12 lop9 toan HKII

Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

Phần 1. Đại số

Mục lục
PHẦN 1. ĐẠI SỐ ............................................................................................ 1
CHƯƠNG 3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .............. 1
A - Phương trình bậc nhất hai ẩn ............................................................. 1
B - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn................................................... 4
C - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình .................................... 12
D - Ôn tập chương 3............................................................................... 17
E - Các đề kiểm tra chương 3 ................................................................. 21
CHƯƠNG 4 HÀM SỐ BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ............ 26
A - Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) ...................................................................... 26
B - Phương trình bậc hai một ẩn............................................................. 30
C - Giải và biện luận phương trình có chứa tham số .............................. 36
D - Sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng .................................... 39
E - Hệ thức Vi-ét .................................................................................... 44
F - Phương trình qui về phương trình bậc hai......................................... 52
G - Giải toán bằng cách lập phương trình .............................................. 58
H - Ôn tập chương 4............................................................................... 62
I - Các đề kiểm tra chương 4 .................................................................. 65
PHẦN 2. HÌNH HỌC ................................................................................... 70
CHƯƠNG 3 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ................................................. 70
A - Góc ở tâm. Số đo cung ...................................................................... 70

B - Liên hệ giữa cung và dây .................................................................. 72
C - Liên hệ giữa góc và đường tròn ........................................................ 75
D - Cung chứa góc – Bài toán quỹ tích ................................................... 82
E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn.................................................. 84
F - Đường tròn ngoại tiếp – nội tiếp. Độ dài đường tròn......................... 90
G - Ôn tập chương 3............................................................................... 94
H - Các đề kiểm tra chương 4 ............................................................... 103
CHƯƠNG 4 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU .......................... 108
A - Hình trụ .......................................................................................... 108
B - Hình nón. Hình nón cụt................................................................... 110
C - Hình cầu......................................................................................... 112
D -Ôn tập chương 4.............................................................................. 114
PHẦN 3. CÁC ĐỀ THI HKII ..................................................................... 116

Chương 3
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN


A - Phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c trong đó a, b và c
là các số đã biết (a  0 hoặc b  0).
2. Cặp số (x0 ; y0) gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c khi:
ax0 + by0 = c là một đẳng thức đúng.
3. Công thức nghiệm: Phương trình ax + by = c có vô số nghiệm.
b
c
x  R


x   y 

a) Nếu a  0 và b  0 thì: 
hoặc
a
a
a
c

 y   b x  b
 y  R
 Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm của phương trình
y c
ax + by = c là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ.
c
y
b
x  R
b

b) Nếu a = 0 và b  0 thì: 
c
 y  b
x
O
 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 0x + by = c là đường thẳng song
c
c
song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại (0 ; ). y
x
b
a

c

x 
x
c) Nếu a  0 và b = 0 thì: 
a
c
 y  R
O
a
 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax + 0y = c là đường thẳng song
c
song hoặc trùng với trục tung và cắt trục hoành tại ( ; 0).
a
d) Trường hợp đặt biệt
 Nếu a = b = c = 0 thì phương trình 0x + 0y = 0 có vô số nghiệm.
 Nếu a = b = 0 và c  0 thì phương trình 0x + 0y = c vô nghiệm.

MỤC LỤC................................................................................................... 128
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 128

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 1


Bài tập Toán 9

3.1

3.2

Học kì 2

Viết công thức nghiệm tổng quát
tọa độ:
a) x – 2y = 5
c) 2x – 0,5y – 1 = 0
e) 4x + 0y = 8
g) 0x + 0y = 0
i) 3x + 2y = 5
k) 0x + 2y = 0

và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng
b)
d)
f)
h)
j)
l)

3x + 5y = 6
6x – 2y + 10 = 0
0x – 2y = 6
0x + 0y = –2
3x – 2y = 0
x + 4y = 4

Bài tập Toán 9

Bài 2: Cho hàm số y 

Học kì 2

1 2
x .
4

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ bằng 2 lần hoành độ.
c) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m chỉ có một điểm chung với
(P). Xác định tọa độ của điểm chung này.
Bài 3: Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + 2m–6 = 0 (m là tham số)

m) 5x + 0y = 3

n) ( 2  1 )x + 0y = 1

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

o)

p) 3x + 0y = 0.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = – 2 rồi tính nghiệm còn lại.

3 x + 2y = 1

Cho các cặp số sau: (0;–1), ( 3 ;2– 3 ), (1;

3 –3), ( 3 +1;1). Cặp số

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa

nào là nghiệm của phương trình: ( 3 –1)x – y = 1 ?
3.3

Đường thẳng – 3x + y = 1 đi qua điểm nào sau đây:
A(1 ; 4), B(0,25 ; 0), C(–3 ; –8), D( 2 ; –1), E(– 3 ; 1–3 3 ).

3.4

Tìm giá trị của m để:
a) Điểm M(1 ; 0)
b) Điểm N(0 ; –3)
c) Điểm P(5 ; –3)
d) Điểm P(5 ; –3)
e) Điểm Q(0,5;–3)
f) Điểm S(4 ; 0,3)
g) Điểm A(2 ; –3)

Bài 4: Cho đường tròn (O), từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O) (B; C là các tiếp điểm,
D; E  (O) và tia AE không qua O).Gọi K là trung điểm của DE.
a) Chứng minh: 5 điểm A, B, O, K, C cùng thuộc một đường tròn.

thuộc đường thẳng mx – 5y = 7 ;
thuộc đường thẳng 2,5x + my = –21 ;

thuộc đường thẳng mx + 2y = –1 ;
thuộc đường thẳng 3x – my = 6 ;
thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5 ;
thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5 ;
thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1)y = 2m + 1)

3.5

Phải chọn các hệ số a và b như thế nào để phương trình ax + by = c xác
định một hàm số bậc nhất của biến x ?
Áp dụng: Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b?
a) 5x – y = 7
b) 3x + 5y = 10
c) 0x + 3y = – 1
d) 6x – 0y = 18
e) 2x – y = 3
f) 0x – 0y = 3.

3.6

Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ rồi tìm tọa
độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
a) 2x + y = 1
và
4x – 2y = –10
1
1
3
b) 0,5x + 0,25y = 0,15
và

 x y
2
6
2
c) 4x + 5y = 20
và
0,8x + y = 4

Gv: Trần Quốc Nghĩa

x1 x 2 5

 .
x 2 x1 2

Trang 2

b) Gọi H là giao điểm của OA với BC. Kẻ dây EF của đường tròn (O)
vuông góc với đường thẳng OA. Chứng minh 3 điểm D, H, F thẳng
hàng.
c) Chứng minh tứ giác ADOF nội tiếp .
d) Kẻ đường kính BI của đường tròn (O). Hai tia ID và IE cắt đường
thẳng OA lần lượt tại M và N. Chứng minh OM = ON.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 127


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

d) 4x + 5y = 20

Đề 13
b) 3x 2  4 3x  4  0

c) x4 – 5x2 – 36 = 0

x  3y  1
d) 
2x  5y  11

Bài 2: Cho phương trình: x2 + mx + 2m – 4 = 0 (x là ẩn số).
a) Chứng tỏ phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m.
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Định m để x12  x 22  5 .
Bài 3: Cho hàm số y = 

x

2

4

có đồ thị là (P)

a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm các điểm M thuộc đồ thị (P) sao cho M có hoành độ bằng 2 lần
tung độ.
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O; R), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

và

2x + 2,5y = 5.

