Phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán giải tích lớp 11 cho học sinh ở nước CHDCND lào

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

VONGSY PHOMANICHAN

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN
GIẢI TÍCH LỚP 11 Ở NƢỚC CNDCND LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

VONGSY PHOMANICHAN

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN
GIẢI TÍCH LỚP 11 Ở NƢỚC CNDCND LÀO
Chuyên ngành: LL và PP dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.44.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nguời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn

Vongsy PHOMMANICHAN

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNi




LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Việt Cường.
Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng
dẫn của mình, TS. Trần Việt Cường, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tôi xin
trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học,
Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học
sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các
thành viên trong lớp cao học Toán K21A đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn

Vongsy PHOMMANICHAN

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNii




MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iii
NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................ iv
DANH MỤC BẢNG ........................................................................................ v
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 3
7. Cấu trúc của đề tài ..................................................................................... 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4

1.1. Bài tập và chức năng của bài tập toán.................................................... 4
1.1.1. Bài tập toán ..................................................................................... 4
1.1.2. Các chức năng của bài tập toán....................................................... 6
1.2. Một số dạng toán thuộc nội dung Giải tích lớp 11................................. 7
1.2.1. Một số dạng toán về giới hạn .......................................................... 7
1.2.2. Một số dạng toán về đạo hàm ....................................................... 11
1.2.3. Một số dạng toán về nguyên hàm, tích phân ................................ 14
1.3. Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm
của HS khi giải toán .................................................................................... 16
1.4. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS THPT khi giải
toán giải tích lớp 11 ..................................................................................... 18
1.4.1. Sai lầm do không hiểu đúng khái niệm......................................... 18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiii




1.4.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc ... 19
1.4.3. Sai lầm do lập luận thiếu lôgic...................................................... 23
1.4.4. Sai lầm do cảm nhận trực quan ..................................................... 25
1.4.5. Sai lầm do phân chia các trường hợp riêng .................................. 27
1.5. Dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS .............................................. 31
1.5.1. Nội dung chương trình giải tích lớp 11 ở trường phổ thông ......... 31
1.5.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS... 32
1.5.3. Một số vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tích phân ........................................................................ 34
1.5.4. Thực trạng giải bài tập nội dung Giải tích lớp 11 của HS ............ 37
1.6. Kết luận chương 1 ................................................................................ 39
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM GIÚP HS THPT PHÒNG

TRÁNH VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM THƢỜNG GẶP KHI
GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 ................................................ 41
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp ..................................... 41
2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp HS THPT phòng tránh và sửa chữa
những sai lầm thường gặp khi giải toán giải tích lớp 11............................. 42
2.2.1. Biện pháp 1: Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc
phải cho HS thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm .............. 42
2.2.2. Biện pháp 2: Hệ thống hóa các dạng và các phương pháp tìm
giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân ......................................... 47
2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho HS phát hiện thực hành quy tắc thuật
giải, tựa thuật giải.................................................................................... 52
2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................ 59
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 60
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 60
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ........................................................... 60

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiv




3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm.......................................................... 61
3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ........................................................... 62
3.4.1 Phân tích định lượng ...................................................................... 62
3.4.2. Phân tích định tính ........................................................................ 64
3.5. Kết luận chương 3 ................................................................................ 65
KẾT LUẬN .................................................................................................... 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 68
PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNv




NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ

CHDCND

: Cộng hòa dân chủ nhân dân

ĐC

: Đối chứng

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

THPT

: Trung học phổ thông

TN

: Thực nghiệm

TS

: Tiến sĩ

TXĐ

: Tập xác định

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiv




DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Nguyên nhân sai lầm của HS khi học chủ đề giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tích phân ................................................................ 38
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học (Thực hiện
tháng 9 năm 2014) .......................................................................... 61
Bảng 3.2. Bảng phân bổ tần số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 11A4,
11A6 trường THPT Thêt sa ban khoeng.......................................... 64

