Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học không gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG NGỌC HẠNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG NGỌC HẠNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Hoàng Ngọc Hạnh

i


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................ i
MỤC LỤC ....................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................. iv
DANH MỤC CÁC BIỂU................................................................................ v
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 3
3. Giả thuyết khoa học .................................................................................... 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 3

5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 4
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 4
7. Cấu trúc của luận văn .................................................................................. 4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 5
1.1. Năng lực và năng lực Toán học ............................................................... 5
1.1.1. Năng lực .......................................................................................... 5
1.1.2. Năng lực Toán học .......................................................................... 6
1.2. Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề .................................................. 8
1.2.1. Quan niệm về năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề .................. 8
1.2.2. Những thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề ...... 10
1.2.3. Cấp độ của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề..................... 19
1.3. Tiềm năng phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho
học sinh trong dạy học Hình học không gian ............................................... 20
1.4. Thực trạng của việc dạy học Hình học không gian cho học sinh ở
trường phổ thông ........................................................................................... 26
1.4.1. Nội dung Hình học không gian lớp 11 ở trường phổ thông ......... 26
1.4.2. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học nội dung Hình học
không gian .............................................................................................. 27
ii


1.4.3. Thực trạng của việc dạy học nội dung Hình học không gian ở
trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề ...................................................................................... 29
1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................. 33
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 .................... 35
2.1. Đinh
̣ hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp................................. 35

2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực phát hiêṇ và
giải quyế t vấn đề cho học sinh trong dạy học Hình ho ̣c không gian ............ 38
2.2.1. Biện pháp 1. Khai thác phần mềm dạy học để thiết kế các
mô hình dạy học nhằm tạo cơ hội dẫn dắt học sinh tới vấn đề cần
phát hiện................................................................................................. 38
2.2.2. Biện pháp 2. Vận dụng quy trình giải bài tập của G.Polya
trong dạy học giải bài tập Hình học không gian nhằm phát triển
năng lực tính toán, suy luận và chứng minh cho học sinh ..................... 45
2.2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư
duy giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề .................................. 53
2.2.4. Biện pháp 4. Tổ chức cho học sinh tăng cường luyện tập vẽ
đúng hình biểu diễn các hình không gian theo nhiều góc độ khác
nhau để lựa chọn hình biểu diễn thuận lợi nhất cho việc thực hiện
phép giải bài toán ................................................................................... 60
2.2.5. Biện pháp 5. Tập luyện cho học sinh khả năng sử dụng ngôn
ngữ, kí hiệu Toán học để diễn đạt vấn đề theo những cách khác
nhau nhằm giúp học sinh phát triển năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề ........................................................................................... 65
2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................. 69

iii


Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................. 70
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................. 70
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................. 70
3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................... 70
3.2.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm ........................................ 71
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm............................................................ 71
3.4. Hình thức tổ chức thực nghiệm .............................................................. 72

3.5. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................. 79
3.5.1. Phân tích định lượng..................................................................... 79
3.5.2. Phân tích định tính ........................................................................ 84
3.6. Kết luận chương 3 .................................................................................. 85
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................. 86
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... 88

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra học tập học kì I năm học 2015- 2016
của hai lớp 11A2 và 11A3 trường Trung học phổ thông
Nghĩa Hưng A............................................................................ 71
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra của học sinh hai lớp 11A2 và lớp 11A3
trường Trung học phổ thông Nghĩa Hưng A ............................. 81

iv


DANH MỤC CÁC BIỂU
Biểu đồ 1.1. Tỉ lệ vận dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát
triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của giáo viên .. 30
Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của học sinh trước phương pháp dạy học
theo định hướng phát triển năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề ...................................................................................... 30
Biểu đồ 1.3. Thái độ của học sinh khi học nội dung Hình học không gian ..... 32
Biểu đồ 1.4. Hoạt động mà học sinh yêu thích trong giờ học Hình học
không gian .............................................................................. 33

