giải chi tiết đề tốt nghiệp toán 2017

Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2017
Môn: Toán. Mã đề 116.
1
.
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
5x  2
dx
dx
1
1
  ln  5 x  2   C.
 ln 5 x  2  C.
A. 
B. 
5x  2
5x  2 5
2
dx
dx
C. 
D. 
 5ln 5 x  2  C.
 ln 5 x  2  C.
5x  2
5x  2
Giải: Đáp án A.
dx
1 d 5x  2 1


 5x  2 5  5x  2  5 ln 5x  2  C.
Câu 2. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm
y
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. y  x3  3x 2  3.
B. y   x 4  2 x 2  1.
C. y  x 4  2 x 2  1.
D. y   x3  3x 2  1.
x
O
Giải: Đáp án A.
Nhìn đáp án chỉ có hàm bậc bốn trùng phương và hàm bậc ba.
Trước tiên là phải dẹp ngay đáp án D, vì do hệ số trước x3 là (–1) nên khi tiến tới dương vô
cùng thì đồ thị sẽ có dạng đi xuống.
Nếu là hàm trùng phương thì đồ thị sẽ đối xứng qua Oy. Như vậy thì hai điểm cực trị không
nằm trên trục tung sẽ đối nhau qua Oy, mà chắc là chỉ cần lấy đối xứng thôi thì cái hình đã
không chuẩn xác rồi. Chính vì vậy loại ngay B, C (thường thi trong đề thi thật, tỉ lệ trên hình
sẽ chuẩn xác đến 90%,). Hoặc có thể làm chặt chẽ thêm một chút: Giả sử như đồ thị đối xứng
qua Oy chẳng hạn, thì hàm trùng phương đã cho sẽ có hệ số trước x4 là một số dương  loại
đáp án B. Lấy đáp C chẳng hạn, nhưng đáp án C thì lại không thỏa mãn vì nó có điểm cực trị
(1; 0) nằm trên trục Ox. Do đó loại luôn C.
Nếu chọn ngay đáp án A từ dầu thì mọi phép thử của ta trên đồ thị đều chính xác.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của
mặt phẳng (Oyz)?
A. z = 0.
B. y = 0.
C. y – z = 0.
D. x = 0.
Giải: Đáp án D. Không biết phải giải thích thế nào về đáp án này nữa?
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

x

–2

–

y’

+

0

2
–

0

–
Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

+
+

3

y

+

0

Trang 1/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho.
A. yCĐ = 3 và yCT = –2.
B. yCĐ = 2 và yCT = 0.
C. yCĐ = –2 và yCT = 2.
D. yCĐ = 3 và yCT = 0.
Giải: Đáp án D.
Câu 5. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;   ?
A. y   x3  3x 2 .

B. y 

x 1
.
x3

C. y 

x 1
.
x2

D. y  x3  x.

Giải: Đáp án D.
Mặc dù với hàm y 

x 1
2
thì y ' 
 0 , nhưng hàm số không xác định tại x = –3 nên
2
x3
 x  3

chỉ đồng biến trên từng khoảng  ; 3 và  3;  .

Dễ thấy y  x3  x liên tục trên  và có đạo hàm dương với mọi số thực x, nên hàm này đồng
biến trên  =  ;   .
Câu 6. Cho hai số phức z1  4  3i và z2  7  3i. Tìm số phức z = z1 – z2.
A. z = –1 – 10i.
B. z = –3 – 6i.
C. z = 3 + 6i.
D. z = 11.
Giải: Đáp án B.
z  z1  z2   4  3i    7  3i    4  7    3  3 i  3  6i.
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình log 2 1  x   2.
A. x = 3.
Giải: Đáp án D.

B. x = –4.

C. x = 5.

D. x = –3.

Ta có: log 2 1  x   2  1  x  22  x  3.
Câu 8. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng
y
tọa độ là điểm M như hình bên?
M
1
A. z1 = 1 – 2i.
B. z3 = –2 + i.
C. z2 = 1 + 2i.
D. z4 = 2 + i.
Giải. Đáp án B.
–2
O
x
Mặt phẳng phức với trục hoành biểu diễn phần thực (là –2) và trục
tung biểu diễn phần ảo (là 1).
Câu 9. Cho a là số thực khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y?
x
x
A. log a  log a  x  y .
B. log a  log a x  log a y.
y
y
C. log a

x log a x

.
y log a y

D. log a

x
 log a x  log a y.
y

Giải. Đáp án B.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 1). Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A. OA = 5.
Giải: Đáp án C.

B. OA  5.

C. OA = 3.

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

D. OA = 9.
Trang 2/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

OA  22  22  12  3.
Câu 11. Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2  x  1  log 1  x  1  1.
2



A. S  3.



B. S  2  5 .

 3  13 
C. S  
.
2


Giải: Đáp án B.
Phương trình đã cho tương đương với:





D. S  2  5;2  5 .

x  1
x  1


2log 2  x  1  log 2  x  1  1  
 x  12    x  12  x  2  5.
1 
2
log 2
x 1


 x 1
Nếu không muốn giải (hoặc không biết giải) thì thử đáp án cũng được.
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y  log 2  2 x  1.
A. y ' 

1
.
2x  1

B. y ' 

2
.
2x  1

C. y ' 

1
2
. D. y ' 
.
 2 x  1 ln 2
 2 x  1 ln 2

Giải: Đáp án D.
Ghi nhớ rằng  log a x  ' 

1
u'

2
  log a u  ' 
 y '   log2  2x  1  ' 
.
x ln a
u ln a
 2x  1 ln 2

Câu 13. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. I = 1.

1
C. I  .
2

B. I = e.

ln x
. Tính I  F  e   F 1.
x
1
D. I  .
e

Giải: Đáp án C.
e

e

e

e

ln x
ln 2 x
1
1
I  F  e   F 1   f  x  dx  
dx   ln xd  ln x  
 0 .
x
2 1 2
2
1
1
1
Thực ra lấy máy tính bấm là ra kết quả.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 0; 1) và B(–2; 2; 3). Phương
trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB?
A. 6x – 2y – 2z – 1 = 0.
B. 3x – y – z = 0.
C. 3x – y – z + 1 = 0.
D. 3x + y + z – 6 = 0.
Giải: Đáp án B.
Trung điểm của AB là I(1; 1; 2). Trung trực của AB nhận BA   6; 2; 2 làm véctơ pháp tuyến
và đi qua I nên có phương trình là:
6  x  1  2  y  1  2  z  2   0  3x  y  z  0.
Câu 15. Rút gọn biểu thức P 

1

x3

 6 x với x > 0.

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 3/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội
1
x8 .

B. P  x .

A. P 
Giải: Đáp án C.
Ta có: P 

1
x3

Câu 16. Cho



1
x6



1 1

x3 6



1
x2

D. P 

2
9
x .

 x (với x > 0).

2

2

2

1

1

1

 f  x  dx  2 và  g  x  dx  1. Tính I    x  2 f  x   3g  x  dx.

17
.
2
Giải: Đáp án A.

7
C. I  .
2

5
B. I  .
2

A. I 

Ta có I 

C. P  x .

2

2

2

2

1

1

1

3

 xdx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  2  2  2  3   1 

D. I 

11
.
2

17
.
2

Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  x 4  2 x 2  3 trên đoạn 0; 3  .
A. M = 9.
Giải: Đáp án D.

B. M  8 3.

C. M = 1.

D. M = 6.

x  0

Ta có: y '  4 x3  4 x  4 x  x  1 x  1 ; y '  0  
(do đang xét trên 0; 3  )
x

1

y  0   3, y 1  2, y

 3   6  M  max y  6.
0; 3 



Câu 18. Cho số phức z  1  i  i3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
A. a = 1, b = –2.
B. a = 0, b = 1.
C. a = –2, b = 1.
D. a = 1, b = 0.
Giải: Đáp án A.
a  1
Ta có: z  1  i  i 3  1  i  i  1  2i  
b  2
y
Câu 19. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y  ax 4  bx 2  c
với a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.
B. Phương trình y’ = 0 vô nghiệm trên tập số thực.
O
x
C. Phương trình y’ = 0 có đúng một nghiệm thực.

D. Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm thực.
Giải: Đáp án A.
Với hàm bậc bốn trùng phương y = f(x) thì khi hàm số có 3 cực trị cũng đồng nghĩa với phương
trình y’ = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu 20. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh a. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?

3R
.
3
Giải: Đáp án B.
A. a 

B. a 

2 3R
.
3

C. a = 2R.

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

D. a  2 3R.

Trang 4/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Lúc dó trung điểm O của A’C sẽ là tâm
A’C
mặt tròn ngoại tiếp hình lập phương, và lúc đó bán kính đường tròn ngoại tiếp là R 
.
2





Ta có A’C  C’C 2  AC 2  C’C 2  AB 2  BC 2  a 2  a 2  a 2  a 3.
Do đó R 

A’C a 3
2 3R

a
.
2
2
3

Câu 21. Cho khối nón có bán kính đáy r  3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối
nón đã cho.

16 3
.
3
Giải: Đáp án C.

B. V  16 3.

A. V 

D. V  12 .

C. V  4 .

 

2
1
1
Thể tích khối nón V   r 2 h    3  4  4 .
3
3
Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có BB’ = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B và AC  a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

a3
C. V  .
3

a3
B. V  .
6

A. V  a .
3

a3
D. V  .
2

Giải: Đáp án D.
Tam giác ABC vuông cân tại B có AC  a 2  BA  BC  a.
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V  h  Sđáy

1
1 2 a3
2
 BB’   BA  a   a  .
2
2
2

Câu 23. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường
thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
bao nhiêu?
A. V = 2.
B. V = 22.
C. V = 2( + 1).
D. V = 2( + 1).
Giải: Đáp án D.
π

π

π

V   πy dx   π  2  sin x  dx  π  2 x  cos x  0  2π  π  1.
2

0

0

Câu 24. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 3.
Giải: Đáp án D.
lim y  lim

x

x1

x2  5x  4

x2  1
x2  5x  4

x

lim y  lim

x1

B. 1.

x2  1

x2  5x  4
x2  1
C. 0.

.

D. 2.

 1  y  1 là tiệm cận đứng.

 x  1 x  4 
x  4 3
 lim

 x  1 không là tiệm cận đứng.
x1  x  1 x  1
x1 x  1
2

 lim

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 5/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

x2  5x  4

x4
   x  1 là tiệm cận đứng.
2
x 1
x 1
x


1
x

1


x 1
Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Câu 25. Mặt phẳng (AB’C’) chia khối lăng trụ ABC. A’B’C’ thành các khối đa diện nào?
A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
C. Hai khối chóp tứ giác.
D. Hai khối chóp tam giác.
Giải: Đáp án A.
Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành: A’.AB’C’ và A.BCC’B’  một khối chóp tam giác và một
khối chóp tứ giác.
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
lim  y  lim 

 lim 

x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  m  0 là phương trình của một mặt cầu.
B. m  6.

A. m < 6.
Giải: Đáp án A.

C. m  6.

D. m > 6.

x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  m  0   x  1   y  1   z  2   6  m nên dễ dàng
2

suy ra điều kiện 6  m  0  m  6.

2



2



Câu 27. Cho log a b  2 và log a c  3. Tính P  log a b2c3 .
A. P = 13.
Giải: Đáp án A.



B. P = 31.

C. P = 30.

D. P = 108.



Ta có P  log a b2c3  log a b2  log a c3  2log a b  3log a c  2  2  3  3  13.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; –1; 3), B(1; 0; 1) và C(–1; 1; 2).
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song
với đường thẳng BC?
 x  2t
x
y 1 z  3



.
A.
B.  y  1  t .
2
1
1
z  3  t

x 1 y z 1
 
.
C. x – 2y + z = 0.

D.
2
1
1
Giải: Đáp án A.
Đường thẳng cần viết phương trình nhận BC   2;1;1 làm véctơ chỉ phương và đi qua A nên
có phương trình

x  0 y   1 z  3
x
y 1 z  3





.
2
1
1
2
1
1

Câu 29. Cho hàm số y  x3  3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–; 0).
Giải: Đáp án B.
Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 6/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Ta có y '  3x 2  6 x  3x  x  2 . Như vậy y’ < 0 khi x  (0; 2), do đó hàm số nghịch biến trên
khoảng (0; 2).
Câu 30. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 – z + 1 = 0. Tính P  z1  z2 .

2 3
.
3
Giải: Đáp án A.
A. P 

B. P 

2
C. P  .
3

3
.
3

D. P 

14
.

3

2

2
1
11
2 3
 1   11 
2
3z  z  1  0  z  
iP2   

.



6
6
6
6
3
  


Câu 31. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x2 + 9y2 = 6xy. Tính
1  log12 x  log12 y
M
.
2log12  x  3 y 

1
A. M  .
3
Giải: Đáp án B.

1
C. M  .
2

B. M = 1.

1
D. M  .
4

x 2  9 y 2  6 xy   x  3 y   0  x  3 y
2

M 

1  log12  3 y   log12 y
2log12  3 y  3 y 



log12 12  3 y  y 
2log12  6 y 



2log12  6 y 

2log12  6 y 

 1.

Câu 32. Cho số phức z = a + bi (a, b  ) thỏa mãn z + 2 + i = |z|. Tính S = 4a + b.
A. S = 2.
Giải: Đáp án D.

B. S = –2.

C. S = 4.

D. S = –4.

b  1
a  2  a 2  b 2


Từ dữ kiện  a  2    b  1 i  a  b  
3  S  4.
a

b

1

0



4
2

2

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ):  x  1   y  1   z  2  2
2

2

x y z 1
x  2 y z 1
. Phương trình nào dưới đây là
 
, :  
1 1
1
1
2
1
phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với (S), song song với d và ?
A. x + y + 1 = 0.
B. x + z + 1 = 0.
C. x + z – 1 = 0.
D. y + z + 3 = 0.
Giải: Đáp án B.
Do mặt phẳng cần xác định song song với d và   một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng đó
là n  u , ud   1;0;1.

Nếu giải ra thì có thể giả sử  P  : x  z  a  0.
và hai đường thẳng d :

Ta phải có d  I , ( P)   R 

 1   2   a
12  12

a  1
 2
a  5

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 7/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

So đáp án ta chọn ngay luôn đáp án B mà không cần kiểm tra điều kiện (P) song song với d và
 (có thể (P) chứa d hoặc ).
Câu 34. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời v
gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối
I
9
xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s = 24,25 (km).
6
B. s = 24,75 (km).

C. s = 26,75 (km).
D. s = 25,25 (km).
Giải: Đáp án B.
Do trục đối xứng của parabol song song với Oy, nên phương trình vận tốc có
O
2 3 t
dạng v  t   at 2  bt  c.

v  0   c  6
c  6

Do parabol đi qua hai điểm (0; 6) và (2; 9)  
v  2   4a  2b  c  9 4a  2b  3
b
Lại có I là đỉnh của parabol, tức là xI 
 2  b  4a.
2a
3

3
3t 2
a 
 3t  6  s   v  t  dt  24,75 (do v(t) > 0 trên [0; 3]).
Ta giải được 
4  v t  
4
b  3
0
16
xm

Câu 35. Cho hàm số y 
(m là tham số thực) thỏa mãn min y  max y  . Mệnh đề
1;2
1;2
x 1
3
nào dưới đây đúng?
A. m  0.
B. 2 < m  4.
C. m > 4.
D. 0 < m  2.
Giải: Đáp án C.
1  1
Ta thấy rằng hàm số là hàm bậc nhất trên bậc nhất, không xác định tại x = –1. Lại có 
1  2
nên min và max trên [1; 2] của hàm số sẽ đạt tại x = 1 hoặc x = 2. Do đó:
16
16
1  m 2  m 16
min y  max y   f 1  f  2   

  m  5  4.
1;2
1;2
3
3
2
3
3
Câu 36. Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương

cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để
trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới
đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn
hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2020.
B. Năm 2021.
C. Năm 2023.
D. Năm 2022.
Giải: Năm thứ n tính từ đầu năm 2017 thì ông A phải trả cho năm đó số tiền là:
n

15 

S  1  1 
 (tỷ đồng).
 100 
Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 8/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Đi giải S  2  1,15  2  n  4,95  năm đầu tiên phải trả lương hơn 2 tỷ là năm thứ 5,
n

tính từ đầu năm 2017  đó là năm 2021.





1
Câu 37. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  mx 2  m2  4 x  3 đạt cực đại
3
tại x = 3.
A. m = 5.
B. m = –7.
C. m = 1.
D. m = –1.
Giải: Đáp án A.
Bài này nếu rối thì thử đáp án sẽ ra ngay. Còn nếu giải theo logic thì ta làm như sau:
x  m  2
y '  x 2  2mx  m2  4  0   1
 x1  x2 .
x

m

2
 2
1
Do hệ số a   0 nên hàm số sẽ nhận x1 làm cực đại  m – 2 = 3  m = 5.
3
Chú ý: Nếu nhớ dạng đồ thị của hàm bậc 3 thì việc nhận xét cực đại sẽ nhanh hơn, không cần
phải đi tính y ".
Câu 38. Cho F  x    x  1 e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e2 x . Tìm nguyên hàm của
hàm số f '  x  e2 x .
A.

 f ' x  e

2x

dx   4  2 x  e x  C.

C.

 f ' x  e

2x

dx 

2 x x
e  C.
2

Giải: Đáp án B.



B.

 f ' x  e

D.

 f ' x  e

2x

dx   2  x  e x  C.

2x

dx   x  2  e x  C.



Ta có f  x  e2 x  F '  x   xe x  xe x e2 x  f  x   xe x  f '  x   1  x  e x .
Như vậy

 f ' x  e

2x

dx   1  x  e x dx   2  x  e x  C.

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x  2 x1  m  0 có hai
nghiệm thực phân biệt.
A. m  (0; 1].
B. m  (–; 1).
C. m  (0; +).
D. m  (0; 1).
Giải: Đáp án D.

 

Ta có 4 x  2 x1  m  0  2 x

2

 2  2 x  1   m  1  0

2

m  1
 2x  1  1  m   x

2  1  1  m
1  1  m  0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  1  1  m  0
.

1  1  m  1  1  m
Giải hệ trên ta được 0 < m < 1.





Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 9/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Câu 40. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau:
x

–2

–

y’

+

0

2
–

0

+
+

+

3

y

0
–
Đồ thị của hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 2.
Giải. Đáp án A.
Trong khoảng (–; –2) thì hàm số đồng biến, và theo như trên bảng biến thiên thì phương trình
f  x   0 sẽ có nghiệm duy nhất là x0.
Như vậy, bảng biến thiên của hàm số y  f  x  sẽ có dạng:
x

–
–

y’

–2

x0
+

+

0

2
–

0

0

+
+

3

y

+

0

Dễ thấy hàm số có 3 cực trị (x = x0, x = –2 và x = 2)  đồ thị có 3 điểm cực trị.
Chú ý: y’(x0) = 0  x = x0 có thể là một cực trị, nhưng không có chiều ngược lại.
Trường hợp y’(x0) không xác định thì x = x0 vẫn có thể là một điểm cực trị (ví dụ như hàm số
y  x chẳng hạn, mặc dù không tồn tại y '  0  nhưng x = 0 vẫn là một cực trị).
Nếu nắm rõ hơn, thì chúng ta sẽ thấy rằng, với một hàm số y  f  x  , xét tại một điểm x = x0
là cực trị địa phương  với mọi x  x0 trong lân cận  x0   , x0    (với   0 đủ nhỏ), ta
luôn có  f ( x)  f ( x0 )  không đổi dấu.

Câu 41. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy
là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh Sxq của (N).
A. Sxq = 6a2.
Giải: Đáp án D.

B. Sxq = 6√3a2.

C. Sxq = 12a2.

D. Sxq = 3√3a2.

Bán kính đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD cạnh 3a, tức là bằng
dài đường cao kẻ từ một đỉnh  R 

2
độ
3

2  3a  3

 a 3.
3
2

Một đường sinh của hình nón là  = AB = 3a.
Do đó Sxq = R = π  a 3  3a  3 3πa 2 .
Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 10/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Câu 42. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√3, SA vuông góc
với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

a3
3a3
3
A. V 

B. V = 3a .
C. V  .
D. V = a3.
.
3
3
Giải: Đáp án D.
̂ = 60o.
Vẽ hình ta thấy ngay góc hợp bởi SA và mặt phẳng (SBC) chính là SBA
1
1
Suy ra SA  AB tan 60o  a 3  V  SA  AB  AD   a 3  a  a 3  a3 .
3
3
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và hai mặt phẳng
(P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x – y + z – 2 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
thẳng đi qua A, song song với (P) và (Q)?
 x  1  t
 x  1  2t
x  1
x  1  t




A.  y  2 .
B.  y  2 .
C.  y  2 .
D.  y  2
.

 z  3  2t
 z  3  2t
z  3  t
 z  3  t




Giải: Đáp án B.

1
Đường thẳng đã cho có một véctơ chỉ phương là: u   nP , n Q   1;0; 1.
2
Chọn ngay đáp án B.
1  ab
 2ab  a  b  3. Tìm giá trị nhỏ
Câu 44. Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log 2
ab
nhất Pmin của P = a + 2b.
A. Pmin 

2 10  3
.
2

B. Pmin 

3 10  7
.
2

2 10  5
2 10  1
.
.
D. Pmin 
2
2
Giải: Điều kiện ab < 1.
1  ab
 2ab  a  b  3  1  log 2 1  ab    2  2ab   log 2  a  b    a  b 
Ta có log 2
ab
 log 2  2  2ab    2  2ab   log 2  a  b    a  b .
C. Pmin 

Xét hàm số f  t   log 2 t  t trên  0;   , ta có f  t  đồng biến.
Phương trình có dạng f  2  2ab   f  a  b   2  2ab  a  b  a 

2b
.
2b  1

2b
2b
 2b . Khảo sát hàm số g  b  
 2b trên  0;  ta được:
2b  1
2b  1
 10  2  2 10  3

Pmin  g 
.
 

4
2


Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = –mx cắt đồ thị của hàm
số y = x3 – 3x2 – m + 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
Thay vào ta có P 

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 11/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

A. m  (–; 3).
B. m  (1; +).
Giải: Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm:

C. m  (–; –1).

D. m  (–; +).

m  3


x3  3x 2  m  2  mx   x  1 x 2  2 x  m  2  0    x  1
 x  1  3  m






 xA  1  3  m

Do y = –mx là đường thẳng chứa A, B, C, mà xA  xC  2 xB (với giả sử  xB  1
)

 xC  1  3  m
nên chỉ cần 3 điểm A, B, C phân biệt thì sẽ luôn thỏa mãn B là trung điểm AC.
Do đó m < 3 là các giá trị cần tìm.
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 6; 2), B(2; –2; 0) và mặt
phẳng (P): x + y + z = 0. Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính
bán kính R của đường tròn đó.
A. R = √6.
B. R = 1.
C. R = 2.
D. R = √3.
Giải: Đáp án A.
3  2 1
 2 3.
Đoạn thẳng AB có trung điểm I(3; 2; 1). Ta có h  d  I ,( P)  
3
̂ = 90o, không đổi. Suy ra H luôn thuộc mặt cầu có

Do H là hình chiếu của A lên (P) nên AHB
đường kính AB, tức là thuộc mặt cầu (S) tâm I, bán kính R = IA = 3√2.
Rõ ràng (S) là một mặt cầu cố định (do I cố định và bán kính không đổi).
Mặt khác H lại luôn thuộc (P), do đó H sẽ luôn thuộc đường tròn cố định là giao tuyến của (P)
và (S). Đường tròn này có bán kính là r =

R2  d 2 



3 2

 
2

 2 3



2

 6.

Câu 47. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng 2√3. Tìm x để
thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x = 2√3.
B. x = √14.
Giải: Đáp án D.
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.
ABC cân tại C  CH  AB.

ABD cân tại D  DH  AB.
1
Suy ra AB  (HDC)  VABCD  AB.S HCD .
3
ABC = ABD  HD = HC =

x2
CB  HB  12  .
4
2

2


x2 
x2
 HK  HC  KC  12    3  9  .

4 
4

2

D. x = 3√2.

C. x = √6.

D
K

A

C

H
B

2

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 12/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Như vậy VABCD





2
2
1
1
3
3 x  36  x
2
 AB  HK  CD 

x  36  x 

 3 3.
3
2
6
6
2

Đẳng thức xảy ra  x  36  x 2  x  3 2.
Câu 48. Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 4, hình trụ (H) có chiều cao bằng 4 và hai đường
tròn đáy nằm trên (S). Gọi V1 là thể tích của khối trụ (H) và V2 là thể tích của khối cầu (S).
V
Tính tỉ số 1 .
V2
A.

V1 3
 .
V2 16

B.

V1 1
 .
V2 3

C.

V1 2

 .
V2 3

D.

V1 9
 .
V2 16

Giải: Đáp án D.
Do hai đường tròn đáy của (H) nằm trên (S) nên (H) nhận tâm của (S) làm tâm đối xứng.
Do đó, dễ suy ra được bán kính đường tròn đáy của (H) là:
2

h
r  R     42  22  2 3.
2
2

Vậy

V1
V2

πr h  2 3 



2

2

4 3
πR
3

4
4
3

4



9
.
16

Câu 49. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  2  i  2 2 và  z  1 là số thuần ảo?
2

A. 0.
Giải: Đáp án B.

B. 3.

C. 2.

D. 4.





Đặt z = a + bi (a, b  ) thì  z  1   a  1  bi   a 2  2a  b2  1  2  ab  b  i.
2

2

2
2
 a  2 2  b 1 2  2 2




 
 a  2    b  1  8
Như vậy giả thiết tương đương với: 

2
2
2
2


 a  1  b
 a  2a  b  1  0





Giải hệ này ta được 3 nghiệm  a; b    0;1 , 1  3;2  3 ,



3 1;2  3 .

Câu 50. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị của hàm số y  f '  x  như
hình bên. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. g(1) > g(–3) > g(3).
B. g(3) > g(–3) > g(1).
C. g(–3) > g(3) > g(1).
D. g(1) > g(3) > g(–3).
Giải: Đáp án D.
Ta có g '  x   2 f '  x   2  x  1  2  f '  x    x  1 .

y

2

4
2
–3
O

1

3

x

–2

Biểu diễn lên hình vẽ đường thẳng y = x + 1.

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 13/14


Hồ Văn Diên – SV KSTN Toán Tin ĐH Bách Khoa Hà Nội

Như vậy, đường thẳng y = x + 1 sẽ tạo với đường cong y  f '  x  hai miền như hình dưới.
+) Với miền gạch chéo màu xanh lam:
Nhận xét  f '  x    x  1  0. Như vậy nếu gọi S1 là diện tích của
miền này thì:
1

2S1  2   f '  x    x  1  dx 
3

 g 1  g  3  2S1.

y

1

 g '  x  dx  g 1  g  3

3

+) Với miền gạch ngang màu đỏ: Nhận xét  f '  x    x  1  0.
Tương tự, gọi S2 là diện tích miền này thì:
3

3

1

1

–3
O

1

3

x

2S2  2  x  1  f '  x   dx    g '  x  dx  g 1  g  3

 g 1  g  3  2S2 .

Mặt khác, dễ thấy S1  S2  0  g 1  g  3  g  3 .
Giải đề: Hồ Văn Diên

Giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2017 || Mã đề 116

Trang 14/14