Chuyên đề ôn thi: thế tích khối đa diện

CHƯƠNG I :

KHỐI ĐA DIỆN

Vấn đề 2. Thể tích khối đa diện
I. LÍ THUYẾT CẦN NHỚ:
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ∆ABC vuông ở A ta có :
 Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2

A

 BA2 = BH .BC ; CA2 = CH .CB

c

 AB. AC = BC. AH
B

1
1
1
=
+

AH 2 AB 2 AC 2

b

h
c’

M b’

H
a

C

 AH2 = BH.CH
 BC = 2AM (Trong tam giác vuông độ dài trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
b
c
b
c
 sin B = , cosB = , tan B = , cot B =
a
a
c
b
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý hàm số Côsin:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

* Định lý hàm số Sin:
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
S=

1
a.ha
2

1
1
1
S = a.b.sin C = a.c.sin B = b.c.sin A
2
2
2

S=

abc
4R

S = p.r

S=

p.( p − a )( p − b )( p − c )

với

1
2

Đặc biệt : * ∆ABC vuông ở A : S = AB. AC
a2 3
* ∆ABC đều cạnh a: S =
4

p=

a+b+c
2


 Diện tích hình vuông :
 Diện tích hình chữ nhật :

S = cạnh x cạnh
S = dài x rộng

 Diên tích hình thoi :

S=

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

S=

 Diện tích hình thang :
 Diện tích hình bình hành :

S = đáy x chiều cao

 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

S=

1
AC.BD
2

4. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN :
V = B.h
1. THỂ TÍCH KHỐI
LĂNG TRỤ:

Thể tích khối hộp
chữ nhật:

(B: Sđáy ; h: chiều cao)

V = a.b.c
(a,b,c là ba kích thước)

Thể tích khối lập

phương:
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI
CHÓP:

V = a3
(a là độ dài cạnh)
1
3

V= Bh
(B: Sđáy ; h: chiều cao)
S
C'

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH
TỨ DIỆN

A'

VSABC
SA SB SC
=
VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

A

B'
C
B

Chú ý:
Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a 2 + b 2 + c 2 ,
Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 3
2


Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau
(hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
6. Nhận biết chiều cao một số khối đa diện thường gặp:
a) + Chiều cao h của khối lăng trụ là khoảng cách giữa 2 mặt đáy ( k/ cách từ 1
điểm trênmặt đáy này đến mặt đáy kia)
+ Khối lăng trụ đứng hoặc khối lăng trụ đều : chiều cao bằng cạnh bên
b) Chiều cao h của khối chóp là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.
+ Khối chóp đều:  h là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm mặt đáy.
 Nhắc lại: Hình chóp đều là hình hóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu
của đỉnh lên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy
+ Khối chóp có một cạnh bên vuông góc mặt đáy h là cạnh bên đó.
+ Khối chóp có một mặt bên vuông góc mặt đáy h là chiều cao của mặt bên đó
( chiều cao kẻ từ đỉnh khối chóp)
+ Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc mặt đáy h là cạnh bên
chung của hai mặt đó
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Tính thể tích lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a .
Bài giải:

Diện tích đáy S =

a2 3
a2 3
a3 3
, Chiều cao h = a suy ra V =
.a =
4
4
4

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , có đáy
ABC là tam giác vuông tại B ,
AB = a, AC = 2a, AC ' = a 5 . Tính thể tích lăng
trụ ABC. A ' B ' C ' .
Bài giải: Trong tam giác ABC vuông tại A ,
ta có BC 2 = AC 2 − AB 2 .
BC = AC 2 − AB 2 = 4a 2 − a 2 = a 3


S∆ABC

1
1
a2 3
.
= AB.BC = a.a 3 =
2
2
2

Trong tam giác ACC ' vuông tại C , ta có CC ' = AC '2 − AC 2 = 5a 2 − 4a 2 = a
1
1 a2 3
a3 3
Suy ra, V = S∆ABC .CC ' = .
.
.a =
3
3 2
6
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Mặt
phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài giải:
Ta có, S∆ABC

a2 3
.
=
4

Gọi M là trung điểm BC ,
 AM ⊥ BC
Ta có, 
 SM ⊥ BC
Suy ra góc giữa ( A ' BC ) và ( ABC ) là góc
·
SMA
= 600 .
AM =

a 3
3a
⇒ AA ' = AM .tan 600 =
2
2

Vậy thể tích của lăng trụ là V = S∆ABC . AA ' =

a 2 3 3a 3a 3 3
. =
4
2
8

Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên tạo
với đáy một góc 600 , hình chiếu của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam
giác ABC . Tính thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
Bài giải:
Diện tích tam giác ABC là
S∆ABC =

a2 3
.
4

Góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy ( ABC ) là
2
a 3
góc ·A ' AG = 600 và AG = AM =

3
3


Suy ra A ' G = AG.tan 600 = a .
Vậy thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là
a3 3
.
V = S∆ABC . A ' G =
4
Ví dụ 5: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC
là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a ,
SA = 3a và SA ⊥ ( ABC ) . Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
Bài giải:
S∆ABC =

1
1
AB.BC = a 2 VSABC = S ABC .SA = a 3 .
3
2

Ví dụ 6: Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,AD = a 2 ,
SA ⊥ ( ABC ) , SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) một góc 600 . Tính thể tích khối chóp
S . ABCD .
Bài giải:
S ABCD = AB.BC = a.a 2 = a 2 2
AC là hình chiếu của SC lên mặt
phẳng ( ABCD ) nên góc giữa SC và

( ABCD )

là

·
SCA
= 600 .
Ta có, AC = AB 2 + BC 2 = a 3
·
SA = AC.tan SCA
= 3a
1
3
Vậy V = S ABCD SA = a 2
3
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều
S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên
tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích
khối chóp S . ABCD .
Bài giải:


Ta có,
S ABCD = a 2 .
OD là hình chiếu của SD lên mặt phẳng ( ABCD ) nên góc giữa SD là mặt phẳng

( ABCD )

a 2

BD a 2
·
·
là SDO
( OD =
).
=
=
= 450 suy ra SO = OD.tan SDO
2
2
2

1
a3 2
Vậy V = S ABCD SO =
.
3
6
Ví dụ 6: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a 3 , mặt bên SAB là
tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Tính thể
tích khối chóp S . ABCD .
Bài giải:

(

S ABCD = a 3

)

2

= 3a 2 .

Gọi H là trung điểm AB

⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) và SH = AB = a 3 .
2
2
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là
1
a3 3
V = S ABCD SH =
3
2
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM.
1. Thể tích khối lăng trụ
Nhận biết


Câu 1: Nếu mỗi kích thước của một khối hộp hình chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích
của nó tăng lên:
A. k lần

B. 2k2 lần

C. k3 lần

D. 3k3 lần

Câu 2: Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích
của (H) bằng:
A.

a3
2

B.

a3 3
2

C.

a3 3
4

D.

a3 2
3

Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = 2a ,
BC = a . AA′ = 2a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
A.

2a 3 3
3

B.

a3 3
3

C. 4a3 3

D. 2a3 3

Câu 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Gọi S là điểm thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’), khi
đó tỉ số thể tích

A.

VS .ABCD

là:

VABCD .A ' B 'C ' D '

1
2

B.

1
3

C. 3

D. 2

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích của
khối lăng trụ này là:
A. a 3

B.

a3 3
12

C.

a3 3
4

D.

a3
2

Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích của khối
lăng trụ này là:
A. a 3

B.

a3
3

C.

a3 3
4

D.

a3
2

Câu 7: Cho khối lăng trụ có thể tích bằng 58cm3 và diện tích đáy bằng 16cm2. Chiều
cao của lăng trụ là:
A.

8
cm
87

B.

87
cm
8

C.

8
cm
29

D.

29
cm
8

Câu 8: Môt khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều cao của khối
lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
A. 4273

B. 1245 2

C. 1123

D. 2888

Câu 9: Thể tích khối lập phương có đường chéo bằng a 6 là:
A. a 3

B. 2a 3 2

C. 4a 3

D. 6 a 3 6


Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
2a , cạnh bên bằng a . Thể tích của khối lăng trụ đó là:

A. a 3 3

B.

a3 3
4

a3 3
3

C.

D. 4a2

Câu 11: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh
a , khoảng cách giữa 2 đáy bằng 3a . Thể tích khối lăng trụ là:

A. 3a3

B. a3

C.

3a 3 3
4

D.

a3 3
4

Câu 12: Hình hộp chữ nhật có các cạnh là 2a , a 3 và

a 2 . Thể tích của hình hộp bằng.
A. a 3 6

B. 2a 2 6

C. 2a 3 6

D.

2a 3 6
3
Thông hiểu
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ,
hình chiếu của A lên (A’B’C’) là điểm B’, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Thể
tích của khối lăng trụ đó là:
A.

a3 3
2

B. a3 3

C.

3a 3
4

D.

a3

4

Câu 14: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân cạnh
huyền A’C’ bằng 2a , hình chiếu của A lên (A’B’C’) là trung điểm I của A’B’ , góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Thể tích của khối lăng trụ đó là:
A. a 3 2

B.

a3 6
2

C.

3a 3
4

D.

a3 6
8

Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ,
hình chiếu của A lên (A’B’C’) là trung điểm I của A’B’ , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 600. Thể tích của khối lăng trụ đó là:
A.

3a 3
8

B.

a3 3
2

C.

3a 3
4

D.

a3
8


Câu 16: Cho lăng trụ đứng
ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = a 2 , BC = 3a . Góc giữa cạnh
A′B và mặt đáy là 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .

A. 2a3 3

B. 3a 3 3

C.

a3 3
3

D. a 3 3

Câu 17: Với một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng 20cm, chiều rộng bằng
12cm, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 3cm (hình 1) rồi gấp lại
thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Dung tích của cái hộp đó là

Hình 1
A. 459cm3

B. 252cm3

C. 504cm3

D. 918cm3

Câu 18: Cho khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên
bằng

2a 3
, hình chiếu của điểm A ' trên ( ABC ) trùng với tâm của tam giác ABC . Khi
3

đó, thể tích của khối lăng trụ là:
a3 3
A.
12

a3 3
B.
2

a3 3
C.
4

a3
D.
2

Câu 19: Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 37; 13; 30 và diện tích xung
quanh bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ đó là:
A. 2010

B. 1024

C. 1080

D. 2016

Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = 2a ,
·
CAB
= 1200 . Góc giữa mp(A'BC) và mp(ABC) bằng 45° . Thể tích khối lăng trụ là:

A. 2a 3
3

a3 3
B.
3

C. a 3
3

a3 3
D.
2

Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , diện tích một mặt bên là
2a 2 . Thể tích của khối lăng trụ đó là:
A. 2a

3

a3 3
B.
2

a3 3
C.
6

a3 3
D.
3

Câu 22: Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có diện tích các mặt ABCD, ABB’A’,
ADD’A’ lần lượt bằng 20cm2, 28cm2, 35cm2 . Thể tích khối hộp là:
A. 160cm3

B. 120cm3

C. 130cm3

D. 140cm3


Câu 23: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của
A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ∆ABC. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o.
Thể tích khối lăng trụ bằng:
A.

a3 3
4

B.

a3 3
2

C. 2a3 3

D. 4a3 3

Câu 24: Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu của đỉnh A’ trên mp(ABC) trùng với trung
điểm của cạnh BC . Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.

a3 3
4

B.

a3 3
8

C.

a3 3
3

D.

a3 3
12

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều. Nếu ta tăng chiều cao của lăng trụ lên gấp 2
lần thì thể tích của khối lăng trụ thu được bằng bao nhiêu lần thể tích khối lăng trụ ban
đầu
A. 6

B. 2

C.

1
2

D. 4

Câu 26: Cho hình lăng trụ tam giác đều. Nếu ta tăng chiều dài của cạnh đáy lên gấp 2
lần thì thể tích của khối lăng trụ thu được bằng bao nhiêu lần thể tích khối lăng trụ ban
đầu
A. 2

B. 8

C. 4

D.

1
4

Câu 28: Nếu ta giảm độ dài mỗi cạnh của hình lập phương 3 lần thì ta được khối lập
phương mới có thể tích bằng bao nhiêu lần thể tích của khối lập phương ban đầu
A. 27

B. 9

C.

1
9

D.

1
27

Câu 29: Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 3cm thì thể tích của nó tăng
thêm 387cm3. Cạnh của hình lập phương đã cho là
A. 5cm

B. 6cm

C. 4cm

D. 3cm

Câu 30: Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Thể tích của khối
lập phương đó là
A. 145

B. 125

C. 25

D. 625

Câu 31: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB ' D ' và
khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là
A.

1
5

B.

1

4

C.

1
3

D.

1
6

Câu 32: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ,
cạnh bên bằng 2a hình chiếu của A lên (A’B’C’) là điểm B’. Thể tích của khối lăng trụ
đó là:


A.

a3 3
2

B. a3 3

C.

3a 3
4

D.

a3
4

Câu 33: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ,
hình chiếu của A lên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của tam giác A’B’C’, cạnh bên
lăng trụ bằng 3a . Thể tích lăng trụ là:
A.

a 3 11
4

B.

a 3 11
12

C.

a 3 47
8

D.

3a 3
4

Câu 34: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ,
hình chiếu của A lên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của tam giác A’B’C’, cạnh bên hợp
với mặt đáy một góc 450. Thể tích lăng trụ là:

3a 3
A.
8

a3
B.
8

a3
C.
12

a3
D.
4

Vận dụng
Câu 35: Cho khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' . Khi đó, tỉ số thể tích của hai khối chóp
C '. ABC và C '. ABB ' A ' là
A.

1
2

B.

1
3

C.

2
3

1
2

D.

Câu 36: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a
3a 3
.Thể tích của khối lăng trụ bằng
. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là:
4

A.

3a 2
4

B.

3a
4

C.

a
4

D. a 3

a
Câu 37: Cho hình lăng trụ tam giác đều cạnh bên bằng a , thể tích bằng

3

3

2

. Cạnh

đáy hình lăng trụ này là:
A. a 3

B. a 2

C. 2 a

D. 3 a

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác đều cạnh a , có diện tích
toàn phần gấp đôi tổng diện tích 2 đáy. Thể tích lăng trụ là:
A.

3a 3
8

B.

a3
8

C.

a3
12

D.

a3
4

Câu 39: Một hình lập phương có đường chéo (đoạn thẳng nối hai đỉnh không cùng
thuộc một mặt phẳng) bằng a . Thể tích khối lập phương là:


3
A. a 3

3
C. a

3
B. a 3

27

3

D. a

6 3

9

9

Câu 40: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a = 4, biết diện tích tam giác
A’BC bằng 8. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:
A. 4 3

B. 8 3

C. 2 3

D. 10 3

Câu 41: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC’ bằng:
3
4

4
5

A. V

2
3

B. V

3
5

C. V

D. V

Câu 42: Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có A '.ABD là hình chóp đều và AB = a ,
AA ' = a 3 . Thể tích khối hộp đó là:

A.

a3
2

B. 2a3

C.

3a3
3

D. 2a3

Câu 43: Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc
nhọn bằng α . Diện tích của một mặt bên bằng S. Thể tích của khối hộp đã cho là:
A. dS cos

α
2

B. dS sin

α
2

C.

1
dS sin α
2

D. dS sin α

Câu 44. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối
lập phương đó là:
A. 64

B. 81

C. 86

D. 68

Câu 45. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là một hình thoi và hai mặt chéo
ACC’A’, BDD’B’ đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt này có diện tích lần lượt
là 100cm2, 105cm2 và cắt nhau theo một đoạn thẳng có độ dài 10cm. Khi đó thể tích

khối hộp đã cho là:
A. 225 5cm3

B. 425cm3

C. 235 5cm3

D. 525cm3

Câu 46. Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình
vuông cạnh 12cm (hình 2) rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Giả
sử dung tích của cái hộp đó là 4800cm3 thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ dài là


Hình 2
A. 42cm

B. 36cm

C. 44cm

D. 38cm

Câu 47: Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 3

B. 4

C. 5

D.6

Câu 48: Khối lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ có đáy nội tiếp đường tròn
2

đường kính 2R và ADD’A’ có diện tích bằng 3R . Thể tích của khối lăng trụ bằng:
A. 9 R

3

3
B. 8R

4

3
C. 9 R 3

3

3
D. 8R 3

4

3

Vận dụng cao
Câu 49: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2 a , khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (A’BC) bằng

A. a3

a 6
. Khi đó thể tích lăng trụ bằng:
2

B. 3a3

C.

4 3
a
3

D.

4 3 3
a
3

Câu 50: Ba kích thước của một hình hộp hình chữ nhật lập thành một cấp số nhân có
công bội bằng 2 và thể tích của khối hộp đó bằng 1728. Khi đó ba kích thước của nó là:
A. 8;16;32

B. 2;4;8

C. 2 3;4 3;8 3

D. 6;12;24

Câu 51: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a, các góc tại đỉnh
A bằng 600. Thể tích của hình hộp đó là:
a3 2
A.
3

a3 3
B.
3

a3 3
C.
2

a3 2
D.
2

Câu 52: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A; M là trung
điểm của BC,
0
BC = a 6 . Mặt phẳng (A’BC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 60 . Khoảng cách giữa

hai đường thẳng A’M và AB bằng:
A.

3a 14
14

B.

3a 2
2

C.

a 14
14

D.

Câu 53: Các đường chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng

3a 14
7


20, 29, 41 . Thể tích của khối hộp đó là

A.11

B. 40

C. 20

D. 50

Câu 54: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12dm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau rồi gặp tấm nhôm lại (hình 3) để được một cái hộp chữ nhật không
nắp. Tính cạnh của các hình vuông được cắt bỏ sao cho thể tích của khối hộp đó lớn

nhất ?

Hình 3
A. 3dm

B. 4dm

C.2dm

D. 1dm

Câu 55. Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công
bội bằng 3. Thể tích của khối hộp đó là 1728. Khi đó, các kích thước của khối hộp đó là
A. 5; 15; 45

B. 3; 9; 27

C. 4; 12; 36

D. 8; 12; 18

Câu 56. Thể tích khối hộp ABCD.A ¢B ¢C ¢D ¢ bằng bao nhiêu? Biết rằng A.A ¢B ¢D ¢ là khối
tứ diện đều thể tích bằng 5a3 .
A. 30a3

B. 25a3

C. 35a3

D. 20a3

2. Thể tích khối chóp
Nhận biết
Câu 1: Tính thể tích khối chóp S . ABC biết ABC là tam giác đều cạnh a ,
SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 .
a3
a3 3
a3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
2
2
Câu 2: Hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy
và SA = AC = a . Thể tích khối chóp S.ABC bằng :
A.

a3
A.
12

B.

a3 2
6

C.

a3 2
4

D.

a3 2
3

Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết
SA = a, SB = b,SC = c . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
A.

abc
.
3

B.

abc
.
6

C.

2abc

.
3

D.

abc
.
9

Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a ,
BC = a 3 , SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a . Thể tích khối chóp S . ABC theo a là:


a3 3
A.
3

3

B. a 3

2a3 3
C.
3

a3 2
D.
3

Câu 5: Cho hình chóp S . ABC biết đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,

SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa SB với đáy bằng 450, AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp SABC
theo a ?
a3
A.
8

a3
B.
6

C.

a3
12

D.

a3
4

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và
AC = a 3 . Thể tích của khối chóp S.ABC là

A.

a 2
3

B. a 2

a3
. Chiều cao của khối chóp S.ABC là:
3

C.

a 2
2

D.

a 2
9

Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai mặt phẳng ( SAC )
và ( SCD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Chiều cao hình chóp S . ABCD là:
A. SA

B. SC

C. SD

D. SB

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
3
A. a 2

6

3
B. a 2

4

C. a3 2

3
D. a 2

3

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SA ⊥ ( ABCD ) , SC tạo với đáy một góc 450 . Thể tích khối chóp S.ABCD là
A.

a3 2
3

B.

a3 3
3

C.

a3 6
3

D.

a3 6
6

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a . Thể
tích khối chóp là
a3
A.
3

a3 2
B.
2

a3 2
C.
6

a3 3
D.
6

Câu 11: Cho hình chóp SABC . Gọi M là trung điểm của SB . Tính tỷ số

VSAMC
.
VSABC

A.

1
2

B.

1
4

C.

1
3

D. 1

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc ,
SO ⊥ ( ABCD ) và SO =

A.

a3 3
8

3a
. Khi đó thể tích của khối chóp là:
4
B.

a3 2
8

C.

a3 2
4

D.

a3 3
4

Câu 13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a, AD = 2a ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 3 .Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
A. V = 2 3a3 .

B. V =

2 3 3
a .
3

C. V =

3 3
a .
3

D. V = 3a 3 .

Thông hiểu
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối
chóp I.ABCD .
a3
A.
18

a3
B.
6

a3
C.
2

a3
D.
3

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a ,
SA ⊥ ( ABCD ) và mặt bên ( SCD ) hợp với đáy một góc 60 o. Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
A. a 3 3

B.

a3 3

6

C.

2a 3 3
3

D.

a3 3
3

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a, AB = a . Gọi H
là trung điểm của AD , biết SH ⊥ ( ABCD ) , SA = a 5 . Thể tích khối chóp SABCD là:
2a 3 3
A.
3

4a 3
B.
3

2a 3
C.
3

4a 3 3
D.
3

Câu 17: Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB = a ,
AC = a 3 . Tính thể tích khối chóp SABC biết góc giữa SB và (ABC) bằng 300.


A.

a3 6
9

B.

a3 6
6

C.

a3 6
18

D.

2a 3 6
3

Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và đáy
bằng 600. Tính thể tích khối chóp.
A.

a3 3
12

B.

a3 3
24

C.

a3 3
2

D.

a3
24

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC = 2AB = 2a, SA
⊥(ABCD), SD = a 5 . Thể tích khối chóp SABCD là:
A. a 3 6

B.

a 3 15
3

C.

a3 5
3

D.

a3 6
3

Câu 20: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA ⊥ (ABCD), SC =
a và SC hợp với đáy một góc 60o . Thể tích khối chóp SABCD là:
A.

a3 3
48

B.

a3 3
24

C.

a3 2
16

D.

a3 6
48

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam
giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Thể tích của khối
chóp S.ABCD là:

a3 3
A.
6

a3
C.
3

a3 3
B.
2

D. a 3

Câu 22: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng
(SAC) và (SAB) cùng vuông góc với (ABCD). Góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60 o. Thể
tích của khối chóp S.ABCD là:
A.

a3 3
3

B.

a3 6
3

C.

a3 3

6

D.

a3 6
.
6

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB
đều, H là trung điểm cạnh AB , biết SH ⊥ ( ABCD ) . Thể tích khối chóp SABCD là:
A.

a3
3

B.

2a 3 3
3

C.

4a 3 3
3

D.

a3
6

Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a.
Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng a 2 . thể tích khối chóp S.ABCD
là:
a3 3
A.
2

a3 3
B.
3

a3 3
C.
4

a3 5
D.
.
3

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, góc
giữa mp(SBC) và (ABC) bằng 600 , SA = a 3 , AD = 2a . Thể tích khối tứ diện SBCD
bằng:
A.

2a 3 3
3

B.

a3 3
4

C.

a3 3
3

D.

a3 2
3

Câu 26: Cho thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là V. Thể tích khối tứ diện ABB’C’
bằng:
A.

V
3

B.

V
27

C.

V
9

D.

V
6

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa mp(SCD) và đáy bằng 600 . Tính thể tích V
của khối chóp.
a3 3
a3 3
A. a 3 .
B.
.
C.
.
D. a 3 2 .
9
3
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh
3

SA, SB, SC , SD (hình vẽ dưới). Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.MNPQ và
S.ABCD . Tính tỉ số

V1
.
V2

1

4

B.

1
2

D. .

A. .
C. .

1
.
16
1
8

Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3cm, các mặt bên (SAB)
và (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt đáy là 600 . Thể tích của
khối S.ABCD là
A. 6 6cm3

B. 9 6cm3

C. 3 3cm3

D. 3 6cm3

Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a ,SA vuông góc với đáy,

mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 600. Thể tích khối chóp S.ABC bằng :


A.

a3 3
8

B.

a3
4

C.

a3 3
4

D.

a3 2
3

Vận dụng thấp
Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 3 , đáy là tam giác ABC vuông cân
tại A , AB = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .
A. V =

a3
.

3

B. V =

2a 3
.
3

C. V = 2a 3 .

D. V = a 3 .

Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAC) một góc 300 . Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
A. V = a3 .

B. V =

a3
.
6

C. V =

3
a3
. D. V = a 6 .
3
6

Câu 33: Cho tứ diện ABCD có thể tích là V, gọi V ′ là thể tích của tứ diện có bốn đỉnh
là trọng tâm của các mặt của tứ diện đã cho.Khi đó ta có tỷ số
A.

V′ 1
= .
V 3

B.

V′ 2
= .
V 3

C.

V′ 8
= .
V 27

V′
là
V

D.

V′ 1
= .
V 27

Câu 34. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của CC ′ . Tính thể tích V của khối tứ diện AA′B′M theo a.
A. V =

a3 3
.
12

B. V =

a3 3
.
6

C. V =

a3
.
3

D. V =

a3 3
.
36

Câu 35. Thể tích tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a và
AD =

a 3
là
2

3a 3 3
A.
16

a3 3
B.
16

3a 3 3
C.
8

a3 3
D.
8

Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết
AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60 o . Tính thể tích
V của khối chóp S.ABCD.
6a 3
A. V =
3

6a 3
B. V =
6

6a 3
C. V =
2

6a 3
D. V =
4


· D = 600 và SA
Câu 37. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BA
⊥ (ABCD). Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.

A. V =

3 2a3
4

B. V =

2a 3
4

C. V =

2a 3
8

D. V =

3 2a3
16

Câu 38. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N , P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC,
CD và DB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
7a3
A. V =
2

B. V = 14a

28a 3
C. V =
3

3

D. V = 7a 3

Câu 39. Tổng diện tích các mặt của một tứ diện đều bằng 4a 2 3 . Thể tích khối tứ diện
đó là:
A.

a3 2
12

B.

2a 3 2
3

C. 4a 3 3

D. 2a3 2

Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC . Tính
thể tích V của khối đa diện A.BCNM .
A.

3a
V =
4

3

3

3

B. V = a

C. V = a

4

D.

2

V = a3

Vận dụng cao
Câu 41. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0. Gọi
(P) là mặt trung trực của SC, (P) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích là V 1, V2 trong
đó V1 là thể tích khối chóp chứa điểm S. Tính
A.

V1 2
= .
V2 3

B.

V1 1
= .
V2 3

V1
.
V2

C.

V1 2
= .
V2 9

Câu 42: Người ta cho nước vào một hình lập phương
ABCD.A′B′C ′D′ cạnh bằng 20cm đặt trên mặt bàn nằm ngang
cho đến khi mực nước dâng đến điểm M là trung điểm của
cạnh AA′ . Sau đó bịt kín lại để nước không chảy ra ngoài và
nghiêng hình lập phương sao cho đường chéo AC ′ vuông
góc với mặt bàn. Khi đó diện tích S của mặt thoáng nước
trong hình lập phương là bao nhiêu ?
A. S = 200 3cm 2 .

B. S = 250 3cm 2 .

D.

V1 1
= .
V2 2


C. S = 500 3cm 2 .

D. S = 300 3cm 2 .

Câu 43. Cho khối hình chóp SABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành tâm
O. GọiV1 là thể tích của khối chóp có đỉnh O và đáy là trung điểm các cạnh SA, SB, SC,
SD. Tính tỉ số
A. V1
V

=

3
8

V1
V

B.V1
V

=

C. V1

3
4

V

=

D.V1

1
8

V

=

1
4

.

Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAB cân tại
A. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp.
a3
A. .
6

a3
B. .
4

a3
C. .
2

3a 3
D.
4

Hướng dẫn giải các câu VDC
Câu 41. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0. Gọi
(P) là mặt trung trực của SC, (P) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích là V 1, V2 trong
đó V1 là thể tích khối chóp chứa điểm S. Tính
A.

V1 2
= .
V2 3

B.

V1 1
= .
V2 3

V1
.
V2

C.

V1 2
= .
V2 9

HD:
∆SAC đều ⇒ A ∈ ( P )

BD ⊥ SC ⇒ ( P ) chứa AM và (P) // BD.

(P) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác AEMF.
V1 = VS . AEMF ,V2 là thể tích phần còn lại.
⇒ V2 = V − V1
V1 VS . AEF VS .EMF 2 2 2 2 1 2
=

+
= . + . . =
1
V
V
3 3 3 3 2 3
S
.
ABC
S
.
BCD
V
2
V 1
⇒ 1 = .
V2 2

Câu 42: Người ta cho nước vào một hình lập phương
ABCD.A′B′C ′D′ cạnh bằng 20cm đặt trên mặt bàn nằm ngang
cho đến khi mực nước dâng đến điểm M là trung điểm của
cạnh AA′ . Sau đó bịt kín lại để nước không chảy ra ngoài và
nghiêng hình lập phương sao cho đường chéo AC ′ vuông
góc với mặt bàn. Khi đó diện tích S của mặt thoáng nước

D.

V1 1
= .
V2 2

trong hình lập phương là bao nhiêu ?
A. S = 200 3cm 2 .

B. S = 250 3cm 2 .

C. S = 500 3cm 2 .

D. S = 300 3cm 2 .

Hướng dẫn: Khi đặt hình lập phương sao cho đường chéo AC ′ vuông góc với mặt bàn
thì mặt phẳng thoáng nước trong hình chính là thiết diện của mặt phẳng trung trực cạnh
AC ′ với hình lập phương.

Dễ tìm được thiết diện là hình lục giác đều IJKLMN như hình vẽ
Diện tích bằng 6. .( 10 2 )
1
2

2

3
= 300 3cm 2 .
2

Câu 43. Cho khối hình chóp SABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành tâm
O. GọiV1 là thể tích của khối chóp có đỉnh O và đáy là trung điểm các cạnh SA, SB, SC,
SD. Tính tỉ số
A. V1

V

=

3
8

V1

V
B.V1
V

=

3
4

C. V1
V

=

1
8

D.V1
V

=

1
4

.


Dễ thấy hai hình chóp O.MNPQ và S.MNPQ bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm I,
hình chóp này biến thành hình chóp kia)
⇒V1 = VS.MNPQ
Mặt khác
⇒V1 =

VS.MNPQ
V

=

VS.MNP
2VSABC

+

VS.MQP
2VSADC

1111 1111 1
+
=
2222 2222 8

=

V
1
1
V ⇒ 1=
8
V
8

Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAB cân tại
A. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp.
A.

a3
.
6

B.

a3
.
4

C.

a3
.

2

D.

3a 3
4

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
O là tâm hình thoi ABCD.
Vì ABC là tam giác cân tại B nên H thuộc OB.
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2x.a 2 1
a2
2
2
=
.2x.
a
−
x
⇒
R
=
Đặt AC = 2x, xét tam giác ABC ta có
.
4R
2
2 a2 − x2

Suy ra SH = a − R =

2

2

a 3a 2 − 4 x 2
2 a2 − x2

.

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là
1 a 3a 2 − 4 x 2
a
a 1
a3
V= .
.2x. a 2 − x 2 = .2x. 3a 2 − 4 x 2 ≤ . (4x 2 + 3a 2 − 4 x 2 ) = .
3 2 a 2 − x2
6
6 2
4

Dấu bằng xảy ra khi x =

a 6
.
4