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Bối cảnh phát triển kinh tế quốc tế đặt ra những yêu cầu mới cho
giáo dục. Ở Việt Nam, sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh hội nhập
quốc tế với những ảnh hưởng của xã hội tri thức và toàn cầu hóa tạo ra những
cơ hội nhưng đồng thời đặt ra những yêu cầu mới đối với giáo dục trong việc
đào tạo đội ngũ lao động. Đào tạo nguồn nhân lực có trình độ cao đáp ứng nhu
cầu phát triển kinh tế tri thức đang là thách thức không chỉ của ngành giáo dục
mà còn là của toàn Đảng, toàn dân.
Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã
quy định [22]: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển
toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát
triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con
người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;
chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham
gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Nghị quyết 29 của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI đã nêu rõ [1]:
“Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học. Học đi đôi với
hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội”.
1.2. Để thực hiện các mục tiêu trên, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát
động phong trào đổi mới giáo dục, nhấn mạnh vào đổi mới phương pháp dạy
học trong toàn quốc. Theo nghiên cứu của nhiều nhà toán học, giáo dục học,
tâm lý học thì việc đổi mới phương pháp dạy học cần được thực hiện theo định

hướng hoạt động hóa người học, tức là tổ chức cho người học học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
1


Giáo dục định hướng phát triển năng lực được bàn đến từ những năm 90
của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế. Năng lực
không chỉ quan trọng đối với con người trong học tập mà còn trong thực tiễn
đời sống. Trong đó năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề là một năng lực
quan trọng, nó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của con người và giúp
con người có phản ứng nhanh nhạy trong mọi tình huống của cuộc sống. Hình
thành và bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trở thành yêu cầu
cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ chức giáo dục và các doanh nghiệp.
1.3. Thực tiễn giảng dạy bộ môn Toán hiện nay ở trường Trung học phổ
thông còn nhiều bất cập trong phương pháp giảng dạy, truyền thụ tri thức cho
học sinh. Mặc dù, giáo viên đã vận dụng nhiều phương pháp trong quá trình
dạy nhưng việc tiếp thu tri thức của học sinh vẫn còn nhiều hạn chế, chưa phát
huy được hết đặc điểm nổi bật của môn Toán trong việc giáo dục nhân cách
học sinh. Do đó, việc hình thành, phát triển năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề cho học sinh là một trong những nhiệm vụ cần được quan tâm hàng đầu,
nhằm đào tạo ra những con người biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc sống,
phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, là động lực của phát triển bền vững và nhanh
chóng của đất nước.
Hình học không gian là một trong những nội dung có tiềm năng rèn
luyện trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên, nó là một trong những nội dung khó, vì
các em phải chuyển từ việc nghiên cứu Hình học phẳng sang Hình học không
gian, ở đó những biểu tượng trực quan và tư duy trực giác thông qua xem xét
các mô hình, hình vẽ minh họa lại dường như không thống nhất với nội dung,
kiến thức khoa học chứa đựng trong nó.
1.4. Hiện nay, ở nước ta đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu năng

lực trong dạy học môn Toán, như: Nguyễn Bá Kim, Bùi Văn Nghị, Nguyễn
Hữu Châu, Tôn Thân, Trần Luận… Các nghiên cứu này đã tạo nên bức tranh
nhiều màu sắc về năng lực nói chung và năng lực Toán học nói riêng. Mặc dù

2


vấn đề phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Hình
học không gian ở trường phổ thông đã có những nghiên cứu nhất định nhưng
nó vẫn còn nhiều vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh Trung học phổ thông
trong dạy học Hình học không gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về việc phát triển năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh và nội dung Hình học không gian ở trường Trung
học phổ thông đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Hình học không
gian ở trường phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp trong quá trình
dạy học chủ đề Hình học không gian cho học sinh theo định hướng phát triển
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần phát triển năng lực
này cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề Hình học không gian
ở trường phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm sáng tỏ một số vấn đề về việc phát triển năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh.
- Tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung Hình học không gian ở một
số trường Trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực phát hiện

và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học Hình học không gian.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề trong dạy học Hình học không gian cho học sinh Trung
học phổ thông.
- Bước đầu thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu
quả của các biện pháp sư phạm đề ra.
3


5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi tập trung nghiên cứu nội
dung Hình học không gian lớp 11, chương trình Ban cơ bản.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số văn bản, tài liệu liên quan
đến phương pháp dạy học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề; các tài
liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môn Toán có
liên quan đến đề tài.
- Điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát những biểu hiện của giáo viên và
học sinh (về nhận thức, thái độ, hành vi) trong hoạt động dạy và học.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng
tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11
Trung học phổ thông.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