3.7

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
a) 2x + y = 0
b) 5y – x = 0
c) 3x – 2y = 1
d) 4x + 11y = 47.

3.8

Chứng minh hai đường thẳng (d) : ax + by = c (a, b  0) và
(d) : ax + by = c (a , b  0):
a b
a) Cắt nhau khi

a ' b'
a b c
b) Song song nhau khi
 
a ' b' c'

a b c
c) Trùng nhau khi
 
a ' b' c'
ax  by  c
Từ đó suy ra điều kiện để hệ phương trình 
:
a ' x  b ' y  c '
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Vô nghiệm
c) Có vô số nghiệm

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình:
a) 15x2 + x – 2 = 0

Học kì 2

Áp dụng: Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy
nhất.
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Vô nghiệm
c) Có vô số nghiệm

a) Chứng minh các tứ giác: AEHF và BCEF nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng của H qua điểm M.
Chứng minh: AK là đường kính của đường tròn (O; R).

Cô giáo đang đọc truyện "Ba chú heo con" cho các bé
nghe đến đoạn một chú heo gặp bác nông dân và xin
rơm:

- Bác ơi, cho cháu xin ít rơm nhé!
Cô giáo ngừng lại hỏi:
- Các con có biết bác nông dân nói gì không?
Tèo giơ tay:
- Thưa cô, bác ấy bảo: “Trời ơi! Một con heo biết nói!”.

c) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P.
Chứng minh: PB.PC = PD.PM
  600 . Tính diện tích tam giác MEF theo R.
d) Cho góc BAC

Đề 14
Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 4x 4  7x 2  15  0

b) x 2 3  6 2x  0

c) x 2  5x  4  2  0

5x  3y  6
d) 
7x  4y  3

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Ba chú heo con

Trang 126

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 3


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

Đề 12

B - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
7
a) 4x 4  5x 2  9  0
b) 2
 x 2  4x  1  0
x  4x  5

ax  by  c
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng: 
a' x  b' y  c'

2. Hai hệ phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng tập
nghiệm.
Chú ý:  Hai hệ cùng vô nghiệm là tương đương.

 Hai hệ cùng vô số nghiệm không tương đương với nhau.
3. Giải hệ phương trình:
a) Bằng đồ thị:
 Vẽ các đường thẳng (d) : ax + by = c và (d) : a x + b y = c trên cùng
một mặt phẳng tọa độ.
 Tọa độ giao điểm của (d) và (d ) là nghiệm của hệ phương trình.
Chú ý:  (d)  (d )  hệ có vô số nghiệm
 (d) // (d )  hệ vô nghiệm
 (d) cắt (d )  hệ có một nghiệm duy nhất
b) Bằng đại số:
 Phương pháp thế:
Định lý: Nếu từ một phương trình của hệ đã cho ta có thể biểu thị một ẩn
số theo ẩn số kia, rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình mới có một ẳn số, thì hệ phương trình lập bởi phương trình mới này
với phương trình thứ nhất của hệ tương đương với hệ đã cho.
x  3 y  5
Ví dụ : Giải hệ phương trình 
4 x  5 y  3
Giải
x  3 y  5
x  3 y  5
x  3 y  5
x  2
 
 
 

4 x  5 y  3
4( 3 y  5 )  5 y  3
17 y  17

 y  1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2 ; –1)

c) 4x4 – 16x2 = 0

Bài 2: Cho hàm số y  ax 2 có đồ thị (P) và hàm số y  (p  1)x  p  1 có đồ
thị (d) (a, p là tham số).
 2 4 
;  và tiếp xúc với (d) tại B. Tìm a, p và
 3 9

a) Biết (P) qua điểm A 

toạ độ B. Vẽ (P), (d) trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy.


3

b) Cho điểm C  1;  . Viết phương trình đường thẳng (BC).
2

c) CM : (P) cắt (BC) tại M, N. Tỉm toạ độ trung điểm I của MN.
Bài 3: Cho phương trình (m  1)x 2  2(m  1)x  m  3  0 (m là tham số).
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của ph trình. Tìm m để x1.x2 > 0 và x1= 2x2
c) Giả sử m khác –1, tìm các giá trị nguyên của m để x1+ x2 ; x1.x2 có
giá trị nguyên .
Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC
cắt AB, AC lần lượt tại E, F. BF cắt CE tại H, AH cắt BC tại D. Gọi T
và S lần lượt là trung điểm của AH và EF.

a) Chứng minh T, S, O thẳng hàng .

 Phương pháp cộng:
Định lý 1: Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số
khác 0 thì hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
Định lý 2: Nếu cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta
được một phương trình mới, thì hệ phương trình lập bởi phương trình
mới này với một trong hai phương trình của hệ là tương đương với nhau.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

 xy xy

5
2 

5 
3
d)  
 3 (x  y)  2 (x  y)  0
 5
3

Trang 4

b) Gọi I là trung điểm HB. Chứng minh tứ giác IEFD nội tiếp .
c) EF cắt BC tại M. Chứng minh: MB. MC = MD. MO.
d) AD, AQ là hai tiếp tuyến của (O) (P, Q thuộc (O)).
Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 125


Bài tập Tốn 9

Học kì 2

Bài tập Tốn 9

Học kì 2

b) Kẻ đường kính AK. Chứng minh: BHCK là hình bình hành và ba
diểm H, I , K thẳng hàng

x  3 y  5
Ví dụ : Giải hệ phương trình 
4 x  5 y  3

c) Qua A vẽ đường thẳng xy song song với DE. Chứng minh xy là tiếp
tuyến của đường tròn (O)

Giải
x  3 y  5
4 x  12 y  20  x  3 y  5
x  2
Ta có: 
 



4
x

5
y

3
4
x

5
y

3
17
y


17



 y  1

d) Chứng minh rằng nếu điểm M nằm giữa B,C với tổng khoảng cách
từ M đến AB và AC bằng khoảng cch từ B đến AC . thì tam giác
ABC là tam giác cân

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2 ; –1)

b) 2x 4  5x 2  12  0

Khơng cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau
đây và giải thích ?
 y  3  2x
2y   x  6
3x  2y  0
a) 
b) 
c) 
 y  3x  1
x  2y  2
3y  2x

2x  5y  3
d) 
3x  7y  8

3x  3  y
d) 
3x  3  y

3.9

Đề 11
Bài 1 : Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 4x 2  3x  10  0
2

c) 5x  4 12x  12  0

3x  y  1
f) 
6x  2y  5

3.10 Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:

x2
Bài 2 : Cho hàm số y 
có đồ thị (P).
4

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Tìm những điểm thuộc (P) có hồnh độ bằng 2 lần tung độ.
Bài 3: Cho phương trình: x 2  2(m  1)x  m 2  2m  3  0 (x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
2
1

2
2

b) Khơng giải phương trình tìm x1; x2. Tìm m để x  x  x1x 2  28
Bài 4: Từ một điểm A ở ngồi đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C
là các tiếp điểm) và cát tuyến AED đến đường tròn (O) (E; D  (O), E
nằm giữa A và D).
a) Chứng minh: BD.CE = BE.CD
b) Gọi H là giao điểm của OA và BC . Chứng minh tứ giác OHED là tứ
giác nội tiếp.
c) Chứng minh: HC2 = HD.HE

  CDA
.
d) Chứng minh: BDH

Gv: Trần Quốc Nghĩa

4x  9y  3
e) 
5x  3y  1

Trang 124

4x  4y  2
a) 
2x  2y  1

3x  2y  13
b) 
2x  y  3

x  y  1
c) 
3x  0y  12

x  2y  6
d) 
0x  5y  10

x  y  2
e) 

3x  3y  2

3x  2y  1
f) 
6x  4y  0

3.11 Hãy giải thích tại sao các hệ phương trình sau là tương đương:
x  y  1
a) 
x  y  3

và

x  y  1

 y  x  3

x  y  2
b) 
2x  2y  1

và

x  y  1

x  y  0

2x  y  0
c) 
3x  y  1  0

và

x  1

3x  y  1  0

và

2x  y  0

x  1

3.12 Tìm giá trị của a để hai hệ phương trình sau tương đương:
x  y  2
a) 
3x  y  1

và

ax  y  1

x  ay  2

x  y  a
b) 
x  y  a  2

và

2x  y  a  1

2x  y  a  1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 5


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

b) Tìm các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng gấp rưỡi lần tung độ.

x  0y  2
3.13 Cho hệ phương trình: 
5x  y  9

Bài 3: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + m = 0

a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó xác
định nghiệm của hệ.

a) Chứng tỏ phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Nghiệm của hệ này có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1
hay không ?

c) Tìm m để biểu thức A  x1  x 2  x12  x 22 đạt giá trị lớn nhất
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC ở M, Vẽ
đường tròn tâm O đường kính MC, tia BM cắt đường tròn (O) tại H.

3.14 Cho hai đường thẳng (d1) : x + y = 2 và (d2) : 2x + 3y = 0.
a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Đường thẳng (d3) : 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2)
hay không ?
3.15 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x  5y  3
a) 
14x  51y  15
4x  5y  3
d) 
x  3y  5

y  4  x
b) 
x  y  4
x y
  1
e)  2 2
x  y  3

9x  6y  4
c) 
15x  10y  7

a) Chứng minh tứ giác ABCH nội tiếp
b) Chứng minh HB.HM = HC2
c) Gọi E là giao điểm BA và CH, cho AB = 5cm, HC = 3 2 cm. Tính
độ dài cạnh BC.
d) Tia HO cắt BC đường tròn (O) lần lượt ở I và K. Vẽ MP  KH,
MQ  KB, đoạn thẳng BC cắt (O) tại N. C/minh P, N, Q thẳng hàng.

7x  2y  1
f) 
3x  y  6

Đề 10

1,7x  2y  3,8
g) 
2,1x  5y  0,4

1,3x  4, 2y  12
h) 
0,5x  2,5y  5,5

( 5  2)x  y  3  5
i) 
 x  2y  6  2 5

 5x  y  5( 3  1)
j) 
2 3x  3 5y  21

 2x  3
1

k)  3y  2
3(3y  2)  4(x  2y)  0


 3x
 2  2y  0
l) 
 x  y  2y  5
 2
3 2

( 3  2)x  y  2
m) 
x  ( 3  2)y  6

n) 

 x  2y  4(x  1)
o) 
5x  3y  (x  y)  8

(x  3)(2y  5)  (2x  7)(y  1)
p) 
(4x  1)(3y  6)  (6x  1)(2y  3)

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 4x 2  2x  0

b) 2x 4  3x 2  2  0

x  3y  1
c) 
3x  2y  2

 5x  y  10
d) 
 2x  y  5

Bài 2: Cho hàm số : y 

x2
có đồ thị (P)
2

a) Vẽ (P)

2(2 x  3y)  3(2 x  3y)  10
4x  3y  4(6y  2 x)  3

b) Cho A thuộc (P) có hoành độ bằng 2. Viết phương trình đường thẳng
(D) tiếp xúc với (P) tại A .
Bài 3: Cho phương trình x 2  x  2  m 2  0 . Không dùng công thức nghiệm
để giải phương trình, hãy tính tổng bình phương hai nghiệm x1 và x2.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O; R). Hai
đường cao BE và CD cắt nhau tại H .

3ax  (b  1)y  93

3.16 Cho hệ phương trình: 
(với a, b  R).
bx  4ay  3
Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (1 ; –5).
Gv: Trần Quốc Nghĩa

b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m

a) Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn tâm I , xác định I
Trang 6

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 123


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

4

b) x 2  2 3x  6  0

2x  ay  b  4
3.18 Cho hệ phương trình: 
(với a, b  R).
ax  by  8  9a

Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (3 ; –1).

x  2y  3
d) 
3x  y  5

2

c) x  3x  4  0
Bài 2: Cho (P): y  x 2 và (D): y = x + 2

3.19 Tìm giá trị của a và b để đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và đường
thẳng (d2): 0,5ax – (3b + 2)y = 3 cắt nhau tại điểm M(2; –5).

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ.

3.20 Tìm a và b để:

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(–5; 3) và B(1,5; –1) ;

Bài 3: Cho phương trình x 2  (m  1)x  m  2  0

b) Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9 ; – 6) và đi qua giao điểm
của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17 và (d2) : 4x – 10y = 14.

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
A  x12  x 22  6x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC
tại H. Gọi I là trung điểm của HC. Tia OI cắt (O) tại F.
a) Chứng minh AH là đường cao của ABC và AB2 = BH.BC.
b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp.
.
c) Chứng minh AF là phân giác của HAC

a) Hai đường thẳng (d1) : 5x – 2y = 3 và (d2) : x + y = a cắt nhau tại một
điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng
tọa độ ứng với giá trị a vừa tìm được)
b) Hai đường thẳng (d1) : ax + 3y = 10 và (d2) : x – 2y = 4 cắt nhau tại
một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt
phẳng tọa độ.

a) (d1) : 5x – 2y = c và (d2) : x + by = 2, biết rằng (d1) đi qua điểm
A(5 ; –1) và (d2) đi qua điểm B(–7 ; 3).

Đề 9

b) (d1) : ax + 2y = –3 và (d2) : 3x – by = 5, biết rằng (d1) đi qua điểm
M(3 ; 9) và (d2) đi qua điểm N(–1 ; 2).

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 3x 2  5x  28  0

b) x 2 2  18  0

c) 4x 2  12x 2  9  0

 2x  3y  5

d) 
3x  4y  7

c) Giải các hệ phương trình sau:
 1 x
2y  1

2

a)  2y  1
1 x

x  y  1

x2
.
4

 x 1
y

2

x 1
b)  y

x  y  2

3.23 Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B
sau:

a) Vẽ đồ thị của (P)
Gv: Trần Quốc Nghĩa

3.21 Tìm giá trị của a để:

3.22 Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d) AF cắt BC tại D. Chứng minh BA = BD.

Bài 2: Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y 

Học kì 2

(a  2)x  5by  25
3.17 Cho hệ phương trình: 
(với a, b  R).
2ax  (b  2)y  5
Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (3 ; –1).

