Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa của lớp hệ DBLS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đỗ Triệu Hải

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ
ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DBLS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đỗ Triệu Hải

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ
ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DBLS

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung
Dũng đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
đề tài.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn
sinh viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích.

Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của
tôi được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
Đỗ Triệu Hải

i


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa
cho lớp hệ DBLS " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn
Trung Dũng.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả
của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
Đỗ Triệu Hải

ii


Kí hiệu toán học
R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Không gian Euclide n chiều.

N

Tập các số tự nhiên.

Z

Tập các số nguyên.

Z0

Tập các số nguyên dương.

P(...|...)

Xác suất có điều kiện.

UT

Ma trận chuyển vị của ma trận U .

E

Kì vọng.

∼

P

Số đo xác suất trên σ -đại số của tập con trong
không gian mẫu.

x(t)
diag(...)

Chuẩn của vectơ x(t).
Ma trận đường chéo .

iii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ
Markov đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học
ở trong nước và trên thế giới. Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụng
trong kỹ thuật như mô phỏng máy tính, hệ thống kĩ thuât, sinh hoc, y
tế . . . Chính vì thế, nghiên cứu tính ổn định của hệ Markov đóng vai trò
vô cùng quan trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động
lực.
Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn
đề tài: Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa của lớp hệ
DBLS làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các khái niệm ổn định, ổn định hóa của lớp hệ DBLS.
- Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày kiến thức về hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian và hệ
DBLS;.
- Trình bày một số tiêu chuẩn ổn định của hệ DBLS.


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về hệ DBLS.
- Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định , ổn định hóa, ổn định vững
của hệ.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóa
luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức và kết quả bổ trợ.
Chương 2: Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS.

v


Mục lục
MỞ ĐẦU
1 Một số kiến thức và kết quả bổ trợ
1.1 Xích Markov . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . .
1.1.2 Ma trận xác suất chuyển . .
1.1.3 Phân phối ban đầu . . . . .
1.2 Hệ DBLS . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Mô tả hệ . . . . . . . . . . .
1.2.2 Một số khái niệm ổn định và
1.3 Một số bất đẳng thức . . . . . . .
2 Bài
2.1
2.2
2.3

toán ổn
Các tiêu
Các tiêu
Các tiêu

định và ổn định hóa
chuẩn ổn định . . . . .
chuẩn ổn định hóa . .

chuẩn ổn định vững .

1

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ví dụ
. . . .

cho lớp
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

hệ
. .
. .

. .

.
.
.
.
.
.
.
.

iv
2
2
2
4
5
6
6
8
11

DBLS
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

12
12
17

19

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.


Chương 1
Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

1.1
1.1.1

Xích Markov
Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1. Cho {rk , k ∈ Z0 } là một dãy các biến ngẫu nhiên xác
định trên không gian xác suất (Ω, A, P ) nhận giá trị trong tập đếm được
E. Ta nói rằng {rk , k ∈ Z+ }là một xích Markov rời rạc và thuần nhất
nếu
P {rn+1 = j|rn = i, rn−1 = in−1 , . . . , r1 = i1 , r0 = i0 }
= P {rn+1 = j|rn = i},
∀n ∈ Z+ và ∀ i0 , i1 , . . . , in−1 , i, j ∈ E.
Tập hợp E được gọi là không gian trạng thái, các phần tử của E được
kí hiệu là i, j, k, . . . (có chỉ số hoặc không).
Ví dụ 1.1.1. Cho r0 , r1 , . . . , rn , . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc
lập. Ek là tập hợp các giá trị của rk , Ek hữu hạn hay đếm được (k =
0, 1, . . . , n, . . .).Đặt E = ∪∞
k=0 Ek , rõ ràng E là tập hợp không quá đếm
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

được. Khi đó, ta có
P {rn+1 = j|r0 = i0 , . . . , rn−1 = in−1 , rn = i}
= P {rn+1 = j} = P {rn+1 = j|rn = i},
với i0 ∈ E0 , i1 ∈ E1 , . . . , in−1 ∈ En−1 , ∈ En , j ∈ En+1 .

Như vậy, {rn ; n = 0, 1, 2, . . .} là một xích Markov.
Ví dụ 1.1.2. Cho r0 , η1 , . . . , ηn , . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc
lập, nhận các giá trị là những số nguyên.
Đặt Xn = r0 + η1 + η2 + . . . + ηn (n = 1, 2, . . .). Ta có
P {Xn+1 = j|r0 = i0 , X1 = i1 , . . . , Xn−1 = in−1 , Xn = i}
= P {Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , . . . , ηn = i − in−1 }
= P {ηn+1 = i − j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , . . . , ηn = i − in−1 }
= P {ηn+1 = i − j},
và
P {Xn+1 = j|Xn = i}
= P {Xn + ηn+1 = j|Xn = ξ0 + η1 + η2 + . . . + ηn−1 + ηn = i}
= P {ηn+1 = j − i|Xn = ξ0 + η1 + η2 + . . . + ηn−1 + ηn = i}
= P {ηn+1 = i − j}.
Vậy {Xn , n ∈ Z0 } là một xích Markov.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

ĐỖ TRIỆU HẢI

Ma trận xác suất chuyển

Cho {rn , n ∈ Z+ } là một xích Markov thuần nhất với không gian trạng
thái E. Đặt pij = P (rn+1 = j|rn = i), i, j ∈ E. Khi đó, pij được gọi là
xác suất chuyển trạng thái của hệ từ trạng thái i ở thời điểm n(hiện tại)
sang trạng thái j ở thời điểm n + 1(tương lai). Nếu đặt các biến cố

A = (rn+1 = j), B = (rn = i), C = (θ0 = i0 , . . . , rn−1 = in−1 )
thì tính Markov có nghĩa là P (A|B) = P (A|BC). Theo công thức xác
suất có điều kiện ta có
P (ABC) P (BC) × P (A|BC)
=
P (B)
P (B)
P (B) × P (C|B) × P (A|B)
=
P (B)

P (AC|B) =

= P (C|B) × P (A|B)
Từ đẳng thức trên, ta thấy rằng quá khứ và tương lai độc lập với nhau
khi cho trước hiện tại.
Kí hiệu ma trận P = (pij ). Ma trận P được gọi là ma trận xác suất
chuyển sau 1 bước. Chú ý rằng từ công thức xác suất đầy đủ ta có
ma trận P = (pij ) có các tính chất:
• 0

pij

1, ∀i, j ∈ E.

•

pij = 1, ∀i ∈ E.
j∈E

Xác suất chuyển sau n bước được định nghĩa theo công thức:
(n)

pij = P (rn+m = j|rm = i) = P (rn = j|r0 = i)
Đây là xác suất để hệ tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n bước
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI
(1)

chuyển sang trạng thái j. Ta có, pij = pij . Chúng ta quy ước
(0)

pij


 1, nếu i = j,
=
 0, nếu trái lại.

(n)

và đặt P(n) = (pij ). Ma trận P(n) được gọi là ma trận xác suất
chuyển sau n bước. Từ công thức xác suất đầy đủ và từ tính Markov
ta có:
P(n+1) = P. P(n) ,
P(n+1) = P(n) . P,

P(n+m) = P(n) . P(m) ,
P(n) = Pn .

1.1.3

Phân phối ban đầu

Định nghĩa 1.2. Phân phối của xích tại thời điểm n được cho bởi công
thức sau:
(n)
pj = P (rn = j); n = 0, 1, 2, . . . ; j ∈ E.
(n)

Đặt Π(n) = (pj , j ∈ E) và gọi Π = Π(0) là phân phối ban đầu của
xích.
(n)

Chúng ta quy ước, viết (Π(n) ) = (pj , j ∈ E) là véc tơ hàng. Khi đó

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

ta có
Π(n) = Π.P(n)
Π(n+1) = Π(n) .P
Π(n+1) = Π(1) .P(n)

Π(n+m) = Π(n) .P(m) .
Phân phối ban đầu được gọi là dừng nếu Π(n) không phụ thuộc vào n
tức là Π = Π(n) hay Π = ΠP.
Như vậy, mô hình của xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba
(rn , Π, P), trong đó
• (rn ) là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Π là phân phối ban đầu của xích.
• P là ma trận xác suất chuyển.

1.2

Hệ DBLS

1.2.1

Mô tả hệ

Hệ điều khiển DBLS (Discrete-Biliner stochastic system ) có dạng như
sau
x(k + 1) = A1 (ηk )x(k) + A2 (ηk )x(k)ξ(k) + B1 (ηk )u(k), k ∈ Z0
trong đó

• x(k) ∈ Rn là véc tơ trạng thái.
6

(1.1)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

• u(k) ∈ Rm là véc tơ điều khiển đầu vào.
• A1 (ηk ), A2 (ηk ), B1 (ηk ) là các ma trận có só chiều thích hợp.
• ξ(k) ∈ Rm là một dãy các biến ngẫu nhiên , độc lập có cùng phân
phối.
• {ηk } là 1 xích Markov với không gian trạng thái S = {1, 2, ..., s}, và
có ma trận xác suất chuyển Π = πij trong đó
πij = P (ηk+1 = j|ηk = i)
s
j=1 πij

thỏa mãn πij ≥ 0, ∀i, j ∈ S và

= 1, ∀i ∈ S

Tương ứng với hệ (1.1) ta xét hệ không chắc chắn như sau
x(k + 1) = A1∆ (ηk )x(k) + B1∆ (ηk )u(k) + A2∆ (ηk )x(k)ξ(k), k ≥ 0 (1.2)
trong đó:
A1∆ (ηk ) = A1 (ηk ) + ∆A1 (ηk )
B1∆ (ηk ) = B1 (ηk ) + ∆B1 (ηk )
A2∆ (ηk ) = A2 (ηk ) + ∆A2 (ηk )
và sự không chắc chắn được giả thiết như sau
∆A1 (ηk ) = D(ηk )∆(ηk )Ea1 (ηk )
∆B1 (ηk ) = D(ηk )∆(ηk )Eb1 (ηk )
∆A2 (ηk ) = D(ηk )∆(ηk )Ea2 (ηk )

Lưu ý rằng

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

A1 (ηk ), B1 (ηk ), A2 (ηk ) , D, Ea1 , Eb1 , Ea2 là các ma trận chưa biết với
số chiều thích hợp.
∆(ηk ) là ma trận biến thiên với số chiều thích hợp.
Ta nói rằng đại lượng không chắc chắn ∆(ηk ) chấp nhận được nếu thỏa
mãn điều kiện sau:
∆T (ηk )∆(ηk ) ≤ 1.
(1.3)

1.2.2

Một số khái niệm ổn định và ví dụ

Định nghĩa 1.3. [1] Hệ (1.1) với u(k) = 0 được gọi là ổn định ngẫu
nhiên nếu
∞

x(k, x0 , η0 ) 2 |x0 , η0 < ∞

E
k=0

với mọi điều kiện ban đầu (xo , η0 ).
Định nghĩa 1.4. [1] Hệ (1.1) được gọi là ổn định hóa ngẫu nhiên nếu
đối với mọi điều kiện ban đầu (η0 , x(0)) tồn tại 1 điều khiển ngược

u(k) = K(ηk )x(k) sao cho hệ đóng
x(k + 1) = A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk )x(k) + A2 (ηk )x(k)ξ(k)

(1.4)

là ổn định ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.5. [1] Hệ (1.2) với u(k) = 0 được gọi là ổn định ngẫu
nhiên vững nếu hệ là ổn định ngẫu nhiên với mọi đại lượng không chắc
chắn chấp nhận được ∆(ηk ).
Định nghĩa 1.6. [1] Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa vững nếu tồn tại
bộ điều khiển ngược u(k) = K(ηk )x(k) sao cho hệ đúng là ổn định ngẫu
nhiên với mọi đại lượng không chắc chắn chấp nhận được ∆(ηk ).
Để hiểu rõ hơn về lớp hệ (1.1) chúng ta xét 1 số ví dụ như sau
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

Ví dụ 1.2.1. xét hệ như sau
x(k + 1) = ax(k) + bx(k)ξ(k), k ∈ Z0 ,

(1.5)

trong đó a, b là hằng số và ξ(k) là dãy ngẫu nhiên các biến độc lập có
phân phối N (0, 1) và độc lập với x(k). Ta có thể tính
T

1 − (a2 + b2 )T +1

x (k) =
E[x2 (0)]
(1 − a2 − b2 )
2

E
k=0

Giả sử rằng a2 + b2 < 1 khi đó chúng ta có
∞

x2 (k) =

E
k=k0

E[x2 (0)]
(1 − a2 − b2 )

Do đó nghiệm 0 là ổn định ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu
a2 + b2 < 1.

(1.6)

x(k + 1) = a0 (ηk )x(k) + b0 (ηk )x(k)ξ(k), k ∈ Z0 .

(1.7)

Ví dụ 1.2.2. xét hệ sau

trong đó η(k), k ∈ Z0 là một xích Markov với không gian trạng thái
S = {1, 2} và ξ(k) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân
phối N (0, 1) và độc lập với x(k). Giả sử rằng η(k), k ∈ Z0 là một xích
Markov thuần nhất với phân phối ban đầu P (η0 = i) > 0, i = 1, 2...
Hệ (1.7) được viết lại như sau


x(k + 1) = a0 (1) + b0 (1)ξ(k)x(k), nếu ηk = 1

x(k + 1) = a (2) + b (2)ξ(k)x(k), nếu η = 2
0
0
k

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

Giả sử ma trận xác suất chuyển của xích Π = (πij )2×2 như sau

Π=

1 − γ1
γ2

γ1
1 − γ2




trong đó 0 ≤ γ1 ≤ 1, 0 ≤ γ2 ≤ 1.
Để khảo sát sự ổn định của hệ (1.7) ta xét hàm Lyapunov
V (k, x(k), ηk ) = α(ηk )x2 (k)
Đặt V (k, x(k), j) := V (x(k), ηk )|ηk =j với j = 1, 2
Giả sử rằng α(1) = α(2). Khi đó ta toán tử sai phân của hàm V (k, x(k), j)
được xác định như sau
2

∆V˜ (k, x(k), i) =

πij E[V (x(k + 1), j) − V (x(k), i)|x(k), ηk = i]
j=1
2

πij [α(j)(a0 (j)x(k) + b0 (j)x(k)ξk )2 − α(i)x2 (k)].

=
j=2

suy ra
∆V˜ (k, x(k), 1) = π11 α(1)(a20 (1)x2 (k) + b20 (1)x2 (k)) − α(1)x2 (k)
+ π12 [α(2)(a20 (2)x2 (k) − b20 x2 (k)) − α(1)x2 (k)].
Sử dụng điều kiện (1.6) và giả thiết α(1) = α(2) ta được
(1 − γ1 )(a20 (1) + b20 (1) − 1) + γ1 (a20 (2) + b20 (2) − 1) < 0.

(1.8)

Bằng cách tương tự với ∆V (k, x(k), 2) ta có
γ2 (a20 (1) + b20 (1) − 1) + (1 − γ2 )(a20 (2) + b20 (2) − 1).

10

(1.9)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

Nhận xét 1.1. Nếu (1.8) và (1.9) thỏa mãn thì hệ (1.7) là ổn định ngẫu
nhiên.

1.3

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.1. [Bổ đề phần bù Schur] Cho các ma trận hằng M, L, Q với
số chiều thích hợp, trong đó M , Q là các ma trận đối xứng và Q là ma
trận xác định dương . Khi đó M + LT QL < 0 khi và chỉ khi



T

M

L

−1

L −Q


 <0

hoặc



−1

−Q

L

T

M

L


 < 0.

Bổ đề 1.2. [3] Cho A, D, ∆, E là ma trận thực có số chiều thích hợp với
∆ ≤ 1. Khi đó ta có

(i) Với ma trận bất kì P > 0 và > 0 thỏa mãn l − EP E T > 0, bất
đẳng thức sau đúng
(A+D∆E)P (A+D∆E)T ≤ AP AT +AP E T ( l−EP E T )(−1) EP AT + DDT .
(ii) Với ma trận P > 0 và > 0 thỏa mãn P − DDT > 0, bất đẳng thức
sau đúng
1
(A + D∆E)T P −1 (A + D∆E) ≤ AT (P − DDT )(−1) A + E T E.

11


Chương 2
Bài toán ổn định và ổn định hóa
cho lớp hệ DBLS

2.1

Các tiêu chuẩn ổn định

Định lý 2.1. [1] Hệ (1.1) với u(k) ≡ 0 ổn định ngẫu nhiên khi và chỉ
khi tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương
s

Q = (Q(1), Q(2), ...., Q(N )) > 0, G(i) =

πij Qj
j=1

thỏa mãn bất đẳng thức đại số Riccati ( ARI)
AT1 (i)G(i)A1 (i) + AT2 (i)G(i)A2 (i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0,

(2.1)

hoặc thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính


−Q(i)


 J1 (i)

J2 (i)

J1T (i)

J2T (i)

−Q

0

0

−Q
12




 <0



(2.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

với i=1,2...,s trong đó
√
J1T = [ πi1 AT1 (i)Q(1), ...,

(πis )AT1 (i)Q(s)],

√
J1T = [ πi1 AT2 (i)Q(1), ...,

(πis )AT2 (i)Q(s)].

Chứng minh. Điều kiện đủ.
Không giảm tính tổng quát ta giả sử rằng ξ(k) là các biến ngẫu nhiên
chuẩn tắc N(0,1). Xét hàm Lyapunov
V (k, x(k), ηk ) := xT (k)Q(ηk )x(k)
trong đó Q(i) = 1, 2..., s là các ma trận đối xứng xác định dương , toán
tử với sai phân được xác định bởi
∆V˜ (k, x(k), i) = E[V (k + 1, x(k + 1), ηk+1 ) − V (k, x(k), ηk )|Fk , ηk = 1].
Chúng ta có
s

∆V˜ (k, x(k), i) =

πij E[xT (k)((A1 (i) + A2 (i)ξ(k))T Q(i)(A1 (i) + A2 (i)ξ(k))
j=1
s

πij xT (k)[Q(j) − Q(i)]x(k).

− Q(i))x(k)] +
j=1

Khi đó phương trình trên dược viết như sau
∆V˜ (k, x(k), i) = E[xT (k)(AT1 (i)G(i)A1 (i)+AT2 (i)G(j)A2 (i)−Q(i))x(k)],
với

s

G(i) =

πij Q(j).
j=1

Lưu ý rằng, theo bổ đề phần bù Schur , bất đẳng thức LMI (2.2) tương

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

đương với
AT1 (i)G(i)A1 (i) + AT2 (i)G(i)A2 (i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0
với i = 1, 2, ..., s.
Đặt α = inf {λmin (−Ωi ), i = 1, 2...s} khi đó với mọi T ≥ 1 chúng ta có
T

xT (k)x(k) .

E[V (T + 1, x(T + 1), ηT +1 )] − E[V (x0 , η0 )] ≤ −αE
k=0

suy ra
T

xT (k)x(k) ≤

E
k=0

1
(E[V (x0 ), η0 ] − E[V (T + 1, x(T + 1), ηT +1 )])
α
≤

1
E[V (x0 ), η0 ].
α

Do đó bất đẳng thức trên dẫn đến

∞

xT (k)x(k) ≤

E
k=0

1
E[V (x0 ), η0 < ∞.
α

Điều này dẫn đến hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên khi u(k) = 0
Điều kiện cần.
Giả sử hệ (1.1) với u(k) ≡ 0 ổn định ngẫu nhiên nghĩa là
∞

x(k)T x(k)|(η0 , x0 ) ≤ T (ηk0 , x(k0 )).

E
0

Định nghĩa,
N
T

xT (k)P (ηk )x(k)|(x(n), ηn )

x (n)Q(N − n, ηn )x(n) = E
k=n

với P (ηn ) > 0 . Chú ý rằng xT (n)Q(N − n, ηn )x(n) là đơn điệu không
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

giảm và bị chặn vì P (ηn ) > 0 với mọi n . Do đó tồn tại giới hạn được kí
hiệu bởi
xT (n)Q(i)x(n) = lim xT (n)Q(N − n, ηn )x(n).
N −→∞

Vì phương trình trên đúng với bất kì x(n), ta được
Q(i) = lim Q(N − n, ηn ).
N −→∞

Bây giờ, ta xét
E[xT (n)Q(N − n, ηn )x(n) − xT (n + 1)Q(N − n − 1, η(n+1) )x(n + 1)|(x(n), ηn = i)
s

πij xT (n)(AT1 (i)Q(N − n − 1, j)A1 (i) + AT2 (i)Q(N − n − 1, j)A2 (i))x(n)

=−
j=1

+ x(n)T Q(N − n, i)x(n)
= x(n)T P (i)x(n).

Vì phương trình trên đúng với mọi giá trị x(n), nên ta được

s

πij (AT1 (i)Q(N − n − 1, j)A1 (i) + AT2 (i)Q(N − n − 1, j)A2 (i))

Q(N − n, i) −
j=1

= P (i) > 0.
Cho N −→ ∞ ta được
s

πij (AT1 (i)Q(j)A1 (i) + AT2 (i)Q((j)A2 (i)) = P (i) > 0.

Q(i) −
j=1

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

Vậy,
s

πij (AT1 (i)Q(j)A1 (i) + AT2 (i)Q((j)A2 (i)) − Q(i) < 0
j=1

dẫn đến

AT1 (i)Q(j)A1 (i) + AT2 (i)Q((j)A2 (i) − Q(i) < 0.
Vậy định lý đã được chứng minh
Ví dụ 2.1.1. Xét hệ ngẫu nhiên chuyển mạch Markov dưới đây
x(k + 1) = A1 (ηk )x(k) + A2 (ηk )x(k)ξ(k)
trong đó ηk ∈ S là một xích Markov với 2 trạng thái và ξ(k) là một dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập N (0, 1) và độc lập với x(k).

A1 (1) = 

0.96 0.00
0.06 1.08


A2 (1) = 

0.5 0.00
0.5 0.06





 , A1 (2) = 



−0.1

0.0

−0.2 −0.1



 , A2 (2) = 



0.1

0.0

−0.2 0.1






Ma trận xác suất chuyển được cho bởi

(πij )2×2 = 

0.4 0.6
0.3 0.7


.

Chúng ta cần tìm các ma trận đối xứng, xác định dương Q(1) và

Q(2), thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn bất đẳng
thức LMI (2.2) hoặc bất đẳng thức đại số Riccati (2.1) (ARI)

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

2

πij (AT1 (i)Q(i)A1 (i) + AT2 (i)Q(i)A2 (i)) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0.
j=1

Chúng ta tìm được

Q(1) = 

1128.9 141.0
141.0 864.1





 , Q(2) = 

455.5196 −89.9518
−89.9518

27.4329


.

thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1 do đó hệ là ổn định ngẫu nhiên.

2.2

Các tiêu chuẩn ổn định hóa

Để ổn định hóa hệ (1.1), chúng ta xét bộ điều khiển ngược có dạng như
sau
u(k) = K(ηk )x(k)
trong đó k(ηk ) là ma trận điều khiển ngược cần xác định.
Định lý 2.2. [1] Hệ (1.1) với điều khiển ngược u(k) = K(ηk )x(k), là
ổn định ngẫu nhiên nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương
X = diag(X1 , x2 , ..., Xs ), Y = (Y1 , Y2 , ..., Ys )
thỏa mãn bất đẳng thức tuyến tính sau


J1iT

J2iT

−Xi


 J1i −X 0


J2i
0 −X

17




 < 0,



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐỖ TRIỆU HẢI

trong đó
√
√
J1iT = [ πi1 (A1 (i)Xi + B1 (i)Yi )T , ...., πis (A1 (i)Xi + B1 (i)Yi )T ]
√
√
J2iT = [ πi1 Xi AT2 (i), ..., πis Xi AT2 (i)].
Khi đó điều khiển ngược
u(k) = K(ηk )x(k)

(2.3)

có ma trận điều khiển ngược xác định bởi

K(i) = Y (i)Xi−1 với i = 1, 2, ..., s ổn định hóa hệ (1.1).
Chứng minh. Thế (2.3) vào hệ (1.1) ta thu được hệ đóng
x(k + 1) = [A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk )]x(k) + A2 (ηk )x(k)ξ(k).
Đặt A1 (ηk ) = A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk ).
Suy ra x(k + 1) = A1 (ηk )x(k) + A2 (ηk )ξ(k).
Khi đó từ Định lý 2.1, cần chỉ ra rằng sự tồn tại của các ma trận đối
xứng xác định dương,
s

Q = (Q(1), ...., Q(s)) > 0, G(i) =

πij Q(j)
j=1

sao cho
s
T

πij (A1 (i)Q(i)A1 i + AT2 (i)Q(j)A2 (i)) − Q(i) < 0

(2.4)

j=1

trong đó
A(ηk ) = A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk )
Đặt G(i) = sj=1 πij Q(j) khi đó bất đẳng thức (2.4) được viết lại như sau

18