4


Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1. Năng lực
Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh
“competentia”, có nghĩa là gặp gỡ. Ngày nay, khái niệm năng lực được hiểu
theo nhiều nghĩa khác nhau. Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng
thực hiện của cá nhân đối với một công việc.
Năng lực bao gồm các kiến thức, kỹ năng cũng như quan điểm và thái độ
mà một cá nhân có thể hành động thành công trong các tình huống mới. Năng
lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn sàng để giải
quyết các tình huống.
Theo nhà Tâm lý học người Nga V. A. Cruchetxki [8]: “Năng lực được hiểu
như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những
yêu cầu của một loạt hành động nào đó và là điều kiện thành công hoạt động đó”.
Theo Phạm Minh Hạc [12]: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm
tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân
cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất đi ̣nh tạo ra kế t
quả của một hoạt động nào đấy”
Qua những cách hiểu trên về năng lực, chúng ta có thể rút ra một số điểm
chung sau:
- Năng lực không phải là một thuộc tính tâm lí xuất sắc mà là tổ hợp các
thuộc tính độc đáo của nhân cách, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt
động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả.
- Nói đến năng lực là đề cập tới xu thế có thể đạt được một kết quả nào
đó của một công việc nào đó do một con người cụ thể thực hiện (năng lực học

tập, năng lực lao động, năng lực quan sát…). Không tồn tại năng lực một cách
chung chung và trừu tượng.
5


- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động (quan hệ) của một cá nhân cụ
thể tới một đối tượng cụ thể (kiến thức, quan hệ xã hội, đối tượng lao động…)
để có một sản phẩm nhất định. Do đó, chúng ta có thể căn cứ vào đó để phân
biệt người này với người khác.
- Năng lực là yếu tố tổng thành trong một hoạt động cụ thể chứ không
chỉ là sự tương ứng hay sự phù hợp giữa một bên là yêu cầu của hoạt động và
một bên là tổ hợp những thuộc tính tâm lí cá nhân. Điều này muốn nhấn mạnh
tính cơ động của năng lực: Năng lực chỉ tồn tại trong quá trình vận động, phát
triển của một hoạt động cụ thể.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng với quan niệm: “Năng lực là khả
năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các
nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề
nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm
cũng như sự sẵn sàng hành động”[3].
1.1.2. Năng lực Toán học
Năng lực Toán học cũng như năng lực nói chung, chỉ tồn tại trong hoạt
động Toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động Toán học mới thấy được
biểu hiện của năng lực Toán học. Năng lực Toán học ở trạng thái động, nó hình
thành và phát triển trong hoạt động Toán học tùy theo từng thời kỳ, có thời kỳ
thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển năng lực Toán học.
Theo V. A. Cruchetxki [7], năng lực Toán học được hiểu theo hai ý
nghĩa, hai mức độ:
- Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.

- Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.
6


Theo KhinSin [26], năng lực Toán học thể hiện ở những nét sau:
- Suy luận theo sơ đồ logic.
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích.
- Phân chia chính xác các ký hiệu.
- Có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở.
Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực Toán học. Con người có
những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉ được
hình thành thông qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của môi trường
sống. Năng lực Toán học được cho là có mối liên hệ mật thiết với hoạt đông
trực giác và sự sáng tạo Toán học ở người nghiên cứu.
Trong bài tổng luận của tác giả Trần Thúc Trình “Nhìn lại lịch sử cải
cách nội dung và phương pháp dạy - học toán ở trường phổ thông trên thế giới
trong thế kỉ XX” [14], tác giả đã đưa ra mười chỉ tiêu năng lực là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép
toán và các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;
3) Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện thành kí hiệu;
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa;
8) Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa;
9) Năng lực khái quát hóa toán học;

10) Năng lực phân tích bài toán, xác định các phép toán có thể áp
dụng để giải.
Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí
tuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu
sắc, những kiế n thức, kỹ năng, kỹ xảo trong môn Toán.
7