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNv

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân (CHDCND) Lào đang trong thời kỳ
đổi mới, đòi hỏi Ngành Giáo dục và Đào tạo có những bước đi đổi mới về
mọi mặt, nhằm đào tạo ra những con người lao động có đủ kiến thức, năng
lực sáng tạo, trí tuệ và phẩm chất đạo đức tốt, đáp ứng được yêu cầu nhân lực
của đất nước.
Môn toán là một trong những môn học quan trọng trong trường phổ
thông ở nước CHDCND Lào. Nó có tiềm năng to lớn trong việc phát triển
năng lực cho học sinh (HS) và rèn luyện trí thông minh, sự sáng tạo, đức tính
cần cù kiên nhẫn, cẩn thận của người lao động. Ở trường phổ thông, dạy toán
là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức
chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một
phương tiện có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy học toán.
Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải toán, HS thường gặp không ít những khó
khăn và mắc phải những sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết
quả học tập của HS. Một trong những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó
của HS là giáo viên (GV) chưa chú ý một cách đúng mức trong việc phát
hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho HS ngay trong các giờ dạy học
toán. Vì điều đó nên ở HS nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai
lầm. Hơn nữa, bản thân HS sau nhiều lần mắc phải sai lầm trong giải toán
thường có tâm lý tự ti, thậm chí chán nản, mất lòng tin và mất hứng thú trong
việc học toán.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN1

Trong chương trình Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào, nội dung
Giải tích gồm các nội dung: Giới hạn, Đạo hàm và Nguyên hàm, tích phân.
Để HS hiểu đúng được bản chất và làm được các dạng toán này không phải là
điều đơn giản vì đây là các nội dung trừu tượng và tương đối khó ở trường
phổ thông. Để giúp HS học tốt môn toán nói chung và học tốt nội dung Giải
tích ở lớp 11 nói riêng thì việc hiểu đúng bản chất bài toán và làm thành thạo
các bài tập là điều rất cần thiết.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các
vấn đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm.
Vì vậy, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: Phát hiện và
sửa chữa sai lầm trong giải toán giải tích lớp 11 cho học sinh ở nước
CHDCND Lào.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, phát hiện những sai lầm thường gặp của HS khi giải toán
Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào theo phương diện hoạt động giải toán
để giúp HS khắc phục và sửa chữa những sai lầm đó.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu phát hiện ra được những sai lầm mà HS thường mắc phải và đề xuất
được một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai
lầm đó trong dạy học nội dung Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào cho HS
thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này và qua đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông nước CHDCND Lào.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của một số nội dung liên quan
đến đề tài.
- Nghiên cứu một số sai lầm thường mắc phải của HS nước CHDCND
Lào trong giải toán Giải tích lớp 11, xác định nguyên nhân chính dẫn đến
những sai lầm đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN2




- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đã
chỉ ra ở trên.
- TN sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã
đề xuất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu về
phương pháp dạy học môn toán, sách giáo khoa, sách GV, sách bài tập, sách
tham khảo lớp 11 và một số tài liệu khác liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ một số tiết học
thuộc nội dung Giải tích lớp 11, trao đổi với GV dạy toán ở trường trung học
phổ thông (THPT) ở nước CHDCND Lào. Từ đó, tổng kết những dạng sai
lầm HS thường mắc phải và đề xuất một số biện pháp khắc phục.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của một số chuyên gia về những
sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán nội dung Giải tích lớp 11 và hướng
khắc phục.
- Phương pháp TN sư phạm: Thử nghiệm sử phạm để bước đầu kiểm
nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần “Mở đầu” và “Kết luận” nội dung luân văn được trình bày
trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm giúp HS phổ thông phát hiện và
sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán Giải tích lớp 11 ở nước
CHDCND Lào.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN3




Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Bài tập và chức năng của bài tập toán
1.1.1. Bài tập toán
Theo Nguyễn Bá Kim [2]: Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn
Toán. Điều căn bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS.
Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định
như: nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương
pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt
động trí tuệ phổ biến trong Toán học. Do hoạt động của HS liên hệ mật thiết
với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học nên vai trò của bài tập toán
được thể hiện trên ba bình diện sau:
- Về mặt mục tiêu dạy học: Bài tập toán thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng
Toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ;
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt
nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức
đã học ở phần lý thuyết.
- Về mặt Phương pháp dạy học: Bài tập toán học là giá mang những

hoạt động để HS kiến tạo những nội dung kiến thức nhất định và trên cơ sở đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN4




thực hiện các mục đích dạy học khác. Việc người GV khai thác tốt bài tập như
vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,
khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu
quả giảng dạy của người GV.
Bài tập toán với tư cách là một phương pháp dạy học, giữ một vị trí đặc
biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ
thông. Việc giải bài tập toán có những tác dụng sau:
- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh
động. Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải
đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động
nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập. Tất cả những thao tác tư duy đó
góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;
- Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả
năng sáng tạo cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa
học bởi giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của HS. Trong khi
giải bài tập toán, HS phải phân tích, lập luận... từ đó tư duy logic, tư duy sáng
tạo của HS được phát triển và năng lực của HS được nâng cao;
- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào

thực tế, đời sống... từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất đạo đức,
rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó
khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói
riêng và học tập nói chung;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN5




- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán
và trình độ phát triển của HS.
Qua những điều nói trên, bài tập toán có những tác dụng to lớn về cả
giáo dục lẫn giáo dưỡng. Vì thế trong giải bài tập toán, mục đích cuối cùng
không chỉ là giúp HS tìm ra đáp số của bài toán (tuy rằng điều này rất quan
trọng và cần thiết) mà HS nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các
kiến thức đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận
dụng một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc.
1.1.2. Các chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt động toán học cho HS trong
đó giải toán là hoạt động chủ yếu. Do vậy, dạy bài tập toán có vị trí quan
trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các
chức năng như [2]:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo
những vấn đề lý thuyết đã học cho HS. Qua đó, HS hiểu được sâu sắc hơn và
biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ
thể. Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý
thuyết cho nên qua việc giải bài tập HS mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của

người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho
HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN6




1.2. Một số dạng toán thuộc nội dung Giải tích lớp 11
1.2.1. Một số dạng toán về giới hạn
a) Dạng 1: Dùng định nghĩa để tính giới hạn
2
x  x  1

Ví dụ 1.1. Tính lim

Lời giải: Đặt f ( x) 

2
x 1

Với mọi dãy (xn) mà x n  1, n và lim x n   , ta có f ( xn ) 

2
xn  1

2
2
2
 lim

0
x x  1
xn  1 lim xn  1

Do đó: lim

2 x 2  3x  1
x 1
x 1

Ví dụ 1.2. Tính lim

2 x 2  3x  1
Lời giải: Đặt f ( x) 
x 1

Với mọi dãy (xn) mà x n  1, n và lim x n  1 , ta có:
2 xn2  3xn  1  2 xn  1. xn  1
f ( xn )  f ( x) 

 2 xn  1
xn  1
xn  1
2 x 2  3x  1
Do đó: lim

 lim  2 xn  1  2lim xn  1  2  1  1
x1
x 1

b) Dạng 2: Dùng định lí, quy tắc, công thức để tính giới hạn
 Các bài toán áp dụng trực tiếp định lí giới hạn
Ví dụ 1.3. Tính các giới hạn sau
x2

a) I = lim  x  1  ln

x 
x2


3x 2  4 x
.
x 2 x  1

b) I = lim

Lời giải:
x2

a) I = lim  x  1  ln

x 
x2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN7

 x2
 lim x  lim1  lim  ln

x 
x 
x 
 x2

2

1


x 
 lim x  lim1  lim  ln
x 
x 
x 
2
 1 
x

3x 2  4 x 20
b) I = lim
.


x2 x  1
3

 Các bài toán không áp dụng trực tiếp định lí giới hạn
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn,
chúng ta phải tiến hành biến đổi biểu thức xác định đã cho về dạng áp dụng
được định lí. Sau đây là một số cách biến đổi thường dùng:
- Đối với dãy số:
+ Nếu biểu thức ở dạng phân thức mà tử và mẫu đều chữa các lũy thừa
của n, thì chia cả tử và mẫu cho nk, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức đã cho có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân cả tử số
và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp.
- Đối với hàm số:
u  x
khi lim u  x   lim v  x   0
xx0
xx0
x x0 v  x 

+ Tính lim

Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi:
u  x
 x  x0  A x   lim A x  và tính lim A  x  .
 lim
x x0 v  x 
x x0  x  x0  B  x 
x x0 B  x 
x x0 B  x 
lim

Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số thì ta có thể nhân cả tử và mẫu với
biểu thức liên hợp, trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước.
u  x
khi lim u  x    và lim v  x    :
x x0
x x0
x x0 v  x 

+ Tính lim

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN8




Chia cả tử và mẫu cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x
(hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).
+ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức thì ta đưa xk ra
ngoài dấu căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn), trước khi
chia tử và mẫu cho lũy thừa của x.
+ Tính lim u  x   v  x  khi lim u  x    và lim   hoặc
x x
x x
x x
0

0

0

lim u  x .v  x  khi lim u  x   0 và lim v  x    :

x x0

x x0

x x0

Nhân và chia với biểu thức liên hợp (nếu có biểu thức chứa biến số
dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức (nếu
biểu thức chứa nhiều phân thức).
Ví dụ 1.4. Tính các giới hạn sau:


1
a) I = lim  x 1  2  x 
x 
x



b) I = lim
x 4

x 2
x5 3

Lời giải:





1
1
a) I  lim  x 1  2  x   lim  x 1  2  x 
x 
x 
x
x





1
1 2 1




1
1
x
 lim  x   1  2  1  lim  x   1  2  1 .
x 
x 
x
x




 1 1 1
x2
2


1 
2
1
 1 2  1
1 2 1
x

x
 lim  x 
 lim  x  . 
x

x 
1
1
1 2 1
1 2 1
x
x
 lim  x 
x 

1

1
2
0
x
x
 0
 lim
x
2
1
1
1 2 1
1 2 1
x
x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN9




b) I  lim
x 4

 lim
x 4

x 2
x5 3
x 2

x5 3 x 2
.
.
x 5 3 x 5 3 x  2

 x  4   x  5  3
 lim
x 4
x

4
x

2


 x 4

 lim



x5 3
x 2

45 3 3

2
42

c) Dạng 3: Xét tính liên tục của các hàm số
 Hàm số liên tục tại một điểm
Ví dụ 1.5. Xét tính liên tục của hàm số f  x  
Lời giải: Ta có

x2  9
tại điểm x = -3.
x3

x 2  9  x  3 x  3
f  x 

 x  3  h  x  nếu
x 3
x 3

x  3 .

Ta có lim h  x   lim f  x   h  3  0 .
x3

x3

Do đó, f(x) liên tục tại x = -3.
 Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn
Ví dụ 1.6. Xét tính liên tục của hàm số sau trên TXĐ của nó
f  x 

x 3
1

; I  ( ; )
2x  1
2

Lời giải:
Ta có f  x  

x3
1
1
xác định trong khoảng (,  )  ( , ) .
2
2
2x  1

 1
Ta có lim f  x   f      .
1
 2
x 
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN10




1
Ta thấy f(x) liên tục bên phải của điểm x   .
2

1
Ta có lim f  x   f  a  , x  ( , ) .
xa
2
1
Suy ra f(x) liên tục trong khoảng ( ; ) .
2

 Sử dụng tính chất liên tục xác định nghiệm của phương trình
Ví dụ 1.7. Xác định nghiệm của phương trình sau trên

:

f  x   x3  5 x  1

Lời giải: Ta có f '  x   3x 2  5 .
Do đó, f '  x   0  3x 2  5  0  x  
x



f ' x





15
3
0

15
3
15
3
0



f  x





20 15  3
3


3  20 15
3



Vì vậy, phương trình f  x   x3  5x  1 có 3 nghiệm là x1, x2 và x3 như
sau:   x1  

15
15
15 15

;
 x2 
;
 x3  
3
3
3
3

1.2.2. Một số dạng toán về đạo hàm
a) Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Ví dụ 1.8. Tính đạo hàm của hàm số f  x   x 2  5x  1 bằng định nghĩa.
Lời giải: Ta có f  x0   x0 2  5x0  1
f  x0  h    x0  h   5  x0  h   1
2

 x02  2 x0h  h2  5x0  5h  1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN11




f  x0  h   f  x0   x0 2  2 x0h  h2  5x0  5h  1  x0 2  5x0  1

 2 x0h  h2  5h

f  x0  h   f  x0  2 x0h  h 2  5h
Do đó, ta có

 2 x0  h  5

h
h

Suy ra, ta có f '  x0   lim
h0

f  x0  h   f  x0 
h

 lim  2 x0  h  5  2 x0  5 .
h0

Vậy, ta có f’(x) = 2x + 5.
b) Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Ví dụ 1.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) F  x    x  2   x 2  2 x  3

b) y 

x 1
x2  2 x  2

Lời giải:
a) Ta có F '  x    x  2  '  x 2  2 x  3   x  2   x 2  2 x  3 '
 x 2  2 x  3   x  2  2 x  2 
2
= 3x  1

b) Ta có y ' 

x 2  2 x  2   2 x  2  x  1

x

2

 2x  2

2



x

 x2  2 x
2

 2x  2

2

c) Dạng 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Ví dụ 1.10. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y  x3  3x 2  1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ.

Lời giải: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Do phương trình tiếp tuyến cần
tìm đi qua gốc tọa độ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:
y  f '  x0  x   3x0 2  6 x0  x

Ta có: x03  3x0 2  1   3x0 2  6 x0  x0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN12




 x03  3x02  1  3x03  6 x02

 x0  1
 2 x0  3x0  1  0  
1
 x0  

2
3

2

Do vậy, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  3x và y 

15
x
4

d) Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao
Ví dụ 1.11. Cho hàm số f  x   x m . Tính đạo hàm cấp 3, cấp p (p < m)
và cấp m của hàm số đó.
Lời giải: Ta có
f   x   mx m1
f   x   m  m  1 x m2
f   x   m  m  1 m  2  x m3

f

p

 x   m  m  1.... m  p  1 x m p

f

m

 x   m  m  1....2.1.x0  m!

Ví dụ 1.12. Cho hàm số f  x    2 x  3 . Tính f ''  3 , f '''  3 .
5

Lời giải: Ta có f '  x   5.2  2 x  3  10  2 x  3 .
4

=>

f ''  x   80  2 x  3 .

=>

f '''  x   2.240  2 x  3 .

4

3

2

Do đó, ta có f ''  3  80.33  2160;
f '''  3  480.32  4320.

e) Dạng 5: Tìm vi phân
Ví dụ 1.13. Tìm vi phân của hàm số y  x3  5x  1 .
Lời giải: Ta có y '  3x 2  5 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN13












Vậy, ta có dy  d x3  5x  1  y ' dx  3x 2  5 dx.
Ví dụ 1.14. Tìm

d  sinx 
.
d  cosx 



Lời giải: Điều kiện x  k , k  R .
2
d  sinx   sinx  dx cosx
Ta có


  cot x .
d  cosx   cosx ' dx -sinx
'

1.2.3. Một số dạng toán về nguyên hàm, tích phân
a) Dạng 1: Tìm nguyên hàm
Ví dụ 1.15. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x2  2 x  3 trong
khoảng I  R và F  x0   y0 và x0 = 1 thì y0 = 0.
Lời giải: Nếu G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên I ta có:
x3
G  x    x 2  3x và F  x   G  x   k
3
1
13
Do x0  1, y0  0 nên ta có G  x0   G 1   1  3 
3
3

Ta có k  G  x0   y0  

13
3

x3
13
Suy ra, ta có F  x    x 2  3x 
3
3

b) Dạng 2: Tính tích phân
 Tính bằng định nghĩa
Ví dụ 1.16. Tính tích phân

 1

 2  dx

2
2 x





5

Lời giải: Nguyên hàm của hàm số dưới dấu nguyên hàm là
1
F  x     2x
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN14

1
7
1
49
Ta có F  2     4  và F  5    10 
2
2
5
5
5

63
 1

 1

Do đó, ta có   2  2  dx     2 x   F  5  F  2  
2 x
10


 x
2
5

 Tính bằng phương pháp đối biến số
1

Ví dụ 1.17. Tính tích phân I   2 1  t 2 dt
1

Đặt t  cos x  x  0;  .
Ta có 1  t 2  1  cos2 x  sin x .
Vì sin x  0 và

dt
  sin x  dt   sin xdx
dx

Nên, ta có I   2sin xdt   2sin x   sin xdx   2 sin 2 xdx
Do sin 2 x 

0

0

0







1  cos 2 x
nên ta có
2
0

0
1  cos 2 x
sin 2 x 

I  2
dx    1  cos 2 x dx    x 
 


2
2 

0

 Tính bằng phương pháp từng phần


Ví dụ 1.18. Tính I   2 t sin tdt
0


u  t   t  u '  t   1
Lời giải: Đặt 

v '  t   sin t  v  t    cos t






Ta có I   t sin tdt   t cos t 02   2 cos tdt
2
0

0



  2 cos tdt  1
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN15




d) Dạng 3: Ứng dụng Tích phân
 Tính diện tích hình phẳng
Ví dụ 1.19. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
cong c1  sin x và c2  cos x trong khoảng 0;   .
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong (c1) và
(c2) là: sin x  cos x  x 


2



xx

2

Do đó, ta có:




S   2  cos x  sin x  dx    sin x  cos x  dx
0

2





  sin x  cos x  02    cos x  sin x  

2

2 2

Vì đơn vị của diện tích là 2 

3



S 2 2

cm2 
6



6



cm2 

cm2 nên ta có
12



2cm2 .

 Tính thể tích của vật thể
Ví dụ 1.20. Tìm thể tích của hàm số y  x 2 khi y  0, x  2 xoay quanh
trục hoành.
Lời giải: Theo bài toán ta có V     x 2  dx    x 4dx 
2

0

2

2

0

32
.
5

1.3. Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm
của HS khi giải toán
Trong dạy học toán ở phổ thông, đã có rất nhiều quan điểm và ý kiến
nêu ra về những sai lầm của HS. Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở
trường phổ thông đã quan tâm đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN16