Tính kì dị chung của một số hệ ẩn của phương trình vi phân câp 1 trên mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

HÀ THỊ CHÚC

TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
TRÊN MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

HÀ THỊ CHÚC

TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
TRÊN MẶT PHẲNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH

Thái Nguyên – 2016


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Hà Thị Chúc

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trường
Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình của
TS. Trịnh Thị Diệp Linh. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô,
người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần
làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi
hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,
khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường
Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,
ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Hà Thị Chúc

i


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

i

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức cơ bản

5

1.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Các điểm kì dị đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm
yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2

Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm
điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3

7

8

Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến)
không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Phôi và điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Các dạng chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1

Các ánh xạ đối hợp tốt . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Các điểm kì dị chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3

Các điểm kì dị gấp và lùi . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.4

Các tính kì dị gấp chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . .

18

ii


2 Phân loại tính kì dị
2.1

20

Các phương trình dạng Clairaut và lý thuyết kì dị Legendre 20
2.1.1

Legendrian không gấp . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Các tính kì dị trong trường hợp tổng quát . . . . . . . . .

26

2.3

Phân loại trong trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . .

29

2.4

Phân loại trong trường hợp Clairaut . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

iii


Mở đầu
Tính kì dị của một số hệ ẩn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết
của các phương trình vi phân cấp 1 trên mặt phẳng.

Đối với hệ ẩn của phương trình vi phân cấp 1 thông thường trên mặt
phẳng, sự phân loại địa phương các tính kì dị chung của họ các đường
cong pha được trình bày đầy đủ lên một quỹ đạo trơn tương tương. Bên
cạnh đó, ngoài tính kì dị đã biết của các trường vectơ tổng quát trên mặt
phẳng và các tính kì dị được mô tả bởi phương trình vi phân ẩn cấp 1
tổng quát, thì ở đây tồn tại duy nhất tính kì dị được mô tả bởi phương
trình ẩn cấp 1 cho bởi bề mặt ô Whitney được nhúng đến không gian của
các hướng trên mặt phẳng.
Luận văn này nghiên cứu các tính kì dị điểm của họ các đường cong
pha được cho bởi phôi của bề mặt hệ và giới thiệu các tính kì dị chung
trên mặt phẳng lên một quỹ đạo trơn tương đương.
Đối với một hệ đủ tổng quát, bề mặt hệ là một đa tạp con n chiều trơn
đóng trong không gian chùm tiếp xúc theo Định lý đường hoành Thom,
do đó sự gấp hệ là một ánh xạ liên tục giữa các đa tạp n chiều. Ngoài
ra, sự gấp của một hệ đủ tổng quát có thể có tất cả các tính kì dị chung
như là một ánh xạ giữa các đa tạp n chiều. Trong thực tế hạch của phép
chiếu chùm cũng là n chiều và theo Định lí của Goryonov (xem [11]), số
chiều của hạch thừa nhận tất cả các tính kì dị chung đối với các ánh xạ
giữa các đa tạp n chiều.
Một hệ đủ tổng quát gần một điểm chính quy của sự gấp hệ có thể giải
được bằng cách lấy đạo hàm. Trong trường hợp gần một điểm như vậy,
lý thuyết kì dị của họ các nghiệm của một hệ ẩn đã nhận được trong lý
thuyết của họ các đường cong pha đối với các trường vectơ trơn tổng quát
trên các đa tạp n chiều (xem [2]).

1


Đối với một hệ đủ tổng quát, vận tốc không triệt tiêu tại bất kì điểm
kì dị nào của sự gấp hệ. Một lần nữa Định lý của Goryunov chỉ ra rằng

1−gấp của một hệ đủ tổng quát có thể có tất cả các tính kì dị như là một
ánh xạ tổng quát từ một đa tạp n chiều đến một đa tạp (2n − 1) chiều.
Đặc biệt đối với trường hợp 2 chiều, 1−gấp của một hệ đủ tổng quát có
thể có các điểm chính quy và các điểm kì dị cho bởi ô kì dị Whitney. Đó
là sự phân loại các điểm kì dị của họ các đường cong pha đối với một hệ
ẩn tổng quát (xem Định lý 2.3.1, 2.3.4). Bên cạnh các tính kì dị đã biết
của các trường vectơ tổng quát trên mặt phẳng và tính kì dị được mô tả
bởi các phương trình vi phân ẩn cấp 1 tổng quát, có một và chỉ một tính
kì dị được cho bởi phương trình vi phân ẩn trên ô kì dị Whitney được
nhúng đến không gian của các hướng trên mặt phẳng (Hình 1, 2 và 3).
Lên trên một quỹ đạo trơn tương đương, họ tương ứng của đường cong
pha là họ các nghiệm của hệ ẩn
x˙ = ±1, (y)
˙ 2 = x(x − y)2
gần gốc.

Hình 1: Điểm không kì dị, yên ngựa, nút gấp, và tiêu điểm

Hình 2: Yên gấp, nút gấp, và tiêu điểm gấp
2

Họ các nghiệm của phương trình ẩn (dy/dx) = x(x − y)2 đã nhận được
2


trong nghiên cứu của Arnol’d V. I.(xem [3],[7]). Tuy nhiên, trường hợp
cuối cùng và trường hợp được nghiên cứu luận văn này là khác nhau. Ở
điểm thứ nhất, mặt phương trình trên không gian các hướng trên mặt
phẳng là trơn theo lý thuyết của phương trình kiểu giảm dư, trong khi
nó có các tính kì dị ô Whitney đối với trường hợp hệ ẩn. Ở điểm thứ hai,

Hình 3: Điểm gấp chuẩn tắc, điểm kì dị xếp li và điểm ô Whitney

phân bố mặt phẳng trên không gian của các hướng trên mặt phẳng có
các tính kì dị và nó không có cấu trúc tiếp xúc trong định lý của phương
trình kiểm giảm dư, trong khi nó là cấu trúc tiếp xúc trong trường hợp hệ
ẩn. Tuy nhiên, nếu đặt vào phép tương ứng đến phương trình kiểu giảm
dư
x˙ = εf (x, y, z) , y˙ = εg (x, y, z) , z˙ = h (x, y, z) + εr (x, y, z)
(trong đó f, g, h, r là các hàm số và ε là một tham số bé tùy ý), mặt
x˙ − f (x, y, z) = 0, y˙ − g (x, y, z) = 0, h (x, y, z) = 0 nên sự hạn chế của
phép chiếu (x, y, z, x,
˙ y)
˙ → (x, y, x˙ : y)
˙ đến mặt này là tương tự của 1
−gấp. Trong trường hợp tổng quát, sự hạn chế này đã được xác định
gần điểm tới hạn bất kì của sự gấp, ở đây sự hạn chế của phép chiếu
(x, y, z) → (x, y) đến mặt h = 0. Quy về trường hợp của Arnol’d đến
trường hợp được xét (Hình 4).
Nội dung chủ yếu của luận văn trình bày lại các kết quả trong bài báo
[8]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn được
chia thành 2 chương:
Chương 1 Một số kiến thức cơ bản
Trong chương 1 đưa ra một số khái niệm, ví dụ minh họa và tính chất cơ
bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu trong Chương 2.
Chương 2 Phân loại tính kì dị
Ở Chương 2, trình bày các dạng chuẩn tắc trong trường hợp tổng quát và
3

Hình 4: Điểm gấp Clairaut, điểm lùi Clairaut và điểm mũ chéo nhau Clairaut

trường hợp Clairaut tổng quát. Các chứng minh được trình bày rõ ràng,
đầy đủ và sử dụng lý thuyết của sơ đồ tích phân (xem [13]).

4


Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
.
1.1

Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1.1. Một hệ ẩn của các phương trình vi phân cấp 1 trên
một đa tạp trơn n chiều được định nghĩa bởi cấp 0, cấp được gọi là mặt
hệ của một ánh xạ trơn F từ chùm tiếp xúc của đa tạp này đến không
gian Đề-các n chiều.
Trong các tọa độ địa phương x = (x1 , ..., xn ) gần một điểm của đa tạp,
một hệ có thể được viết dưới dạng chuẩn F (x, x)
˙ = 0.
Định nghĩa 1.1.2. Một hệ ẩn có các đạo hàm bị chặn địa phương nếu
sự hạn chế của phép chiếu chùm đến mặt hệ là một ánh xạ riêng. Sự hạn
chế này được gọi là sự gấp hệ.
Trong luận văn này, chỉ xét những hệ có các đạo hàm bị chặn địa phương.
Ở đây, đồng nhất không gian của những hệ có đạo hàm bị chặn địa phương
với không gian của các ánh xạ F tương ứng.
Hệ đủ tổng quát là một hệ tạo bởi một vài tập con mở trù mật hầu

khắp nơi trong không gian của những hệ với đạo hàm bị chặn địa phương
đối với Topo mịn Whitney.
Định nghĩa 1.1.3. Cho 1 hệ ẩn, một ánh xạ khả vi x : t → x (t) từ một
khoảng của đường thẳng thực đến đa tạp cơ sở sao cho ảnh của ánh xạ
(x (t) , x˙ (t)) đến chùm tiếp xúc thuộc bề mặt hệ được gọi là đường cong
nghiệm của hệ ẩn.
5


Đường cong pha là ảnh của một ánh xạ x (t) khả vi và một quỹ đạo là
ảnh của lực nâng ánh xạ đó.
Định nghĩa 1.1.4. Hệ 1 −gấp là sự thu hẹp của phép xạ ảnh của chùm
tiếp xúc tới mặt hệ.
Định nghĩa 1.1.5. Một hệ ẩn được gọi là dạng Clairaut nếu mặt hệ là
trơn và với mỗi điểm tới hạn bất kì của sự gấp hệ, vận tốc tương ứng tới
điểm này là khác 0, nằm trong ảnh của không gian tiếp xúc đến mặt hệ
bởi đạo hàm của sự gấp, như là các phương trình Clairaut cổ điển.
Giảm bớt điều kiện thì bất kì hệ ẩn dạng Clairaut có thể được đưa về
hệ dạng Clairaut, nó được đánh dấu bởi phép chiếu các quỹ đạo trơn đến
các đường cong nghiệm không kì dị.
Định nghĩa 1.1.6. Cho ánh xạ F tổng quát, có x˙ = 0 khi F (x, x)
˙ =0
do đó hệ có thể được chiếu đến phương trình vi phân ẩn cấp 1.
Với {F = 0} → P T R2 = 3 thì xuất hiện ô Whitney.
Các dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn trên ô Whitney:
1. Dạng hệ: x˙ = ±1, y˙ 2 = x(x − y)2 .
2. Dạng phương trình:
1.2

dy

dx

2

= x(x − y)2 .

Các điểm kì dị đơn giản

Xét hệ phương trình vi phân

dx


= P (x, y);
dt

 dy = Q(x, y).
dt

(1.1)

Điểm (x0 , y0 ) mà tại đó P (x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = 0 được gọi là điểm
cân bằng của hệ (1.1) hoặc điểm kì dị.
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bắt đầu từ hệ 2
phương trình

dx


= a11 x + a12 y;

dt
(1.2)
dy


= a21 x + a22 y,
dt

6


a11 a12
= 0. Điểm (0, 0) là
a21 a22
điểm cân bằng của hệ (1.2). Ta hãy nghiên cứu đặc tính của các quỹ đạo
đối với hệ (1.2) ở lân cận điểm đó. Ta tìm nghiệm dưới dạng

trong đó aij (i, j = 1, 2) là các hằng số và

x = a1 ekt , y = a2 ekt .

(1.3)

Để xác định k ta có phương trình đặc trưng
a11 − k
a12
= 0.
a21
a22 − k

(1.4)

Ta sẽ xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra và đưa ra khái niệm các
điểm kì dị.
1.2.1

Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên
ngựa

Các nghiệm của (1.4) là thực và khác nhau. Trong trường hợp này có
thể xảy ra 3 trường hợp sau:
i. k1 < 0; k2 < 0. Điểm kì dị sẽ ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định,
Hình 1.1a).

Hình 1.1:

ii. k1 > 0; k2 > 0. Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn
định, Hình 1.1b).
iii. k1 > 0; k2 < 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình
1.2a).

7


Hình 1.2:

1.2.2

Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm

Các nghiệm của (1.4) là phức: k1 = p + qi; k2 = p − qi. Ở đây có 3
trường hợp sau:
i. p < 0; q = 0. Điểm cân bằng ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định,
Hình 1.2b).
ii. p > 0; q = 0. Điểm cân bằng không ổn định (tiêu điểm không ổn
định, Hình 1.3a).

Hình 1.3:

iii. p = 0; q = 0. Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm
cận (tâm điểm, Hình 1.3b).
1.2.3

Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không
ổn định

Phương trình (1.4) có nghiệm kép (k1 = k2 ). Ở đây có 2 trường hợp:
i. k1 = k2 < 0. Điểm cân bằng ổn định trên tiệm cận (điểm nút (suy
biến) ổn định, Hình 1.4a-b).
ii. k1 = k2 > 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm nút (suy biến)
không ổn định, Hình 1.4c).
8


Hình 1.4:

Nhận xét 1.2.1. 1. Nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4)
đều có phần thực âm thì điểm cân bằng ổn định tiệm cận. Còn nếu chỉ
cần một nghiệm của (1.4) có phần thực dương thì điểm cân bằng sẽ không
ổn định.

2. Những kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất với hệ số hằng
dxi
=
dt

n

aij xj (i = 1, 2, ..., n).
j=1

3. Để ngắn gọn đôi khi viết x˙ (y,
˙ z,
˙ ...) thay cho
1.3

(1.5)

dx dy dz
( , , ...).
dt dt dt

Phôi và điểm kì dị

Định nghĩa 1.3.1. Hai đối tượng có tính chất giống nhau (các tập hợp,
các trường véctơ, các họ của đường cong, phép ánh xạ,...) được gọi là
tương đương tại một điểm nếu chúng trùng nhau trong một lân cận của
điểm.
Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của
nó tại điểm đó.

x + |x|
có một
2
phôi chung tại mỗi điểm của nửa trục x dương và các phôi khác tại mỗi
điểm khác.
Ví dụ 1.3.2. Các hàm số một biến g1 (x) = x và g2 (x) =

Định nghĩa 1.3.3. Hai phôi (có tính chất như nhau) được gọi là phép
C k −vi đồng phôi nếu tại đó tồn tại một phôi của phép C k −vi đồng phôi
9


dịch chuyển phôi thứ nhất sang phôi thứ hai. Lớp các phôi của phép C k −vi
đồng phôi được gọi là một điểm C k −kì dị hay đơn giản là một kì dị.
Nhận xét 1.3.4. Một phép C k −vi đồng phôi là ánh xạ 1 − 1 mà cùng
với nghịch đảo của nó là khả vi k lần, còn phép C 0 −vi đồng phôi gọi là
phép đồng phôi.
Ví dụ 1.3.5. Tập hợp y = x2 − 1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như
nhau tại các điểm (−1, 0) và (1, 0) trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x|
tại O (Hình 1.5).

Hình 1.5:

Định nghĩa 1.3.6. Hai sự biến dạng phôi của phương trình ẩn (hoặc
phôi của phép vi đồng phôi trơn) gọi là tương đương trơn nếu hai sự biến
dạng tạo thành một trong các phép vi đồng phôi trơn khác.
Định nghĩa 1.3.7. Sự biến dạng phôi của phương trình vi phân ẩn gọi
là quy nạp từ phôi khác nếu phôi thứ nhất từ các phôi nhận được ánh xạ
trơn của phôi cơ sở trong phôi cơ sở thứ hai.
1.4

Các dạng chuẩn tắc

Ở đây trình bày các định lý cơ sở trên các dạng chuẩn. Trừ khi đặt điều
kiện khác, chỉ xét các đối tượng trơn (nghĩa là của lớp C ∞ ).

10


1.4.1

Các ánh xạ đối hợp tốt

Một trường hướng trên một mặt gọi là trơn nếu trong lân cận của mỗi
điểm trên mặt, nó là trường hướng của một phương trình vi phân trơn
a (u, w) du + b (u, w) dw = 0,
trong đó u và w là các tọa độ địa phương.
Các điểm mà ở đó các hệ số a và b đồng thời triệt tiêu được gọi là các
điểm kì dị của trường hướng.
Một điểm kì dị của trường hướng được gọi là không suy biến nếu các
hàm số a và b có thể chọn sao cho mỗi giá trị riêng của sự tuyến tính hóa
trường véctơ (−b, a) tại điểm đó khác 0 và tỉ số của các giá trị riêng khác
±1. Các hướng của các véctơ riêng tương ứng sẽ gọi là các hướng riêng
của trường hướng.
Cho v là một trường hướng có một điểm kì dị không suy biến tại O.
Tại ánh xạ đối hợp có một đường của các điểm cố định đi qua O gọi là
tương thích với trường v nếu và chỉ nếu trên đường thẳng này các hướng
của trường và ảnh của nó dưới ánh xạ đối hợp trùng nhau.
Định nghĩa 1.4.1. Một ánh xạ đối hợp tương ứng với một trường v được
gọi là v−tốt nếu các hướng riêng của trường v và đạo hàm của ánh xạ đối

hợp tại O là riêng biệt từng đôi.
Ví dụ 1.4.2. Giả sử coi x và p như các tọa độ trên mặt của phương trình
2y = p2 + χx2 , 0 = χ = 1/4. O là một điểm kì dị không suy biến của
trường hướng v của phương trình. Ánh xạ đối hợp (x, p) → (x, −p) của
mặt này là v−tốt.
Hai đối tượng (các phôi của phép đối hợp hay các đường cong, các
hướng tại điểm...) được gọi là tương đương dọc trường v hoặc v−tương
đương nếu chúng có thể được biến đổi thành mỗi đối tượng khác bởi một
phép C∞ −vi đồng phôi của mặt phẳng sao cho mỗi đường cong tích phân
của trường là ánh xạ vào chính nó.
Bổ đề 1.4.3. Trường véctơ h là trường của sự biến dạng vi phân của phép
đối hợp σ nếu và chỉ nếu σ∗ h = −h.

11


Bổ đề 1.4.4. Nếu g là biến dạng của phép biến đổi đồng nhất với vận tốc
h thì phép đối hợp biến dạng được với vận tốc h − σ∗ h (nếu phép vi đồng
phôi g đối hợp σ đi đến phép đối hợp ghg −1 ).
Bổ đề 1.4.5. Các phôi của hai phép đối hợp v−tốt tại O với một và chỉ
một đường của các điểm cố định là các v−tương đương.
Chứng minh. Cho σ1 và σ2 là các đối hợp v−tốt có một đường của các
điểm cố định. Lấy hàm số trơn ϕ, ϕ(0) = 0, có đạo hàm khác không tại
O theo mỗi hướng từ các hướng riêng của đối hợp σ1 tại O, địa phương
trong lân cận của O, trong đó các tọa độ x = ϕ + σ1∗ ϕ, y = ϕ − σ1∗ ϕ của
các phép đối hợp σ1 và σ2 có dạng
σ1 : (x, y) → (x, −y),
σ2 : (x, y) → (x + y 2 r(x, y), −y + y 2 s(x, y)),
với r và s là các hàm số trơn, vì các phép đối hợp σ1 và σ2 có một và chỉ
một đường của các điểm cố định, còn đạo hàm của các đối hợp này giống

nhau trên đường của các điểm cố định nếu x và y nhỏ, khi cả hai phép
đối hợp σ1 và σ2 là v− tốt. Do đó, tồn tại tọa độ ξ = x + y 2 R(x, y) và
η = y + y 2 S(x, y), với R và S là các hàm số trơn mà phép đối hợp có dạng
σ2 : (ξ, η) → (ξ, −η).
Xét sự biến dạng trơn γt : (ξt , ηt ) → (ξt , −ηt ) địa phương trong lân cận
O của đối hợp σ1 trong σ2 với ξt = x + ty 2 R(x, y), ηt = y + ty 2 S(x, y). Ta
có γ0 = σ1 , γ1 = σ2 . Ký hiệu Vt là vận tốc của sự biến dạng này.
Lấy trường véctơ trơn v˜, cho trường v˜ là trường của các hướng và có
điểm kì dị không suy biến tại O. Bổ đề 1.4.5 được chứng minh nếu địa
phương trong lân cận của đoạn [0, 1] trên trục t, vận tốc của sự biến dạng
cần tìm được biểu diễn ở dạng
Vt = ft v˜ − (γt∗ ft )γt ∗ v˜,

(1.6)

với ft là hàm số trơn phụ thuộc t của các biến x, y. Chỉ ra rằng, sự biểu
diễn như vậy quả thực xảy ra.
Thật vậy, sự giải được của phương trình đồng điều (1.6) đối với ft xây
dựng trên trường v˜, ảnh của trường dưới phép đối hợp γt không cộng
tuyến ở ngoài đường của các điểm cố định.
12


Vận tốc của sự biến dạng V (chỉ số t bỏ đi), ta thấy có O trên đường
cong y = 0(η = 0). Do Bổ đề 1.4.3, ta có γ∗ V = −V nên
V (ξ, η) = η 3 p(ξ, η 2 )

∂
∂
+ η 2 q(ξ, η 2 ) ,

∂ξ
∂η

(1.7)

với p và q là các hàm số trơn.
Trên đường của các điểm cố định với phép đối hợp γ ta có γ∗ v˜ = −˜
v.
Do đó,
∂
∂
v˜(ξ, η) = ηl(ξ, η) + m(ξ, η) ,
(1.8)
∂ξ
∂η
với l và m là các hàm số trơn. Giả sử f là tổng của các hàm chẵn và không
lẻ theo η sao cho f (ξ, η 2 ) = u(ξ, η 2 ) + ηω(ξ, η 2 ), với u và ω là các hàm số
trơn. Đây là giả thiết phép thế đối với f và các biểu thức (1.7) và (1.8)
trong phương trình (1.6) dẫn tới hệ sau trên u và ω:

uη(l(ξ, η) + l(ξ, −η)) + ωη 2 (l(ξ, η) − l(ξ, −η)) = η 3 p(ξ, η 2 );
u(m(ξ, η) + m(ξ, −η)) + ωη(m(ξ, η) − m(ξ, −η)) = η 2 q(ξ, η 2 ).
Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ trên cho η, nhận được hệ
tuyến tính đối với u, ω. Định thức của hệ này có dạng η 2 (4l(0, 0)mη (0, 0)+
H(ξ, η 2 )), với H là hàm số trơn. Có m(0, 0) = 0; l(0, 0)mη (0, 0) = 0, do đó
điểm kì dị này không suy biến. Tiếp theo, xét tới vế phải của hệ sau khi
chia cho η 2 , nhận địa phương trong lân cận của đoạn [0, 1] trên trục t tồn
tại nghiệm trơn u, ω của hệ này. Bổ đề 1.4.5 được chứng minh.
Bổ đề 1.4.6. Các phôi tại O của hai đường cong trơn nhúng được, tiếp
xúc nhau tại O là v−tương đương nếu một đường cong trơn của trường v

theo hướng riêng không tiếp xúc được với các đường cong này tại O.
Chứng minh. Cho v là trường véctơ, với trường của các hướng v và có
điểm kì dị suy biến tại O. Ký hiệu g t là ánh xạ của luồng pha của trường
này tại thời gian t.
Tồn tại quá trình σ với trung tâm tại O. Hai đường cong được biểu
diễn trong hai đường cong trơn, đi qua một điểm của đường hoành đi đến
cặp của phép chiếu trực tiếp dính vào. Trường véctơ kéo dài được trong
điểm chính quy này và tiếp tuyến được dính trực tiếp. Do đó, thời gian
của chuyển động đi ra khỏi 1 từ các đường cong đang xét đến các đường
13


cong khác là hàm số trơn τ của đường cong thứ nhất. v−tương đương
cần tìm có ánh xạ g T (.) (.), với T là kéo dài trơn của hàm số τ trong mặt
phẳng. Bổ đề 1.4.6 được chứng minh.

Hình 1.6:

Bổ đề 1.4.7. Hai hướng tại O của các v−tương đương khác nhau nếu và
chỉ nếu chúng có thể nối (trong không gian của các hướng trong O) của
đường cong liên tục, không đi qua các hướng riêng của trường v tại O.
Chứng minh. Phép vi đồng phôi chuyển dịch trong nó mỗi đường cong
tích phân của trường v, chuyển dịch trong nó mỗi hình quạt mở từ các
hình quạt mở, trên các hình quạt mà không gian của các hướng trong C
(đây là không gian phép chiếu một chiều) phân chia được hướng riêng của
trường v tại O.
Ngược lại, hai hướng từ một hình quạt của trường v˜ = Ax + ... (với
z = (x, y) và ba chấm nghĩa là các phần tử của lũy thừa cấp cao hơn theo
z) có điểm kì dị không suy biến tại O, đi đến một ánh xạ trong ánh xạ
khác eAt nếu t thích hợp (Hình 1.6). Do đó, nó dẫn đến một phép chiếu

của luồng pha của trường v. Bổ đề 1.4.7 được chứng minh.
Cố định trường hướng v với điểm kì dị không suy biến tại O.
Định lý 1.4.8. Các phôi tại O của hai ánh xạ đối hợp v−tốt là v−tương
đương nếu và chỉ nếu các tiếp tuyến tại O đến các đường thẳng cố định
của phép đối hợp này có thể được nối trong không gian của các hướng tại
14


O với một đường cong liên tục không đi qua các hướng riêng của trường
v tại O.
Chứng minh. Cho các tiếp tuyến tại O đi qua đường của các điểm kì dị
của hai phép đối hợp v−tốt, có thể kết hợp trong không gian của hướng
các đường cong liên tục tại O không đi qua các trường v theo hướng riêng
tại O. Khi đó các v−tương đương thuộc các tiếp tuyến này theo Bổ đề
1.4.7. Suy ra, các phôi của đường các điểm cố định tại O của các đối hợp
này là các v−tương đương theo Bổ đề 1.4.6. Từ đó nhận được các phôi
tại O của hai đối hợp các v− tương đương theo Bổ đề 1.4.5.
Ngược lại, nếu các phôi tại O của hai đối hợp các v−tốt là các v−tương
đương, vậy thì các phôi tại O của các đường tại các điểm cố định và các
hướng của tiếp tuyến đi tới đường của các điểm cố định tại O cũng là các
v−tương đương. Theo Bổ đề 1.4.6 các trường này có thể kết hợp trong
không gian của các hướng tại O với đường cong liên tục, không đi qua các
trường hướng v tại O.
Định lý 1.4.9. Số của v−lớp tương đương của các phôi tại O của các
ánh xạ đối hợp v−tốt là bằng 2 (tương ứng bằng 1) nếu O là yên ngựa
hoặc điểm nút (tương ứng là tiêu điểm) của trường cố định v.
Nhận xét 1.4.10. Tập các ánh xạ đối hợp v−tốt là mở trong tôpô C1
và trù mật hầu khắp nơi trong tôpô C∞ trong không gian của các phép
đối hợp tương thích với trường v.
1.4.2

Các điểm kì dị chuẩn tắc

Số mũ của điểm kì dị không suy biến của trường hướng được xác định
như tỷ số giữa giá trị riêng với các môđun cực đại của sự tuyến tính trường
vectơ tương ứng và giá trị riêng với các môđun cực tiểu đối với yên ngựa
hoặc điểm nút. Các môđun như vậy của tỷ số giữa phần ảo của giá trị
riêng và phần thực đối với một tiêu điểm; Các số mũ được bảo tồn dưới
các phép vi đồng phôi.
Một điểm kì dị không suy biến của trường hướng được gọi là Ck −chuẩn
tắc nếu phôi tại điểm này của họ các đường cong tích phân của trường là
phép Ck −phép vi đồng phôi đến phôi tại O của họ các quỹ đạo pha các
15


trường vectơ tuyến tính v2 , v2 hoặc v3 lần lượt đối với yên ngựa, điểm nút
hoặc tiêu điểm. Trong đó
v2 (x, y) =

v3 (x, y) =

1 0
0 α
1 −α
α 0

x
y
x
y

,

(1.9)

,

(1.10)

với α là số mũ của các điểm kì dị này. Các kí hiệu v2 và v3 cũng sẽ được
sử dụng để kí hiệu các trường hướng được xác định bởi các phương trình
vi phân với các trường vectơ này.
Phép đối hợp
θ1 : (x, y) → (((α + 1) x − 2αy) / (α − 1) , (2x − (α + 1) y) / (α − 1))
là v2 −tốt và phép đối hợp θ2 : (x, y) → (x − 2αy/α, −y) là v3 −tốt.
Cho O là một điểm kì dị C∞ −chuẩn tắc của trường v với số mũ α.
Định lý 1.4.11. Các phôi tại O của trường hướng v của họ các đường
cong tích phân và ánh xạ đối hợp v−tốt đồng thời được rút gọn bởi một
phép C∞ −vi đồng phôi của mặt phẳng tới các phôi tại O của trường các
hướng v2 (v3 ) của họ các đường cong tích phân và ánh xạ đối hợp θ1 (θ2 )
đối với yên ngựa, điểm nút (tương ứng là tiêu điểm).
Nhận xét 1.4.12. Các điều kiện của C ∞ −chuẩn tắc yêu cầu trong Định
lý 1.4.11 hầu như luôn được thỏa mãn. Nghĩa là:
1. Theo Định lý Siegel, một yên ngựa là C∞ −chuẩn tắc nếu (1, α) là
một điểm của dạng (M, v) (nghĩa là
min {|1 − m1 − m2 α|} , |1 − m1 − m2 α| ≥ M/|m|v
đối với tất cả các vectơ tích phân m = (m1 , m2 ) với các số mũ không âm,
m1 + m2 ≥ 2). Độ đo của tập hợp các điểm mà không là các điểm dạng
(M, v) với M > 0 bất kì là bằng 0 nếu v > 1.
2. Một điểm nút là C∞ −chuẩn tắc nếu số mũ của nó không là số tự

nhiên. Đối với một trường vectơ trơn trong mặt phẳng thuộc về tập trong
không gian của các trường như vậy (trong tôpô mịn Whitney), tập này là
mở trong tôpô C1 và trù mật hầu khắp nơi trong tôpô C∞ , điều kiện này
được thực hiện tại mỗi điểm nút của trường.
16


3. Các tiêu điểm không suy biến luôn là C∞ −chuẩn tắc. Sử dụng các
phép đồng phôi (hoặc các phépC0 −vi đồng phôi) cũng có thể "khử bỏ"
số mũ α của điểm kì dị không yêu cầu C∞ − chuẩn tắc của điểm. Giả sử
O là một điểm kì dị không suy biến của trường v.
Định lý 1.4.13. Các phôi tại O của trường hướng v của họ các đường
cong tích phân hoặc của ánh xạ đối hợp v−tốt đồng thời được rút gọn bởi
phép đồng phôi của mặt phẳng thành các phôi tại O của trường hướng v2
(v2 hoặc v3 ) của họ các đường cong tích phân hoặc của phép đối hợp θ1
(θ1 hoặc θ2 ) với α = −2 (α = 2, α = 1) đối với yên ngựa (tương ứng điểm
nút và tiêu điểm).
1.4.3

Các điểm kì dị gấp và lùi

Các ánh xạ gấp của phương trình F (x, y, p) = 0 xác định phép đối
hợp gấp của phương trình trong lân cận của điểm tới hạn đó là một gấp
Whitney. Trên mặt của phương trình, phép đối hợp hoán đổi vị trí các
điểm mà ảnh của nó dưới ánh xạ gấp của phương trình này trùng nhau.
Một điểm kì dị không chính quy của phương trình F (x, y, p) = 0 tại đó
sự gấp phương trình có một điểm tới hạn là một gấp Whitney được gọi
là yên ngựa gấp, nút gấp hoặc tiêu điểm gấp nếu thỏa mãn đồng thời hai
điều kiện:
1. Trường hướng v của phương trình có điểm yên ngựa không suy biến,

điểm nút không suy biến, tiêu điểm không suy biến tương ứng tại điểm
này.
2. Phép đối hợp gấp của phương trình xác định trong lân cận của điểm
kì dị đó là v−tốt.
Các điểm kì dị của ba dạng trên được gọi là các điểm kì dị gấp.
Ở Ví dụ 1.4.2 có
2y = p2 + χx2 ⇒ 2y = y + 4χy 3 ⇒ y 2 =

1
1
⇒ y2 −
=0
4χ
4χ

do đó có yên ngựa gấp với χ < 0 , nút gấp với 0 < χ < 1/4 và tiêu điểm
gấp với tại O tương ứng 1/4 < χ.
Phôi của phép đối hợp gấp tại một điểm kì dị gấp của phương trình
F (x, y, p) = 0 là tốt đối với trường hướng của phương trình đó. Điều
17


ngược lại cũng đúng.
Định lý 1.4.14. Cho trường hướng v có một điểm kì dị không suy biến
tại O và phép đối hợp v−tốt. Khi đó, phôi tại O của v và v−tốt là phép
C∞ −vi đồng phôi tới phôi tại điểm kì dị gấp của trường hướng và phép
đối hợp gấp của phương trình F (x, y, p) = 0.
Một điểm kì dị không chính quy của phương trình F (x, y, p) = 0 cũng
là xếp li Whitney của phương trình gấp sẽ được gọi là điểm kì dị lùi
hoặc tính kì dị điểm lùi của phương trình. Phôi của mặt phương trình

F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị lùi của phương trình trùng với phôi tại O của
mặt x = pf (x, p), trong đó f là một hàm trơn, f (0, 0) = fp (0, 0) = 0 <
fpp (0, 0), đối với hệ tọa độ được chọn thích hợp trong mặt phẳng (x, y).
Điểm kì dị lùi được gọi là elliptic (hoặc hyperbolic) nếu fy (0, 0) < 0
(tương ứng fy (0, 0) > 0). Eliptic và hyperbolic là điểm kì dị lùi không
phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ.
1.4.4

Các tính kì dị gấp chuẩn tắc

Điểm kì dị gấp của phương trình F (x, y, p) = 0 được gọi là C∞ −chuẩn
tắc nếu nó là một điểm kì dị C∞ −chuẩn tắc của trường hướng của phương
trình.
Định lý 1.4.15. Ảnh phôi của họ các đường cong tích phân của phương
trình F (x, y, p) = 0 tại một điểm kì dị gấp C∞ −chuẩn tắc là yên ngựa,
điểm nút hoặc tiêu điểm nếu ánh xạ gấp của phương trình là phép C∞ −vi
đồng phôi tới phôi tại O của họ các đường cong
|x ±
|x˙ ±
hoặc

√

y|−α

√

y|−α

x √

± y = c, c ∈ R,
α

x √
√
± y = c ∪ (x ± y = 0), c ∈ R,
α


±α√y = R sin(α ln R + c)
x ± √yR cos(α ln R + c)

, 0 ≤ c ≤ 2π,

(1.11)
(1.12)

(1.13)

√ 2
x ± y + α2 y, ở đây α là số mũ của điểm kì dị (tỉ số
trong đó R =
của các đường cong trong nghịch ảnh và ảnh có thể đồng nhất)
18


Tại điểm trên mặt của phương trình, phôi của phương trình F = 0 được
gọi là phép Ck −vi đồng phôi tới phôi của phương trình F1 = 0 trên mặt
của phương trình cuối nếu tồn tại phép Ck −vi đồng phôi trong lân cận
phép chiếu quỹ đạo các điểm này trên mặt phẳng (x, y), mà biến đổi các

phôi của họ các quỹ đạo pha của các phương trình này thành các phôi
khác (0 ≤ k; đối với k = 0 ta nói rằng các phôi này là tương đương tôpô).
Dạng chuẩn tắc trơn p2 = x của phôi (trong trường hợp giải tích) của
phương trình điển hình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị chính quy của nó đã
được tìm thấy đầu tiên bởi Cibrario và được trình bày lại bởi Bruce I. W.
và Dara L. Trong đó Bruce I. W đã sử dụng dạng p2 = xE (x, y), với E
là một hàm trơn nhận được bởi Thom.
Định lý 1.4.16. Phôi của phương trình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp
C∞ −chuẩn tắc là phép C∞ −vi đồng phôi tới phôi tại O của phương trình
(p + kx)2 = y với k = α(α + 1)−2 /2 k = 1 + α2 /8 , trong đó α là số
mũ của điểm kì dị đối với yên ngựa, điểm nút (tương ứng tiêu điểm).
Nhận xét 1.4.17. 1. Trong hai mục trước ta thấy rằng các điều kiện của
Định lý 1.4.15 và Định lý 1.4.16 luôn được thực hiện. Ví dụ như, tất cả
các nút gấp và tiêu điểm gấp của phương trình điển hình F (x, y, p) = 0
là C∞ −chuẩn tắc.
2. Sự thay đổi các biến số x˜ = x, y˜ = 2 y + kx2 /2 quy về dạng chuẩn
tắc (p + kx)2 = y đến dạng chuẩn tắc Dara y = p2 + χx2 /2 với χ = 2k,
trong đó k < 0, 0 < k < 1/8 và 1/8 < k tương ứng đối với yên ngựa, điểm
nút, tiêu điểm.
3. Phương trình vi phân của họ các đường cong trong Định lý 1.4.15
được quy về dạng chuẩn tắc được chỉ ra trong Định lý 1.4.16 bởi sự kéo
−2
căng x˜ = ax, y˜ = ay với a = 4(α + 1)2 α−2 (tương ứng, a = 16 1 + α2 ).
Định lý 1.4.18. Các phôi của phương trình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì
dị gấp của phương trình là tương đương tôpô tới phôi tại 0 của phương
trình (p − x)2 = y đối với yên ngựa, (p + x/9)2 = y đối với điểm nút hoặc
(p + x/4)2 = y đối với tiêu điểm.

19