1.2. Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
1.2.1. Quan niệm về năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
a) Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong Toán học
Năng lực không mang tính chung chung mà khi bàn về năng lực, bao giờ
người ta cũng nói đến năng lực thuộc về một hoạt động cụ thể nào đó, chẳng
hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học, năng
lực hoạt động chính trị của hoạt động chính trị, năng lực giảng dạy của hoạt
động giảng dạy...
Trong hoạt động học Toán, mỗi vấn đề được biểu thị thành các câu hỏi,
yêu cầu bài toán chưa có sẵn lời giải thích hoặc cách thực hiện [17]. Để giải
quyết được nhiệm vụ học Toán, học sinh cần phải tiến hành những hoạt động
phát hiện và giải quyết những tình huống liên quan đến môn Toán: Chẳng hạn:
Xây dựng khái niệm, hình thành quy tắc, công thức, chứng minh định lý và giải
bài tập Toán. Có thể nói rằng: Vấn đề trong học Toán là bài toán (theo nghĩa
rộng) mà học sinh chưa biết lời giải.
Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong Toán học của học sinh
được biểu hiện như sau:
+ Khả năng tiếp cận và phát hiện vấn đề: Vấn đề thường được giáo viên
đưa ra hoặc do học sinh tự phát hiện. Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa ngôn
ngữ và mức độ hiểu của học sinh về vấn đề. Nếu giáo viên giúp học sinh có
được cái nhìn bên trong của vấn đề thì sẽ hình thành cho học sinh cách phát
hiện và giải quyết vấn đề của riêng mình.

+ Khả năng định hướng giải quyết vấn đề: Việc sắp xếp thông tin sao
cho chúng trở thành có nghĩa, đòi hỏi học sinh kỹ năng tổ chức lại các dữ kiện,
mối quan hệ dưới dạng hình vẽ, bảng, biểu...Những thao tác này, cùng với việc
huy động các kiến thức đã có thể dẫn đến một sự phỏng đoán, từ đó mà học
sinh phát hiện cách giải quyết vấn đề.
8


+ Khả năng lựa chọn giải pháp và thực hiện giải pháp: Với mỗi vấn đề,
bài toán, có thể có nhiều giải pháp, giáo viên không chỉ giúp học sinh sử dụng
kỹ năng để phát hiện các giải pháp, mà còn biết chọn giải pháp hợp lí nhất.
+ Khả năng phân tích kết quả và phát triển vấn đề: Sự phát triển thể
hiện ở chỗ, giúp học sinh phát hiện phương pháp khác để giải quyết vấn đề,
biết ứng dụng vào tình huống mới, tạo ra vấn đề từ vấn đề gốc, giải thích
cách đạt được kết quả.
Từ những nghiên cứu về năng lực phát hiêṇ và giải quyết vấn đề, vận
dụng vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chúng tôi quan
niệm: Năng lực phát hiê ̣n và giải quyết vấn đề của học sinh trong học Toán học
là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở các khả năng (thao tác tư duy và hành
động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết có hiệu quả những
nhiệm vụ của Toán học.
b) Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và mối quan hệ với các
năng lực khác
Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những thành phần
quan trọng hình thành nên năng lực học toán ở học sinh. Nó xuyên suốt trong
quá trình học tập và đóng vai trò quyết định hình thành nên các năng lực khác ở
học sinh như: Năng lực học khái niệm, định nghĩa; Năng lực suy luận; Năng
lực chứng minh định lí, hệ quả; Năng lực giải toán...Ngược lại, nếu học sinh có
năng lực học toán thì các em có rất nhiều thuận lợi trong việc phát hiện và giải
quyết vấn đề đặt ra.

+ Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những thành phần
quan trọng hình thành nên năng lực học Toán. Trong Toán học, năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng phân
môn: Đại số, Hình học... Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính chất các
hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt chẽ tương
hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và năng lực học
Toán thông qua quá trình dạy học Toán.
9


+ Xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống (mỗi học sinh phải tự nhận biết
và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân, trong đó có những vấn đề
của việc học Toán) thì năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề có cấu trúc phức
tạp gồm nhiều thành phần, có vai trò rộng hơn năng lực học tập (nói riêng là
năng lực học Toán).
+ Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề ở mức độ cao.
+ Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự phát
triển năng lực Toán học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề ở mức độ cao
dựa trên cơ sở quan trọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh).
1.2.2. Những thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề [25]
a) Năng lực thành tố 1. Năng lực nhận ra mâu thuẫn trong các tình
huống để từ đó thấy được nhu cầu giải quyết vấn đề trong tình huống, dẫn tới
việc chọn lọc, vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã học để khai thác tình
huống và tiếp cận vấn đề.
Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của học sinh
là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi
trong học tập.
Để giải quyết nhiệm vụ học tập, học sinh phải tiế n hành một loạt các hành
động như huy động và tổ chức kiế n thức có liên quan đế n tình huống chứa vấn đề;

tách biệt và kế t hợp các kiế n thức; dự đoán và kiểm tra điề u dự đoán… với các
thao tác tương ứng như: Nhận biế t, nhớ lại, bổ sung, phân nhóm...
Như vậy, học sinh cần phải hòa nhập vào tình huống có vấn đề , tức là
nhận thấy có sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kỹ năng của
bản thân. Từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điề u gì mới chứa đựng bên
trong tin
̀ h huống. Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện quy gọn, tránh được
tiǹ h trạng lan man không đinh
̣ hướng.
10


Ví dụ 1.1. Khi gặp tình huống: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
sau trong không gian
 x  x0  at
 x  x0  at 


d :  y  y0  bt và d  :  y  y0  bt 
 z  z  ct
 z  z  ct 
0
0



Mô ̣t trong những quy trình mà học sinh thường liên tưởng đến và sử
dụng: Trong Hình học phẳng có 3 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng là:
Trùng nhau, song song, cắt nhau. Nhưng trong không gian, học sinh không thể
vận dụng hoàn toàn các kiến thức trên mà phải suy luận thêm. Với

M ( x0 , y0 , z0 )  (d ) , M ( x0 , y0 , z0 )  (d ) , trong trường hợp 3 vecto u, u, MM 
không đồng phẳng thì (d) và (d’) là hai đường thẳng chéo nhau (với u , u lần
lượt là vecto chỉ phương của (d) và (d’)).
b) Năng lực thành tố 2. Năng lực Toán học hoá các tình huống thực tế ,
vận dụng tư duy Toán học trong cuộc sống.
Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán
hoặc nảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điề u kiện cho học sinh biế t vận
dụng những kiế n thức Toán học trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây
hứng thú học tập, giúp học sinh nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các sự
kiện Toán học một cách hiǹ h thức.
Nế u học sinh có năng lực Toán học hóa các tình huống thực tiễn thì
thường chú ý tới các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kỹ thuật, của
các môn học khác và nhất là thực tế đời sống hàng ngày quen thuộc với họ.
Đồng thời, nhiề u khi còn phát biểu một số bài toán không phải thuần túy dưới
dạng Toán học mà dưới dạng một vấn đề thực tế cần phải giải quyế t.
Ví dụ 1.2. Khi học nội dung Hình học không gian, học sinh thấy được
Hình học không gian được ứng dụng trong thực tiễn đời sống rất phong phú, đa
dạng. Nó giúp con người giải quyết các bài toán kinh tế, kỹ thuật...Chẳng hạn,
với việc sử dụng các kiến thức hình trụ và hình hộp chữ nhật, học sinh dễ dàng
giải quyết được bài toán:
11


Người ta phải cưa một thân cây hình trụ để được một cây xà hình khối
chữ nhật có thể tích cực đại. Hỏi cây xà phải có tiết diện như thế nào?

Hình 1.1
c) Năng lực thành tố 3. Năng lực phát hiện và sửa chữa sai lầm trong
lời giải.

Trong dạy học Toán, có thể coi học Toán là học các hoạt động Toán
học. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong
việc làm cho học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ
năng, kỹ xảo. Việc tổ chức dạy học hiệu quả sẽ có vai trò quyế t đinh
̣ đối với
chất lượng dạy học Toán nói riêng, phát triển năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề nói chung cho học sinh.
Tuy nhiên thực tiễn dạy học cho thấy, chất lượng học Toán còn chưa tốt,
biểu hiện thông qua năng lực giải Toán còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiề u
sai lầm. Vì vậy, khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh là một
trong những mấu chốt để góp phần giờ học hiệu quả hơn.
Các nghiên cứu đã chỉ ra rằ ng, các nguyên nhân khiến tư duy của con
người nói chung và tư duy của học sinh phổ thông nói riêng thường gặp sai lầm
chủ yế u là do:
- Do dữ kiện sai lầm không phản ánh đúng bản chất của sự vật, hiện
tượng đó.
- Do chủ thể tư duy không theo một quy luật logic, chỉ nhìn vẻ bề ngoài
mà suy vào bản chất bên trong.
- Do chủ thể tư duy nôn nóng, đốt cháy giai đoạn, mong muốn tìm ra lời
giải ngay từ khi mới nhận thức được vấn đề.
12


