Bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampere phức trong lớp f (f)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––

HOÀNG THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f )

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––

HOÀNG THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f )
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2016

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả

Hoàng Thị Hải Yến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ii
MỤC LỤC .............................................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................2
3. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................................2

4. Bố cục của luận văn ...........................................................................................................2
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...................................................................4
1.1. Hàm điều hòa dưới..........................................................................................................4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới.....................................................................................................5
1.3. Hàm cực trị tương đối .....................................................................................................7
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức .....................................................................................10
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor.........................................................................12
Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE
PHỨC TRONG LỚP F ( f ) ...........................................................................................17
2.1. Dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep và F ................................ 17
2.2. Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp E( f ) ............................... 21
2.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) ........27
KẾT LUẬN....................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 41

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

M U

1. Lý do chn ti
Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc c t nh
sau: Cho Wè Ê n l min gi li cht, l o Borel trờn W. Hóy tỡm lp
cỏc hm a iu hũa di P (W) thớch hp trờn ú toỏn t Monge-Ampốre
phc (dd c .)n c xỏc nh tt sao cho vi hm h liờn tc trờn ả W, bi toỏn
sau cú nghim duy nht:

ỡù u ẻ P (W), (dd c u )n = m;
ù
ớ
ùù lim u (z ) = h ( x), x ẻ ả W.
ùợ z đ x

(1.1)

Bi toỏn Dirichlet i vi hm a iu hũa di ó c nghiờn cu u
tiờn bi Brememann vo nm 1959. Sau ú, nm 1976, Bedford v Taylor ó
gii thiu toỏn t Monge-Ampốre phc v gii Bi toỏn Dirichlet (1.1) khi

P (W) = PSH (W) ầ LƠloc (W) v o l liờn tc tuyt i i vi o
Lebesgue. T ú mt s tỏc gi nh U.Cegrell, L.Persson v S.Kolodziej,
Z.Blocki ó c gng gii bi toỏn b qua tớnh liờn tc ca mt ca m . Nm
1996, S.Kolodziej ó cho iu kin i vi tớnh gii c ca bi toỏn
Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc trờn lp PSH (W) ầ LƠloc (W) . i
vi cỏc o k d, tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet ó c gii quyt bi
L. Lempert, J.P.Demailly v P. Lelong. Nm 2004, U. Cegrell ó a ra nh
ngha tng quỏt ca toỏn t Monge-Ampốre, nh ngha lp nng lng F v
gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre trong lp ú.
Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn Bi toỏn Dirichlet i vi
toỏn t Monge-Ampere phc trong lp F ( f ) lm ti nghiờn cu ca mỡnh,
trong ú ó trỡnh by cỏc kt qu gn õy ca P. Ahag v gii bi toỏn Dirichlet
i vi toỏn t Monge-Ampốre phc trong lp F ( f ) .
S húa bi Trung tõm Hc liu HTN

2

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức
trong lớp F ( f ) .
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa
điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh.
+ Trình bày kết quả nghiên cứu về giải bài toán Dirichlet đối với toán tử
Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) .
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 41 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère,
nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương, trình
bày dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep , Định nghĩa toán tử Monge –
Ampère trong lớp E( f ) và F . Trong mục 2.2 đã chỉ ra rằng có thể định nghĩa
toán tử Monge-Ampère trên các lớp đó theo cách xấp xỉ. Mục 2.3 được dành để
trình bày việc giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp
F ( f ) . Đặc biệt, trong [8], Cegrell giải bài toán Dirichlet đối với f = 0 . Phần

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

3

cuối cùng của chương này trình bày chứng minh nguyên lý so sánh, nhờ sử
dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥

) gọi

là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a Î ¡ tập
X a = {x Î X : u (x ) < a }

là mở trong X . Hàm v : X ® (- ¥ , + ¥ ù
ú

û gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

- v là nửa liên tục trên X .
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau:
Giả sử u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x Î X nếu

