Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơron tế bào vào giải phương trình truyền sóng âm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LÊ ĐÌNH DƯƠNG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ
MẠNG NƠRON TẾ BÀO VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG ÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên, 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LÊ ĐÌNH DƯƠNG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ
MẠNG NƠRON TẾ BÀO VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG ÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60. 48. 01. 01

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ ĐỨC THÁI

Thái Nguyên, 2017

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là kết nghiên cứu của riêng tôi, dƣới sự hƣớng dẫn
của giáo viên hƣớng dẫn khoa học TS. Vũ Đức Thái. Các số liệu, kết quả
trình bày trong luận văn là trung thực, bảo đảm tính khách quan. Nội dung
đóng góp mới trong luận văn này cho đến nay chƣa đƣợc báo cáo hay công bố
trên bất kỳ kỷ yếu, tạp chí khoa học nào. Các nội dung trích dẫn đều có tài
liệu tham khảo có nguồn gốc xuất xứ rõ ràng.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Thái Nguyên, ngày

tháng 6 năm 2017

Học viên

Lê Đình Dương


ii

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản
thân còn có sự hƣớng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô, cũng nhƣ sự động viên
ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, thực
hiện luận văn thạc sĩ.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS. Vũ Đức Thái,

ngƣời tận tình hƣớng dẫn em trong suốt thời gian làm luận văn tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo ở khoa Công nghệ
thông tin, trƣờng Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học
Thái Nguyên đã giảng dạy em trong suốt thời gian học tập tại trƣờng và tạo
điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè và
tập thể lớp Cao học CK14B đã cổ vũ động viên em hoàn thành tốt luận văn
của mình.
Tuy đã có những cố gắng nhất định nhƣng do thời gian và trình độ có
hạn nên chắc chắn luận văn này còn nhiều thiếu sót và hạn chế nhất định.
Kính mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn.

Thái Nguyên, ngày
Học viên

Lê Đình Dương

tháng 6 năm 2017


i

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC LỤC ................................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ....................................................................... iii
DANH MỤC CÁC BẢNG........................................................................................ iv
DANH MỤC CÁC HÌNH ..........................................................................................v

MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................4
1.1. Phƣơng trình vi phân và phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng .......................4
1.1.1. Các dạng phƣơng trình đạo hàm riêng .....................................................4
1.1.2. Phân loại các phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai
biến độc lập.........................................................................................................5
1.1.3. Phƣơng pháp sai phân ..............................................................................6
1.1.4. Một số dạng phƣơng trình đạo hàm riêng ................................................9
1.2. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào CNN ......................10
1.3. Phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng nơron
tế bào .....................................................................................................................19
1.4. Giới thiệu về ứng dụng Matlab ......................................................................22
1.4.1. Tổng quan về Matlab ..............................................................................22
1.4.2. Giao diện làm việc ..................................................................................23
1.4.3. Các thao tác cơ bản trên Matlab .............................................................25
CHƢƠNG 2. KIẾN TRÚC MẠNG CNN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SÓNG ÂM ....26
2.1. Giới thiệu chung về dao động cơ học và sóng ...............................................26
2.2. Các khái niệm cơ bản về sóng âm .................................................................28
2.3. Phƣơng trình sóng âm lan truyền trong không gian 3 chiều ..........................29
2.4. Giải phƣơng trình sóng âm bằng công nghệ mạng CNN ..............................29


ii

2.4.1. Mối quan hệ giữa phƣơng trình đạo hàm riêng và CNN ........................29
2.4.2. Điều kiện để PDE giải đƣợc bằng CNN .................................................32
2.4.3. Sử dụng CNN giải bài toán ô nhiễm môi trƣờng...................................36
2.4.4. Phƣơng trình truyền sóng âm 3D và giải trên CNN ...............................41
2.4.5. Lƣu đồ mô tả thuật toán .........................................................................44
CHƢƠNG 3. CÀI ĐẶT MÔ PHỎNG TÍNH TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SÓNG

ÂM 3D TRÊN MATLAB ...................................................................................................... 46
3.1 Phƣơng trình sóng âm 3D và các điều kiện ràng buộc ...................................46
3.2. Điều kiện ban đầu và kết quả tính toán mô phỏng ........................................47
3.2.1. Điều kiện ban đầu ...................................................................................47
3.2.2. Kết quả tính toán mô phỏng ...................................................................47
KẾT LUẬN ...............................................................................................................65
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................67


iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

CNN

Cellula Neural Network

Công nghệ mạng nơron tế bào

CNN-UM

CNN Universal Machine

Máy tính CNN

Partial Differential Equation

Phƣơng trình đạo hàm riêng

FPGA

Field Programable Logic
Array

Ma trận cổng logic lập trình
đƣợc

VLSI

Very Large Scale Intergrated

Chip tích hợp mật độ cao

PDE


iv

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Giá trị ban đầu của U0 và K0 tại vị trí Z = 100 .............................. 48
Bảng 3.2 Giá trị thời điểm t0+ t của U1......................................................... 49
Bảng 3.3 Giá trị của U sau thời gian 30ms. .................................................... 50
Bảng 3.4 Giá trị của U sau thời gian 50ms. .................................................... 51
Bảng 3.5 Giá trị của U sau thời gian 70ms ..................................................... 52
Bảng 3.6. Giá trị đầu vào ở thời điểm t0 tại vị trí Z = 200 .............................. 54

Bảng 3.7. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 10ms........................................ 54
Bảng 3.8. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 30ms ........................................ 55
Bảng 3.9. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 50ms........................................ 56
Bảng 3.10. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 70ms ..................................... 57
Bảng 3.11. Giá trị đầu vào ở thời điểm t0 tại vị trí Z = 300 ............................ 59
Bảng 3.12. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 10ms ..................................... 59
Bảng 3.13. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 30ms ..................................... 60
Bảng 3.14. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 50ms ..................................... 61
Bảng 3.15. Giá trị của hàm sóng sau thời gian 70ms ..................................... 62


v

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Một cell của CNN tuyến tính đơn giản ........................................... 11
Hình 1.2. Kiến trúc CNN chuẩn ..................................................................... 12
Hình 1.3. Dạng đồ thị hàm ra của một tế bào ................................................. 13
Hình 1.4. Kiến trúc làm việc của mạng CNN ................................................. 15
Hình 1.5 CNN không gian bất biến với 3 láng giềng .................................... 16
Hình 1.6. Một số kiến trúc CNN không chuẩn .............................................. 17
Hình 1.7. Kiến trúc CNN hai chiều 3 lớp ...................................................... 17
Hình 1.8: Mô tả một hệ CNN 1D có 5 tế bào ................................................. 22
Hình 1.9 MATLAB desktop .......................................................................... 24
Hình 2.1: Sóng ngang và sóng dọc ................................................................. 27
Hình 2.2. Dạng các templates cho bài toán ô nhiễm khí quyển ...................... 39
Hình 2.3: Mô hình mẫu của phƣơng trình sóng âm 3D ................................. 43
Hình 2.4. Kiến trúc mạch của khối xử lý số học ............................................. 44
Hình 2.5. Lƣu đồ thuật toán tính toán bằng CNN .......................................... 45
Hình 3.1: Mô hình phân tách lớp trong không gian 3D .................................. 46
Hình 3.2. Hình ảnh ban đầu thời điểm t0 của nguồn âm ................................ 48

Hình 3.3. Hình ảnh tại thời điểm sau 0.01s của nguồn âm ............................ 49
Hình 3.4. Hình ảnh tại thời điểm sau 0.03s của nguồn âm ............................ 50
Hình 3.5. Hình ảnh tại thời điểm sau 0.05s của nguồn âm ............................ 51
Hình 3.6. Hình ảnh tại thời điểm sau 0.07s của nguồn âm ............................ 52
Hình 3.7. So sánh hình ảnh của nguồn âm sau mỗi lần tăng t. ...................... 53
Hình 3.8. Hình ảnh tại thời điểm sau 10ms của nguồn âm ............................ 55
Hình 3.9. Hình ảnh tại thời điểm sau 30ms của nguồn âm ............................ 56
Hình 3.10. Hình ảnh tại thời điểm sau 50ms của nguồn âm .......................... 57
Hình 3.11. Hình ảnh tại thời điểm sau 70ms của nguồn âm .......................... 58


vi

Hình 3.12. So sánh hình ảnh của nguồn âm sau mỗi lần tăng t. .................... 58
Hình 3.13. Hình ảnh tại thời điểm sau 10ms của nguồn âm .......................... 60
Hình 3.14. Hình ảnh tại thời điểm sau 30ms của nguồn âm .......................... 61
Hình 3.15. Hình ảnh tại thời điểm sau 50ms của nguồn âm .......................... 62
Hình 3.16. Hình ảnh tại thời điểm sau 70ms của nguồn âm .......................... 63
Hình 3.17. So sánh hình ảnh của nguồn âm sau mỗi lần tăng t. .................... 63
Hình 3.18: So sánh sự lan truyền âm thanh giữa các lớp. ............................... 64


1

MỞ ĐẦU

Với việc tính toán khoa học ngày càng phức tạp và với những số liệu
ngày càng lớn. Do đó đòi hỏi các nhà nghiên cứu cần có những công cụ tính
toán nhanh, có kích thƣớc số lớn, tốc độ cao và có thể xử lý song song để có
thể đáp ứng đƣợc yêu cầu tính toán.

Sự ra đời của công nghệ Grid Computing đã đánh dấu một bƣớc phát
triển mới trong lĩnh vực điện toán hiệu năng cao. Nó cho phép tận dụng năng
lực xử lý, lƣu trữ cùng các tài nguyên nhàn rỗi khác để cung cấp một môi
trƣờng tính toán có năng lực xử lý lớn, khả năng lƣu trữ dồi dào để giải quyết
các bài toán phức tạp.
Phƣơng trình vi phân, phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng là bài toán
có ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật: phản ứng hoá học,
chuyển động trong vũ trụ truyền âm, truyền nhiệt trong kim loại, truyền sóng
điện từ, cơ nhiệt điện, chất lỏng đang là nhu cầu cần thiết trong thực tế và
đang đƣợc quan tâm.
Phƣơng trình vi phân, phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có nhiều
loại, có nhiều cách giải khác nhau nhƣ: phƣơng pháp giải tích, phƣơng pháp
sai phân với các công thức sai phân đã tiến hành cài đặt trên máy PC. Các
máy tính thông thƣờng hiện nay có thể giải đƣợc nhƣng với tốc độ chậm, một
số trƣờng hợp không đáp ứng đƣợc với ứng dụng trong thời gian thực.
Sự ra đời của Công nghệ mạng nơron tế bào (Cellular Neural NetworkCNN) mở ra một hƣớng đi mới cho sự phát triển của khoa học tính toán. CNN
là công nghệ xử lý song song cực mạnh và đa năng. Mạng Nơron tế bào CNN
là một giải pháp mở đầu cho loại máy tính vạn năng xử lý mảng dữ liệu. Một
số nhà nghiên cứu trên thế giới đã thực hiện thành công việc sử dụng công


2

nghệ mạng nơron tế bào vào việc giải phƣơng trình đạo hàm riêng và đạt tốc
độ nhanh hơn hẳn máy PC có cấu hình cao.
Việc áp dụng công nghệ mạng Nơron tế bào CNN vào giải phƣơng
trình vi phân, vi phân đạo hàm riêng với tốc độ rất cao là cần thiết và có nhiều
triển vọng trong tƣơng lai đáp ứng cho các bài toán trong thời gian thực.
Do đó, em đã chọn “Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng Nơron tế bào
vào giải phương trình truyền sóng âm”.

Luận văn này thực hiện nghiên cứu về công nghệ CNN và ứng dụng vào
giải phƣơng trình sóng âm trong không gian 3D. Đề tài này tập trung nghiên cứu
các nội dung sau:
- Nghiên cứu phƣơng trình toán học, kiến trúc điện tử, phƣơng pháp phân
tích bài toán theo công nghệ CNN dựa trên lý thuyết thiết kế mẫu CNN và
tính ổn định của mạng.
- Nghiên cứu về phƣơng trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên điều
kiện ban đầu, phƣơng pháp sai phân Taylor áp dụng vào giải phƣơng trình
sóng âm.
- Xây dựng mô hình kiến trúc mạng CNN cho phƣơng trình sóng âm.
- Cài đặt mô phỏng tính toán và đánh giá kết quả trên công cụ Matlab.
Luận văn nghiên cứu với mục tiêu tìm hiểu một công nghệ mới ứng dụng
trong việc giải phƣơng trình đạo hàm riêng trong lĩnh vực tính toán khoa học.
Đó là một nhu cầu rất quan trọng trong thời đại phát triển khoa học công nghệ
ngày nay, khi mà hầu hết các hiện tƣợng lý hoá sinh trong tự nhiên đƣợc biểu
diễn bởi các phƣơng trình phi tuyến phức tạp mà phƣơng trình đạo hàm riêng
chiếm số lƣợng lớn. Việc giải phƣơng trình sóng âm là một ứng dụng trong
lĩnh vực vật lý hiện đại nghiên cứu sự phân bố, sự chuyển động của các hạt vi
mô để từ đó có cơ chế điều khiển trong các hệ thống vi cơ điện tử trong các


3

thiết bị điện tử, truyền thông hiện đại nhƣ mạng lƣợng tử, công nghệ nano,
siêu dẫn…
Trong nội dung của luận văn chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em
rất mong quý thầy cô và các bạn đọc quan tâm, đóng góp ý kiến, để luận văn
đƣợc hoàn thiện hơn.

4

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Phƣơng trình vi phân và phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng
1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng
Trong các bài toán xuất phát từ khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật
nhiều hiện tƣợng lý hóa xảy ra đƣợc mô tả bằng các phƣơng trình toán học.
Các phƣơng trình mô tả có thể là phƣơng trình đại số, phƣơng trình siêu việt
hoặc phƣơng trình chứa các đạo hàm của hàm cần tìm, khi đó ta có phƣơng
trình vi phân. Nếu ẩn hàm cần tìm là hàm có hơn một biến thì phƣơng trình
đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng hay gọi tắt là phƣơng trình
đạo hàm riêng.
Định nghĩa 1.1. Phƣơng trình đạo hàm riêng là phƣơng trình có chứa đạo
hàm riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [5,6,7]. Ví dụ:
u u u


0
x y z

(1.1)

 2u  2u  2u


u
x 2 y 2 z 2

(1.2)

phƣơng trình (1.1) và (1.2) là các phƣơng trình đạo hàm riêng của hàm chƣa
biết là u(x,y,z);
Cấp của phƣơng trình: là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của
(1.1) là cấp 1; cấp của (1.2) là cấp 2.
Phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và
các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với lũy thừa bậc nhất và không có tích của
chúng với nhau. Dạng tổng quát của phƣơng trình tuyến tính cấp hai đối với
hàm hai biến x,y là:
A( x, y)

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y
)

 D( x, y )  E ( x, y ) F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
x
xy
y
x
y

(1.3)


5

nếu G(x,y)  0 thì phƣơng trình gọi là thuần nhất, nếu không gọi là không
thuần nhất.
Nghiệm của phƣơng trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó
vào phƣơng trình ta đƣợc một đồng nhất thức. Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là
nghiệm của (1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phƣơng trình (1.2).
1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai
biến độc lập
Dạng tổng quát của phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong
đó hàm u( x, y) chƣa biết phụ thuộc hai biến độc lập ( x, y) là
A( x, y)

 2u
 2u
 2u
u
u


2
B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y
)
 D( x, y)  E ( x, y)  F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
xy
x
y
x
y

(1.4)

Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng mọi phƣơng trình có dạng (1.4) nhờ những
phép biến đổi thích hợp có thể đƣa về một trong ba dạng sau:
a) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì bằng các phép biến đổi thích
hợp có thể đƣa phƣơng trình (1.4) trong miền ấy về dạng

 2u  2u
u
u
 2  D1
 E1
 F1u  G1 ( , )
2





(1.5)

Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.5) gọi là phƣơng trình loại eliptic.
b) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.4) trong miền
ấy có thể đƣa về dạng
 2u  2u
u
u
 2  D2
 E2
 F2 u  G2 ( , )
2





(1.6)

Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.6) gọi là phƣơng trình loại hypebolic.
c) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.4) trong miền
ấy có thể đƣa về dạng
 2u
u
u
 D3
 E3
 F3u  G3 ( , )
2




(1.7)

Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.7) gọi là phƣơng trình loại parabolic.


6

1.1.3. Phương pháp sai phân
Trong lĩnh vực toán ứng dụng thƣờng gặp rất nhiều bài toán có liên
quan tới phƣơng trình vi phân thƣờng. Trong mục 1.1.2 ta có thể sử dụng các
phƣơng pháp tìm nghiệm tƣờng minh của bài toán dƣới dạng các công thức sơ
cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trƣờng hợp khác,
đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các
bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tƣờng minh của bài toán không có hoặc
có nhƣng rất phức tạp. Chính vì vậy chúng ta phải nhờ tới các phƣơng pháp

xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Do nhu cầu của thực tiễn và của sự phát triển
lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phƣơng pháp để giải
gần đúng các phƣơng trình vi phân thƣờng (các phƣơng pháp giải tích nhƣ
phƣơng pháp chuỗi Taylor, phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, các phƣơng
pháp số nhƣ phƣơng pháp một bƣớc, phƣơng pháp Ađam, phƣơng pháp
Runghe-Kuta,…) [8,9].
Để tiện trình bày phƣơng pháp ta xét một bài toán cụ thể sau.
Đặt bài toán.
Cho các số a, b với a  b .
QT  a  x  b ; 0  t  T  ;

QT  a  x  b ; 0  t  T .

Tìm hàm số u( x, t ) thoả mãn
u  2 u
Lu 

 f ( x, t )
t x 2

u( x,0)  g ( x)

u(a, t )  g a (t )

u(b, t )  g b (t )

( x, t )  QT

(1.8)

a xb

(1.9)

0t T

Lưới sai phân.
Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt
h

ba
N

xi  a  ih

i  0,1,2,...., N

(1.10)


7



T
M

t j  j.

j  0,1,2,...., M

Ta chia miền QT thành ô bởi những đƣờng thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm

x , t 
i

j

đƣợc gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phƣơng pháp là

tìm nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  . Giá trị h gọi là bƣớc
không gian, giá trị  gọi là bƣớc thời gian.
Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lƣới sai phân trên QT .
Xấp xỉ các đạo hàm.
Áp dụng công thức Taylor ta có
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j 1 )
2



u
( xi , t j )  o( )
t

u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2



 2u

( x i , t j )  o( h 2 )
2
x

(1.11)
(1.12)

Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phƣơng án khác
nhau để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Bài toán sai phân.
Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng vij  u( xi , t j ) .
* Xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )

u
( xi , t j )  o( )

t
u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )  2 u
 2 ( x i , t j )  o( h 2 )
2
h
x

suy ra

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )







u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )


h2
u
 2u

( xi , t j )  2 ( xi , t j )  o(  h 2 ) .
t
x

j
Để tính v i ta đƣa về bài toán sai phân sau:

vij 1  vij

vij1  2vij  vij1
 f ( xi , t j ) i  1..N  1, j  0..M  1 (1.13)

h2
vi0  g ( xi ) i  1..N  1 ; v0j  g a (t j ) v Nj  g b (t j )
j  1..M
(1.14)
;


8

đặt  


h



( 

2

vij 1

2



1
)
2

thì (1.13) đƣợc viết thành:

h
 (1  2 )vij   (vij1  vij1 )   f ( xi , t j )

(1.15)

Từ (1.15) ta thấy nếu biết ba điểm v , vi , v thì tính đƣợc vij 1 với các điều
kiện
đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên cho ở (1.14)
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j ) u
 ( xi , t j 1 )  o( )
* Nếu ta xuất phát từ

t
j
i 1

u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )
h2

thì ta có
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )






j

j
i 1

 2u

 2 ( xi , t j 1 )  o(h 2 )
x

u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )
h2



u
 2u
( xi , t j 1 )  2 ( xi , t j 1 )  o(  h 2 )
t
x

Từ đó ta có bài toán sai phân sau:

vij 1  vij vij11  2vij 1  vij11

 f ( xi , t j 1 ) i  1..N  1, j  0..M  1

h2
vi0  g ( xi )

i  1..N  1

v0j  g a (t j ) v Nj  g b (t j )

j  1..M

Đặt   2 ta đƣa hệ về dạng sau:

h

 vij11  (1  2 )vij 1   vij11  vij   f ( xi , t j 1 )
v0j 1  0.v1j 1
0.v Nj 11

 g a (t j 1 )
 v Nj 1  g b (t j 1 )

i  1..N  1, j  0..M  1

j  0..M  1
j  0..M  1

Từ hệ trên ta thấy nếu biết vij thì ta tính đƣợc vij11 , vij 1 , vij11 với vi0  g ( xi )
Việc giải hệ này đƣợc thực hiện bằng phƣơng pháp truy đuổi ba đƣờng chéo.


9

1.1.4. Một số dạng phương trình đạo hàm riêng
- Phương trình đạo hàm riêng Burgers
Phƣơng trình đạo hàm riêng Burger là phƣơng trình phi tuyến mô tả mật độ
của các hạt chất lỏng chuyển động hỗn độn do nội năng phân tử trong khối chất
lỏng [12]. Giả thiết vận tốc các hạt tăng lên tỷ lệ với mật độ của các hạt.
Phƣơng trình mô tả nhƣ sau :
u( x, t ) 1  2 u ( x, t )
u( x, t )

 u ( x, t )

 F ( x, t )
2
t
R x
x

hoặc viết gọn là:
u 1  2 u
u

u
F
2
t
R x
x

Trong đó:
• Hàm u(x,t) là mật độ trung bình của các hạt trong hệ tọa độ 0x là hàm của
biến không gian x và biến thời gian t.
• F(x,t) là hàm đã biết đặc trƣng cho nguồn nhiệt bên ngoài trao đổi với khối
chất lỏng, nếu F(x,t) =0 coi nhƣ khối chất lỏng không trao đổi nhiệt với bên
ngoài.
• R: là tham số vật lý đặc trƣng cho mỗi chất lỏng.
- Phương trình đạo hàm riêng Lotka volterra.
Phƣơng trình Lotka - Volterra còn đƣợc gọi là một phƣơng trình vi phân
thƣờng [8] đƣợc sử dụng để mô tả sự biến đổi của các hệ thống sinh học mà
trong đó hai loài tƣơng tác với nhau. Trong đó một là động vật ăn thịt và một
đƣợc xem nhƣ con mồi. Các quần thể thay đổi qua thời gian theo cặp phƣơng
trình:

10

trong đó:
• x là số con mồi
• y là số động vật ăn thịt
•

dx dy
;
đại diện cho tốc độ tăng trƣởng của hai quần thể theo thời gian
dt dt

• t là biến thời gian
• α, β, γ, δ :Là các thông số mô tả sự tƣơng tác giữa hai loài.
- Phương trình đạo hàm riêng Black- Scholes:
Phƣơng trình Black Scholes [7] là một phƣơng trình đạo hàm riêng trong
đó miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phẩm phát sinh theo thời gian và
theo sản phẩm sản phẩm nền (underlying asset). Phƣơng trình nhƣ sau:

trên miền

S

[0,+ ),t [0,T]

Trong đó:








N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
S là giá giao ngay (spot price) của tài sản gốc.
K là giá điểm (strike price).
r là lãi suất không rủi ro.
là biến động giá của tài sản gốc.

1.2. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào CNN
 Kiến trúc, mô hình toán học của mạng CNN
Mạng nơ ron tế bào đƣợc L.O. Chua và L. Yang đƣa ra năm 1988 có
kiến trúc chuẩn là một mảng hai chiều các tế bào (cell) mà mỗi tế bào là một
chip xử lý, các tế bào chỉ có liên kết cục bộ với các tế bào láng giềng
[11,12,14]. Các tế bào có cấu tạo giống hệt nhau gồm các điện trở, tụ tuyến
tính; các nguồn dòng tuyến tính và phi tuyến (Hình1.1). Cho đến nay kiến trúc


11

mạng CNN đã đƣợc phát triển đa dạng phức tạp nhƣng vẫn hoạt động dựa
trên nguyên tắc mà Chua và Yang đƣa ra.

vxij

vuij

I

Eij



C

vyij

Rx
Ry



Ixu(ij,kl)

Ixy(ij,kl)

Iyx

Hình 1.1. Một cell của CNN tuyến tính đơn giản
Một ví dụ điển hình của ô C(i,j) của CNN đƣợc chỉ ra trong hình trên.
Các thông số vxij, vyij vuij lần lƣợt là trạng thái, đầu ra, đầu vào của điện áp.
Với điện áp trạng thái vxij đƣợc giả sử rằng điều kiện ban đầu có độ lớn nhỏ
hơn hay bằng 1. Điện áp vào vuij giả sử là hằng số với độ lớn nhỏ hơn hay
bằng 1. Mỗi cell C(i,j) chứa một điện áp nguồn độc lập Eij , một nguồn dòng
độc lập I, 1 tụ tuyến tính C, 2 trở tuyến tính Rx và Ry. Ixy(i,j;k,l) và Ixu(i,j;k,l)
là nguồn dòng điều khiển điện áp tuyến tính với đặc tính I xy(i,j:k,l) = Aij,kl vykl
và Ixu(i,j:k,l) = Bij,kl vukl đối với mọi C(k,l) Nr(i,j). Phần tử phi tuyến duy

nhất trong mỗi một cell là nguồn dòng điều khiển điện áp ngƣợc. Ixy =
(1/R)f(vxy). Cặp hệ số Aij,kl và Bij,kl đƣợc gọi là hệ số hồi tiếp mẫu và hệ số
điều khiển mẫu. Chúng ta giả sử rằng mọi cell đều có cùng tham số và nhƣ
vậy có cùng mẫu (biến không gian). Tên gọi mẫu vô tính đƣợc sử dụng để
nhấn mạnh đặc trƣng này của biến. Điều này có nghĩa là tập 2.(2r+1)2 +1 số
thực Aij,kl và Bij,kl xác định hoàn toàn hoạt động của hệ CNN hai chiều có độ
lớn bất kỳ. Các mẫu có thể đƣợc diễn tả bằng dạng thu gọn bởi các bảng hoặc
ma trận.


12

Một kiến trúc mạng CNN chuẩn bao gồm một mảng hình chữ nhật MxN
các tế bào (cell), mỗi tế bào C(i,j) trong không gian hệ toạ độ Đề các hai
chiều: 0xy với i = 1,…,M; j = 1,…,N (Hình 1.2).

Hình 1.2. Kiến trúc CNN chuẩn
 Các phương trình toán học mô tả mạng
- Phương trình trạng thái:
(1.16)

trong đó:
xi,j(t) là biến trạng thái của tế bào,
Nr là tập các điểm lân cận có tƣơng tác với điểm (i,j) chính là các điểm thuộc
mặt cầu tác dụng Sr.
Hàm ykl(t) là hàm mô tả điện áp ra;
ukl(t) là hàm mô tả điện áp vào.
- Phương trình đầu ra:
yij  f ( xij ) 

1
1
| xij  1|  | xij -1|
2
2

Đây đƣợc gọi là chuẩn phi tuyến

(1.17)


13

Hình 1.3. Dạng đồ thị hàm ra của một tế bào
hàm f(xij) tuyến tính có giá trị trong khoảng xác định [-1,1]

Giá trị hàm ra yij đƣợc đƣa vào mẫu hồi tiếp A để tính toán trạng thái
của tế bào C(i,j) cho bƣớc thời gian tiếp theo, ngoài ra giá trị này còn gửi cho tế
bào lân cận nhƣ thông tin lan truyền. Nhƣ vậy, khi hoạt động hệ CNN vừa xử
lý tín hiệu tại chỗ (local) bằng việc thay đổi trạng thái của tế bào, vừa lan
truyền thông tin qua các lân cận đến toán bộ mạng CNN (global). Mô hình
toán học này thể hiện tính “nơ ron” của CNN nhƣ các nơ ron thần kinh của
cơ thể sống vừa trực tiếp thực hiện các xử lý tại chỗ vừa truyền thông tin lên
não bộ để ra các quyết định xử lý toàn cục.
Thực ra, tùy theo kiến trúc CNN cũng có trƣờng hợp không có sự lan
truyền tín hiệu trong toàn mạng CNN, ta gọi là CNN không ghép cặp. Có
trƣờng hợp hệ CNN không có tín hiệu vào (mẫu B=0) mà chỉ thay đổi trạng
thái ban đầu với các tƣơng tác nội tại trong CNN.
- Trạng thái ban đầu:
xij(0); i=1,…, M; j=1,…, N

- Đầu vào:
Trƣớc khi xử lý, ta phải thiết lập giá trị trạng thái ban đầu cho mỗi tế bào.
Giá trị này đƣợc mô tả bằng phƣơng trình đầu vào:


14

vuij = Eij

1  i  M; 1  j  N

- Các ràng buộc:
Để đảm bảo cho hệ CNN làm việc ổn định cần có một số điều kiện ràng buộc,
những điều kiện nay đã đƣợc nghiên cứu chứng minh về mặt toán học. Ở đây
chỉ đƣa ra điều kiện ràng buộc về điện áp trạng thái ban đầu và điện áp vào.
Dựa trên cơ sở này, khi thiết kế mạch tế bào ngƣời ta chọn các giá trị tụ điện
C và điện trở Rx, Ry cho thích hợp.
|vxij(0)|  1

1  i  M; 1  j  N

|vuij(0)|  1

1  i  M; 1  j  N

- Các tham số giả định:
Giả thiết này thể hiện tính đối xứng và đƣợc gọi là thuộc tính “vô tính” của tế
bào, các tế bào có thể hoán đổi vị trí cho nhau nhƣng không ảnh hƣởng tới
quá trình tính toán, nghĩa là các tế bào có kiến trúc giống hệt nhau giúp cho
việc chế tạo dễ dàng, đơn giản:

A(i,j;k,l) = A(k,l;i,j)

1  i  M; 1  j  N

C > 0; Rx > 0
trong đó C, Rx là điện dung và điện trở tuyến tính trong mạch điện của tế bào.
 Mô hình làm việc của mạng CNN
Theo nhƣ cấu trúc xử lý của tế bào C(i,j) đƣợc mô tả trong Hình 1.1.
Trƣớc khi xử lý ta thiết lập trạng thái ban đầu cho tế bào và các láng giềng.
Sau đó tính hàm ra tại thời điểm t0, theo công thức (1.17). Trạng thái của tế
bào C(i,j) ở thời điểm t1 đƣợc tính theo công thức (1.16) với các mẫu (A,B,z)
tƣơng ứng. Giá trị ngƣỡng z cho thấy nếu tổng trọng số đƣa vào vƣợt qua một
giá trị nào đó thì trạng thái của tế bào mới thay đổi, nếu không tế bào giữ
nguyên trạng thái nhƣ thời điểm t0. Quá trình tính toán đƣợc thực hiện liên tục
và đƣợc đƣa ra khi cần thiết. Tuy nhiên, quá trình này diễn ra rất nhanh, với


15

mạch analog chỉ là thời gian quá độ của mạch điện. Nhƣ vậy công nghệ CNN
có thể thực thi tính toán cho những không gian tính toán lớn và khối lƣợng
tính toán đồ sộ các kết quả đƣa ra gần nhƣ liên tục với thời gian tính bằng mili
giây hoặc thậm chí với công nghệ mạch điện tử VLSI hiện nay có thể tới
micro giây. Mô hình này có thể mô phỏng các xử lý của hệ thần kinh với mật
độ tế bào có độ phân giải lớn.

Hình 1.4. Kiến trúc làm việc của mạng CNN
Mô hình hóa quá trình xử lý trên CNN, chúng ta xét trƣờng hợp tổng
quát đƣợc mô tả trực quan về tƣơng tác giữa các tế bào thông qua mẫu, với hệ
CNN có đủ các tham số. Cấu trúc luồng tín hiệu của một CNN với 3x3 láng

giềng, 2 bóng hình nón bóng mầu tím là biểu tƣợng của trọng số bổ sung của
điện áp đầu vào (giá trị của ma trận trọng số B) và bóng mầu vàng là biểu
tƣợng của trọng số hồi tiếp từ đầu ra (giá trị của ma trận trọng số A) của tế
bào C(k,l)S1(i,j) tới trạng thái điện áp của tế bào trung tâm C(i,j). Cấu trúc
hệ thống của tế bào C(i,j) đƣợc mô tả trong Hình 1.5. Mũi tên in đậm đánh
dấu đƣờng dữ liệu song song từ đầu vào và đầu ra của các tế bào láng giềng
ukl và ykl. Mũi tên trên các đƣờng mảnh theo thứ tự biểu thị ngƣỡng, đầu vào,
trạng thái và đầu ra, z, uij, xij và yij.