- Do chủ thể tư duy bỏ sót những yếu tố đơn lẻ, hay nói cách khác chủ
thể tư duy đã không thu gom đủ các dữ kiện của sự vật, hiện tượng phục vụ cho
việc tư duy.
- Do quan niệm, hứng thú, tình cảm không đúng.
Vì vậy, trong quá trình dạy học, việc phát hiện sớm những sai lầm của
học sinh trong tư duy giúp các em kịp thời sửa sai có một ý nghĩa rất quan
trọng. Học sinh nế u có đươ ̣c khả năng này thì viê ̣c ho ̣c tâ ̣p hình học trở nên

hiêụ quả và ý nghiã hơn.
Ví dụ 1.3. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt
phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy, hai mặt bên còn lại của hình chóp
tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng  . Tính diện tích xung quanh của
hình chóp.
- Một học sinh giải như sau:
Kẻ SH  (ABC)
Vì ∆ABC đều nên H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Ta có: HI  AB; HJ  BC; HK  AC
Theo định lí 3 đường vuông góc ta có:

SI  AB; SJ  BC; SK  AC
Hơn nữa, SI  SJ 

S

3a
6cos 

và SIH  SJH  SKH
nên SK 

3a
6cos 

K

A

Do đó,

I

1
3a
3 2
S xq  SSAB  SSBC  SSAC  3SSAB  3. .a.

.a
2 6cos 4cos

C
H

J
B

Hình 1.2
13


- Phân tích sai lầm:
Học sinh không phân biệt được hình chóp đa giác đều với hình chóp có
đáy là một đa giác đều: Hình chóp đa giác đều thì chân đường cao của hình
chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, còn hình chóp đáy là đa
giác đều thì điều đó chưa chắc đúng. Do đó học sinh dễ xác định sai chân
đường cao H của hình chóp, dẫn đến những tính toán thiếu chính xác.
- Lời giải đúng:
Từ

giả

thiết

(SAC )  ( ABC ) và
S

SH  ( ABC ) nên SH  ( ABC ) và H nằm

trên AC.
Vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp
với mặt đáy những góc bằng nhau nên ta có:

SIH  SJH    SIH  SJH  HI  HJ

C

H
A

I

A'

C'

Vậy H nằm trên đường phân giác

J

B

Hình 1.3

trong của góc B.
Hơn nữa ∆ABC đều nên H là trung điểm của AC
Ta tính được:
1
3
HI  HJ  AA1  a
2
4
3
SH  .a.tan 
4

SI  SJ 

3
3
.a  S xq 
.(2  sin  ) .
4cos
8cos 

d) Năng lực thành tố 4. Năng lực nắm bắt, đưa ra những quy tắc thuật
giải, tựa thuật giải từ những tiề n đề cho trước.
Đối với lớp bài toán, tồn tại quy tắc mô tả quá trình giải. Từ đó người ta đi
đế n khái niệm trực giác về thuật giải. Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu
14

như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn tri,̣ kế t thúc sau
một số hữu hạn bước và đem lại kế t quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của
một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của bài toán đó [17].
Học sinh đã làm quen với những quy tắc thuật giải ở trường phổ thông
như cộng trừ, nhân, chia những số tự nhiên và số hữu tỉ, tìm ước chung lớn
nhất, bội chung nhỏ nhất, giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, giải phương
trình bậc hai dưới dạng chuẩn, giải phương triǹ h bậc nhất đối với sinx và cosx,
các bài toán về dựng hình của các đối tươ ̣ng cơ bản…
Tuy nhiên, trong quá trình dạy học, chúng ta thường gặp một số quy tắc
chưa mang đầy đủ đặc điểm đặc trưng của thuật giải, nhưng có một số trong các
đặc điểm đó và đã tỏ rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó chỉ
là những quy tắc có thể coi là tựa thuật giải, được hiểu như là một dãy hữu hạn
những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác đinh
̣ nhằm biế n đổi thông tin
vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó.
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với quy tắc thuật giải như sau:
- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác đi ̣nh;
- Kế t quả thực hiện được mỗi chỉ dẫn không đơn tri ̣;
- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì
đem lại kế t quả là lời giải của lớp bài toán.
Ví dụ 1.4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Xác định và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của AB và CD.
Với bài toán này, học sinh phải nắm được định nghĩa đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau. Do đó, giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh giải bài toán trên theo các bước như sau:
- Bước 1: Chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với
đường thẳng kia.
- Bước 2: Trong mặt phẳng vừa chọn, dựng một đường thẳng vuông góc với
hai đường thẳng đã cho. Đó chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.

