Các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN

———————————————

ĐỖ THỊ NGỌC

CÁC TẬP SONG XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CHO ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN

———————————————

ĐỖ THỊ NGỌC

CÁC TẬP SONG XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CHO ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN HÌNH

Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Trần Phương

Thái Nguyên - 2017


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS. Hà Trần Phương.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

i


Lời cám ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Hà
Trần Phương. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá
trình hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới Ban Giám Hiệu
trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên cùng toàn bộ các thầy cô giáo
trong Khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán
học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Phòng Sau Đại học đã giảng
dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây, đồng thời
tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học K23 Toán Giải Tích đã nhiệt
tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.
Bản luận văn chắc chắn không thể tránh được nhiều thiếu xót, rất
mong được quý thầy cô và các bạn quan tâm, góp ý.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017
Tác giả

Đỗ Thị Ngọc

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Phân bố giá trị cho hàm phân hình . . . . . . . . . . .

3

1.1. Hàm đặc trưng và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Hai định lý cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị . . . . . . . .

3
11

Chương 2. Các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của
hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

iii

Một số ký hiệu
m (r, f )

hàm xấp xỉ.

N (R, f )

hàm đếm.

T (R, f )

hàm đặc trưng.

Ef (a)

tập các 0-điểm của f − a kể cả bội.

E f (a)

tập các 0-điểm của f − a không kể bội.

Ek (a; f )

tập tất cả các không điểm của f .

N (r, a; f | = 1)

hàm đếm các a-điểm đơn của f .

N (r, a; f |

m) hàm đếm các a-điểm của f với bội không lớn hơn m.

N (r, a; f |

m) hàm đếm các a-điểm của f với bội không nhỏ hơn m.

N∗ (r, a; f, g)

hàm đếm rút gọn các a-điểm của f .

e.v.P.

giá trị bỏ được Picard.

BU RSDM

song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình.

iv


Mở đầu
Như một ứng dụng quan trọng của lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, các công trình về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình luôn thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Những công
trình này được khởi nguồn từ định lý 5 điểm của Nevanlinna và ngày
càng có nhiều công trình được công bố dưới nhiều hình thức khác nhau.
Kí hiệu:

(z, m) ∈ C × N∗ : f (z) − a = 0 và ordf −a (z) = m

Ef (S) =
a∈S

và
{z : f (z) − a = 0}.

E f (S) =
a∈S

Ta nói hai hàm phân hình f và g chung nhau tập S kể cả bội (không
kể bội) nếu Ef (S) = Eg (S) E f (S) = E g (S) . Ta nói cặp tập hợp
(S, T ) là song xác định duy nhất cho các hàm phân hình kể cả bội
(không kể bội) nếu điều kiện Ef (S) = Eg (S) và Ef (T ) = Eg (T ) (hoặc
E f (S) = E g (S) và E f (T ) = E g (T ) kéo theo f ≡ g. Vấn đề đặt ra
là với những điều kiện như thế nào của cặp tập hợp (S, T ) để chúng là
song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình (kể cả bội hoặc
không kể bội). Những kết quả theo hướng này liên quan đến các công
1


trình của A. Banerjee và S. Mallick ([4]), P. Bhattacharjee ([2]), M.Fang
([5]), W. C. Lin, H. X. Yi ([9]) và nhiều tác giả khác.
Với mong muốn tìm hiểu các kết quả nghiên về các tập song xác định
duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình. Chúng tôi lựa chọn đề tài:
"Các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân
hình". Mục đích của đề tài là trình bày một số kết quả nghiên cứu về
các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình. Cụ
thể là kết quả của A. Banerjee và S. Mallick ([4]) về tập song xác định

duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình. Luận văn được bố cục cùng
với lời nói đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Phân bố giá trị cho hàm phân hình. Chương này chúng
tôi trình bày về các hàm Nevanlinna, hai định lý cơ bản của lý thuyết
Nevanlinna và một số tính chất về phân bố giá trị của hàm phân hình
đối với đạo hàm. Đây là những kiến thức cơ bản sử dụng để chứng minh
các kết quả trong Chương 2.
Chương 2: Các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm
phân hình. Trình bày hàm phân hình chung nhau giá trị hoặc tập hợp,
về tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình.

2


Chương 1
Phân bố giá trị cho hàm phân hình
1.1. Hàm đặc trưng và tính chất
Các hàm Nevanlinna.
Cho f xác định trên mặt phẳng phức C, lấy giá trị trên C,D ⊂ C là
một miền. Ta nói f chỉnh hình tại z0 ∈ C nếu tồn tại một lân cận U của
z0 sao cho
∞

cn (z − z0 )n .

f (z) =
n=0

Với mọi z ∈ U , trong đó cn ∈ C là các hằng số. Hàm f (z) được gọi
là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi z ∈ D.

Với hàm f : C → C, một điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô
lập của hàm f (z) nếu f (z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của z0
trừ ra tại chính z0 . Điểm bất thường cô lập z0 của hàm f (z) được gọi
là:
i) Điểm bất thường khử được của hàm f (z) nếu tồn tại giới hạn hữu
hạn lim f (z).
z→z0

3


ii) Cực điểm của hàm f (z) nếu lim f (z) = ∞.
z→z0

iii) Cực điểm bất thường cốt yếu của hàm f (z) nếu không tồn tại
lim f (z).

z→z0

Định nghĩa 1.1. Hàm f (z) được gọi là hàm nguyên nếu nó chỉnh hình
trong toàn mặt phẳng phức C.
Định nghĩa 1.2. Điểm z0 được gọi là 0–điểm cấp m

0 của hàm f (z)

nếu trong lân cận của z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m .h (z),
trong đó h (z) chỉnh hình trong lân cận của z0 và h (z0 ) = 0. Điểm z0
được gọi là cực điểm cấp m
của hàm

0 của hàm f (z) nếu z0 là 0-điểm cấp m

1
f (z) .

Với hàm phân hình f , ta kí hiệu:




m
nếu z0 là 0-điểm cấp m của f (z)



ordf (z0 ) = 0
nếu f (z0 ) = 0, ∞





−m nếu z0 là cực điểm cấp m của f (z).
Định nghĩa 1.3. Hàm số f (z) được gọi là hàm phân hình trong miền
D ⊂ C nếu nó chỉnh hình trong miền D, trừ ra tại một số điểm bất
thường là cực điểm. Khi đó f (z) là hàm phân hình trên C, ta gọi đơn
giản là hàm phân hình.
Nhận xét: Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận
của z ∈ D hàm f (z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm
chỉnh hình.

Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevanlinna của một hàm phân hình.
Với mỗi số thực dương x ∈ R∗ + .
4


Kí hiệu:

 log x nếu x ≤ 1
+
log x =
 0 nếu 0Như vậy:
log+ x = max {log x, 0} ,
1
log x = log+ x = log+ .
x
Cho f : C → C là một hàm phân hình, với một số thực R > 0, ta có
2π

1
2π

2π

log f Reiϕ dϕ =

1
2π

0

2π

log+ f Reiϕ dϕ −

1
2π

0

1
dϕ.
f Reiϕ

log+
0

Định nghĩa 1.4. Hàm
2π

1
m (r, f ) =
2π

log+ f Reiϕ dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f .
Kí hiệu n (r, f ) là số cực điểm kể cả bội của hàm f (z) trong đĩa
{|z| < t} và n (0, f ) = lim n (t, f ). Khi đó, nếu f (0) = ∞ ta có

t→0

R

R
log dn (t, f ) =
t
0

N

log
υ=1

R
,
bυ

trong đó bυ , υ = 1, 2, ..., N là các cực điểm của hàm f trong đĩa {|z| < R}.
Thật vậy, bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
R

log
0

R

R

R

R
R
dn (t, f ) = log n (t, f )
−
t
t
0
5

n (t, f )d log
0

R
=
t

n (t, f )
0

dt
.
t


Do hàm f chỉ có hữu hạn cực điểm trong {|z|

R} nên hàm n (t, f )

chỉ nhận một số hữu hạn giá trị nguyên không âm và tăng theo t. Gọi

r1 , r2 , ..., rn−1 ∈ {|bυ | , υ = 1, ..., N } và r0 , rn là các số thực không âm sao
cho 0 = r0 < r1 < ... < rn−1 < rn = R và trên mỗi hình vành khăn
{rj < |z|

rj+1 } hàm n (t, f ) không đổi. Khi đó:
r1

R

dt
n (t, f ) =
t

r2

dt
n (t, f ) +
t
r0

0

rn

dt
n (t, f ) + ... +
t
r1

Giả sử

n (t, f ) =

n (t, f )

dt
.
t

rn−1





0






α1

nếu r1 < t




...







αn−1 = N

nếu rn−1 < t

nếu t

r1
r2

rn = R.

Khi đó ta có:
r1

R

n (t, f )
0

dt
=
t

r2

0.

dt
+
t

r0

rn

α1

dt
+ ... +
t

r1

= α1 log t|

r2

R
=
log
=
r
υ
υ=1

dt
t

rn−1

+ α2 log t|

r1
N

αn−1

r3

+ ... + αn−1 log t|

r2
N

log
υ=1
N

Định nghĩa 1.5. Hàm N (R, f ) =
υ=1

rn−1

R

.
|bυ |
log |bRυ | được gọi là hàm đếm (còn

gọi là hàm đếm tại các cực điểm) của hàm f .
Định nghĩa 1.6. Hàm
T (R, f ) = m(R, f ) + N (R, f )
6

R


gọi là hàm đặc trưng của hàm f .
Các hàm đặc trưng T (R, f ), hàm xấp xỉ m(R, f ) và hàm đếm N (R, f )
là các hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, còn gọi là các hàm
Nevanlinna.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm đếm và hàm
đặc trưng. Trước tiên nhắc lại công thức Poison-Jensen.
Định lý 1.1. (Công thức Poison-Jensen). Giả sử f (z) là hàm phân hình
trong đĩa {|z|

R}, 0 < R < ∞. Giả sử a1 , ..., aM là các 0-điểm kể cả

bội và b1 , ..., bN là các cực điểm kể cả bội của f (z) trong đĩa {|z|
Khi đó nếu z = reiθ là điểm thuộc đĩa {|z|

R}.

R} sao cho f (z) = 0, ∞ ta

có:
2π

1
log |f (z)| =
2π

R2 − r 2
log f (Re ) 2
dϕ
R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2
iϕ

0
M

R (z − aµ )
−
+
log
2−a z
R
µ
µ=1

N

log
ν=1

R (z − bν )
.
R 2 − bν z

Từ công thức Poisson-Jensen, ta có thể tính được giá trị |f (z)| tại
mọi điểm trong miền {|z|

R} khi biết |f (z)| biến thiên {|z| = R} và

các 0-điểm, cực điểm của hàm f (z).
Định lý 1.2. (Công thức Jensen). Giả sử f (z) là hàm phân hình trong
đĩa {|z|

R}, 0 < R < ∞. Giả sử a1 , ..., aM là các 0-điểm kể cả bội và

b1 , ..., bN là các cực điểm kể cả bội của f (z) trong đĩa {|z|

R}. Khi đó

nếu f (z) = 0, ∞ ta có:
2π

1
log |f (0)| =
2π

M

iϕ

log f Re
0

|aµ |
−
dϕ +
log
R
µ=1
7

N

log
ν=1

|bν |
.
R


Một số tính chất.
Định lý 1.3. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , ..., fp , khi đó:
p

p

(1). m(r,

fν )

m (r, fν ) + log p.

ν=1
p

(2). m(r,

ν=1
p

fν )
ν=1
p

m (r, fν ).
ν=1
p

(3). N (r,

fν )

N (r, fν ).

ν=1
p

(4). N (r,

ν=1
p

fν )
ν=1
p

(5). T (r,

N (r, fν ).
ν=1
p

fν )
ν=1
p

(6). T (r,

T (r, fν ) + log p.
ν=1
p

fν )
ν=1

T (r, fν ).
ν=1

Tiếp theo ta đề cập đến một số hàm đếm mở rộng thường dùng trong

chứng minh các định lý về xác định duy nhất hàm phân hình.
Cho f là hàm phân hình và r > 0, kí hiệu nk (r, f ) là số cực điểm bội
cắt cụt bởi k trong Dr của f (tức là các cực điểm bội l > k chỉ được
tính k lần trong tổng nk (r, f )). Hàm
r

Nk (r, f ) =

nk (r, f ) − nk (0, f )
dt + nk (0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi k, trong đó
nk (0, f ) = limnk (r, f ),
t→0

số k trong nk (r, f ) được gọi là chỉ số bội cắt cụt.
8


Cho a ∈ C ∪ {∞}, kí hiệu n(r, 1/(f − a)) là các số không điểm kể cả
bội, n(r, 1/(f − a)) là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr .
r

1
)=
N (r, 0; f ) = N (r,
f −a

1
1
n(t, f −a
) − n(0, f −a
)

t

dt + n(0,

1
) log r,
f −a

dt + n(0,

1
) log r.
f −a

0
r

1
)=
N (r, 0; f ) = N (r,
f −a

1

1
n(t, f −a
) − n(0, f −a
)

t
0

Cho a ∈ C ∪ {∞}, kí hiệu nk) (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể
cả bội, nk) (r, 1/(f − a)) là số các không điểm phân biệt của f − a trong
Dr với bội không vượt quá k, n(k (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể
cả bội, n(k (r, 1/(f − a)) là số các không điểm phân biệt của f − a trong
Dr với bội ít nhất bằng k. Đặt:
r

1
Nk) (r,
)=
f −a

1
1
nk) (t, f −a
) − nk) (0, f −a
)

t

dt + nk) (0,

1
) log r,
f −a

dt + nk) (0,

1
) log r,
f −a

dt + n(k (0,

1
) log r,
f −a

dt + n(k (0,

1
) log r,
f −a

0
r

1
N k) (r,
)=
f −a

1
1
nk) (t, f −a
) − nk) (0, f −a
)

t
0
r

1
N(k (r,
)=
f −a

1
1
n(k (t, f −a
) − n(k (0, f −a
)

t
0
r

1
N (k (r,
)=
f −a

1
1
n(k (t, f −a
) − n(k (0, f −a
)

t
0

trong đó:
1
) = lim nk) (t,
t→0
f −a
f
1
n(k (0,
) = lim n(k (t,
t→0
f −a
f

nk) (0,

1
), nk) (0,
−a
f
1
), n(k (0,

−a
f
9

1
) = lim nk) (t,
t→0
−a
f
1
) = lim n(k (t,
t→0
−a
f

1
),
−a
1
).
−a


Dễ thấy
Nk (r,

1
1
1
1

) = N (r,
) + N (2 (r,
) + ... + N (k (r,
),
f −a
f −a
f −a
f −a
1
1
1
N (r, ) + N (2 (r, ) = N2 (r, )
h
h
h

1
N (r, )
h

và
N2 (r, f ) = N (r, f ) + N (2 (r, f ).
Kí hiệu nE (r, a; f, g), (nE (r, a; f, g)) là số các không điểm kể cả bội
(không kể bội) tại các không điểm chung cùng bội của f − a và g − a
và n0 (r, a; f, g), (n0 (r, a; f, g)) số các không điểm kể cả bội(không kể bội)
tại tất cả các không điểm chung của f − a và g − a. Đặt
r

nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g)
dt + nE (0, a; f, g) log r,

t

NE (r, a; f, g) =
0
r

nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g)
dt + nE (0, a; f, g) log r,
t

N E (r, a; f, g) =
0

r

N0 (r, a; f, g) =

n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g)
dt + n0 (0, a; f, g) log r,
t

0
r

N 0 (r, a; f, g) =

n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g)
dt + n0 (0, a; f, g) log r.
t

0

Trong đó
nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g),
t→0

t→0

n0 (0, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g), nE (0, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g).
t→0

t→0

10


Các hàm NE (r, a; f, g), (N E (r, a; f, g)) được gọi là hàm đếm kể cả bội
(hàm đếm không kể bội ) tại các không điểm chung cùng bội của f − a
và g − a, N0 (r, a; f, g), (N 0 (r, a; f, g)) là hàm đếm kể cả bội (hàm đếm
không kể bội) tại tất cả các không điểm chung của f − a và g − a.

1.2. Hai định lý cơ bản trong lý thuyết phân bố giá
trị
Định lý cơ bản thứ nhất.
Bổ đề 1.1. Giả sử f (z) là hàm phân hình và mọi a ∈ C ta có:
|T (r, f ) − T (r, f − a)|

log+ |a| + log 2.

Chứng minh. Đặt f = (f − a) + a = f1 + f2 với f1 = f − a, f2 = a. Ta

có:
T (R, f )

T (R, f1 ) + T (R, f2 ) + log 2
= T (R, f − a) + log+ |a| + log 2.

Từ đó suy ra
T (r, f ) − T (R, f − a)

log+ |a| + log 2.

Ngoài ra ta có
T (R, f − a)

T (r, f ) + log+ |a| + log 2.

Suy ra
T (r, f ) − T (R, f − a)
11

−(log+ |a| + log 2).


Như vậy
|T (r, f ) − T (R, f − a)|

(log+ |a| + log 2).

Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.4. (Định lý cơ bản thứ nhất). Giả sử f (z) là hàm phân hình

trong hình tròn {|z|
m(R,

R} với R > 0, a là số phức tùy ý. Khi đó ta có:

1
1
) + N (R,
) = T (R, f ) − log |f (0) − a| + ε(a, R).
f −a
f −a
log+ |a| + log 2.

Trong đó |ε(a, R)|

Chứng minh. Ta có:
1
+N
f −a
1
R,
f −a

m R,
=T

R,

1
f −a

= T (R, f − a) − log |f (0) − a|
= T (R, f ) − log |f (0) − a| + { T (R, f − a) − T (R, f )} .
Và { T (R, f − a) − T (R, f )} = ε (a, R).
Định lý cơ bản thứ hai.
Định lý 1.5. (Bất đẳng thức cơ bản). Giả sử f (z) là hàm phân hình
khác hằng số trong miền {|z|
biệt, δ > 0 và |aµ − aν |

r}, a1 , ..., aq ; q

δ với 1

µ<ν

2 là các số phức phân

q. Khi đó ta có:

q

m (r, f ) +

m (r, aj )

2T (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f ) ,

j=1

12

trong đó:
N1 (r, f ) = N

1
f

r,

+ 2N (r, f ) − N r, f

q

f
f
S(r, f ) = m(r, ) + m r,
f
f − aν
ν=1

+ qlog+

.

1
3q
+ log 2 + log
δ
|f (0)|

= o (T (r, f ) + log r) .
Định lý 1.6. (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử f (z) là hàm phân hình
trong miền {|z|

r} và a1 , ..., aq ; q

2 là các số phức phân biệt. Khi đó

ta có:
q

N (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f )

(q − 1) T (r, f )
j=1

q

N (r, aj ) − N0 r,

N (r, f ) +
j=1

1
f

+ S (r, f ) ,

trong đó S (r, f ) = o (T (r, f )) khi r → ∞, r nằm ngoài một tập có độ đo

hữu hạn, N1 (r, f ) = N r, f1

+ 2N (r, f ) − N (r, f ), N0 r, f1

là hàm

đếm tại các 0-điểm của f mà không là 0-điểm của f − aj với j = 1, ..., q.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức cơ bản ta có:
q

m (r, f ) +

2T (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f ) .

m (r, aj )
j=1
q

Cộng đại lượng N (r, f ) +

N (r, aj ) vào hai vế ta được
j=1
q

{m (r, f ) + N (r, f )} +

{m (r, aj ) + N (r, aj )}
j=1

q

N (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f ) .

2T (r, f ) +
j=1

13


Mặt khác
m (r, f ) + N (r, f ) = T (r, f )
và
1
f − aj
1
r,
f − aj

m (r, aj ) + N (r, aj ) = m r,
=T

+N

r,

1
f − aj

= T (r, f − aj ) + O (1)

= T (r, f ) + O (1) .
Điều đó kéo theo
q

{T (r, f ) + O(1)}

T (r, f ) +
j=1

q

T (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f )

2T (r, f ) +
j=1

q

T (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f ) .

⇔ (q − 1) T (r, f )
j=1

Ta lại có
q

T (r, aj ) − N1 (r, f ) + S (r, f )

N (r, f ) +
j=1

q

T (r, aj ) − N

=

r,

j=1

1
f

+ N (r, f ) − N (r, f ) + S (r, f ) .

Vì N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f )
Suy ra ta có
N (r, f ) − N (r, f ) = N (r, f ) .

(1.1)

Ngoài ra:
q

N (r, aj ) − N
j=1

1
r,
f

q

N (r, aj ) − N0 r,

=
j=1

14

1
f

.

(1.2)


Thật vậy, giả sử b là nghiệm bội k > 1 của phương trình f = aj ,
j = 1, ..., q thì b là nghiệm bội (k − 1) của phương trình f = 0.
q

N (r, aj ) =

Ta có:
j=1

b

r

log |b|
.

r
Với mỗi b bội k > 1 thì đại lượng log |b|
được tính k lần trong
q
j=1

N (r, aj ) và (k − 1) lần trong N r, f1 .

Vậy log

r
|b|

q

được tính đúng một lần trong hiệu
j=1

Chú ý rằng: N r, f1

=
b

r
log |b|
+

b

N (r, aj ) − N r, f1 .

log |br | trong đó b là nghiệm của

phương trình f = aj , j = 1, ..., q và b là nghiệm của phương trình f = 0
nhưng không là nghiệm của phương trình f = aj , j = 1, ..., q. Vậy ta có
(1.1).
Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có:
q

N (r, aj ) − N
j=1

r,

1
f

+ N (r, f ) − N (r, f ) + S (r, f )

q

N (r, aj ) − N0 r,

= N (r, f ) +
j=1

1

f

+ S (r, f ) .

Vậy ta có
q

(q − 1) T (r, f )

N (r, aj ) − N0 r,

N (r, f ) +
j=1

1
f

+ S (r, f ) .

Định lý được chứng minh.
Định lý 5 điểm.
Cho f (z) là hàm chỉnh hình hoặc phân hình trên C và a ∈ C ∪ { ∞} .
Nếu a hữu hạn ta kí hiệu:
Ef (a) = (z, m) ∈ C × N∗ : f (z) − a = 0 và ordf −a (z) = m
15


là tập các 0-điểm của f − a kể cả bội.
E f (a) = { z ∈ C : f (z) = a}
là tập các 0-điểm của f − a không kể bội.

Giả sử S ⊂ C ∪ {∞} ta kí hiệu:
Ef (S) = ∪ Ef (a)
a∈S

và
E f (S) = ∪ E f (a) .
a∈S

Định nghĩa 1.7. Nếu Ef (a) = Eg (a) thì ta nói rằng f và g chung nhau
giá trị a kể cả bội . Nếu E f (a) = E g (a) thì ta nói rằng f và g chung
nhau giá trị a không kể bội.
Định lý 1.7. (Định lý 5 điểm). Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác
hằng trên C. Nếu tồn tại 5 giá trị phân biệt a1 , a2 , ..., a5 ∈ C ∪ { ∞}
sao cho
E f (aj ) = E g (aj )

j = 1, ..., 5.

thì f ≡ g.
Bổ đề số khuyết.
Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C và a ∈ C ∪ { ∞} , k là một số
nguyên dương. Ta kí hiệu
δf (a) = lim inf
r→∞

1
m r, f −a

T (r, f )

= 1 − lim sup
r→∞

16

1
N r, f −a

T (r, f )

,


δfk (a) = 1 − lim sup

1
Nk r, f −a

T (r, f )

r→∞

Θf (a) = 1 − lim sup

1
N r, f −a

r→∞

θf (a) = lim inf

T (r, f )

,

,

1
1
N r, f −a
− N r, f −a

T (r, f )

r→∞

.

Định nghĩa 1.8. δf (a) được gọi là số khuyết, δfk (a) được gọi là số khuyết
bội cắt cụt bởi một số nguyên dương k của f tại a, Θf (a) được gọi là số
khuyết không kể bội, θf (a) gọi là bậc của bội của số khuyết.
Nhận xét.
1
1. Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N r, f −a

= 0 với mọi r suy ra

δf (a) = 1. Chẳng hạn f (z) = ez thì δf (0) = 1.
1
2. Nếu N r, f −a

= o (T (r, f )) thì δf (a) = 1, Như vậy số khuyết bằng

1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó.
3. Với hàm phân hình f và a ∈ C, ta có
0

δf (a)

δfk (a)

Θf (a)

1.

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết hay gọi là Bổ đề quan
hệ số khuyết.
Định lý 1.8. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập
hợp các giá trị của a mà Θf (a) > 0 cùng lắm là đếm được và ta có
Θf (a)

(δf (a) + θf (a))
a∈C∪{∞}

a∈C∪{∞}

17

2.

Định nghĩa 1.9. Cho f là một hàm phân hình trên C. Một phần tử
a ∈ C ∪ { ∞} được gọi là giá trị bỏ được Picard (viết tắt là e.v.P.) của
f nếu a ∈
/ f (C).
1
Nếu a là một điểm bỏ được Picard thì N r, f −a
= 0. Nên δf (a) = 1.

Bởi vậy một hàm nguyên có duy nhất một giá trị bỏ được Picard là ∞.
Định lý 1.9. (Định lý Picard). Giả sử f là hàm phân hình trên C, nếu
f không nhận 3 giá trị a1 , a2 , a3 ∈ C ∪ {∞} thì f là hàm hằng.
Chứng minh. Nếu f không nhận giá trị a thì phương trình f (z) = a
1
= 0. Suy ra Θ (a, f ) = 1.
vô nghiệm. Điều này kéo theo N r, f −a

Từ Bổ đề về quan hệ số khuyết, nếu f khác hằng số thì chỉ tồn tại không
quá hai giá trị a ∈ C ∪ {∞} sao cho Θ (a, f ) = 1.
Vậy f là hàm hằng.

18


Chương 2
Các tập song xác định duy nhất cho
đạo hàm của hàm phân hình
Như đã nói trong phần mở đầu, Định lý năm điểm của R. Nevanlinna
là khởi nguồn cho các công trình về tập xác định duy nhất cho các hàm
phân hình. Trong kết quả đó ông xem xét sự xác định duy nhất một hàm
phân hình thông qua ảnh ngược của năm điểm rời rạc. Về sau F.Gross

đã nghiên cứu sự xác định duy nhất của hàm phân hình chung nhau các
tập hợp thay vì giá trị rời rạc.
Trong những năm gần đây, A. Banerjee và S. Mallick đặt vấn đề
nghiên cứu về các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm
phân hình. Các kết quả theo hướng nghiên cứu này phải kể đến công
trình của A. Banerjee và S. Mallick ([4]). Trong công trình này tác giả
đã chỉ ra rằng. Các tập S1 , S2 hữu hạn trong C được gọi là tập song xác
định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình với trọng số m, p nếu
với bất kì hàm phân hình khác hằng f và g sao cho với điều kiện
Ef (k) (S1 , m) = Eg(k) (S1 , m) , Ef (k) (S2 , p) = Eg(k) (S2 , p)
19