GIAO AN BOI DUONG HOC SINH GIOI TOAN 8 CẤP HUYỆN

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Ngày soạn: 20/02/2010
Tuần dạy: 25

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
A. Mục tiêu:
- HS nắm đợc các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các
hằng đẳng thức mở rộng, tam giác Pascal
- Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
B. Phơng tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
a biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)2 = a2 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
(a1 + a2 + ... + an )2 =
= a12 + a22 + ... + a2n + 2(a1a2 + a1a3 + ... + a1an + a2a3 + ... + a2an + ... + an1an);
2. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b);
(a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ;
3. a2 b2 = (a b)(a + b) ;
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) ;
an bn = (a b)(an 1 + an 2b + an 3b2 + + abn 2 + bn 1) ;
4. a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 a3b + a2b2 ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k a2k 1b + a2k 2b2 + a2b2k 2 ab2k
1
+ b2k) ;

II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n Tam giác Pascal
Đỉnh
1
Dòng 1 (n =
1
1
1)
Dòng 2 (n =
1
2
1
2)
Dòng 3 (n =
1
3
3
1
3)
Dòng 4 (n =
1
4
6
4
1
4)
Dòng 5 (n =
1
5
10
10

5
1
5)
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc
thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở
dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3
+ 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y) n thành tổng thì các hệ số của
các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá
lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
và với n = 5 thì :
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức sau:
A = (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3.
Lời giải
A = [(x + y) + z]3 - [(x + y) - z]3 - [z - (x - y)]3 - [z + (x - y)]3
= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] - [(x + y)3 - 3(x + y)2z
+ 3(x + y)z2 - z3] - [z3 - 3z2(x - y) + 3z(x - y)2 - (x - y)3] - [z3 + 3z2(x - y) + 3z(x - y)2
+ (x - y)3]
= 6(x + y)2z - 6z(x - y)2 = 24xyz
Ví dụ 2: Cho x + y = a, xy = b (a2 4b). Tính giá trị của các biểu
thức sau:
a) x2 + y2;

b) x3 + y3;
c) x4 + y4;
d) x5 + y5
Lời giải
a)
b)
c)
d)

x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = a2- 2b
x3 + y3 = (x + y)3- 3xy(x + y) = a3- 3ab
x4 + y4 = (x2 + y2)2- 2x2y2 = (a2 - 2b)2- 2b2 = a4- 4a2b + 2b2
(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x +

y)
Hay: (a2- 2b)(a3- 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5- 5a3b + 5ab2
Chú ý: a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4)- a3b3(a + b)
= (a2 + b2)(a5 + b5)- a2b2(a3 + b3)
Ví dụ 3: Chứng minh các hằng đẳng thức:
a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab- bc- ca);
b) (a + b + c)3- a3- b3- c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3- 3abc- 3a2b- 3ab2
= (a + b + c)[(a + b)2- (a + b)c + c2]- 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2- (a + b)c + c2- 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab- bc- ca)
b) (a + b + c)3- a3- b3- c3 = [(a + b + c)3- a3]- (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2]- (b + c)(b2- bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a +

b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: A = x3- 3(a2 +
b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP .
Vì vậy:
A = x3- 3( S2 - 2P )x + 2( S3 - 3SP ) = (x3 - S3) - (3S2x - 3S3) + (6Px - 6SP)
= (x - S)(x2 + Sx + S2) - 3S2(x - S) + 6P(x - S)
= (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P)
= (x- a- b)[x2 + (a + b)x- 2(a + b)2 + 6ab]
= (x- a- b)[x2 + (a + b)x- 2(a2
Ví dụ 5: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) =
5xyz(x2 + y2 + z2)
Lời giải
Vì x + y + z = 0 nên x + y = -z (x + y)3 = -z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = -z3 3xyz = x3 + y3 + z3
Do đó: 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) +
z3(x2 + y2)
Mà x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = z2- 2xy (vì x + y = -z). Tơng tự:
y2 + z2 = x2- 2yz; z2 + x2 = y2- 2zx.
Vì vậy: 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2- 2yz) + y3(y2- 2zx)
+ z3(z3- 2xy)
= 2(x5 + y5 + z5)- 2xyz(x2 + y2 + z2)

Suy ra: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)
Bài tập
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 + 4x2- 29x + 24;
b) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 1;
c) (x2- x + 2)2 + (x- 2)2;
d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1;
e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x8 + x4 + 1;
b) x10 + x5 + 1;
c) x12 + 1.
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z)3- x3- y3- z3;
b) (x + y + z)5- x5- y5- z5.
4. Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu
thức: A = a4 + b4 + c4.
5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu
thức:
B = (x- 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
6. Cho a2- b2 = 4c2. Chứng minh rằng: (5a- 3b + 8c)(5a- 3b- 8c) =
(3a- 5b)2.
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

7. Chứng minh rằng nếu (x- y)2+(y- z)2+(z- x)2 =(x+ y- 2z)2+(y + z2x)2+(z + x- 2y)2 thì x = y = z.
8. a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y
a b

khác 0 thì = .
x y
b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by +
a b c
cz)2 và x, y, z khác 0 thì = = .
x y z
9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5);
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2);
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
10. Chứng minh các hằng đằng thức sau:
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2;
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
11. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c
+ d)2.
Chứng minh rằng: a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
12. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của biểu
thức: C = a2 + b9 + c1945.
13.

14.

Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau:
a - 3a2 + 5a- 17 = 0 và b3- 3b2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính: D = a +
b.
3

Cho a3- 3ab2 = 19 và b3- 3a2b = 98. Hãy tính: E = a2 + b2.

15. Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các

biểu thức sau:
a) x3 + y3; b) x4 + y4; c) x5 + y5; d) x6 + y6; e) x7 + y7; f) x8 +
y8; g) x2008 + y2008.

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Ngày soạn: 27/02/2010
Tuần dạy: 26

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
A. Mục tiêu:
- HS tiếp tục đợc củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ.
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
B. Phơng tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 5:
3n + 1
a) Chứng minh rằng phân số
là phân số tối giản nN ;
5n + 2
b)

n2 + 4

Cho phân số A =
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ
n+ 5

hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả
các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2)- 5(3n + 1) d hay 1
d d = 1.
3n + 1
Vậy phân số
là phân số tối giản.
5n + 2
29
29
b) Ta có A = n- 5+
. Để A cha tối giản thì phân số
phải cha
n+ 5
n+ 5
tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn
hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N)
hay n = 29k - 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k - 5 < 2009 1 k 69 hay
k{1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các
số này là:
29(1 + 2 + + 69) - 5.69 = 69690.
Ví dụ 6: Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện

1 1 1
1
+ + =
.
a b c a+ b + c
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy
ra rằng:
1
1
1
1
+ 2009 + 2009 = 2009
.
2009
2009
a
b
c
a + b + c2009
Lời giải
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

1 1 1
1
1 1 1
1
+ + =

=0
+ + a b c a+ b + c
a b c a+ b + c
a+ b
a+ b
c(a+ b + c) + ab
+
= 0 (a+ b).
=0

ab
c(a+ b + c)
abc(a+ b + c)
ộa+ b = 0
ộa =- b
ờ
ờ
b + c = 0 ờb =- c đpcm.
(a + b)(b + c)(c + a) = 0 ờ
ờ
ờ
ờc + a = 0
ờc =- a
ở
ở
Ta có:

1
1
1

1
1
1
+
+
=
+
+
=
a2009 b2009 c2009 a2009 (- c)2009 c2009 a2009
1
1
1
= 2009
= 2009
2009
2009
2009
2009
2009
a +b +c
a + (- c) + c
a
1
1
1
1
2009 + 2009 + 2009 = 2009
.
a

b
c
a + b2009 + c2009
Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức:
1 ổ
1 1ử
3 ổ
1
1ử
6 ổ
1 1ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
A=
+
+
+
+
+ ữ
ữ
ữ
ữ
3ỗ
3
3ữ
4ỗ
2

2ữ
5ỗ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗ
(a+ b) ốa
b ứ (a+ b) ốa
b ứ (a+ b) ốa bứ
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 2ab =
S2 - 2P
a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = S3 - 3SP
.
1 1 a+ b S 1
1 a2 + b2 S2 - 2P
+
=
=
;
Do đó :
+ = 2 2 =
;
a b
ab
P a2 b2
ab
P2
1 1 a3 + b3 S3 - 3SP
+ = 3 3 =

.
a3 b3
ab
P3
1 S3 - 3SP 3 S2 - 2P 6 S
Ta có : A = 3 .
+ 4.
+ 5.
S
P3
S
P2
S P
=
2
2
S - 3P 3(S - 2P)
6
(S4 - 3S2P) + (3S2P - 6P2) + 6P2
S4
+
+
=
=
S2P3
S4P2
S4P
S4P3
S4P3
1

1
Hay A = 3 = 3 3 .
P
ab
Ví dụ 8: Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị
của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
(x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a)
S(x) =
+
+
.
(c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a)
Lời giải
Cách 1:
x2 - (a+ b)x + ab x2 - (b + c)x + bc x2 - (c + a)x + ca
S(x) =
+
+
= Ax2- Bx +
(c- a)(c- b)
(a- b)(a- c)
(b- c)(b- a)
C

Từ đó suy ra :

1

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

1
1
1
+
+
;
(c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a)
a+ b
b+ c
c+ a
B=
+
+
;
(c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a)
ab
bc
ca
C=
+
+
(c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a)
b- a+ c- b + a- c
= 0;
Ta có: A =
(a- b)(b- c)(c- a)
với:

B=

A=

(a+ b)(b- a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a- c) b2 - a2 + c2 - a2 + a2 - c2
=
= 0;
(a- b)(b- c)(c- a)
(a- b)(b- c)(c- a)

ab(b- a) + bc(c- b) + ca(a- c) ab(b- a) + bc[(c- a) + (a- b)] + ca(a- c)
=
(a- b)(b- c)(c- a)
(a- b)(b- c)(c- a)
(a- b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a- b)(b- c)(c- a)
=
=
= 1.
(a- b)(b- c)(c- a)
(a- b)(b- c)(c- a)
Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2:
Đặt P(x) = S(x)- 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá
2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm.
Nhận xét: P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt
của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là
P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.

1
Ví dụ 9: Cho x + = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
x
1
1
1
1
a) A = x2 + 2 ;
b) B = x3 + 3 ;
c) C = x4 + 4 ;
d) D = x5 + 5 .
x
x
x
x
Lời giải
2
ử
1 ổ
1
2
a) A = x + 2 = ỗ
x+ ữ
ữ
ỗ
ữ - 2 = 9- 2 = 7 ;
ỗ
ố
x
xứ

3
ử
ổ 1ử
1 ổ
1
3
ữ
ỗ
b) B = x + 3 = ỗ
x+ ữ
3
x+ ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 27- 9 = 18 ;
ỗ
ỗ
ố xứ
x ố xứ
C=

2

1 ổ2 1 ử
c) C = x + 4 = ỗ
x + 2ữ
ữ
ỗ

ữ- 2 = 49- 2 = 47 ;
ỗ
ố
x
x ứ
ổ2 1 ử
ổ3 1 ử
1
1
5
ữ
ỗ
x + 2ữ
x
+
=
x
+
+
x
+
= D + 3 D = 7.18 3 = 123.
d) A.B = ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữỗ
ữ
ỗ

ố
ố
x ứ
x3 ứ
x
x5
Ví dụ 10: Xác định các số a, b, c sao cho:
2
ax + b
c
= 2
+
.
2
(x +1)(x - 1) x + 1 x - 1
Lời giải
4

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

ax + b
c
(ax + b)(x - 1) + c(x2 +1) (a+ c)x2 + (b- a)x + (c- b)
+
=
=
Ta có: 2

x +1 x - 1
(x2 +1)(x - 1)
(x2 +1)(x - 1)
2
Đồng nhất phân thức trên với phân thức 2
, ta đợc:
(x +1)(x - 1)
ỡù a+ c = 0 ỡù a =- 1
ù
ù
2
- x- 1
1
ùớ b- a = 0 ùớ b =- 1. Vậy
=
+
.
ùù
ùù
(x2 +1)(x - 1) x2 + 1 x - 1
ùợù c- b = 2 ùợù c = 1
Bài tập
Cho phân thức P =

16.

n3 + 2n2 - 1
.
n3 + 2n2 + 2n +1

a) Rút gọn P ;
b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức
tìm đợc trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản.
17. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự
nhiên n:
12n +1
;
30n + 2

n3 + 2n
;
n4 + 3n2 +1

b) Chứng minh rằng phân số

n7 + n2 + 1
n8 + n + 1

2n + 1
.
2n2 - 1
không tối giản với mọi số

nguyên dơng n.
c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho
phân số cha tối giản.
18.
a)
b)
c)

d)
e)
f)

Tính các tổng sau :
3
5
2n +1
A=
+
+
...
+
;
(1.2)2 (2.3)2
[n(n +1)]2
1
1
1
1
B = 1+
+ 2
+ 4
+ ... + 2n
;
2+1 2 +1 2 +1
2 +1
1
1
1

1
C=
+
+
... +
;
1.4 4.7 7.10
(3n +1)(3n + 4)
1
1
1
D=
+
+ ... +
;
1.3 2.4
n.(n + 2)
1
1
1
1
E=
+
+
+ ... +
;
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n- 1)n(n +1)
1.2! 2.3!
n.(n + 1)!

F=
+ 2 + ... +
(k! = 1.2.3k)
2
2
2n

19.

(a2 + b2 + c2)(a+ b + c)2 + (bc + ca+ ab)2
Rút gọn : A =
.
(a+ b + c)2 - (ab + bc + ca)

20.

(a+ 2b)3 - (a- 2b)3 3a4 + 7a2b2 + 3b4
:
Rút gọn : B =
.
(2a+ b)3 - (2a- b)3 4a4 + 7a2b2 + 3b4

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung

n2 + 5
n +1

là

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

21. Thực hiện các phép tính:
x2 - yz
y2 - zx
z2 - xy
+
+
y+z
z+ x
x+y ;
a)
1+
1+
1+
x
y
z
a(a+ b) a(a+ c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b)
+
+
+
a- b
a- c + b- c
b- a + c - a
c- b
b)
;
2
2

(b- c)
(c- a)
(a- b)2
1+
1+
1+
(a- b)(a- c)
(b- c)(b- a)
(c- a)(c- b)
c)
a+ b- 2c
b + c- 2a
c + a- 2b
+
+
3
3
3
(a- b)
(c- a)(c- b) (b- c)
(a- b)(a- c) (c- a)
(b- c)(b- a) .
+ 2
+ 2
+ 2
3
3
2
3
3

2
3
3
a- b
a + ab + b
b- c
b + bc + c
c - a
c + ca+ a2
22.

a) Biết a 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức :
3a- 2b 3b- a
P=
+
;
2a+ 5
b- 5
b) Biết 2a b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức :
5a- b 3b- 3a
Q=
;
3a+ 7 2b- 7
c) Biết 10a2- 3b2 + 5ab = 0 và 9a2- b2 0, hãy tính:
R=

23.

2a- b 5b- a
+

.
3a- b 3a+ b

Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
1
1
+ 2
+ 2
a) A = 2
;
2
2
2
2
a +b - c
b +c - a
c + a2 - b2

a2
b2
c2
b) B = 2
;
+
+
a - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2
1
1
1

1
+
+ ... +
+
A 1(2n- 1) 3(2n- 3)
(2n- 3).3 (2n- 1).1
24. Rút gọn biểu thức : =
.
1 1
1
B
1+ + + ... +
3 5
2n- 1

a
b
c
+
+
= 1. Chứng minh rằng
b + c c + a a+ b
a2
b2
c2
+
+
= 0.
b + c c + a a+ b

25. Cho

26.

Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và

a b c
+ + = 0. Chứng minh
x y z

rằng

ax2 + by2 + cz2 = 0.
27. Cho x2 - 4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x 5 +
1
1
và B = x7 + 7 .
5
x
x
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

x
x2
x2
= 2008. Tính M = 4
28. Cho 2

và N = 4
.
x - x +1
x + x2 + 1
x - x2 +1
a1 - 1
a2 - 1
29. Cho dãy số a1, a2, a3, sao cho : a2 =
; a3 =
;;
a1 +1
a2 +1
a - 1
an = n- 1
.
an- 1 +1
a) Chứng minh rằng a1 = a5.
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108.
Ngày soạn: 06/03/2010
Tuần dạy: 27

Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử
A. Mục tiêu:
- HS nắm đợc các phơng pháp cơ bản và nâng cao khi phân tích
đa thức thành nhân tử.
- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.
- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào
bài toán.
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
B. Phơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2- 5x + 6;
b) 3x 2- 8x + 4;
c) x 2 + 8x + 7;
d) x 2- 13x +
36;
e) x2 + 3x- 18
f) x2- 5x- 24;
g) 3x2- 16x + 5; h) 8x 2+ 30x+ 7; i) 2x2- 5x- 12;
k) 6x2- 7x- 20
Giải:
a) x2- 5x + 6 = x2- 2x- 3x + 6 = (x2- 2x)- (3x- 6) = x(x- 2)- 3(x- 2) =
(x- 2)(x- 3)
b) 3x2- 8x + 4 = 3x2- 6x- 2x + 4 = (3x2- 6x)- (2x- 4) = 3x(x- 2)- 2(x2) = (x- 2)(3x- 2)
c) x2 + 8x + 7 = x2 + x + 7x + 7 = (x 2+ x) + (7x+ 7) = x(x+ 1) +
7(x+ 1) = (x+1)(x+ 7)
d) x2- 13x + 36 = x2- x- 12x + 36 = (x2- 4x)- (9x- 36) = x(x- 4)- 9(x4) = (x- 4)(x- 9)
e) x2 + 3x- 18 = x2- 3x + 6x- 18 = (x2- 3x) + (6x- 18) = x(x- 3)+ 6(x3) = (x- 3)(x+ 6)
f) x2- 5x- 24 = x2 + 3x- 8x- 24 = (x2 + 3x)- (8x + 24) = x(x+ 3)8(x+3) = (x + 3)(x- 8)
g) 3x2- 16x + 5 = 3x2- 15x- x + 5 = (3x 2- 15x)- (x- 5) = 3x(x- 5)- (x5) = (x- 5)(3x- 1)
h) 8x2+ 30x+ 7 = 8x2 + 28x + 2x + 7 = (8x2 + 28x) + (2x + 7)
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

= 4x(2x + 7) + (2x + 7) = (2x + 7)( 4x + 1)
i) 2x2- 5x- 12 = 2x2- 8x+ 3x- 12 = (2x2-8x)+(3x-12) = 2x(x-4)+3(x4) = (x- 4)(2x + 3)
k) 6x2- 7x- 20 = 6x2 + 8x- 15x- 20 = (6x2 + 8x)- (15x + 20)
= 2x(3x + 4)- 5(3x + 4) = (3x + 4(2x- 5)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3- 5x2 + 8x- 4;
b) x2 + 2x- 3; c) x3 + 5x2 + 8x + 4;
d) x3- 7x + 6
e) x3- 9x2 + 6x + 16;
f) 4x3- 13x2 + 9x- 18;
g) x3- 4x2- 8x + 8;
h) -x3-6x2+6x +1
i) 6x3- x2- 486x + 81; j) x3- 7x- 6;
k) x3- 3x + 2;
l)
3
2
x - 5x + 3x + 9
m) x3 + 8x2 + 17x + 10; n) x3 + 3x2 + 6x + 4;
p) x 3- 2x- 4;
q)
3
2
2x - 12x + 17x- 2
r) x3 + x2 + 4;
s) x3 + 3x2 + 3x + 2;
t) x 3 + 9x2
+ 26x + 24;
u) 2x3- 3x2 + 3x- 1;
v) 3x3- 14x2 + 4x + 3;

w) x4 +
2x3 + x2 + x + 1
Giải:
a) x3- 5x2 + 8x- 4 = x3- 3x2 + 3x- 1- 2x2 + 2x + 3x- 3
= (x3- 3x2 + 3x- 1)- (2x2- 2x) + (3x- 3) = (x- 1)3- 2x(x- 1) + 3(x- 1)
= (x- 1)(x2- 2x + 1- 2x + 3) = (x- 1)(x2- 4x + 4) =(x- 1)(x- 2)2
b) x2 + 2x- 3 = x2- x + 3x- 3 = (x2- x) + (3x- 3) = x(x- 1) + 3(x- 1) =
(x- 1)(x + 3)
c) x3 + 5x2 + 8x + 4 = x3 + 3x2 + 3x + 1 + 2x2 + 2x + 3x + 3
= (x3 + 3x2 + 3x + 1) + (2x2 + 2x) + (3x + 3)= (x + 1) 3 + 2x(x + 1)
+ 3(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 2x + 1 + 2x + 3) = (x + 1)(x 2 + 4x + 4) = (x + 1)(x
+ 2)2
d) x3- 7x + 6 = x3- x- 6x + 6 = (x3- x)- (6x- 6) = x(x2- 1)- 6(x- 1)
= x(x- 1)(x + 1)- 6(x- 1) = (x- 1)(x 2 + x- 6) = (x- 1)[(x2- 2x) + (3x6)]
= (x- 1)[x(x- 2) + 3(x- 2)] = (x- 1)(x- 2)(x + 3)
e) x3- 9x2 + 6x + 16 = x3 + 3x2 + 3x + 1- 12x2- 12x + 15x + 15
= (x3 + 3x2 + 3x + 1)- (12x2 + 12x) + (15x + 15) = (x + 1)3- 12x(x
+ 1) + 15(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 2x + 1- 12x + 15) = (x + 1)(x2- 10x + 16)
= (x + 1)[(x2- 2x)- (8x- 16)] = (x + 1)[x(x- 2)- 8(x- 2)] = (x + 1)(x- 2)
(x- 8)
f) 4x3- 13x2 + 9x- 18 =

II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng
đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A2- B2 = (A- B)(A + B)
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

a) (1 + x2)2- 4x(1- x2);
b) (x2- 8)2 + 36;
c) x4 + 4;
d) x4 + 64;
e) 64x4 + 1
f) 81x4 + 4;
g) 4x4 + 81;
h) 64x4 + y4;
i) x4 + 4y4;
k) x4 + x2 + 1
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số
chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x7 + x2 + 1; b) x7 + x5 + 1; c) x5 + x4 + 1; d) x5 + x + 1
e) x8 + x7 + 1; f) x5- x4- 1;
g) x5 + x- 1;
h) x10 + x5
+1
Giải:
a) x7 + x2 + 1 = x7- x4 + x4 + 2x2 + 1- x2 = (x7- x4) + (x4 + 2x2 + 1)x2
= x4(x3- 1) + (x2 + 1)2- x2 = x4(x- 1)(x2 + x + 1) + (x2 + 1 + x)(x2 +
1- x)
= (x2 + x + 1)(x5- x4 + x2- x + 1)
b) x7 + x5 + 1 = x7- x4 + x5 + x4 + x3- x3- x2- x + x2 + x + 1
= (x7- x4) + (x5 + x4 + x3)- (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x4(x3- 1) + x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= x4(x- 1)(x2 + x + 1) + x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5- x4 + x3- x + 1)
c) x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3- x3- x2- x + x2 + x + 1
= (x5 + x4 + x3)- (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3- x +
1)
d) x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3- x4- x3- x2 + x2 + x + 1
= (x5 + x4 + x3)- (x4 + x3 + x2) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1)- x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3- x2 + 1)
e) x8 + x7 + 1 = x8 + x7 + x6- x6- x5- x4 + x5 + x4 + x3- x3- x2- x + x2
+x+1
= (x8 + x7 + x6)- (x6 + x5 + x4) + (x5 + x4 + x3)- (x3 + x2 + x) + (x2 +
x + 1)
= x6(x2 + x + 1)- x4(x2 + x + 1) + x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2
+ x + 1)
= (x2 + x + 1)(x6- x4 + x3- x + 1)
f) x5- x4- 1 = x5- x4 + x3- x3 + x2- x- x2 + x- 1
= (x5- x4 + x3)- (x3- x2 + x)- (x2- x + 1) = x3(x2- x + 1)- x(x2- x + 1)(x2- x + 1)
= (x2- x + 1)(x3- x- 1)
g) x5 + x- 1 = x5- x4 + x3 + x4- x3 + x2- x2 + x- 1
= (x5- x4 + x3) + (x4- x3 + x2)- (x2- x + 1) = x3(x2- x + 1) + x2(x2- x +
1)- (x2- x + 1)
= (x2- x + 1)(x3 + x2- 1)
h) x10 + x5 + 1 = x10- x7 + x7- x4 + x5 + x4 + x3- x3- x2- x + x2 + x + 1
= (x10- x7) + (x7- x4) + (x5 + x4 + x3)- (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x7(x3- 1) + x4(x3- 1) + x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

= x7(x- 1)(x2 + x + 1) + x4(x- 1)(x2 + x + 1)+ x3(x2 + x + 1)- x(x2 +
x + 1)+ (x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x8- x7 + x5- x4 + x3- x + 1)
III- Phơng pháp đổi biến
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128;
b) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x
+ 4)- 24
c) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2;
d) (x2 + x)2 + 4x2 +
4x- 12
e) x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y- 15;
f) (x + a)(x + 2a)(x +
4
3a)(x + 4a) + a
g) 6x4- 11x2 + 3;
h) (x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2
i) x2- 2xy + y2 + 3x- 3y- 10;
j) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x +
20
k) x2- 4xy + 4y2- 2x + 4y- 35;
l) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x +
8) + 16
Giải:
a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Đặt y = x + 5 ta có:
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (y- 5)(y- 1)(y + 1)(y + 5) + 128 =
(y2- 1)(y2- 25)
= y4- 26y2 + 25 + 128 = y 4- 34y2 + 289 + 8y2- 136 = (y4- 34y2 +

289) + (8y2- 136)
= (y2- 17)2 + 8(y2- 17) = (y2- 17)(y2- 17 + 8) = (y2- 17)(y2- 9)
= (y + 17 )(y- 17 )(y + 3)(y- 3) = (x + 5 + 17 )(x + 5- 17 )(x + 8)(x
+ 2)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 1;
b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy +
yz + zx)2
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của
đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa
số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P = x2(y- z) + y2(z- x) + z2(x- y)
b) Q = a(b + c- a)2 + b(c + a- b)2 + c(a + b- c)2 + (a + b- c)(b + ca)(c + a- b)
Giải:
a) Giả sử thay x bởi y thì P = y 2 ( y z ) + y 2 ( z y ) = 0
Nh vậy P chứa thừa số x- y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không
đổi (ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y,
z). Do đó nếu P đã chứa thừa số x- y thì cũng chúa thừa số y- z, zx. Vậy P phải có dạng
P = k(x- y)(y- z)(z- x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì
P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x- y)(y- z)(z- x)
cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

x 2 ( y z ) + y 2 ( z x) + z 2 ( x y ) = k ( x y )( y z )( z x)

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng,
chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x- y)(y- z)(z- x) = (x- y)(y- z)(x- z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M = a (b + c a ) 2 + b(c + a b) 2 + c (a + b c ) 2 + (a + b c )(b + c a )(c + a b )
N = a (m a ) 2 + b( m b) 2 + c(m c) 2 abc , với 2m = a+ b + c.

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a ) A = (a + b + c)(ab + bc + ca ) abc.

b) B = a (a + 2b)3 b(2a + b)3 .
c )C = ab(a + b) bc (b + c ) + ac (a c ).
d ) D = (a + b)( a 2 b 2 ) + (b + c)(b 2 c 2 ) + (c + a)(c 2 a 2 )
e) E = a 3 (c b 2 ) + b3 (a c 2 ) + c 3 (b a 2 ) + abc(abc 1).
f ) f = a (b c )3 + b(c a )3 + c (a b)3 .
g )G = a 2b 2 (a b) + b 2c 2 (b c) + a 2 c 2 (c a ).
h) H = a 4 (b c) + b 4 (c a ) + c 4 (a b).

V- Phong pháp hệ số bất định:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a ) A = x 4 6 x 3 + 12 x 2 14 x + 3
b) B = 4 x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 + 2 x + 1
c )C = 3x 2 + 22 xy + 11x + 37 y + 7 y 2 + 10
d ) D = x 4 7 x 3 + 14 x 2 7 x + 1
e) E = x 4 8 x + 63

Bài tập:
Ví dụ: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: A = x3- 3(a2 + b2)x

+ 2(a3 + b3)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP .
Vì vậy :
A = x3 3( S2 - 2P )x + 2( S3 - 3SP ) =
(x3 - S3) - (3S2x - 3S3) + (6Px - 6SP)
= (x - S)(x2 + Sx + S2) - 3S2(x - S) + 6P(x - S)
= (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P)
= (x a b)[x2 + (a + b)x 2(a + b)2 + 6ab]
= (x a b)[x2 + (a + b)x 2(a2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
f) x3 + 4x2 29x + 24 ;
g) x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1 ;
h) (x2 x + 2)2 + (x 2)2 ;
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8******

i) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;
j) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.
f) x8 + x4 + 1;
g) x10 + x5 + 1 ;
h) x12 + 1 ;
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.

Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Ngày soạn: 13/03/2010
Tuần dạy: 28

Chuyên đề Iii: Xác định đa thức
A. Mục tiêu:
- HS nắm đợc định lí Bezu và ứng dụng của nó để giải các bài
toán liên quan đến đa thức nh chia đa thức, tính giá trị đa
thức.
- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.
- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý
vào bài toán.
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
B. Phơng tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
1) Định lí BêZu:
D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a)
(giá trị của f(x) tại x = a): f ( x) = ( x a)q( x) + f (a)
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức
thành nhân tử. Thực hiện nh sau:
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có
phải là nghiệm của f(x) không.
Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x) = ( x a) p( x)
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân

tích đợc. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ
số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực
hiện phép chia đa thức.
*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng
tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ: P( x) = ax 2 + 2bx 3 ; Q( x) = x 2 4 x p
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng
tử tự do)
*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) >
deg Q(x)
Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có: P( x) = Q( x).M ( x) + N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất
kì : x =
( là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng
trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa
thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
a 2 x 3 + 3ax 2 6 x 2a = ( x + 1).Q( x ) .

Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:
a = 2
a 2 + 3a + 6 2a = 0 a 2 + a + 6 = 0
a=3
3
2
Vi a = -2 thỡ A = 4 x 6 x 6 x + 4, Q( x) = 4 x 2 10 x + 4
Vi a = 3 thỡ A = 9 x 3 + 9 x 2 6 x 6, Q( x) = 9 x 2 6

*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)
Bài tập áp dụng
2 3
Bài 1: Cho a thc A( x) = a x + 3ax 2 6 x 2a(a Q) . Xác nh a sao cho A(x)
chia ht cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức P( x) = x 4 x 3 2 x 4 thành nhân tử, biết
rằng một nhân tử có dạng: x 2 + dx + 2
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: x3 + ax 2 + 2 x + b chia hết
cho đa thức: x 2 + x + 1 . Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác
nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x) = x 4 9 x 3 + 21x 2 + x + k chia
hết cho đa thức: g ( x) = x 2 x 2 .
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc: f (k ) = k 3 + 2k 2 + 15 chia ht cho
nh thc: g (k ) = k + 3 .
Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc: f ( x) = x 4 3x 3 + 3x 2 + ax + b chia ht cho
a thc: g ( x) = x 2 3x + 4 .
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc: P( x) = x 4 + ax 2 + bx + c
Chia ht cho ( x 3)3 .
b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc: Q( x) = 6 x 4 7 x3 + ax 2 + 3x + 2 chia ht
cho a thc M ( x) = x 2 x + b .
c) Xỏc nh a, b P( x) = x 3 + 5 x 2 8 x + a chia ht cho M ( x) = x 2 + x + b .

Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
x 3 ax 2 + bx c = ( x a )( x b)( x c)

Bi 9: Xỏc nh hng s a sao cho:
a) 10 x 2 7 x + a chia ht cho 2 x 3 .
b) 2 x 2 + ax + 1 chia cho x 3 d 4.
c) ax 5 + 5 x 4 9 chia ht cho x 1 .
Bi 10: Xỏc nh cỏc hng s a v b sao cho:
a) x 4 + ax 2 + b chia ht cho x 2 x + 1 .
b) ax 3 + bx 2 + 5 x 50 chia ht cho x 2 + 3x + 10 .
c) ax 4 + bx 2 + 1 chia ht cho ( x 1) 2 .
d) x 4 + 4 chia ht cho x 2 + ax + b .
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8******

Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho
x − 3 thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2 , chia cho x 2 − 1
thì dư x + 5 .
Bài 13: Cho đa thức: P( x) = x 4 + x 3 − x 2 + ax + b và Q( x) = x 2 + x − 2 . Xác định a, b để
P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P( x) = ax 4 + bx 3 + 1 chia hết cho đa thức
Q( x) = ( x − 1) 2

Bài 16: Cho các đa thức P( x) = x 4 − 7 x 3 + ax 2 + 3x + 2 và Q( x) = x 2 − x + b . Xác định a
và b để P(x) chia hết cho Q(x).

Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Ngày soạn: 20/03/2010
Tuần dạy: 29

Chuyên đề IV: xác định đa thức
A. Mục tiêu:
- HS tiếp tục nắm đợc các phơng pháp cơ bản và nâng cao khi
giải các bài toán về đa thức, đặc biệt là phơng pháp NiuTơn.
- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.
- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý
vào bài toán.
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
B. Phơng tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
Dng 2: Phng phỏp ni suy NiuTn
Phng phỏp:
tỡm a thc P(x) bc khụng quỏ n khi bit giỏ tr ca a thc ti n + 1 im
C1 , C 2 , C 3 , , C n +1 ta cú th biu din P(x) di dng:
P ( x) = b0 + b1 ( x C1 ) + b2 ( x C1 )( x C 2 ) + + bn ( x C1 )( x C 2 ) ( x C n )
Bng cỏch thay th x ln lt bng cỏc giỏ tr C1 , C 2 , C3 ,, C n+1 vo biu thc
P(x) ta ln lt tớnh c cỏc h s b0 , b1 , b2 ,, bn .

Bài tập áp dụng
Bi 1: Tỡm a thc bc hai P(x), bit: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = 9 .
Gii

t P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x 1) (1)
b0 = 25

Thay x ln ly bng 0; 1; 2 vo (1) ta c: 7 = 25 + b1 b1 = 18
9 = 25 18.2 + b2 .2.1 b2 = 1

Vy, a thc cn tỡm cú dng:
P ( x) = 25 18 x + x( x 1) P( x) = x 2 19 x + 25 .
Bi 2: Tỡm a thc bc 3 P(x), bit: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1
Hng dn: t P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x 1) + b3 x( x 1)( x 2) (1)
Bi 3: Tỡm a thc bc ba P(x), bit khi chia P(x) cho ( x 1), ( x 2), ( x 3) u c

d bng 6 v P(-1) = - 18.
Hng dn: t P( x) = b0 + b1 ( x 1) + b2 ( x 1)( x 2) + b3 ( x 1)( x 2)( x 3) (1)
P (1) = 0

Bi 4: Cho a thc bc bn P(x), tha món: P( x) P( x 1) = x( x + 1)(2 x + 1), (1)
a) Xỏc nh P(x).
b) Suy ra giỏ tr ca tng S = 1.2.3 + 2.3.5 + + n(n + 1)(2n + 1), (n N * ) .
Hng dn: Thay x ln lt bng 0; 1; 2; 3 vo (1), ta c :

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8******
P (−1) − P (−2) = 0 ⇔ P (−2) = 0,
P (0) − P( −1) = 0 ⇔ P (0) = 0
P (1) − P (0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = 6
P (2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P (2) = 36
Đặt P( x) = b0 + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x − 1) + b4 ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) (2)

Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
0 = b0

0 = b1 ⇔ b1 = 0,
6 = b2 .2.1 ⇔ b2 = 3,
36 = 3.3.2 + b3 .3.2.1 ⇔ b3 = 3
0 = 3.(−1)(−2) + 3.(−1)(−2)(−3) + b4 (−1)(−2)(−3)(−4) ⇔ b4 =

1
2

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
1
1
P ( x ) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x ( x − 1) + ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) = x( x + 1) 2 ( x + 2)
2
2

(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)
Bài 5: cho đa thức P( x) = ax 2 + bx + c, (a, b, c ≠ 0) . Cho biết 2a + 3b + 6c = 0
1
1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) .

2
1
2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dương.
2
P (0) = 19
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: P(1) = 85

P (2) = 1985

Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Ngày soạn: 27/03/2010
Tuần dạy: 30

Chuyên đề V:

Tớnh chia ht vi s nguyờn

A. Mục tiêu:
Sau khi hc xong chuyên hc sinh có kh nng:
1.Bit vn dng tính cht chia hết của số nguyên d chng
minh quan hệ chia hết, tìm số d và tìm điều kiện chia hết.
2. Hiu cỏc bc phân tích bài toán, tìm hng chng minh
3. Cú k nng vn dng các kin thc c trang b gii toán.
B. Phơng tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
1. Kin thc cn nh
1. Chứng minh quan hệ chia hết
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n)
thành tích trong đó có một thừa số là m
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số

đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất
cả các số đó
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k
b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia m cho n
* Ví dụ1:
C/minh rằng A=n3(n2- 7)2 36n chia hết cho 5040 với mọi số
tự nhiên n
Giải:
Ta có 5040 = 24. 32.5.7
A= n3(n2- 7)2 36n = n.[ n2(n2-7)2 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.
(n2-7 ) +6]
= n.(n3-7n 6).(n3-7n +6)
Ta lại có n3-7n 6 = n3 + n2 n2 n 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1)
-6(n+1)
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số
nguyên liên tiếp:
- Tồn tại một bội số của 5 (nên A M5 )
- Tồn tại một bội của 7 (nên A M7 )
- Tồn tại hai bội của 3 (nên A M9 )
- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A M16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau
AM
5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :
a/ a3 a chia hết cho 3
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung

******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

b/ a5-a chia hết cho 5
Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên
tích chia hết cho 3
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
Cách 1:
Ta xết mọi trờng hợp về số d khi chia a cho 5
- Nếu a= 5 k (k Z) thì A M
5 (1)
2
- Nếu a= 5k 1 thì a -1 = (5k2 1) 2 -1 = 25k2 10k M
5 A
5 (2)
M
- Nếu a= 5k 2 thì a2+1 = (5k 2)2 + 1 = 25 k2 20k +5
AM
5 (3)
Từ (1),(2),(3) A M
5, n Z
Cách 2:
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho
5:
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a24) + 5a(a2-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M

5 (tích của 5 số nguyên liên
tiếp )
5a (a2-1) M
5
5
Do đó a -a M
5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a 5-a và tích của
5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
Ta có:
a5-a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a (a2- 4)a(a2-1) = a5-a (a3- 4a)(a2-1)
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 5a M
5
5
a -a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M
5
a5-a M
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M
5
5(Tính chất
chia hết của một hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử
dụng các hằng đẳng thức:
an bn = (a b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1)
(HĐT
8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1)
(HĐT 9)
- Sử dụng tam giác Paxcan:
1

1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4 1
..
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền
trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Do đó: Với a, b Z, n N:
an bn chia hết cho a b( a b)
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a -b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số của a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16 n 1 chia hết

cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì:
A = 162k 1 = (162)k 1 chia hết cho 16 2 1( theo nhị thức
Niu Tơn)
Mà 162 1 = 255 M
17. Vậy A M
17
n
- Nếu n lẻ thì : A = 16 1 = 16n + 1 2 mà n lẻ thì 16 n + 1
16+1=17 (HĐT 9)
M
A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n 1 = ( 17 1) n 1 = BS17 +(-1)n 1 (theo
công thức Niu Tơn)
- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 1 = BS17 chia hết cho
17
- Nếu n lẻ thì A = BS17 1 1 = BS17 2 Không chia hết
cho 17
Vậy biểu thức 16n 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số
chẵn, n N
d/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý
Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004
2004.2004
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004
a2 = 2004 2004
a3 = 2004 2004 2004
.
a2004 = 2004 20042004

2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số d khi chia
cho 2003.
Gọi hai số đó là am và an ( 1 n 2003
Ta có: am - an = 2004 20042004 00000
m-n nhóm 2004
4n
4n
hay am - an = 2004 20042004 . 10
m-n nhóm 2004
mà am - an M
2003 và (104n , 2003) =1
nên
2004 20042004 M
2003
Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

m-n nhóm 2004
2. Tìm số d
* VD1:Tìm số d khi chia 2100
a/ cho 9
b/ cho 25
Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 1
Ta có : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo
nhị thức Niu Tơn)

= BS9 2 = BS9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 d 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 1
Ta có:
2100 =( 210)10 = ( 1025 1 ) 10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1
(theo nhị thức Niu Tơn)
Vậy 2100 chia cho 25 d 1
* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5 1994 khi viết trong hệ
thập phân
Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên
dơng bất kì vẫn tận cùng bằng 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (0625)=
5625
- Cách 2: Tìm số d khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thấy 54k 1 = (54)k 1k chia hết cho 54 1 = (52 + 1) (52 1) M
16
Ta có 51994 = 56(51988 1) + 56 mà 56 M
54 và 51988 1 = (54)497
1 chia hết cho 16
( 51994)3. 56(51988 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625
3. Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết
cho giá trị của biểu thức B:
A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 n
Giải:
n3 + 2n2- 3n + 2 n2 n

n3 n2
n+3
2
3n - 3n + 2
3n2 3n
2
Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 n)(n + 3) +

2
n n
2

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung


******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8******

Ư(2)

Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B

cho n(n 1)
hết cho n
Ta có bảng:
n
n1
n(n 1)

n2 n
2 chia hết

2 chia

1
-1
2
-2
0
-2
1
-3
0
2
2
6
Loại
T/m
T/m
Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho
giá trị của biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Giải:
n5 + 1 Mn3 + 1 n5 + n2 n2 + 1 Mn3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 1) Mn3 + 1
(n 1)(n + 1) M
(n+1)(n2 n + 1)
n 1 M
n2 n + 1
n(n 1) M
n2 n + 1

Hay n2 n M
n2 n + 1
(n2 n + 1) 1 M
n2 n + 1
1M
n2 n + 1
Xét hai trờng hợp:
+ n2 n + 1 = 1 n2 n = 0 n(n 1) = 0 n = 0, n = 1
thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 n + 1 = - 1 n2 n + 2 = 0 , không có giá trị của n
thoả mãn
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7
Giải:
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k 1 = (23)k 1 = 8 k - 1k
81=7
M
Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 1 = 8k . 2 1= 2(8k
1) + 1
= 2. BS7 + 1
2n - 1 không chia hết cho 7
- Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 1= 4.23k 1
= 4( 8k 1) + 3 = 4.BS7 + 3
2n - 1 không chia hết cho 7
Vậy 2n - 1 M
7 n = 3k (k N)

Giáo viên: Dơng Văn Chinh - Trờng THCS Nga Trung