- Bước 3: Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
15


e) Năng lực thành tố 5. Năng lực tìm ra các biểu tượng trực quan liên
quan đến vấn đề.
Con đường nhận thức nói chung và giải quyết vấn đề nói riêng nếu đi từ
trực giác (bằng quan sát, tư duy trên đối tượng cụ thể) đế n kế t luận lôgic (bằng
suy diễn, tư duy trừu tượng) thì sẽ có những phù hợp nhất định đối với đặc
điểm tâm lí, sinh lí và nhận thức ở lứa tuổi học sinh phổ thông.
Theo J. Bruner: “Cũng có thể là, ví dụ kì lạ nhất về phương diện này là
sự trình bày khởi đầu về Hình học Ơclit cho học sinh cấp 2 dưới dạng tiên đề
và đi ̣nh lí không dựa vào một thực nghiệm, xem xét một hình thái Hình học đơn
giản nào. Nế u như đứa trẻ đã nắm được khái niệm và phương pháp tính toán
dễ hiểu dưới dạng Hình học trực giác thì nó cũng có thể nắm được ý nghĩa sâu
sắc của các đi ̣nh lí và các tiên đề xuất hiện sau này” [27].
Ví dụ 1.5. Giải hệ phương trình sau:

3xy  10 y  3

2
2
2
2

 ( x  2)  ( y  4)  ( x  5)  ( y  8)  5

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán này như sau:
Hệ phương trình trên nếu chỉ dùng các cách giải thông thường thì rất khó
để giải được. Từ phương trình thứ hai gợi ý cho chúng ta chuyển sự xem xét

đại số sang việc hình dung về việc sử dụng hình học tọa độ. Các căn bậc hai
của tổng hai bình phương khiến ta liên tưởng đến độ dài vecto.
Nếu xét các điểm A(2; 4), B(5; 8), M(x; y) thì

MA  ( x  2) 2  ( y  4) 2 , MB  ( x  5) 2  ( y  8) 2
Với ba điểm A, B, M ta luôn có MA+ MB ≥ AB = 5.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do
đó, ta có:

16


x  xB

xM  A

7

2
 M ( ;6)

2
 y  y A  yB
M


2

7
Từ đó, ta có được x = ; y = 6.

2
f) Năng lực thành tố 6. Năng lực hình thành và diễn đạt các các sự kiện,
vấn đề toán học theo các hướng khác nhau, đặc biệt là biế t lựa chọn cách diễn
đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyế t, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho
phép nhận thức vấn đề một cách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm,
thiế u sót trong suy luận và tính toán.
Đứng trước bài toán Hình học nế u giải bằng phương pháp tổ ng hơ ̣p gă ̣p
khó khăn, học sinh có thể nghi ̃ tới chuyển sang ngôn ngữ của phương pháp to ̣a
đô ̣, Vecto... Hay từ bài toán Đại số , Lươ ̣ng giác, Giải tích... nế u học sinh có
năng lực Toán học thì cũng có thể chuyể n thành bài toán về Hình học và ngươ ̣c
la ̣i. Như thế vừa góp phầ n nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề vừa
tăng cường hứng thú với môn học, điề u này đang bi ̣ ha ̣n chế trong nhà trường
phổ thông trong giai đoa ̣n hiện nay.

 x2  y 2  1
Ví dụ 1.6. Cho hệ phương trình 
. Tìm a để hệ phương trình
x  y  a
trên có nghiệm duy nhất.
Định hướng tư duy cho học sinh:
- Hãy xem phương trình thứ nhất là phương trình đường tròn, xác định
tâm, bán kính.
- Hãy xem phương trình thứ 2 là phương trình đường thẳng.
- Tìm điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

17