" e > 0 tồn tại lân cận U x của x 0 trong X sao cho " e Î U x ta có:
0

0

u (x ) < u (x 0 ) + e nếu u (x 0 ) ¹ - ¥
u (x ) < -

1
nếu u (x 0 ) = - ¥ .
e

Giả sử E Ì X và u : E ® éëê- ¥ , + ¥

) là hàm trên E . Giả sử x 0 Î

E . Ta

định nghĩa
lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y Î V }}

x ® x0 x Î E

ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x 0 . Khi đó có thế thấy rằng

hàm

u : X ® éëê- ¥ , + ¥

)

là

nửa

liên

tục

trên

tại

x0 Î X

nếu

lim sup u(x ) £ u(x 0 ). Ta có kết quả sau.

x ® x0

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử W là tập mở trong £ . Hàm u : W® éêë- ¥ , + ¥

) gọi

là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với
mọi 0 £ r £ d ta có
u ( w) £

1
2p

ò

2p

u ( w + re it )dt .

0

(1.2)

Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) .
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trong £ .
Khi đó:
(i ) m ax(u , v ) là hàm điều hòa dưới trên W.

(ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu
u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) .

Định lý 1.1.4. Giả sử {u n } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở W
trên £ và u = lim u n . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W.
n® ¥

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W. Với mỗi

a Î R, tập

{z Î

W: u(z ) < a } =

¥

U{z Î

W: un (z ) < e}.

n

Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên W. Do mỗi u n thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa
mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W. Do đó u là hàm điều hòa dưới trên W.
1.2. Hàm đa điều hoà dưới
Định nghĩa 1.2.1. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® éêë- ¥ , ¥

) là

một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và
b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành

phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




6

Kớ hiu PSH (W) l lp tt c cỏc hm a iu ho di trong W.
Sau õy l mt vi tớnh cht ca hm a iu ho di:
Mnh 1.2.2. Nu u, v ẻ PSH (W) v u = v hu khp ni trong W, thỡ

u v.
Mnh 1.2.3. Hm a iu ho di tho món nguyờn lý cc tr trong min
b chn, tc l nu W l mt tp con m liờn thụng b chn ca Ê n v
u ẻ PSH (W) , thỡ hoc u l hng hoc vi mi z ẻ W,

u(z ) < sup lim sup u(y ) .
wẻ ả W y đ w
yẻ W

nh lý 1.2.4. Cho W l mt tp con m trong Ê n . Khi ú

i ) H PSH (W) l nún li, tc l nu a , b l cỏc s khụng õm v
u , v ẻ PSH (W) , thỡ a u + b v ẻ PSH (W) .

ii ) Nu W l liờn thụng v

{u }
j

jẻ Ơ

è PSH (W) l dóy gim, thỡ

u = lim u j ẻ PSH (W) hoc u - Ơ .
jđ Ơ

iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j }

jẻ Ơ

è PSH (W) hi t u ti u trờn cỏc tp

con compact ca W, thỡ u ẻ PSH (W) .

iv ) Gi s {u a }a ẻ A è PSH (W) sao cho bao trờn ca nú u = sup u a l b
aẻ A

chn trờn a phng. Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a iu
ho di trong W.
H qu 1.2.5. Cho W l mt tp m trong Ê n v G l mt tp con m thc
s khỏc rng ca W. Nu u ẻ PSH (W) , v ẻ PSH (G ) , v lim v(x ) Ê u (y ) vi
xđ y

mi y ẻ ả G ầ W, thỡ cụng thc
ỡù max {u, v } trong G
w = ùớ
ùù
u
trong W\ G
ợ

xỏc nh mt hm a iu ho di trong W.
S húa bi Trung tõm Hc liu HTN




7

nh lý 1.2.6. Cho W l mt tp con m ca Ê n .

i ) Cho u, v l cỏc hm a iu ho trong W v v > 0 . Nu f : Ă đ Ă l li,
thỡ v f (u / v ) l a iu ho di trong W.

ii ) Cho u ẻ PSH (W) , v ẻ PSH (W) , v v > 0 trong W. Nu f : Ă đ Ă l
li v tng dn, thỡ v f (u / v ) l a iu ho di trong W.

iii ) Cho u, - v ẻ PSH (W) , u 0 trong W, v v > 0 trong W. Nu
f : ộờở0, Ơ

nh

)đ

lý

ộ0, Ơ
ờở

) l li v f (0) =

1.2.7.

Cho

F = {z ẻ W: v(z ) = - Ơ

0 , thỡ vf (u / v ) ẻ PSH (W) .

W l

mt

tp

con

m

ca

Ên

v

}

l mt tp con úng ca W õy v ẻ PSH (W) . Nu u ẻ PSH (W\ F ) l b
chn trờn, thỡ hm u xỏc nh bi
ỡù
u (z )
(z ẻ W\ F )
ùù
u (z ) = ớ lim sup u (y )
(z ẻ F )
ùù y đ z
ùợ y ẽ F

l a iu ho di trong W.
1.3. Hm cc tr tng i
nh ngha 1.3.1. Gi s W l mt tp con m ca Ê n v E l tp con ca W.
Hm cc tr tng i i vi E trong W c nh ngha l :

{

uE ,W(z ) = sup v(z ) : v ẻ PSH (W), v

E

} (z ẻ

Ê - 1, v Ê 0

W).

Hm (u E ,W)* l a iu ho di trong W.
Sau õy l mt vi tớnh cht c bn ca cỏc hm cc tr tng i.
Mnh 1.3.2. Nu E 1 è E 2 è W1 è W2 thỡ u E ,W u E
1

1

2

, W1

uE

2

, W2

.

nh ngha 1.3.3. Min b chn Wè Ê n gi l min siờu li nu tn ti mt
hm a iu ho di õm, liờn tc r : Wđ (- Ơ , 0) sao cho vi " c > 0

{z ẻ

}

W: r (z ) < - c é W.

S húa bi Trung tõm Hc liu HTN

8

Mnh 1.3.4. Nu W l min siờu li v E l mt tp con compact tng i
ca W, thỡ ti im w ẻ ả W bt k ta cú

lim uE ,W(z ) = 0 .
zđ w

Chng minh. Nu r < 0 l mt hm vột cn i vi W, thỡ vi s M > 0 no
ú, M r < - 1 trờn E . Nh vy M r Ê u E ,W trong W. Rừ rng, lim r (z ) = 0
zđ w

v nh vy chỳng ta thu c kt qu cn tỡm.
Mnh 1.3.5. Nu Wè Ê n l min siờu li v K è W l mt tp compact
sao cho u K* ,W = - 1 thỡ u K ,W l hm liờn tc.
K

Chng minh. Ly u = u E ,W v ký hiu F è PSH (W) l h cỏc hm u . Gi s

r l hm xỏc nh ca W sao cho r < - 1 trờn K. Khi ú r Ê u trong W. Ch
cn chng minh rng vi mi e ẻ (0,1) tn ti v ẻ C (W) ầ F . Sao cho

u - e Ê v Ê u trong W. Tht vy, ly e ẻ (0,1) ị tn ti h > 0 sao cho
u - e < r trong W\ Wh v K è Wh , trong ú
Wh = {z ẻ W: dist (z , ả W) > h}.

Theo nh lý xp x chớnh i vi cỏc hm a iu ho di v nh lý Dini
cú th tỡm c s > 0 sao cho u * c d - e < r trờn ả W v u * c d - e < - 1
trờn K . t
ỡù
r
trong
v e = ùớ
ùù max {u * c d - e, r } trong
ợ

W\ Wh
Wh .

Khi ú v e C( W) F v nh vy
u - e Ê max {u - e, r } Ê v e Ê u

ti mi im trong W.
Mnh 1.3.6. Cho Wè Ê n l tp m liờn thụng, v E è W. Khi ú cỏc iu
kin sau tng ng :
S húa bi Trung tõm Hc liu HTN




9

(i ) u E* ,W º 0 ;

(ii ) Tồn tại hàm v Î PSH (W) âm sao cho E Ì

{z Î

W: v(z ) = - ¥

}

Chứng minh. (ii ) Þ (i ) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii ) , thì

ev £ u E ,W với mọi e > 0 , từ đó u E ,W = 0 hầu khắp nơi trong W. Như vậy

u E* ,W º 0 . Bây giờ giả sử

u E* ,W º 0 . Khi đó tồn tại a Î W sao cho

u E ,W(a ) = 0 . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một v j Î PSH (W) sao cho
v j < 0, v j

E

< - 1 và v j (a ) > - 2- j .

Đặt
¥

v (z ) =

å

z Î W.

v j (z ),

j=1

Chú ý rằng v(a ) > - 1 , v âm trong W, và v

E

= - ¥ .

Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận v Î PSH (W) .

W

Mệnh đề 1.3.7. Cho W là tập con mở liên thông của £ n . Giả sử E =

UE
j

j

,

trong đó E j Ì W với j = 1, 2,... . Nếu u E* ,W º 0 với mỗi j , thì u E* ,W º 0 .
j

Chứng minh. Chọn v j Î PSH (W) sao cho v j < 0 và v j

( Uv

a Î W\

j

Ej

= - ¥ . Lấy điểm

)

({-¥ }) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số

- 1
j

dương thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) > - 2- j . Khi đó
v=

å

v j Î PSH (W) , v < 0 và v

j

E

= - ¥ . Suy ra u E* ,W º 0 .

Mệnh đề 1.3.8. Cho W là tập con siêu lồi của £ n và K là một tập con

compact của W. Giả thiết rằng {Wj } là một dãy tăng những tập con mở của W
¥

sao cho W=

UW và K
j

Ì W1 . Khi đó lim u K ,W (z ) = u K ,W(z ), z Î W.

j=1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

j® ¥

j




10

Chng minh. Ly im z 0 ẻ W. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s rng
K ẩ {z 0 } è W1 . Gi s r < 0 l mt hm vột cn i vi W sao cho r < - 1

trờn K . Ly e ẻ (0,1) sao cho r (z 0 ) < - e . Khi ú tn ti j 0 ẻ Ơ sao cho tp
m

w = r - 1((- Ơ , - e))

l tp compact tng i trong Wj . Ly
0

u ẻ PSH (Wj ) sao cho u Ê 0 trờn Wj v u Ê - 1 trờn K . Khi ú
0

0

ỡù max {u (z ) - e, r (z )},
v(z ) = ùớ
ùù
r (z ),
ợ

xỏc nh mt hm a iu ho di; hn na v

zẻ w
z ẻ W\ w

Ê - 1 v v Ê 0 . Nh vy

K

v(z 0 ) Ê u K ,W(z 0 ) . Vỡ u l mt phn t tu ý ca h u K ,W , nờn ta cú
j0

u K ,W (z 0 ) - e Ê u K ,W(z 0 )
j0

Do ú ta cú u K ,W (z 0 ) - e Ê u K ,W(z 0 ) Ê u K ,W (z 0 ) vi mi j j 0 v e
j

j

nh tu ý, suy ra iu phi chng minh.
1.4. Toỏn t Monge-Ampốre phc
Gi s Wè Ê n v u ẻ PSH (W) . Nu u ẻ C 2 (W) thỡ toỏn t:

ộ ả 2u ự
ỳ
(dd u ) := (14444444
dd u ) 42
...4444444
(dd u43) = 4 n !det ờờ
dV ,
ỳ
ả
z
ả
z
ờ
ỳ
n
ở j k ỷ1Ê j ,k Ê n
c

n

c

c

n

vi dV l yu t th tớch trong C n gi l toỏn t Monge-Ampốre. Toỏn t ny
cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn
khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0 (W) trờn W

C 0(W) ' j a

ũ j (dd u )
c

n

.

W

Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn
a phng trờn W thỡ tn ti dóy {um }m > 1 è PSH (W) ầ C Ơ sao cho u m ] u
v {( dd c u m )n } hi t yu ti o Radon m trờn W tc l:
S húa bi Trung tõm Hc liu HTN




11

lim ò j (dd cu m )n =

ò j d m, " j

m

W

Î C 0 (W) .

W

Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy { u m } như trên, ta ký hiệu:

(dd cu )n = m
và gọi là toán tử Monge-Ampère của u .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử y Î C (¥p, p ) là ( p, p) - dạng lớp C ¥ trên tập mở
WÌ £ n và T là (q, q) - dòng với p + q = n - 1 . Khi đó
y Ù (dd cT )n - dd c y ÙT = d ( y Ù d cT - d c y ÙT ) .

Mệnh đề 1.4.2. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡

n

hội

tụ yếu tới độ đo Radon m . Khi đó

a ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) .

j® ¥

b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

c ) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì
m(E ) = lim mj (E ) .
j® ¥

Chứng minh. a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập
compact. Lấy j Î C 0 (G ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó

m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó

m(G ) £ lim inf mj (G ) .
j® ¥

b) Ta có m(K ) = inf {m(V ) : V É K ,V Ì W ,V = V 0 }. Giả sử V là một lân
cận mở của K và j Î C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




12

m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó

m(K ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó
m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ) .
j® ¥

j® ¥

Mặt khác

m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó

m(E ) ³ lim sup mj (E ) Þ

m(E ) = lim mj (E ) .

j® ¥

j® ¥

W

Mệnh đề 1.4.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W)
sao cho u, v £ 0 trên W và lim u(z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1) - dòng
z® ¶W

dương, đóng trên W. Khi đó

ò vdd u ÙT
c

ò udd v ÙT

£

c

W

.

W

Đặc biệt, nếu lim v(z ) = 0 thì
z® ¶W

ò vdd u ÙT
c

W

=

ò udd v ÙT .
c

W

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao
cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó
z® ¶W

ò

ò

( dd cv )n £

{u < v }

( dd cu )n .

(1.3)

{u < v }

Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , nghĩa là với mọi
z® ¶W

e > 0 tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn nữa khi
thay u bởi u + d, d> 0 , thì {u + d < v } Z {u < v } khi d ] 0 . Nếu bất đẳng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




13

thức (1.2) đúng trên {u + d < v} thì cho d ] 0 suy ra (1.2) đúng trên
{u < v } . Vì vậy có thể giả sử

lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy

z® ¶W

{u < v } Ð W.

a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v} là tập mở, u, v liên
tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max{u + e, v } .
Từ giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay
z® ¶W

u (z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶ W. Vậy u e = u (z ) + e gần biên

¶ W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta có

ò (dd u )
c

n

e

=

W¢

ò

ò (dd u )
c

n

, hay

W¢

ò

(dd cu e )n =

{u < v }

(dd cu )n .

{u < v }

Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv )n . Vậy ta có

ò

(dd cv )n £ lim inf
e® 0

{u < v }

ò

(dd cu e )n =

{u < v }

ò

(dd cu )n .

{u < v }

b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2} Ð w Ð W. Tồn tại
hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u
và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy

e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm liên
tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho

v = j trên F = W\ G . Ta có

ò

(dd cv )n = lim

{u < v }

j® ¥

ò

(dd cv )n .
{u j < v }

Nhưng {u j < v} Ì {u j < j } È G và vì {u j < j } là tập mở nên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




14

ò

(dd cv )n £ ò (dd cv )n +
{u j < v }
{u j < j }

ò (dd v )
c

n

£ lim
k® ¥

G

ò

(dd cvk )n + e ,
{u j < v }

vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .
Từ {u j < j } Ì {u j < v } È G và {u j < v } Ì {u j < vk } suy ra

