Tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Đỗ Đức Thuận

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Được sự phân công của Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và
sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn TS. Đỗ Đức Thuận tôi đã thực hiện đề tài "Tính điều khiển được
của hệ tuyến tính rời rạc".

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn,
giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Khoa học Tự
nhiên.

Xin chân thành cám ơn thầy giáo hướng dẫn TS. Đỗ Đức Thuận đã tận tình, chu đáo hướng dẫn
tôi thực hiện khóa luận này.

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng do bản thân vẫn còn hạn chế nên khóa luận này không thể
tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tôi rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn
đồng nghiệp để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.

Tôi xin chân thành cám ơn!
Hà nội, tháng 3 năm 2017.
Nguyễn Lý Vinh Hạnh

1


Mục lục
Lời mở đầu

1

Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt

2

1 Hệ điều khiển tuyến tính
1.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . .
1.1.1 Khái niệm điều khiển được . . . . . . . . . . .
1.1.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được . . . . . .
1.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Mô hình rời rạc và khái niệm điều khiển được
1.2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển được . . . . . .
2 Hệ
2.1
2.2
2.3

.
.
.
.
.
.

3
3
3
4
11
11
13

tuyến tính rời rạc có trễ
Khái niệm điều khiển được tương đối . . . . . . . . . . .
Đặc trưng cho tính điều khiển được tương đối . . . . . .
Dạng của hàm điều khiển được . . . . . . . . . . . . . .

23
23
24
31

.
.
.
.
.
.

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

i


Lời mở đầu
Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đây

khi sự thực hiện các điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phân
tích một cách toán học. Từ đó, nó đóng vai trò rất quan trọng trong
nhiều ngành khoa học, đặc biệt là trong kĩ thuật và toán học (xem
[3, 4, 5, 6]). Ví dụ các vấn đề như làm sao để điều khiển tàu vũ trụ, tên
lửa, điều kiển kinh tế của một quốc gia, điều khiển robot, ... Khi xét
các hệ rời rạc, mô hình tuyến tính thuần nhất có thể biểu diễn bởi hệ
phương trình sai phân
x(n + 1) = Ax(n),

(1)

trong đó A là ma trận cỡ k × k. Hệ này không có yếu tố nào tác động tới
các biến x1 (n), x2 (n), ..., xk (n). Do đó ta không thể điều khiển hệ trên
được. Vì vậy, một mô hình điều khiển của hệ rời rạc tuyến tính được
phát triển có dạng
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n),

(2)

trong đó B là ma trận cỡ k × m, được gọi là ma trận đầu vào và
u(n) là một vector m × 1. Trong hệ này, ta có m biến điều khiển
u1 (n), u2 (n), ..., um (n), trong đó m ≤ k.
Trong luận văn này chúng tôi tập trung trình bày tính điều khiển được
của hệ tuyến tính rời rạc. Nội dung khóa luận gồm phần mở đầu, phần
kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và 2 chương với nội dung sau:
Chương 1: Trình bày tính điều khiển được của hệ tuyến tính.
Chương 2: Trình bày tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc
có trễ.
1

Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt
R
C
Rn
Rn×m

rankA
Im(A),
rangeA
L1 [0, T ; Rm ]
S(t)
QT
[A|B]
Z+
Zqs
eBk
m

tập các số thực
tập các số phức
không gian Euclide n chiều
tập các ma trận n hàng m cột
hạng của ma trận A
ảnh của ma trận A
tập các hàm khả tích địa phương từ [0; T ] vào Rm
ma trận nghiệm cơ bản
ma trận điều khiển được Gramian
ma trận [B, AB, . . . , An−1 B]
tập số nguyên dương

tập {s, s + 1, ..., q} trong đó s = −∞ hoặc q = ∞
ma trận rời rạc có trễ dạng mũ

2


Chương 1

Hệ điều khiển tuyến tính
1.1

Hệ điều khiển tuyến tính liên tục

Trong mục này, chúng tôi trình bày ngắn gọn các kết quả về tính điều
khiển được của hệ điều khiển tuyến tính liên tục, dựa trên tài liệu tham
khảo [7].
1.1.1

Khái niệm điều khiển được

Hệ điều khiển tuyến tính liên tục được mô tả bởi phương trình vi phân
dy
= Ay(t) + Bu(t),
dt

y(0) = x ∈ Rn , u(t) ∈ Rm

(1.1)

với A : Rn → Rn , B : Rm → Rn là các toán tử tuyến tính, u(t) là hàm

khả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L1 [0, T ; Rm ] với mọi T > 0. Ta đã biết
phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất
t

S(t − s)Bu(s)ds,

y(t) = S(t)x +
0

ở đây S(t) = eAt =

∞
n=0

An n
n! t

là ma trận nghiệm cơ bản.

Định nghĩa 1.1.1. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a
trong thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trên [0, T ] sao
cho phương trình (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.
Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0.
3


Định nghĩa 1.1.2. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a hay
trạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trong
thời gian T > 0 nào đó.
Định nghĩa 1.1.3. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được trong thời gian

T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trong
thời gian T.
Định nghĩa 1.1.4. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được nếu b và a là
hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a.
1.1.2

Đặc trưng cho tính điều khiển được

Một hàm bất kỳ u(.) xác định trên [0; +∞) khả tích địa phương và có
các giá trị trong Rn sẽ được gọi là điều khiển hoặc đầu vào của hệ (1.1).
Nghiệm tương ứng của phương trình (1.1) sẽ được ký hiệu là y x,u (.) để
nhấn mạnh sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x và đầu vào u(.). Ta
nói một điều khiển u chuyển một trạng thái a tới trạng thái b nếu tồn
tại thời điểm T > 0 sao cho
y a,u (T ) = b.

(1.2)

Khi đó trạng thái a bị chuyển sang trạng thái b tại thời điểm T hay
trạng thái b đạt được từ trạng thái a tại thời điểm T . Mệnh đề dưới đây
nêu lên công thức điều khiển chuyển từ a tới b. Trong công thức này ma
trận QT gọi là ma trận điều khiển được Gramian:
T

S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr, T > 0.

QT =
0

QT là đối xứng và xác định không âm.

Bổ đề 1.1.1. Giả sử với T > 0 nào đó, ma trận QT không suy biến
khi đó với mọi a, b ∈ Rn điều khiển u(s) = −B ∗ S ∗ (t − s)Q−1
T (S(T )a −
b), s ∈ [0, T ] dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b trong thời
gian T , tức là với điều khiển như trên hệ (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn
y(0) = a, y(T ) = b.
4


Chứng minh. Ta có
t

S(t − s)Bu(s)ds

y(t) = S(t)a +
0
t

= S(t)a −
0

S(t − s)BB ∗ S ∗ (t − s)Q−1
T (S(T )a − b)ds.

Dễ thấy y(0) = S(0)a = a.
T

y(T ) = S(T )a −
0

S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)ds Q−1
T (S(T )a − b)

= S(T )a − QT Q−1
T (S(T )a − b)
= b.

Bổ đề 1.1.2. Nếu mọi trạng thái b ∈ Rn đều đạt được từ 0, khi đó ma
trận QT không suy biến với mọi T > 0
Chứng minh. Xét
T

LT u =

S(r)Bu(T − r)dr.
0

Suy ra LT u = y u (t) trong đó y u (t) là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn
y u (0) = 0. Đặt ET = LT (L1 [0, T ; Rm ]) là không gian véc tơ con của Rn .
Vì mọi b ∈ Rn đều đạt được từ 0 nên ∪T >0 ET = Rn . Nếu T < T thì
ET ⊂ ET , từ đó suy ra tồn tại T0 sao cho ET = Rn , ∀T ≥ T0 . Với mọi
T > 0, v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ] ta có
T

T
∗

QT v, v =

∗

B ∗ S ∗ (r)v 2 dr

S(r)BB S (r)dr v, v =
0

0

T

u(r), B ∗ S ∗ (T − r)v dr.

LT u, v =
0

Vì thế nếu QT v = 0 với v nào đó thuộc Rn , T > 0 thì hàm B ∗ S ∗ (r)v
đồng nhất bằng 0 trong [0, T ]. Do hàm f (r) = B ∗ S ∗ (r)v là hàm giải
tích (có thể khai triển thành chuỗi Taylor vô hạn) và f (r) = 0 với mọi
r ∈ [0, T ] cho nên f (r) phải bằng 0 với mọi r ∈ R+ . Từ công thức biểu
diễn của LT suy ra LT u, v = 0, ∀u, ∀T > 0. Tức là v⊥ET ∀T > 0 mà
5


∪T >0 ET = Rn . Do đó, v⊥Rn . Vậy v = 0, hay QT là không suy biến với
mọi T > 0.
Bổ đề 1.1.3. Im(LT ) = Im(ln ) với mọi T > 0. Trong đó,
T

LT u =

S(r)Bu(T − r)dr
0

ln (u0 , u1 , ..., un−1 ) = Bu0 + ABu1 + ... + An−1 Bun−1
Chứng minh. ∀v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ], uj ∈ Rm , j = 0, 1 . . . , n − 1 ta
có:
T

u(s), B ∗ S ∗ (T − s)v ds,

LT u, v =
0

ln (u0 , . . . , un−1 ), v = u0 , B ∗ v + . . . + un−1 , B ∗ (A∗ )n−1 v .
Xét v nào đó, giả sử ln (u0 , . . . , un−1 ), v = 0, ∀u0 , . . . , un−1 ∈ Rm . Suy
ra
B ∗ v = . . . = B ∗ (A∗ )n−1 v = 0.
Theo Định lý Cauley - Hamilton (A∗ )n + a1 (A∗ )n−1 + . . . + an In = 0. Suy
ra
n

∗ n

n−1

∗ n−k

(A ) = −

ak (A )

ck (A∗ )k .

=

k=1

k=0

Bằng truy hồi thu được
n−1
∗ n+l

(A )

cl,k (A∗ )k , ∀l ≥ 0,

=

cl,k ∈ C.

k=0

Từ đó suy ra B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó
∞
∗

∗

∗ A∗ t

B S (t)v = B e

tk
B (A ) v = 0, ∀t ≥ 0.
k!
∗

v=
k=0

∗ k

Suy ra
T

u(s), B ∗ S ∗ (T − s)v ds = 0, ∀u ∈ L1 [0, T ; Rm ], ∀T > 0.

LT u, v =
0

6


Ngược lại, giả sử LT u, v = 0, ∀u ∈ L1 [0, T, Rm ]. Suy ra B ∗ S ∗ (t)v = 0
với mọi t ∈ [0, T ]. Đặt f (t) = B ∗ S ∗ (t)v. Suy ra f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N. Suy
ra B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó
ln (u0 , . . . , un−1 ), v = 0, ∀u0 , . . . , un−1 ∈ Rm .
Vậy Im(LT )⊥ = Im(ln )⊥ , điều này tương đương với Im(LT ) = Im(ln ).
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử rằng với T > 0, ma trận QT không suy biến.

Khi đó, trong tất cả các điều khiển u(.) chuyển a tới b tại thời điểm T
T
điều khiển u tối thiểu tích phân 0 |u(s)|2 ds. Hơn nữa,
T
0

|u(s)|2 ds = Q−1
T (S(T )a − b), S(T )a − b .

(1.3)

Chứng minh. Ta có (1.3) là hệ quả của phép tính đơn giản sau:
T

T
2

|u(s)| ds =
0

0

2
|B ∗ S ∗ (T − s)Q−1
T (S(T )a − b)| ds

T
−1
S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)(Q−1
T (S(T )a − b))ds, QT (S(T )a − b)

=
0

−1
= QT Q−1
T (S(T )a − b), QT (S(T )a − b)

= Q−1
T (S(T )a − b), (S(T )a − b) .
Gọi u(.) là điều khiển bất kỳ từ a tới b tại thời điểm T . Giả sử rằng u(.)
khả tích cấp 2 trên [0; T ]. Khi đó,
T

T

u(s), B ∗ S ∗ (T − s)Q−1
T (S(T )a − b) ds

u(s), u(s) ds = −
0

0
T

S(T − s)Bu(s)ds, (Q−1
T (S(T )a − b))

=−
0

= S(T )a − b, Q−1
T (S(T )a − b) .
Do đó

T
0

u(s), u(s) ds =

T

u(s), u(s) ds. Từ đó, ta có

T
2

0

T
2

|u(s)| ds =
Suy ra

T
0

|u(s)| ds +
0

T
2
0 |u(s)| ds

T
2

|u(s)|2 ds.

|u(s) − u(s)| ds ≥
0

là cực tiểu.
7

0


Cho hai ma trận A ∈ M (n, n), B = M (n, m), ký hiệu [A|B] bằng ma
trận [B, AB, . . . , An−1 B] ∈ M (n, nm) chứa các cột lần lượt là B, AB, . . . ,
An−1 B.
Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương
i. Một trạng thái tùy ý b ∈ Rn luôn có thể đạt được từ 0;
ii. Hệ (1.1) là điều khiển được;
iii. Hệ (1.1) điều khiển được tại thời điểm T > 0 cho trước;
iv. Ma trận QT không suy biến với một vài T > 0;
v. Ma trận QT không suy biến với mọi T > 0;
vi. rank[A|B] = n.
Chứng minh. i −→ v: Áp dụng Bổ đề 1.1.2

v −→ iv: Hiển nhiên.
iv −→ iii: QT không suy biến ở thời gian T > 0 nào đó. Áp dụng Bổ đề
1.1.1 suy ra Hệ (1.1) là điều khiển được trong thời gian T .
iii −→ ii: Hiển nhiên.
ii −→ i: Do hệ là điều khiển được nên ∀b ∈ Rn đều đạt được từ 0.
iii −→ vi: Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó.
Suy ra LT là toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra ln là toàn ánh. Do đó
rank[A|B] = n.
vi −→ i: rank[A|B] = n suy ra ln là toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra LT
là toàn ánh với mọi T > 0. Do đó mọi b ∈ Rn đạt được từ 0.
Ví dụ 1.1. Xét tính điều khiển được của hệ sau
x˙ 1 = x1 + 3x2 + 3u
x˙ 2 = x1 + u
Ta có
A=

1 3
1 0

,

B=

8

3
1

;

rank[A, AB] =

3 6
1 3

= 2, với AB =

6
3

.

Vậy hệ đã cho là điều khiển được (theo điều kiện Kalman).
Ví dụ 1.2. Xét hệ
d(n)
d(n−1)
z
+
a
1 (n−1) z + . . . + an z = u
dt(n)
dt
với điều kiện ban đầu
dz
d(n−1) z
(0) = ξ2 , . . . ,
(0) = ξn .
dt
dt(n−1)

dz
d(n−1) z
Đặt z(t), (t), . . . , (n−1) (t), t ≥ 0 là tọa độ của hàm y(t), t ≥ 0 và
dt
dt
ξ1 , . . . , ξn là tọa độ của vecto x. Khi đó phương trình vi phân trên được
đưa về phương trình vi phân cấp 1
z(0) = ξ1 ,

y(0) = x ∈ Rn

y˙ = Ay + Bu,

trong đó, ma trận A và B có dạng


0
1
... 0
0


 0
0
... 0
0 
 .
..
..
.. 

..
A=
.
.
.
.
.
. 

,


0
... 0
1 
 0
−an −an−1 . . . −a2 −a1
suy ra


0

 .. 
 . 
0 1



 0 
0 0



 . .


. .
Aj B =  1  , và rank [A|B] = rank 
 . .



 c1j 
0 1


 .. 
1 c11
 . 
cjj



0
0
..
.



 

 
 

B=
 
 
0
1

...
...

0
1
..
.

...
. . . cn−3,n−2
. . . cn−2,n−2

1




cn−1,1 

..
.

.


cn−2,n−1 
cn−1,n−1

Vậy do điệu kiện hạng Kalman phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
với hệ số hằng là điều khiển được.
9


Định lý 1.1.2. (Điều kiện hạng Hautus) Hệ (1.1) là điều khiển được
khi và chỉ khi
rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C.
Chứng minh. Một cách tổng quát ta xét A ∈ Cn×n , B ∈ Cn×m . Giả sử
hệ (1.1) là điều khiển được. Khi đó bởi điều kiện hạng Kalman suy ra
B Cm + AB Cm + . . . + An−1 B Cm = Cn .
Mặt khác ta có Ak Bu = (A − λI + λI)k Bu = (A − λI)v + λk Bu với mọi
u ∈ Cm . Suy ra Ak B Cm ⊂ (A − λI)Cn + B Cm với mọi k. Do đó
Cn = B Cm + AB Cm + . . . + An−1 B Cm = (A − λI)Cn + B Cm ,

điều này tương đương với rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C. Ngược
lại, giả sử rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C. Gọi λ1 , λ2 , . . . , λn là
các nghiệm của phương trình Pn (λ) = det[A − λI] = 0. Theo Định lý
Caley-Hamilton ta có
P (A) = (A − λ1 I)(A − λ2 I) . . . (A − λn I) = 0.
Đặt Tk = (A − λ1 I)(A − λ2 I) . . . (A − λk I). Ta sẽ chứng minh bằng qui
nạp
Tk Cn + B Cm + AB Cm + . . . + Ak−1 B Cm = Cn với mọi k.
Rõ ràng điều này đúng với k = 1 vì rank[A − λ1 I, B] = n. Ta có

Cn = (A − λk+1 I)Cn + B Cm

= (A − λk+1 I)(Tk Cn + B Cm + AB Cm + . . . + Ak−1 B Cm ) + B Cm
⊂ Tk+1 Cn + B Cm + AB Cm + . . . + Ak B Cm .
Suy ra đẳng thức đúng với k + 1. Với k = n thì Tn = 0 nên ta thu được
B Cm + AB Cm + . . . + An B Cm = Cn
Do vậy rank[A|B] = n cho nên hệ (1.1) là điều khiển được.
Ví dụ 1.3. Xét hệ điều khiển x˙ = Ax + Bu với A =
10

0 1
1
,B =
.
1 0
0


−λ 1 1
= 2 với mọi λ ∈ C. Vậy bởi
1 −λ 0
điều kiện hạng Hautus hệ này là điều khiển được.

Ta có rank[A − λI, B] = rank

1.2

Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc

Trên thực tế các giữ kiện đầu vào không được cung cấp giống như một

hàm liên tục theo biến thời gian vì vậy một mô hình khác của hệ điều
khiển là hệ điều khiển rời rạc ra đời. Các kết quả trong mục này được
trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [2].
1.2.1

Mô hình rời rạc và khái niệm điều khiển được

Xét hệ rời rạc có dạng
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n),

(1.4)

trong đó B là ma trận cỡ k ×m. B được gọi là ma trận đầu vào và u(n) là
một vector m × 1. Trong hệ này, ta có m biến điều khiển u1 (n), u2 (n), ...,
um (n), trong đó m ≤ k. Một hệ liên tục với điều khiển hằng từng khúc
có thể xem như một hệ rời rạc. Thật vậy, xét hệ phương trình vi phân
ˆ x(t) + Bu(t),
ˆ
xˆ˙ (t) = A(t)ˆ

(1.5)

Với u(t) = u(k), t ∈ [kT, (k + 1)T ]. Đặt
x(k) = xˆ(kT ).

(1.6)

Dễ thầy phương trình (1.5) có nghiệm với t ∈ [kT, (k + 1)T ] được cho
bởi công thức
t

ˆ
At

ˆ

ˆ
eA(t−τ ) Bu(τ
)dτ.

x(t) = e x(kT ) +

(1.7)

kT

Tại t = (k + 1)T kết hợp với (1.6) và (1.7), ta có
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),

(1.8)

trong đó
ˆ

A = eAT ,

ˆ ˆ
B = T eAT B.
11

(1.9)


Ví dụ 1.4. Dòng điện DC của mô tơ có thể được mô hình hóa bởi phương
trình vi phân
1
K
x(t)
˙
= − x(t) + u(t),
τ
τ
trong đó, x là vận tốc góc của mô tơ, K và τ là hằng số.
Mô hình rời rạc tương ứng trong trường hợp này là
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
T
ˆ ˆ
ˆ
− Tτ
= KT
.
e
trong đó, A = eAT = e− τ và B = T eAT B
τ
Trong phần này, ta quan tâm đến vấn đề có thể điều khiển hệ từ trạng
thái ban đầu cho trước đến một trạng thái bất kỳ trong một khoảng thời
gian hữu hạn hay không. Nói một cách khác, ta mong muốn xác định
được tính điều khiển được của hệ. Cho tới năm 1960, các phương pháp
biến đổi là công cụ chính trong việc đánh giá và thiết kế hệ điều khiển.
Vào năm 1960, nhà toán học, kỹ sư người Thụy Sỹ R.E. Kalman đã đưa

ra lý thuyết điều khiển hiện đại bằng phương pháp không gian trạng
thái. Sau này phương pháp không gian trạng thái đã trở thành công cụ
chính cho ngành lý thuyết điều khiển hiện đại.

Định nghĩa 1.2.1. Hệ (1.4) được gọi là điều khiển được nếu với mọi
n0 ∈ Z + , mọi trạng thái bất kỳ x(n0 ) = x0 và trạng thái kết thúc cho
trước xf , tồn tại thời gian hữu hạn N > n0 và hàm điều khiển u(n), n0 <
n ≤ N sao cho x(N ) = xf .
Chú ý 1.1. Nếu hệ (1.4) điều khiển được thì ta gọi cặp ma trận {A, B}
là cặp ma trận điều khiển.
Nói cách khác, tồn tại một dãy số đầu vào u(0), u(1), ..., u(N − 1) sao
cho áp dụng vào hệ (1.4) cho ra kết quả x(N ) = xf .
Ví dụ 1.5. Xét hệ bị khống chế bởi các phương trình
x1 (n + 1) = a11 x1 (n) + a12 x2 (n) + bu(n),
x2 (n + 1) = a22 x2 (n).

12


Ở đây,
A=

a11 a12
,
0 a22

B=

b
.

0

Ta có thể dễ dàng nhận ra rằng hệ này không hoàn toàn điều khiển
được vì u(n) không thể tác động lên biến x2 (n). Hơn thế nữa, x2 (n)
được định nghĩa trong phương trình số hai có công thức tổng quát là
x2 (n) = an22 x2 (0).
1.2.2

Đặc trưng cho tính điều khiển được

Ví dụ trên cho thấy ta có thể xác định tính điều khiển được của một hệ.
Tuy nhiên, đối với các hệ phức tạp, ta sẽ nghiên cứu một vài tiêu chuẩn
đơn giản hơn để xét tính điều khiển được của hệ.
Định nghĩa 1.2.2. Ma trận điều khiển W của hệ (1.4) là ma trận
k × km được cho bởi công thức sau
W = [B, AB, A2 B, ..., Ak−1 B].

(1.10)

Ma trận điều khiển đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết điều
khiển. Ta có thể thấy trong kết quả quan trọng dưới đây
Định lý 1.2.1. Hệ (1.4) là điều khiển được nếu và chỉ nếu rank W = k
Trước khi chứng minh, ta có một vài nhận xét về định lý trên. Thứ
nhất, ta xét trường hợp đơn giản khi hệ chỉ có một biến đầu vào và do
đó ma trận đầu vào B chỉ là vector b có cỡ m × 1. Do đó ma trận điều
khiển trong trường hợp này là ma trận k × k
W = [b, Ab, ..., Ak−1 b].
Hệ trên điều khiển được khi W có hạng là k, tức là ma trận W không
suy biến hay các cột của nó độc lập tuyến tính. Trong trường hợp tổng
quát, điều kiện điều khiển được là trong km cột, có k cột là độc lập

tuyến tính. Bây giờ chúng ta thử vận dụng định lý trên qua ví dụ sau.
Ví dụ 1.6. Xét hệ
y1 (n + 1) = ay1 (n) + by2 (n),
13


y2 (n + 1) = cy1 (n) + dy2 (n) + u(n),
trong đó, ad − bc = 0.
Ở đây,
A=

a b
,
c d

B=

0
.
1

và u(n) là hàm điều khiển vô hướng. Ta có,
W = (B, AB) =

0 b
1 d

có hạng bằng 2 nếu b = 0.
Bổ đề 1.2.1. Với mọi N ≥ k, hạng của ma trận
[B, AB, A2 B, ..., AN −1 B]

bằng với hạng của ma trận điểu khiển W .
Chứng minh. Xét ma trận W (n) = [B, AB, . . . , An−1 B], n = 1, 2, 3 . . ..
Khi n tăng lên 1 thì hoặc rank W (n) giữ nguyên hoặc tăng lên 1. Giả
sử tới một số r > 1 nào đó, ta có rank W (r + 1) = rank W (r). Khi
đó, các cột của ma trận Ar B là độc lập tuyến tính với các cột của
W (r) = [B, AB, . . . , Ar−1 B]. Do đó,
Ar B = BM0 + ABM1 + . . . + Ar−1 BMr−1 ,
trong đó mỗi Mi là ma trận m × m. Nhân cả hai vế của ma trận trên
với A, ta được
Ar+1 B = ABM0 + A2 BM1 + . . . + Ar BMr−1 .
Vậy các cột của ma trận Ar+1 B là độc lập tuyến tính với các cột của ma
trận W (r + 1). Suy ra, rank W (r + 2) = rank W (r + 1) = rank W (r). Cứ
tiếp tục như vậy ta có kết luận sau
rank W (n) = rank W (r) ∀n > r.
Kết luận: rank W (n) tăng lên nhiều nhất là 1 khi n tăng lên 1 cho đến
khi rank W (n) đạt đến giá trị lớn nhất k. Do đó hạng cao nhất của W (n)
14


sẽ tính được sau nhiều nhất là k bước. Nên sau n ≤ k bước, ta sẽ có
rank W = rank W (k) = rank W (N ) ∀N ≥ k.
Chứng minh định lý chính
Điều kiện đủ. Giả sử rank W = k. Ta phải chứng minh hệ (1.4) điều
khiển được. Thật vậy, lấy x0 và xf là hai vector bất kỳ trong Rk . Ta có
k−1
k

Ak−r−1 Bu(r),

x(k) − A x(0) =

r=0

hay
x(k) − Ak x(0) = W u¯(k),

(1.11)

trong đó,



u(k − 1)


u(k − 2)

u¯(k) = 
 ... 


u(0)
do rank W = k, rangeW = Rk . Do đó nếu ta lấy x(0) = x0 và x(k) = xf ,
thì xf − Ak x0 ∈ rangeW . Vì vậy, xf − Ak x0 = W u¯ với một số vector
u¯ ∈ Rk . Dẫn đến hệ (1.4) điều khiển được.
Điều kiện cần. Giả sử hệ (1.4) điều khiển được và rank W < k. Sử
dụng bổ đề ở trên ta có thể kết luận tồn tại r ∈ Z + sao cho
rank W (1) < rank W (2) < ... < rank W (r) = rank W (r+1) = ... = rank W.
Hơn thế nữa, rank W (n) = rank W với mọi n > k. Và do W (j + 1) =
(W (j), Aj B), nên ta có
rangeW (1) ⊂ rangeW (2) ⊂ .... ⊂ rangeW (r)

= rangeW (r + 1) = ... = rangeW = ... = rangeW (n)
với mọi n > k.
Do rank W < k, rangeW = Rk . Do đó tồn tại ξ ∈
/ rangeW (n) với mọi
n ∈ Z + . Nếu ta lấy x0 = 0 trong công thức (1.11) với k = n, ta có
x(n) = W (n)¯
u(n). Do đó với ξ = x(n) với một số n, ξ phải trong miền
giá trị của W (n). Nhưng ξ ∈
/ rangeW (n) với mọi n ∈ Z + , suy ra ξ có
15


thể không đạt tới giá trị mong muốn trong thời gian hữu hạn. Điều này
mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, rank W = k.
Ví dụ 1.7. Xét hệ điều khiển x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n) với
A=

0 1
,
0 0

B=

1
.
0

(1.12)

Bây giờ, với

x(0) = x0 =

x01
x02

Ta có
0 1
0 0

x(1) = Ax0 + Bu0 =

x01
x02

+

1
u(0) =
0

x02
0

+

u(0)
.
0

Do đó, nếu ta lấy u(0) = −x02 , thì ta có x(1) = 0. Do đó, hệ (1.12) điều

khiển được tới 0. Tuy nhiên, ta cũng thấy
rank(B, AB) = rank

1 0
0 0

= 1 < 2.

Do đó theo định lý trên, hệ (1.12) không điều khiển được.
Ví dụ 1.8. Xét hệ y(n + 1) = Ay(n) + Bu(n) với
A=

Bây giờ W (1) =

1
1

0 1
,
2 −1

B=

1
.
1

có hạng bằng 1, và W (2) =

1 1

1 1

cũng có

1 1
. Theo
0 0
định lý chính, hệ trên không điều khiển được. Tuy nhiên chú ý rằng
−4
1
điểm
là đạt tới được từ
với hàm điều khiển là u(n) = −2
0
2
trong thời gian n = 2.
hạng bằng 1 do ma trận này tương đương với ma trận

16


Ví dụ 1.9. Một xe đẩy chở một vật nặng có khối lượng m bị ghim vào
tường thông qua một hệ giao động. Phương trình chuyển động của hệ
này có dạng
m¨
x + bx˙ + kx = u,
(1.13)
trong đó k và b tương ứng là độ cứng (stiffness) và hệ số giao động tắt
dần (damping) của hệ giao động và u là lực tác dụng.
Phương trình (1.13) có thể viết lại dưới dạng phương trình trạng thái

như sau
x˙
0
1
x
0
=
+
u.
(1.14)
v˙
−k/m −b/m v
1/m
Do đó,
Aˆ =

0
1
,
−k/m −b/m

ˆ=
B

0
.
1/m

Trong trường hợp tổng quát, ta sẽ chọn trước một chu kỳ lấy mẫu T,
các ma trận A và B của hệ rời rạc tương đương với hệ giao động trên

được cho bởi công thức
ˆ

A = eAT ,

ˆ ˆ
B = T eAT B.

Như vậy các tính toán của chúng ta cần tìm ra ma trân mũ của ma trận
ˆ Điều này không quá khó vì ít nhất Aˆ có thể chéo hóa được, tức là ta
A.
có thể tìm ra ma trận P sao cho
Aˆ = P DP −1 ,
trong đó D là ma trận đường chéo


λ1 . . . 0


D =  ... . . . ...  .
0 . . . λk
Theo định nghĩa ta có
ˆ
ˆ + 1 Aˆ2 T 2 + 1 Aˆ3 T 3 + ...
eAT = I + AT
2!
3!
Thay vào (1.15) ta có
ˆ
eAT = P eDT P −1 ,

17

(1.15)

(1.16)


Do đó,
ˆ

eAT


eλ1 T . . .

= P  ... . . .
0


0
..  P −1 .
. 

. . . eλk T

Quay trở lại ví dụ, chú ý nếu m = 1, k = 2 và b = 3 thì
0 1
,
−2 −3

Aˆ =

ˆ= 0 .
B
1

Suy ra, Aˆ có thể viết dưới dạng của (1.15) trong đó
D=

−1 0
,
0 −2

P =

1 1
.
−1 −2

Do đó, ta có
ˆ

A = eAT = P

2e−T − e−2T
e−T − e−2T
e−T
0
−1
,

P
=
−2e−T + 2e−2T −e−T + 2e−2T
0 e−2T
ˆ
AT

B = Te

e−T − e−2T
.
−e−T + 2e−2T

ˆ=T
B

Ma trận điều kiển của hệ rời rạc tương đương có thể kiểm tra bằng cách
tính
e−T − e−2T
e−2T − e−4T
W = B AB = T
.
−e−T + 2e−2T −e−2T + 2e−4T
Kiểm tra định thức của W, ta có
detW = −T 2 e−4T (1 − e−T + e−2T ).
Và detW = 0 khi và chỉ khi T = 0. Do đó xe đẩy có thể điều khiển được
với mọi khoảng chu kỳ lấy mẫu khác 0.
Ví dụ 1.10. Bây giờ, xét phương trình sai phân cấp 2
z(n + 2) + p1 z(n + 1) + p2 (n) = u(n).
Phương trình này tương đương với hệ

x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n),
18


trong đó
A=

0
1
,
−p2 −p1

0
,
1

B=

x=

z(n)
.
z(n + 1)

Dễ thấy
0 1
1 −p1

W (2) =

có hạng bằng 2 với mọi giá trị của p1 và p2 . Như vậy hệ này luôn luôn
hoàn toàn điều khiển được.
Ta có thể mở rộng ví dụ trên thành phương trình bậc k
z(n + k) + p1 z(n + k − 1) + ... + pk z(n) = u(n).

(1.17)

Phương trình này tương đương với hệ
x(n + 1) = Ax(n) + bu(n),
trong đó

0
1
0

 0
0
1
 .
..
..
.
A=
.
.
 .

0
0
 0

−pk −pk−1 −pk−2

...
...
..
.

0
0
..
.







z(n)




0



z(n
+
1)

..  , x(n) = 
 , B = ek = 
.
.
..



.



... 1 
1
z(n + k − 1)
. . . −p1

Chú ý


0
0
..
.










,
AB = 




 1 
−p1

 
0
 
0
 
 ... 
 
2
A B =  ,
1
 
∗
 
∗

...,

trong đó ∗ là một số tổ hợp của pi . Do đó,



0 0 ... 1
. .

 .. .. . . . ... 

W =
0 1 . . . ∗


1 ∗ ... ∗
19

 
1
 
∗

Ak−1 B = 
 ...  ,
 
∗


có hạng là k. Suy ra, phương trình trên hoàn toàn điều khiển được.
Điều ngược lại cũng đúng. Tức là nếu hệ phương trình x(n + 1) =
Ax(n) + Bu(n) với vector (k × 1) B = b là hệ hoàn toàn điều khiển được
thì nó có thể chuyển về dạng của phương trình sai phân bậc k (1.17)
thông qua phép chuyển đơn giản. Để thực hiện mục đích này, ta bắt đầu

với ma trận điều khiển (k × k) W = (b, Ab, ..., Ak−1 b). Theo định lý về
tính điều khiển được, ta có hệ x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n) là điều khiển
được nếu W không suy biến. Mặt khác ta có
 
w1
 
 w2 

W −1 = 
 ...  .
 
wk

Ta có thể khẳng định rằng tập wk , wk A, ..., wk Ak−1 được sinh bởi hàng
cuối cùng của ma trận W −1 là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử tồn
tại các hằng số a1 , a2 , ..., ak sao cho
a1 wk + a2 wk A + ... + ak wk Ak−1 = 0.

(1.18)

Nhân ma trận b vào bên phải hai vế của phương trình (1.18) ta được
a1 wk b + a2 wk Ab + ... + ak wk Ak−1 b = 0.

(1.19)

Do W −1 W = I, nên wk b = wk Ab = ... = wk Ak−2 b = 0 và wk Ak−1 b = 1.
Vậy kết hợp với (1.19) ta được kết quả ak = 0. Lập lại lập luận như vậy
sau khi nhân cả hai vế của phương trình (1.18) với Ab (và sử dụng dữ
kiện ak = 0 ) sẽ có ra kết quả là ak−1 = 0. Tiếp tục như vậy, ta chứng
minh được ai = 0 với mọi 1 ≤ i ≤ k. Như vậy ta đã chứng minh xong

khẳng định ban đầu tập wk , wk A, ..., wk Ak−1 là độc lập tuyến tính. Do
đó ma trận k × k


wk


 wk A 

P =
 ... 


wk Ak−1
20


không suy biến. Định nghĩa sự thay đổi các tọa độ trong hệ phương trình
sai phân ban đầu được tính qua công thức sau
z(n) = P x(n).

(1.20)

Vậy hệ phương trình sai phân ban đầu có thể viết lại là
z(n + 1) = P AP −1 z(n) + P bu(n),
hoặc
ˆ
z(n + 1) = Az(n)
+ ˆbu(n),

(1.21)

trong đó
Aˆ = P AP −1 ,

ˆb = P b.

Dễ thấy
 
0
 
0
 
ˆb = P b =  ...  .
 
 
0
1
Bây giờ ta có


Aˆ = P AP −1



wk A


wk A2  −1


=
 ...  P .


k
wk A

Do wk A là hàng thứ 2 của P nên
wk AP −1 = 0 1 0 . . . 0 .
Tương tự
wk A2 P −1 = 0 0 1 . . . 0 .
...
wk Ak−1 P −1 = 0 0 0 . . . 1 .
Tuy nhiên,
wk Ak P −1 = −pk −pk−1 . . . −p1 ,
21

(1.22)