phuong trinh he phuong trinh

Phơng trình -bất phơng trình vô tỷ

I/Bài tập :
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng
Bài1: Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
1/
4
+
x
-
x

1
=
x21

3/
xxx 2532
<+
2/
15

x
-
23

x
=
1

x

4/
2
243
2
<
+++
x
xx
(ĐHXD-99)
HD: ......Chú ý: học sinh thờng quên đặt điều kiện cho các pt xuất hiện ở các bớc sau
KQ:
Bài2: Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
1/
2
3
1212
+
=++
x
xxxx
4/
11
24
=
xx
2//
2
3
1212
>++

xxxx
5/
132
3 2
+=
xxx
3/
1168143
=+++
xxxx
HD:Các bài trên đa về các hằng đẳng thức (Chữa 2 phần)
Dạng 2: Đa về PT hay HPT đại số bằng phép đặt ẩn số phụ
Bài3: Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
1/ 3
)2)(5(3
2
xxxx
+=+
3/ 3
7
2
1
2
2
3
+<+
x
x
x
x

2/
)4)(1(541 xxxx
+=++
4/(4x-1)
1221
22
++=+
xxx
5/ 2(1-x) )
12212
22
=+
xxxx

HD: Các phần 1,2,3 đặt ẩn phụ hoàn toàn .Các phần 4,5 đặt ẩn phụ không
hoàn toàn hoặc đa về dùng hằng đẳng thức
2/Đặt X=
xx
++
41
đa về pt hoặc đặt





=
+=
xV
xU

4
1
để đa về hệ pt
3/Đặt X=
x
x
2
1
+
4/Đặt X=
2
1 x
+
Đổi biến không hoàn toàn.
5//Đặt X=
12
2
+
xx
Đổi biến không hoàn toàn.Hoặc đa về hằng đẳng
thức
Bài 4:Giải các phơng trình sau
1/
336
3
=++
xx
4/ 1+
xxxx
+=

1
3
2
2
2/ x
3
+1=2
3
12

x
5/ x+
91717
22
=+
xxx
3/
253294123
2
++=+
xxxxx
6/ x
3 3
35 x

(x+
3 3
35 x

)=30

1
HD:1/ đặt





=
+=
xV
xU
3
6
3
đa về hệ hoặc chuyển vế và biến đổi tơng đơng
2/ Đặt y=
3
12

x
đa về hệ đối xứng loại II
3/Đặt X=
123
+
xx
4/Hoàn toàn tơng tự có thể đa về pt hoặc hệ pt
5/Đặt y=
2
17 x

Đa về hệ PT Đối xứng loại I
6/ Hoàn toàn tơng tự
Bài5: Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
1/
327
3
++ xx
4/
2
3
6
1
3
1
33

+
+

xx
2/
2
3
2
1
7
1
33
=

+
+
xx
5/
11
2
=+++
xxxx
3/
2
3
4
1
5
1
33
>

+
+
xx
HD: Các phần 1,3,4 nên đa về giải pt tìm nghiệm và xét dấu cuối cùng là chọn dấu
thích hợp với dấu của BPT. Song hầu hết học sinh quên rằng biểu thức có đổi dấu
qua các giá trị không xác định
Bài5: Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
1/ x
2
+
11
2

+
x
=31 4/
xxxxx 141814274926777
2
<++++
(1)(ĐHAN-99)
2/
317
44
=+
xx
5/
15209145
22
+=++
xxxxx
3/ x
2
+
5
+
x
=5 6/
3)2)(7()7()2(
3
3
2
3
2

=+++
xxxx
HD:
1/ Là loại đơn giản
2,3/ Đa về hệ
4/Đặt





=
+=
67
77
xV
xU
Thì (1) trở thành U+V+2UV+U
2
+V
2
-180<0


(U+V)
2
+(U+V)-180 <0 và đa về giải BPT cơ bản
5/(Khó -Không nhất thiết đa ra)
HD: /
15209145

22
++=++
xxxxx



)5)(4)(1(10)5)(4()1(259145
2
++++++=++
xxxxxxxx

)5)(4)(1(5252
2
++=+
xxxxx

)54)(4(5)4(3)54(2
22
+=++
xxxxxx
ĐặtU=
4
+
x
V=
54
2

xx

PT đã cho trở thành 2V
2
+3U
2
=5UV (PT đẳng cấp với U và V)
Giải ra ta đợc U=V hoặc 2U=3V ....KQ:x=8; x=
2
615
+
2
6/Đặt





+=
=
3
3
7
2
xV
xU
Ta có hệ

=+
=+
3
9
22
33
UVVU
VU
giải hệ KQ: x=1;x=-6
Bài8:(Dạng có thể nhân chia với biểu thức liên hợp)
Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
1/
431532373
2222
+=+
xxxxxxx
2/
22475318
++=++
xxxx
3/(ĐHM-99)
21
)293(
2
2
2
+<
+
x
x

x
4/
4
)11(
2
2
>
++
x
x
HD:Tất cả các pt bất phơng trình trên đều có thể thực hiện nhân chia với biểu thức
liên hợp . Với 2 phơng trình đầu c/m nghiệm duy nhất
Bài9: Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
( Dạng đa về hệ phơng trình đối xứng loại II)
1/x
2
+2=
88

x
HD :đặt
22

x
=y
2/ 2
12

x
=x

2
-2x HD :đặt
12

x
=y-1
3/2x
2
+4x=
2
3
+
x
HD :đặt
2
3
+
x
=y+1
5/ 2x
2
-6x-1=
54
+
x
HD :đặt
2/5
+
x
=y-3/2

6/ x
2
+4x+5=
1
+
x
HD :đặt
1
+
x
=y+2
7/ -4x
2
+13x-5=
13
+
x
HD :đặt
13
+
x
=-2y+3
Bài 10:(Sử dụng các phép biến đổi không thuận nghịch
BAAB .
=
Nếu A,B

0

BAAB

=
.
Nếu A,B

0)
1/
2
2)2()1( xxxxx
=++
2/
)12()3(
2
+=+
xxxxx
3/
18184152158
222
+>+++
xxxxxx
4/
7925623
222
+++++++
xxxxxx
5/
113234
22
++
xxxxx
6//

)1(21682
22
+=+++
xxxx
(HD: Do vế trái dơng nên vế phải phải dơng
do đó điều kiện x

-1 và x=-1 là một nghiệm rút gọn đa về pt đơn giản.....
KQ: Các nghiệm x=-1 ;x=1
Bài11: (Một số phơng pháp đặc biệt khác)
1/
11414
2
=+
xx
2/
11642
2
+=+
xxxx
3/
1231
2
+=++
xxxx
4/
xxxxx 235727
2
=++++
HD: 1/ Đặt điều kiện x

2
1
viết lại pt dới dạng
14114
2
=
xx
suy ra
114

x

4x-1
2
1
1

x
từ điều kiện suy ra pt có một nghiệm duy nhất
x=1/2
2/ Vế trái đánh giá nhờ bất đẳng thức Bu-Nhi-A

VT

2; vế phải viết lại dới dạng
3
hằng đẳng thức suy raVP

2 đa đến hệ ...suy ra x=3 là nghiệm duy nhất của pt

3/ áp dụng bất đẳng thức Bu-Nhi-A cho hai bộ số (x;1) và (
xx
+
3;1
) từ điều
kiện dấu bằng xảy ra ta có nghiệm của pt x=1;x=1+
2
4/
Bài 13:
1/ 2(x
2
+2)=5
1
3
+
x
2/ 2(x
2
-3x+2)=3
8
3
+
x
3/
xxx 341
32
=
4/3(
12831()112
22

+++=+
xxxx
)
5/ 2x
3
-x
2
+
3 23 3
213132
+++=+
xxxx
Bài14:
Tìm m để phơng trình ,hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
1/
mxx
=+
3 22
121
2/
2
1 xmx

=m
3/
mxxxx =+++ 11
44
4/ 2m
3
44

1)1(2)1( mxxxxxx
=++
5/
3
3
22
3
2
3
2
4)2()2( mmxmxmx
=+++
6/





+=+
+=+
11
11
mxy
myx

Bài 15:
Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

0

2422
22
+=+++
mxmmxx
Bài 16:Tìm m để các phơng trình hệ phơng trình sau có nghiệm
1/
mxxxx
=++++
)8)(1(81
2/





=+++
=+++
311
11
mxyyx
myx
Bài17:Giải và biện luậnpt
xxxm
=+
23
2

4