ò

(dd cvk )n £ ò (dd cvk )n +
{u j < j }
{u j < v }

ò (dd v )
c

n

k

£

G

ò

(dd cvk )n + e .
{u j < vk }

Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được

ò

(dd cvk )n = ò (dd cu j )n .
{u j < vk }
{u j < vk }

Do đó

ò

(dd cv )n £ lim inf lim inf
j® ¥

{u < v }

k® ¥

£ lim sup

j® ¥

ò

(dd cu j )n + 2e
{u j < v j }

ò

(dd cu j )n + 2e .
{u j £ v }

Hơn nữa

ò

(dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e
{u j £ v }
{u j £ v }ÇF

và do {u £ v } Ç F là tập compact và {u j £ v } Ì {u £ v} nên ta có

ò

lim sup
j® ¥

ò

(dd cu j )n £

(dd cu )n £

{u £ v }ÇF

{u j £ v }ÇF

ò

(dd cu )n .

{u £ v }

Do e > 0 tùy ý nên ta được

ò

( dd cv )n £

{u < v }

ò

( dd cu )n .

{u £ v }

Từ đó với mọi h > 0 ta có

ò

( dd cv )n £

{u + h< v }

ò

( dd c (u + h))n =

{u + h£ v }

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ò

(dd cu )n .

{u + h£ v }



15

Nhưng

{u + h < v} Z {u < v} và {u + h £ v} Z {u < v}
khi h ] 0 . Do đó

ò

ò

( dd cv )n £

{u < v }

( dd cu )n .

W

{u < v }

Hệ quả 1.5.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử W là miền bị chặn trong £ n và
u, v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , (dd cu )n £ (dd cv )n
z® ¶W

trên W. Khi đó u ³ v trên W.
2

Chứng minh. Đặt y (z ) = z - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0
trên W. Giả sử {u < v } ¹ Æ. Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey } ¹ Æ
và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.5.1 ta có

ò

{u < v + ey }

³

ò

(dd cu )n ³

ò

{u < v + ey }

ò

ò

(dd cv )n + en

{u < v + ey }

³

(dd c (v + ey ))n
(dd c y )n

{u < v + ey }

(dd cv )n + en 4n n !l n

({u < v + ey })

{u < v + ey }

>

ò

ò

(dd cv )n ³

{u < v + ey }

(dd cu )n

{u < v + ey }

và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u £ v trên W.

W

Hệ quả 1.5.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao
cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 và
z® ¶W

ò

( dd cu )n = 0 . Khi đó u ³ v trên W.

{u < v }

Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2. Giả sử {u < v } ¹ Æ. Khi đó
có e > 0 sao cho {u < v + ey } ¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

ý rằng do y < 0 nên {u < v + ey } Ì {u < v } . Khi đó như chứng minh của
Hệ quả 1.5.2 ta có

0=

ò

( dd cu )n ³

{u < v }

³

ò

ò

( dd cu )n

{u < v + ey }

(dd cv )n + en 4n n !l n

({u < v + ey }) > 0

{u < v + ey }

và ta gặp mâu thuẫn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

W




17

Chng 2

BI TON DIRICHLET I VI
TON T MONGE-AMPẩRE PHC TRONG LP F ( f )
Trong chng ny luụn gi s Wè Ê n l min b chn. Bedford v
Taylor [4] chng minh rng (dd c .)n hon ton xỏc nh trờn PSH (W) ầ LƠloc (W) .
Cegrell [8] chng minh rng toỏn t Monge-Ampốre hon ton xỏc nh trờn
tp con E cỏc hm a iu hũa di khụng dng cha c F v Ep . Phn u
ca chng ny trỡnh by nghiờn cu dỏng iu ca hm trong cỏc lp Ep v

F . Tip theo trong phn th 2 chỳng ta ch ra rng cú th nh ngha toỏn t
Monge Ampốre theo cỏch xp x trờn lp E( f ) . Phn cui cựng ca chng
ny chỳng ta s gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre trong lp
F ( f ) . Chng ny kt thỳc vi nguyờn lý so sỏnh, c chng minh bng cỏch

s dng phng phỏp chng minh ca nh lý 2.3.3.
2.1. Dỏng iu trờn biờn ca hm trong cỏc lp Ep v F

Gi s Wè Ê n . Kớ hiu PSH - (W) l lp cỏc hm a iu hũa di õm trờn W.
nh ngha 2.1.1. (Cỏc lp Cegrell trong Ê n )

ỡù
E0 = E0(W) = ùớ j ẻ PSH - (W) ầ LƠ (W) : lim j (z ) = 0, ũ (dd cj )n < + Ơ
z đ xẻ ả W
ùù
W
ợ

{

ỹ
ùù
ý.
ùù
ỵ

E = E(W) = j ẻ PSH - (W) : " z 0 ẻ W tn ti lõn cn V z , z ẻ V z è W,
j j ẻ E0 , j

0

j

0

ỹ
ù
] j trờn W sao cho sup ũ (dd cj j )n < + Ơ ý .

W
ùùỵ
j

{

Ep = Ep (W) = j ẻ PSH (W) : $ j j ẻ E0(W), j j ] j ;

ỹ
ù
sup ũ (- j j ) (dd j ) < + Ơ , p 1ùý .
ùù
j
W
ỵ
p

S húa bi Trung tõm Hc liu HTN

c

n




18

{

F=
= F (W) = j ẻ PSH (W) : ${j j } è E0(W), j j ] j ,

ỹ
ù
sup ũ (dd j ) < + Ơ ùý .
ùù
j
W
ỵ
c

n

{

F p = F p (W) = u ẻ PSH (W) : $ u j ẻ E0W), u j ] u ;
sup j

ỹ
ùù
p
c
n
[1
+
(
u
)
]

(
dd
u
)
<
+
Ơ
ý.
ũ
j
j
ùù
W
ỵ

F a (W) = {u ẻ F (W) : (dd cu )n trit tiờu trờn cỏc tp a cc ca W}.

nh lý 2.1.2. Gi s K ẻ {E0, F p , Ep , F , E}, u ẻ K , v v ẻ PSH (W) vi
v Ê 0 . Khi ú

max{u, v } ẻ K .

Chng minh. Xem trong [7] v [8].
B 3.12 trong [7] ó ch ra nu W l min gi li cht, b chn v u ẻ E1, thỡ

lim sup u (z ) = 0 vi mi x ẻ ả W.

(2.1)

zđ x

zẻ W

Trong phn ny ta s chng minh iu ú xy ra i vi mi hm

u ẻ F U p 1 Ep , ú W l mt min siờu li, b chn.
Nhc li rng mt min siờu li, b chn W, xem nh l mt min trong

Ă

2n

, luụn chớnh quy vi bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Laplace; vỡ th, (2.1)

xy ra i vi mt hm iu hũa di tựy ý xỏc nh trờn W m hm tri iu
hũa nh nht ca nú l hm 0.
B 2.1.3. Cho W Ê n l min siờu li b chn v h : Wđ (- Ơ , 0] hm iu
hũa. t Y(z ) = sup{w(z ) : w ẻ PSH (W), w Ê h trờn W}. Nu Y ẻ E , thỡ
(dd c Y)n = 0 .

S húa bi Trung tõm Hc liu HTN




19

Chng minh. Cho B l hỡnh cu m sao cho B W v cho e > 0 sao cho
B è We è W, ú We = {z ẻ W: dist (z , ả W) > e} . Gi s c e l nhõn chớnh

qui tiờu chun v Ye = (u * c e ) . Khi ú Ye ẻ PSH (We ) I C Ơ (We ) v {Ye } l

dóy gim sao cho lim

e đ 0+

Ye (z ) = Y(z ) vi mi z ẻ W. Gii bi toỏn Dirichlet

vi giỏ tri biờn Y e ta c hm ge ẻ PSH (B ) I C (B ) sao cho ge = Ye trờn
ả B v

(ddcge )n = 0

(2.2)

trờn B . nh ngha hm H e trờn We bi
ỡù g (z ), z ẻ B
H e = ùớ e
ùù Ye (z ), z ẻ (We \ B ).
ợ

(2.3)

Khi ú H e ẻ PSH (We ) v {H e } gim khi e ] 0 . Cho e đ 0+ . Hm gii hn
H ca {H e } tn ti v l hm a iu hũa di trờn W hoc ng nht - Ơ .
iu ú cng kộo theo Y Ê H e trờn We , suy ra
Y(z ) Ê H (z )

(2.4)

vi mi z ẻ W. nh ngha ca Y suy ra Y Ê h trờn W v do ú H = Y Ê h
trờn W\ B . Do ú, H Ê h trờn W bi vỡ H l hm iu hũa di. Nh vy,

H (z ) Ê Y(z )

(2.5)

vi mi z ẻ W. Cỏc bt ng thc (2.4) v (2.5) kộo theo Y = H trờn W. iu
ny, cựng vi (2.2), (2.3), v gi s Y ẻ E , cho ta
(dd c Y)n = (dd cH )n = 0 trờn B .

Vỡ B l tựy ý, nờn B c chng minh.
Vớ d sau õy ch ra rng cú th xy ra
{w(z ) : w ẻ PSH (W), w Ê h trờn W}= ặ.

S húa bi Trung tõm Hc liu HTN



,


20

Ví dụ 2.1.4. Cho B Í £ 2 là hình cầu đơn vị, và p = (1, 0) Î £ 2 . Với z Î B , đặt
2

h (z ) =

z - 1
z- p

4

Khi đó - h là nhân Poisson đối với B . Vì thế, h là hàm điều hòa và h £ 0 .
Điều này chứng tỏ rằng không tồn tại một hàm j Î PSH (B ) sao cho j £ h ,
suy ra {w(z ) : w Î PSH (B ), w £ h } = f .
Định lý 2.1.5. Nếu u Î F U p ³ 1 Ep , thì hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u là
đồng nhất 0 trên W.
Chứng minh. Giả sử u Î F U p ³ 1 Ep . Hàm 0 là hàm điều hòa và như vậy là hàm
trội điều hòa của u ; do đó tồn tại một hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u (xem
Định lý 3.6.3 [3]). Giả sử tồn tại một hàm trội điều hòa nhỏ hơn của u ; tức là
tồn tại hàm điều hòa h xác định trên W sao cho
u£ h£ 0

(2.6)

và h(z ) ¹ 0 tại ít nhất một điểm z Î W. Giả sử hàm y được xác định như
trong Bổ đề 2.1.3. Khi đó định nghĩa của y và (2.6) kéo theo u £ y £ 0 , do
đó y Î F Up ³ 1 Ep theo Định lý 2.1.2. Hơn nữa, (ddc y )n = 0 theo Bổ đề 2.1.3.
Nếu y Î F thì y = 0 theo phần duy nhất trong Định lý 6.2 [7]. Theo cách
xây dựng ta có y £ h £ 0 , suy ra h = 0 . Điều này mâu thuẫn với giả sử tồn
tại z Î W sao cho h(z ) ¹ 0 . Như vậy hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u bằng 0
trên W.
Hệ quả 2.1.6. Giả sử

,
u Î F U p ³ 1 Ep . Khi đó limsup u(z ) = 0

với mỗi

z® x
zÎ W

x Î ¶ W.
Chú ý 2.1.7. Định lý 2.1.5 và Hệ quả 2.1.6 nói chung không có hiệu lực cho
các hàm thuộc lớp E . Chẳng hạn, xét hàm đồng nhất - 1 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN