  B)
 cùng bù với BOC
 (có A).
Bước 2: 
AOC và BOD
  BOD
 (có B).
Bước 3: AOC

Hình 1. 1

11

Tuy chúng phân tích các bước của quy tắc tam đoạn luận khẳng định như trên,
  BOD
 vì cùng bù với
nhưng trong thực tế ta chỉ trình bày ngắn gọn như sau: AOC
 (theo định lý hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng nhau).
BOC

Nhiều khi chúng ta không những chỉ gặp một mẫu của tam đoạn luận mà là
một dãy tam đoạn luận.
Ví dụ 1.6: Định lý 2 (SGK Toán 8, tập 1 – Tr. 73):
Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau.
GT

ABCD là hình thang cân (AB//CD)

KL

AC = BD

Hình 1. 2

Bước 1: Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau.

a 

Bước 2: ABCD là hình thang cân (AB//CD)
 , AD  BC
Bước 3: 
ADC  BCD

Bước 1: Nếu hai tam giác có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh bằng

 b

nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau  A  B 
 , AD  BC
Bước 2: ADC và BCD có chung cạnh CD, 
ADC  BCD

Bước 3: ADC = BCD (c.g.c). Từ đó AC = BD (cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Tuy chúng ta phân tích các bước suy luận như trên, nhưng trong thực tế ta
trình bày như sau:
ADC và BCD có:

CD là cạnh chung
  BCD
 (theo định nghĩa hình thang cân)
ADC
AD  BC (theo định nghĩa hình thang cân)

Do đó ADC = BCD (c.g.c), suy ra AC = BD.
Phép tam đoạn luận giả định
Sơ đồ của tam đoạn luận giả định được diễn tả như sau:
X  Y ,Y  Z
X Z

12

Nội dung của tam đoạn luận giả định phản ánh tính chất bắc cầu của liên kết.
Nếu... thì …gồm ba bước:
Bước 1: Có X  Y
Bước 2: Có Y  Z
Bước 3: Có X  Z
Ví dụ 1.7
Bước 1: Nếu hai cạnh của tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
( X  Y ).
Bước 2: Nếu tam giác là cân thì hai góc ở đáy bằng nhau ( Y  Z )
Bước 3: Vậy nếu hai cạnh của tam giác bằng nhau thì hai góc ở đáy bằng
nhau ( X  Z ).
Ví dụ 1.8: Tính chất của hình chữ nhật (SGK Toán 8, tập 1 – Tr. 97): Trong hình
chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bước 1: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, cũng là một hình thang
cân ( X  Y ).
Bước 2: Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường; hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau ( Y  Z )
Bước 3: Hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường ( X  Z ).
Tam đoạn luận phủ định
Tam đoạn luận phủ định thể hiện qua sơ đồ sau:
A  B, B
A

Quy tắc tam đoạn luận phủ định gồm ba bước:
Bước 1: A  B
Bước : Có B
Bước 3: Có A
Cơ sở lý luận của tam đoạn luận phủ định dựa vào quy luật phản đảo:
A B  B  A

13


Ví dụ 1.9: Định nghĩa hình thoi (SGK Toán 8, tập 1 – Tr. 104): Hình thoi là tứ giác
có bốn cạnh bằng nhau.
Bước 1: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ( A  B )
Bước 2: Bốn cạnh của tứ giác ABCD không bằng nhau (có B )
Bước 3: Tứ giác ABCD không phải là hình thoi (có A )
Ví dụ 1.10: Định lí trường hợp đồng dạng thứ nhất (SGK Toán 8, tập 2 – Tr. 73): Nếu ba
cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Bước 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì
hai tam giác đó đồng dạng ( A  B )
Bước 2: Nếu ABC không đồng dạng với A ' B ' C ' (có B )
Bước 3: Ba cạnh của ABC không tỉ lệ với ba cạnh của A ' B ' C ' (có A ).
Phép tam đoạn luận lựa chọn
Sơ đồ của tam đoạn luận lựa chọn có thể diễn tả như sau:
A  B, A
A  B, A
hoặc
B
B

Quy tắc tam đoạn luận lựa chọn gồm ba bước:
Bước 1: Có A  B
Bước 2: Có A (hoặc có A )
Bước 3: Có B (hoặc có B)
Vì mệnh đề A  B đúng khi và chỉ khi một trong hai mệnh đề A và B là đúng,
nên nếu A đúng thì B sai, (tức B đúng) và nếu A sai (tức A đúng) thì B đúng.
Nhiều lúc ta dùng tam đoạn luận lựa chọn suy rộng theo sơ đồ sau:

A1  A2  A3 , A1  A2
A3

Ví dụ 1.11:
Bước 1: Giữa hai đoạn thẳng CD và EF có thể xảy ra một trong ba trường hợp:

 A1  :

CD  EF

 A2  :

CD  EF

 A3  :

CD  EF

14


 
CD không bé hơn EF  A 

Bước 2: CD không bằng EF A1

2

Bước 3: Vậy CD  EF  A3 
1.1.3.2. Suy luận quy nạp

Theo G.Polya: Kinh nghiệm đưa đến sự thay đổi quan niệm của con người.
Chúng ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn chúng ta phải học tập
từ kinh nghiệm”, “ .. cố gắng rút ra quan niệm đúng đắn nhất từ kinh nghiệm đã biết
và thu thập những kinh nghiệm thích hợp nhất để xây dựng nên quan niệm đúng về
một vấn đề đặt ra. Phương pháp nhờ đó nhà bác học xử lí với kinh nghiệm thường
gọi là phép quy nạp”. "Quy nạp là rút ra quy luật chung từ những trường hợp riêng
hay trình bày những sự kiện để chứng minh một điều khẳng định chung”.
Polya cũng khẳng định: Quy nạp đòi hỏi nhiều điều khác và đặc biệt là ba
điều sau đấy:
Một là, chúng ta phải sẵn sàng duyệt lại bất kì quan niệm nào của chúng ta.
Hai là, chúng ta phải thay đổi quan niệm khi có lí do xác đáng.
Ba là, chúng ta không được thay đổi quan niệm một cách tuỳ tiện, không có
cơ sở đầy đủ.
Còn theo Nguyễn Như Hải [9, Tr. 134]: Suy luận quy nạp là suy luận trong
đó kết luận là tri thức chung hơn, có tính khái quát hơn được rút ra từ sự liên kết
những tri thức ít chung hơn, có tính cụ thể hơn.
Những điều kiện của suy luận quy nạp đúng đắn
Muốn có suy luận quy nạp mà kết luận rút ra đúng đắn, chân thực đòi hỏi
phải tuân theo ba điều kiện sau đây:
Thứ nhất: Các sự vật cụ thể để thực hiện sự khái quát nhằm đưa đến cái
chung phải là các sự vật cùng loại. Bởi vì, chỉ có các sự vật cùng loại mới chứa
đựng những cái giống nhau, giúp cho nhận thức tìm ra cái chung trong sự khác biệt.
Thứ hai: Việc khái quát phải dựa trên những dấu hiệu bản chất của các sự
vật. Bởi vì, chỉ có cái bản chất mới là cái làm nên quy luật chung của sự tồn tại và
phát triển của các sự vật, hiện tượng.
Thứ ba: Phải khảo sát một số lượng lớn các đối tượng đủ để rút ra kết luận
chung cho lớp đối tượng nghiên cứu.
15

Vì vậy, trong quá trình sử dụng suy luận quy nạp cần phải luôn luôn quán
triệt ba điều kiện cơ bản ấy. Có như vậy mới có được những tri thức mới, đúng đắn
và đáng tin cậy.
Từ những nghiên cứu trên và căn cứ vào phạm vi đối tượng được phản ánh
trong quá trình khái quát trong suy luận quy nạp, chúng tôi chia suy luận quy nạp ra
làm hai loại là suy luận quy nạp hoàn toàn và suy luận quy nạp không hoàn toàn.
a, Suy luận quy nạp hoàn toàn là loại suy luận quy nạp trong đó kết luận về
một dấu hiệu chung cho lớp đối tượng nào đó được rút ra dựa trên cơ sở khảo sát tất
cả các đối tượng của lớp ấy.
Ví dụ 1.12: (SGK Toán 8, tập 1 – Tr.120)
Diện tích tam giác bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh
1
2

đó: S  a.h
ABC có diện tích là S

GT

AH  BC

S

KL

1
BC. AH
2

Chứng minh:

Có ba trường hợp xảy ra (Hình 1.3 a, b, c)

Hình 1. 3
a) Trường hợp điểm H trùng với B hoặc C (chẳng hạn H trùng với B như hình 1.3a).
Khi đó tam giác ABC vuông tại B, ta có:
S

1
BC. AH
2

16