Đề 8
a) x 4  2x 2  0

Bài tập Toán 9

Trang 122

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 7

Bài tập Toán 9

Học kì 2

a) A(2 ; –2) và B(–1 ; 3)
c) A(3 ; –1) và B(–3 ; 2)

b) A(– 4 ; –2) và B(2 ; 1)
d) A(1 ; 0) và B(3 ; 1)
3x 2  y2  5
b) 
2
2
 x  3y  1

5
 10
 12x  3  4y  1  1

c) 
7
8


1
 12x  3
4y  1

1 1
x  y 1

d) 
3  4  5
 x y

 1
x  2 

e) 
 2 
 x  2

1
 2
x  y  x  y  3

f) 
 1  3 1
 x  y x  y

1
2
y 1
3
1
y 1

3

13
 4
 x  y  36

g) 
 6  10  1
 x
y

1
 4
 x  2y  x  2y  1

h) 
 20  3  1
 x  2y x  2y

3 x  2 y  2
i) 
2 x  y  1

2 x  1  y  1  1
j) 
 x  1  y  1  2

2

(x  1)  2y  2
k) 
2

3(x  1)  3y  1

Học kì 2

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

3.24 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
 2x 2  3y  1
a) 
2
3x  2y  2

Bài tập Toán 9

a) Chứng minh: tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm I của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE
b) Chứng minh: AF.BC = EF.AC
c) Chứng minh: 4 điểm I, F, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
d) Chứng minh:

SDEF
 sin 2 A  cos 2 B  cos2 C .
SABC

Đề 7
Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau
a) x 2  x 5  10  0

b) 3x 4  4x 2  4  0

2x  3y  19
c) 
3x  2y  16

d) 3x4 – 75x2 = 0

Bài 2: Cho (P): y 

x2
1
và (d): y   x  2
4
2

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục
b) Tìm giao điểm (P) và (d) bằng phép toán

3 4x  2y  5 2x  y  2
l) 
7 4x  2y  2 2x  y  32

x  y  1
3.25 Cho hệ phương trình: 
(với a  R).
ax  2y  a
Với giá trị nào của a thì hệ có một nghiệm ? Có vô số nghiệm ?

Bài 3: Cho phương trình: x 2  2x  m  3  0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 .

b) Tìm m để x1  x 2  4
Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (O) (B,C là tiếp điểm )
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA  BC tại H

x  ay  a
3.26 Cho hệ phương trình: 
(với a là một số thực bất kì).
ax  y  1

a) Giải hệ phương trình với a =

b) Vẽ đường kính CD của đường tròn (O), AD cắt (O) tại M. Chứng
  MAC

minh: BHM

2 – 1.

c) Tia BM cắt AO tại N. Chứng minh NA = NH

b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a)
Gv: Trần Quốc Nghĩa

d) Vẽ ME là đường kính đường tròn (O), gọi I là trung điểm DM.
Chứng minh: 3 điểm B, I, E thẳng hàng và BI // MH
Trang 8

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 121


Bài tập Toán 9

Bài 3: Cho hàm số : y 

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

c) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x > 0 và y > 0.

x2
x
(P) và y 
 2 (D)
4
2

b) Tìm tọa độ giao điểm M của (P) và (D) bằng phép tóan.

3.27 Cho hai đường thẳng có phương trình: (d): mx – (n + 1)y – 1 = 0 và
(d): nx + 2my + 2 = 0. Xác định các giá trị của ma và n sao cho (d) và
(d) cắt nhau tại điểm P(–1; 3).

c) Viết phương trình đường thẳng (D) // (D) và tiếp xúc (P).Tìm tọa độ
tiếp điểm?

3.28 Cho phương trình: 2ax + (a – b – 2)y = a + 3b – 6 (1). Định a và b sao cho
phương trình (1) có nghiệm là (1 ; – 3) và (2 : 1).

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bài 4: Cho đường tròn (O; R) dây AB cố định (AB < 2R) và C là một điểm tùy
ý trên cung lớn AB (C không trùng A,B và CA  CB) vẽ đường kính
CD. Vẽ CH vuông góc với AB tại H. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
của A, B lên CD. Chứng minh rằng :
b) HM vuông góc với BC.
c) Tam giác HMN đồng dạng với tam giác CAB.

Đề 6
Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình :
4x  5y  8
c) 
3x  4y  6

3x  2y  5
d) 
 x  y  2

3 x  2y  9  0
b) 
 2x  y  7  0

 x  1  y  5  1
c) 
 x  1  3y  3

 x  1  y  5  1
f) 
 x  1  y  5  0

3.30 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:

d) Khi C di động trên cung lớn AB thì tâm đường tròn ngọai tiếp tam
giác HMN là một điểm cố định.

b) x 4  8x 2  9  0

 x  2 y  3
a) 
7x  5y  2

 x  1  y  1  5
 x  y  2y  1
d) 
e) 
 y  1  2x
 x  1  4y  4  0

a) Tứ giác CMHA nội tiếp, tìm tâm G của đường tròn này.

a) 5x 2  2x  7  0

3.29 Giải các hệ phương trình sau:

Bài 2: Cho phương trình: x 2  2mx  2m  1  0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Không giải phương trình. Hãy tính tổng và tích 2 nghiệm theo m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A  x12  x 22 và giá trị của m tương ứng
x2
1
có đồ thị là parabol (P) và hàm số y  x  1 có
2
2
đồ thị là đường thẳng (D)

Bài 3: Cho hàm số: y 

 3x  2y  1
c) 
 2x  3y  3

3x  2y  8
a) 
4x  3y  12

3x  2y  2
b) 
9x  6y  15  0

 2x  3y  1
d) 
x  3y  2

x  2 2y  5
( 2  1)x  y  2

e) 
f) 
 2x  y  1  10
x  ( 2  1)y  1

2x  11y  7
 2x  2 3y  5
g) 
h) 
10x  11y  31
3 2x  3y  4,5

4x  7y  16
i) 
4x  3y  24

0,35x  4y  2,6
10x  9y  8
j) 
k) 
0,75x  6y  9
15x  21y  0,5

3,3x  4, 2y  1
l) 
9x  14y  4

y
 x



m)  5
3
 x  y  12


x
2
  3y 
o)  2
2
2x  12y  2 2


8x  7y  5
n) 
12x  13y  8

x  y  2(x  1)
p) 
7x  3y  x  y  4

3 5x  4y  15  2 7
q) 
2 5x  8 7y  18

3(x  1)  2y   x
r) 
5(x  y)  3x  y  5

5(x  2y)  3x  1
s) 
2x  4  3(x  5y)  12

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 120

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 9


Bài tập Toán 9

 3x  2y 5x  3t

 x 1
 5
3
t) 
 2x  3y  4x  3y  y  1
 3
2
 2x  1 y  2 1
 4  3  12
v) 
x  5  y  7  4
 2

3

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

c) 4x 4  8x 2  5  0

 x  1 y  2 2(x  y)
 3  4 
5
u) 
 x  3  y  3  2y  x
 4
3

Bài 2: Cho hàm số y  

 2x  3y x  y  1

 2x  y  1
 4
5
w) 
 x  y  1  4x  y  2  2x  y  3
 3
4
6

d) 4x 2  2 5x  1  0

x2
có đồ thị là (P)
2

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Tìm các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ.
Bài 3: Cho phương trình x 2  (3m  2)x  3m  0 .
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

3.31 Giải các hệ phương trình sau hai cách:
2(x  y)  3(x  y)  4
a) 
(x  y)  2(x  y)  5

b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m.

2(x  2)  3(1  y)  2
b) 
3(x  2)  2(1  y)  3

3.32 Giải các hệ phương trình sau:
1
1 1
 1
x  y 1
 x  2  y 1  2



a) 
b) 
3  4  5
 2  3 1
 x y
 x  2 y  1

c) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để
A  x12 x 2  x1x 22 đạt giá trị lớn nhất.

7
5

 x  y  2  x  y  1  4,5

c) 
3
2


4
 x  y  2 x  y  1

Bài 4: Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R). BC cố định. Các tia phân
, B
, C
 cắt đường tròn lần lượt tại D, E, F. Gọi M là giao
giác của A
điểm của BC với OD. Kẻ DN  AB (N  AB) và DP  AC (P  AC)

a) Chứng minh: Tứ giác NBMD và DMPC nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh: 3 điểm N, M, P thẳng hàng.

3.33 Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
 x  1 y  2 2(x  y)
 3  4 
5

x

3
y

3


 2y  x
 4
3
cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.

c) Chứng minh: NP // EF.
d) Chứng minh: AD + BE + CF lớn hơn chu vi BC.

Đề 5
Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

(a  1)x  y  3
3.34 Cho hệ phương trình: 
(với a  R).

ax  y  a

a) 3x 2  11x  10  0

b) x 2  4 2x  8  0

c) 5x 4  4x 2  1  0

x 2  y 3  5
d) 
2x 2  3y 3  5

a) Giải hệ phương trình với a = – 2 .
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa x + y > 0.
x  ay  1
3.35 Cho hệ phương trình: 
(với a  R).
ax  y  a

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tính tổng và tích hai nghiệm theo m.

a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi a)

c) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình.

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x < 1 và y < 1.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Bài 2: Cho phương trình: x 2  (m  2)x  m  1  0 (m là tham số)

Trang 10

Tìm m để x12  x 22  3x1x 2  1
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 119


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

(a  1)x  ay  5
3.36 Cho hệ phương trình: 
(với a  R).
2
x  ay  a  4a
Tìm giá trị của a  Z để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y  Z.

Đề 3
Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình :
a) x4 – 5x2 – 36 = 0

b) 5x2 + 2x = – 8

3.37 Xác định các hệ số a, b của hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua :
a) A(2 ; 1), B(1 ; 2)
b) A(1 ; 3), B(3 ; 2)
c) A(1 ; 2), B(2 ; 0).

c) 3x2 + 7x + 4 = 0

 5x  y  2
d) 
(1  5)x  y  1

3.38 Cho đa thức f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n.
Hãy xác định m và n sao cho đa thức đã cho chia hết cho x + 1 và x – 3.

Bài 2: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số sau: y  

3.39 Tìm giá trị của m đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m đi qua giao điểm
của hai đường thẳng (d1) : 2x + 3y = 7 và (d2) : 3x + 2y = 13.

x2
2

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thằng (D): y  2(x  1)
bằng phép tính
Bài 3: Cho phương trình: x 2  2(m  1)x  4m  0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa hệ thức
x12  x 22  x1  x 2  6

Bài 4: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ các tiếp tuyến AB , AC và cát

tuyến ADE ( D và E thuộc (O) và D nằm giữa A và E) . Đường thẳng
qua D vuông góc với OB cắt BC ,BE lần lượt tại H và K. Vẽ OI vuông
góc với AE taị I.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng IA là phân giác góc BIC.
c) Gọi S là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng AC2 = AD.AE
và tứ giác IHDC nội tiếp.
1
1
2
d) Chứng minh rằng:


AD AE AS

Đề 4

3.40 Cho 4 đường thẳng (d1) : 3x + 2y = 13 ; (d2) : 2x + 3y = 7 ; (d3) : x – y = 6
(d4) : 5x + 0y = 25. Hỏi bốn đường thẳng trên có đồng quy không ?
3.41 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d1): y = 2x – 1
b) (d1): y = –x + 1
(d2): 3x + 5y = 8
(d2): y = x – 1
(d3): (m + 8)x – 2my = 3m
(d3): (m + 1)x – (m – 1)y = m + 1
c) (d1) : y = 2x – m
(d2) : y = –x + 2m
(d3) : mx – (m – 1)y = 2m – 1
3.42 Giải các hệ phương trình sau:

x  y  z  6

a) 2x  3y  5z  19
b)
4x  9y  25z  97


d) (d1) : 5x + 11y = 8
(d2) : 10x – 7y = 74
(d3) : 4mx + (2m – 1)y = m + 2.

x  y  z  2

x  2y  2z  3
x  3y  3z  4


x  2y  3z  0

c) x  y  5z  4
x  8y  z  6


Giờ sinh vật, thầy giáo hỏi một em học sinh:
- Trong các loại cây mà bố em trồng, em thấy cây nào cho hiệu quả kinh tế cao nhất?
- Dạ, "cây xăng" ạ!

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình:
a) 3x 2  4x  4  0
Gv: Trần Quốc Nghĩa

4x  y  1
b) 
2x  3y  4
Trang 118

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 11


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

c) Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF.
Chứng minh 4 điểm I, C, K, D cùng thuộc một đường tròn.

C - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

d) Chứng minh: IK vuông góc với CD.

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Đề 2

 Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình :

 Bước 2: Giải hệ phương trình.
 Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện của
ẩn không
 Bước 4: Kết luận.

a) 4x 2  4 5x  5  0

b) x 4  5x 2  14  0 ;

4x  3y  3

c) 
7
5x  4y  6

d) x4 – 3x2 = 0

1
x
Bài 2: Cho hàm số y =  x 2 có đồ thị là (P) và hàm số y =
– 6 có đồ thị
4
2

là (D):

2. Một số kiến thức cần lưu ý
a) Loại toán cấu tạo số:

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ.

 Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab
Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a  9 và 0 b  9, a,b N)

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán
Bài 3: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + 3m = 0

 Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc

abc = 100a +10b + c, (Đk: 1  a  9 và 0  b, c  9; a, b, c  N)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tính tổng và tích các nghiệm theo m

b) Loại toán chuyển động:
 Có 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên
hệ bởi công thức: s = v.t
 Chuyển động trên dòng nước chảy:
Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng.

c) Tìm m để biểu thức A  x12  x 22  4x1x 2  3 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là
các tiếp điểm) và cát tuyến ADE đến đường tròn (O) (D, E  (O) và tia
AE không qua qua O). Gọi K là trung điểm của DE.

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước

a) Chứng minh: Năm điểm A, B, O, K, C cùng thuộc một đường tròn.

Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước

b) Gọi H là giao điểm của OA với BC. Chứng minh tứ giác DHOE nội
tiếp.

c) Loại toán “làm chung – làm riêng” một công việc hoặc “vòi nước
chảy chung – chảy riêng” đầy bể:
 Có 3 đại lượng:
- Khối lượng công việc
- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất)
- Thời gian
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 12

c) Tia DH cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh EF // BC.
d) Qua K kẻ đường kính TP của đường tròn (O). TA cắt đường tròn (O)
tại S. Gọi M là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: Ba điểm
S, M, P thẳng hàng.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 117

Bài tập Toán 9

Học kì 2

Đề 1
Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
2x 2  3x

b) 2x2 – 7x + 3 = 0

c) 3x4 – 8x = 3

3
 2
x  2  y  2

d) 
 3  5  1
 x  2 y
6

Bài 2: Cho hàm số y =

3.43 Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2005 và nếu lấy số lớn
chia cho số nhỏ thì được thương là 7 và dư là 5.
3.44 Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa) Nếu xe chạy với vận
tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm hơn 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với
vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài
quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.

x2
có đồ thị (P).
2

a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm phương trình đường thẳng (d): y =

x
 2b tiếp xúc với (P).
2

Bài 3: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2(m – 3)x + m + 1 = 0 (với m  1)
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x1 = 0, khi đó tìm nghiệm còn
lại.
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa
x1, x2 độc lập đối với tham số m.
d) Gọi S và P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm của phương trình.
Tìm các giá trị của m nguyên để S và P là các số nguyên.
Bài 4: Cho đường tròn (O). Từ điểm M ở bên ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA,
MB với (O) (A, B là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C,
gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm C lên các đoạn
thẳng AB, MA, MB.
a) Chứng minh các tứ giác AECD, BFCD là tứ giác nội tiếp. Xác định
tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác đó.
2

b) Chứng minh: CD = CE.CF
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 2

 Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ
công việc là 1.
- Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày
1
đội đó làm được (công việc).
x
- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong
1
1 giờ vòi đó chảy được (bể).
x

Phần 3. Các đề thi HKII

a)

Bài tập Toán 9

Trang 116

3.45 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc
dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, và đi từ B về A hết
41 phút (vận tốc lên dốc và xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận
tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
3.46 Hai người ở hai địa điểm cách nhau 3,6km và khởi hành cùng lúc, đi
ngược chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai điểm khởi hành
2km. Nếu vận tốc vẫn không đổi, nhưng người đi chậm xuất phát trước
người kia 6 phút thì họ gặp nhau ở giữa quãng đường. Tính vận tốc của
mỗi người.

3.47 Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc, một xe máy đi từ
A và một ôtô đi từ B. Xe máy và ôtô gặp nhau tại địa điểm C cách A
120km. Nếu xe máy khởi hành sau ôtô một giờ thì sẽ gặp nhau tại địa
điểm D cách C 24km. Tính vận tốc của ôtô và xe máy.
3.48 Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc
tăng thêm 20km/h thì thời gian đi sẽ giảm một giờ, nếu vận tốc giảm bớt
10km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm một giờ. Tính vận tốc và thời gian đi
của ôtô.
3.49 Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng
63km. Một lần khác, canô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 13


Bài tập Toán 9

Học kì 2

ngược dòng 84km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc thật của canô
(vận tốc thật của canô không đổi).
3.50 Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu vận
tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến nơi sớm hơn 2 giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm
đi 3 km/h thì đến nơi chậm 3giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.

Bài tập Toán 9

Học kì 2

4.15 Một hình chữ nhật ABCD có AB > CD, diện tích và chu vi của nó theo

thứ tự là 2a2 và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một
hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
4.16 Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo các kích thước đã cho:
B

3,8 cm

3.52 Tám năm trước tuổi mẹ bằng 2 lần tuổi con cộng thêm 8. Năm nay tuổi
mẹ vừa đúng gấp 2 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi ?

8,2 cm

7,6 cm

O
14 cm

3.54 Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
bé hơn số đã cho là 27. Tổng của số dã cho và số mới tạo thành bằng 99.

C

(b)

(a)

2

4.17 Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo các kích thước đã cho:

4

6,9 cm

3.58 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 540m. Ba lần chiều rộng hơn hai
lần chiều dài là 60m. Tính diện tích sân trường đó.
3.59 Hôm qua mẹ Mai đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết
12000 đồng. Hôm nay mẹ Mai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt
chỉ hết 11600 đồng mà giá trứng thì vẫn không thay đổi. Hỏi giá một quả
trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
3.60 Một tam giác có chiều cao bằng ¾ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính
chiều cao và cạnh đáy.
Trang 14

4

3.57 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng thêm 3m và tăng
chiều dài thêm 2m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài
lẫn chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng
đó.

8,4 cm

3.56 Diện tích một hình thang bằng 140cm , chiều cao bằng 8cm. Xác định
chiều dài của các cạnh đáy, biết rằng các cạnh đáy hơn kém nhau 15cm.

20 cm

2

Gv: Trần Quốc Nghĩa

D

5,8 cm

A

3.53 Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc
anh bằng em hiện nay. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

3.55 Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu
tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm2, và
nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam
giác giảm đi 26cm2.

8,2 cm

8,1 cm

3.51 Tổng của hai số là 115. Hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 30. Tìm hai
số đó.

12,6 cm

(a)

(b)

(c)

4.18 Cho hình bên mô tả một hình cầu được đặt khít vào tỏng một hình trụ, các
kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính:
a) Thể tích hình cầu.
b) Thể tích hình trụ.
O

r cm

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.
d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường
tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r (cm).
e) Từ kết quả câu a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 115


Bài tập Toán 9

Học kì 2

3.61 Một hình chữ nhật có chu vi là 450m. Nếu giảm chiều dài đi

D - Ôn tập chương 4
Hình

Hình vẽ

Hình
trụ

Diện tích

S tp  2 rh  2 r

r

Hình
nón

2

S xq   rl

h

S tp   rl   r

2

Hình
nón
cụt

V  Sh   r 2 h

1
V   r 2h

3

Hình
cầu

S xq   ( r1  r2 )l
h

l

S tp   ( r1  r2 )l
  r12   r22

r2

d

R

S  4 R 2   d 2

1
V   h( r12  r22  r1 r2 )
3

4
1
V   R3   d 3
3
6

4.14 Hãy tính thể tích, diện tích xung quanh của các hình tương ứng theo kích
thước đã cho ở hình sau:
11cm

3, 6cm
2cm

5,6 cm
4,8cm

7 cm
25cm

(a)

Gv: Trần Quốc Nghĩa

(b)

1
chiều dài
5

1
chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không
4
đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn.

r

rr11
h

Học kì 2

cũ, tăng chiều rộng thêm

Thể tích

S xq  2 rh

h

Bài tập Toán 9

4
giờ
5
thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi
6
thứ hai thì sau
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ
5
hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

3.62 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 4

3.63 Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình
thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình

1
thứ hai chỉ được tới
thể tích của nó; hoặc bình thứ hai đầy nước còn
2
1
bình thứ ba chỉ được tới thể tích của nó. Hãy xác định thể tích của mỗi
3
bình.
3.64 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20
phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai
1
trong 12 phút thì chỉ được
bể. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian
15
để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
3.65 Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong
trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được
điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất
tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3 ngày rưỡi.
Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong việc trên (với
năng suất bình thường) ?
3.66 Hai bình A và B chứa lần lượt 56 lít và 44 lít nước. Nếu rót nước từ bình
A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình. Nếu

(c)

Trang 114

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 15


Bài tập Toán 9

Học kì 2

rót nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước trong bình B còn lại là
1
bình. Tính dung tích mỗi bình.
3

Bài tập Toán 9

Học kì 2

b) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm)
và chiều cao 2r (cm). So sánh thể tích hình trụ và hình nón.
c) Tìm mối liên hệ giữa thể tích hình nón, hình trụ và hình cầu; giữa diện
tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ.

3.67 Hai giá sách có 450 quyển, nếu chuyển 50 quyển từ giá thứ nhất sang giá
4
thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng
số sách ở giá thứ nhất. Tính số
5
sách ở mỗi giá.

4.12 Một vật nặng hình cầu rơi xuống một nền cát phẳng để lại một vết lõm
hình chảo có đường kính 72 cm và rơi sâu nhất là 24 cm. Tính thể tích của

vật hình cầu đó.

3.68 Hai công nhân cùng sơn của cho một công trình trong bốn ngày thì xong
việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai
đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm
một mình thì trong bao lâu xong việc ?

4.13 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tiấp tuyến Ax, By
cùng phía với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = a
(0 < a  R). Từ C vẽ một tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn tiếp xúc
với (O) tạo M và cắt By tại D.

1
cánh
6
đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ
hai trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20 cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy
làm một mình thì cày xong cánh đồng trong bao lâu ?

3.69 Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày xong

a) Tính BD theo R và a.
b) Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABCD.
c) Quay hình vẽ một vòng quanh trục AB. Tính a để tổng thể tích hai
hình nón do AOC và BOD tạo thành đúng bằng thể tích của hình
cầu đường kính AB.

3.70 Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi
vữa và gạch có công nhân khã vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong
5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được ¾ bức tường.

Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu họ xây xong bức tường ?
3.71 Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu
học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế.
Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ghế ?
3.72 Bài toán cổ:

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòng
Mỗi người năm quả thừa năm quả
Mỗi người sáu quả một người không
Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước:
Có mấy em thơ, mấy quả bòng ?

Trang 16

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 113


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

D - Ôn tập chương 3

C – Hình cầu
1. Hình trụ
Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính
AB cố định thì được một hình cầu.Khi đó:
A

A

 Nửa đường tròn trong phép quay
nói trên tạo nên mặt cầu.
O

b) m =

2

c) m = 1.

B

 Khi cắt hình cầu bởi một mặt
phẳng, thì mặt cắt (phần mặt
phẳng nằm trong hình trụ) là
một hình tròn.

4x  y  5
3x  2y  12

b) 

x  3y  4y  x  5
2x  y  3x  2(y  1)

2(x  3)  2(y  1)  1
3(x  y  1)  2(x  2)  3

d) 

a) 

O

2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

- Có bán kính R (gọi là
đường tròn lớn) nếu mặt
phẳng đi qua tâm (hình a).

a) m = – 2

3.74 Giải các hệ phương trình sau:

 Điểm O gọi là tâm, R là bán kính
của hình cầu và mặt cầu đó.

 Khi cắt mặt cầu bán kính R
bởi một mặt phẳng, thì ta
được một đường tròn:

 2x  y  m
3.73 Cho hệ phương trình: 
2
 4x  m y  2 2
Giải hệ phương trình khi:

x 5  (1  3)y  1

c) 

B

(1  3)x  y 5  1

 3x  2 2y  7

( 2  1)x  (2  3)y  2

e) 

f) 

 2x  3 3y  2 6

r

R

(2  3)x  ( 2  1)y  2

3.75 Giải các hệ phương trình sau:
 y  2x  xy
2x  3y  2xy

(x  1)( y  2)  (x  3)(y  4)
b) 
(x  2)(y  1)  (x  1)(y  3)

3(x  y)  9  2(x  y)
2(x  y)  3(x  y)  11

  1 1   1 1 2
2  
  3    9
  x 2y   x 2y 
d) 
2
1 1
1 1 


6


  3

 x 2y 
 x 2y

a) 
(a)

(b)

- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳn không đi qua
tâm (hình b).

c) 

3. Diện tích mặt cầu. Thể tích hình cầu

S  4 R 2   d 2
4
1
 Thể tích hình trụ:
V   R3   d 3
3
6
Trong đó: R: bán kính hình cầu
d: đường kính hình cầu
 Diện tích mặt cầu:

d

3.76 Cho hai hệ phương trình :
R

ax  by  3
(I) 

2ax  3by  36

O

4.11 Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình trụ (chiều cao của hình
trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) biết bán kính của hình cầu là r.

và

(a  1)x  2by  3

(II)  a
( 2  3)x  (b  1)y  1

Tìm a và b, biết:
a) Hệ (I) có nghiệm là (3 ; –2)
b) Hệ (II) có nghiệm (–2 ;1))
3.77 Với giá trị nào của k thì:

a) Tính thể tích của hình cầu, thể tích hình trụ.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 112

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 17


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

 Diện tích toàn phần: S tp  S xq  S1  S 2   ( r1  r2 )l   r12   r22

kx  y  1  0
a. Hệ phương trình 
nhận cặp số (x = –1 ; y = 0) làm
x  y  1  0
nghiệm ?

Trong đó:

2kx  k 2 y  3
c. Hệ phương trình 
vô nghiệm ? Vô số nghiệm ?
2x  ky  3

a) Có nghiệm x =  2 và y =

3.

1
V   h( r12  r22  r1 r2 )
3
r1, r2: bán kính 2 hình tròn đáy
l
h: chiều cao của hình nón cụt

l: đường sinh của hình nón cụt
S1, S2: diện tích 2 đáy của hình nón cụt

r1

 Thể tích hình trụ:

x  y  1
b. Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất ?
kx  2y  0

4.7

mx  y  n
3.78 Xác định các giá trị của m và n để hệ phương trình: 
mx  ny  2

Học kì 2

h
h

r2

Cho hình nón cụt, đáy nhỏ va fđáy lớn là các hình tròn (O1; r1) và (O2; r2),
r1 = 4 cm, r2 = 8 cm, đường cao h = 8 cm.
a) Tính thể tích của hình nón cụt.

b) Có nghiệm duy nhất.

ax  y  2
3.79 Cho hệ phương trình: 
x  ay  3

b) Người ta khoét bỏ đi hình nón có đáy là hình tròn (O1; r1) và đỉnh là
O2. Tính thể tích còn lại.
4.8

Cho ABC vuong tại A. Quay tam giác vuông một vòng lần lượt quanh
cạnh góc vuông AB và AC ta được một hình nón đỉnh B và một hình nón
đỉnh C. Chưng minh tỉ số thể tích của hai hình nón bằng với tỉ số diện tích
xung quanh của hai hình nón đó.

4.9

Từ một khúc gỗ hình trụ người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn
nhất. Biết thể tích gỗ tiện bỏ đi là 200 cm3.

a) Giải hệ khi a = 3 – 1.
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a)
c) Tìm a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa điều kiện x  2 y = 0.
3x  my  2
3.80 Cho hệ phương trình: 
9x  6y  1

a) Chứng minh rằng diện tích đáy bằng một nửa diện tích xung quanh.

a) Giải hệ phương trình khi m = – 6.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0 và y > 0.

b) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy tạo ra một hình
nó cụt. Tính chiều cao của hình nón cụt, biết diện tích xung quanh của
nó bằng diện tích đáy lớn.

mx  y  3
3.81 Cho hệ phương trình: 
x  my  3
a) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.

4.10 Cho 3 điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a; OB = b. Trên
cùng nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia à và By vuông góc với AB. Vẽ hai
tia Om và On soa cho OM  Om. OM cắt Ax tại M, On cắt By tại N.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0 và y < 0.

a) Chứng minh tích AM.BN không đổi.

3.82 Xác định a để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:
3x  y  z  1
x  3y  1
2x  y  2z  5


a) 2x  ay  a
b) 
x  2y  3z  9
x  2y  3

(a  1)x  2y  az  7

Gv: Trần Quốc Nghĩa

  600 . Khi đó tính diện tích tứ giác AMNB.
b) Cho biết AOM
  600 , cho toàn bộ hình vẽ quay xung quanh trục AB. Tính
c) Khi AOM
tỉ số thể tích các hình do AOM và BON tạo thành.

Trang 18

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 111


Bài tập Toán 9

Học kì 2

B – Hình nón. Hình nón cụt
1. Hình nón
  900 ) một vòng quanh cạnh góc
Khi quay tam giác vuông AOC ( O
vuông OA cố định, ta được một hình nón. Khi đó: A
A
 Cạnh OC quét nên đáy của hình nón
là hình tròn (O; OC)

 Cạnh AC quét nên mặt xung quanh
của hình nón, mỗi vị trí của AC gọi là

một đường sinh. Chẳng hạn AD là
một đường sinh.

C

O

D

O

C

 A gọi là đỉnh, AO gọi là đường cao của hình nón.
2. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón
 Diện tích xung quanh: S xq   rl

3. Hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt
phẳng song song với mặt phẳng
đáy thì phần mặt phẳng nằm
trong hình nón nằm giữa mặt
phẳng nói trên và mặt đáy gọi là
hình nón cụt.

B

C

r

3.84 Giải các phương trình sau:
a) 2x + y + 3x + 2y + 2= 0
b) 3x + y – 1 + 2x – y= 0
c) 2x + 5y – 2 + 0,4x + y – 1= 0
d) 0,2x + 0,1y – 0,3 + 3x + y – 5= 0.
3.85 Hai đoàn tàu khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược
chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu đoàn tàu thứ nhất khởi hành
trước đoàn tàu thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi đoàn tàu thứ hai đi được 8
giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi đoàn tàu.

1
3

bình. Tính dung tích mỗi bình.

3.87 Hai người cùng làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Sau
khi làm chung được 12 ngày thì một trong hai người đi làm việc khác
trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày, người thứ nhất
trở về làm tiếp 6 ngày nữa (trong 6 ngày đó người thứ hai nghỉ) và công
việc được hoàn thành. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong
bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc.

A

D C

B

3.88 Tìm một số có hai chữ số biết rằng 3 lần chữ số hàng chục bét hơn 5 lần

chữ số hàng đơn vị là 5 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị
được thương là 1 và dư cũng là 1.

hA

3.89 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 50m. Nếu tăng chiều rộng thêm
10m đồng thời giảm chiều dài đi 5m thì diện tích tăng thêm 50m2. Tính
kích thước của khu vườn.

D

4. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt
 Diện tích xung quanh: S xq   ( r1  r2 )l
Gv: Trần Quốc Nghĩa

3.83 Giải các phương trình sau:
a) (3x + 2y – 1)2 + (5x + 3y + 4)2 = 0
b) (4x – 3y – 20)2 + (2x – y – 21)2 = 0
c) (3x – 2y – 2)2 + (– 5x + 3y – 3)2 = 0
d) (4x – 2y – 10)2 + (3x – 4y – 12)2 = 0.

lại

1
1
 Thể tích hình trụ:
V  Sh   r 2 h
3
3
Trong đó: r: bán kính hình tròn đáy

h: chiều cao của hình nón
l: đường sinh của hình nón
S: diện tích đáy của hình nón
V: thể tích hình nón

Học kì 2

3.86 Hai bình A và B chứa lần lượt là 56 lít và 44 lít nước. Nếu rót nước từ
bình A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình.
Nếu rót nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước trong bình B còn

l

h

 Diện tích toàn phần: S tp  S xq  S   rl   r 2

Bài tập Toán 9

3.90 Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong
12 ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày. Sau đó đội
Trang 110

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 19


Bài tập Toán 9

Học kì 2

thứ nhất làm tiếp một mình trong 7 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội
làm một mình thì trong bao lâu xong việc.
3.91 Trong diệp tổng kết năm học vừa qua. Công ti A có tài trợ một số tập để
trao tặng cho một số học sinh đạt loại giỏi của trường THCS Cây Sung.
Biết rằng nếu mỗi học sinh nhận được 5 cuốn tập thì còn thừa 24 cuốn;
còn nếu mỗi học sinh nhận được 6 cuốn tập thì lại có 10 học sinh không
có. Hỏi có công ti A đã tài trợ bao nhiêu cuốn tập và trường THCS Cây
Sung có bao nhiêu học sinh giỏi trong năm học qua.



Bài tập Toán 9

3. Diện tích xung quanh của hình trụ. Thể tích của hình trụ.
 Diện tích xung quanh: S xq  2 rh
 Diện tích toàn phần: S tp  S xq  2 S  2 rh  2 r 2
 Thể tích hình trụ:
V  Sh   r 2 h
Trong đó: r: bán kính hình tròn đáy
h: chiều cao của hình trụ
S: diện tích đáy của hình trụ
4.1

Học kì 2

r
h

Có một lọ thủy tinh hình trụ có bán kính đáy là 1 dm, cao 5 dm.
a) Phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước để mực nước trong bình cao 3dm?
(lấy  = 3,14)
b) Người ta thẻ vào lọ một cục sắt hình trụ cao 2 dm chìm trong nước.
Mực nước trong lọ dâng cao 5 cm. Tìm đường kính đáy của cục sắt.

Toán học là cánh cửa và là chìa khóa để đi vào các ngành
khoa học khác.
Roger Bacon
Giá trị của một bài toán không phải là nó được giải như thế
nào mà là nó đã thúc đẩy việc tìm ra lời giải như thế nào.
I.N.Herstein

4.2

Một thùng hình trụ đựng nước có bán kính đáy 40 cm, diện tích toàn phần
gấp đôi diện tích xung quanh. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước ?

4.3

Cho mặt phẳn đi qua trục OO của một hình trụ, phần mặt cắt là một hình
chữ nhật có diện tích 72 cm2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình
trụ, biết rằng đường kính đáy bằng một nửa đường cao.

4.4

Một hình trụ có thể tích là 200 cm3 và bán kính đáy là 5 cm.
a) Tính diện tích của mặt cắt qua trục OO.
b) Mặt cắt ABCD song song với trục OO (AB là dây cung của đường
tròn (O)), tính khoảng cách từ O đến AB để ABCD là hình vuông.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 20

4.5

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước a  b (a > b) người ta cuốn
lại thành mặt xung quanh của một hình trụ. Hỏi phải cuốn theo chiều nào
của tấm tôn để được một hình trụ (không đáy) có thể tích lớn nhất ?

4.6

Một thùng phuy hình trụ không có nắp chứa khoảng 8 lít nước. Hỏi
người ta làm chiếc thùng đó có chiều cao và bán kính đáy là bao nhiêu để
tốn ít vật liệu nhất ?

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 109


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

E – C ác đề kiểm tra chương 3

Chương 4
HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU

Đề 1



Bài 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương
trình sau lên mặt phẳng tọa độ: 2 x  3 y  3

A – Hình trụ
1. Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD có định, ta được một
hình trụ. Khi đó:
 DA và CB quét nên hai đáy của
hình trụ là hai hình tròn bằng
nhau và nằm trong hai mặt
phẳng song song, có tâm D và
C.
 Cạnh AB quét nên mặt xung
quanh của hình trụ, mỗi vị trí
của AB được gọi là một đường
sinh. Chẳng hạn: EF là một
đường sinh.

A

D

D

A E

x  y 2  6
b) 
2 2x  3y  8

Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: Một hình chữ nhật có chu vi 50m và có 3 lần chiều dài hơn 2 lần chiều
rộng 15m. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

C

B

C

F
B

(2m  1)x  2y  3
Bài 5: Tính m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
x  (m  2)y  4

Đề 2

 DC gọi là trục của hình trụ
2. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng

D

 Khi cắt hình trụ bởi một mặt
phẳng song song với đáy, thì
mặt cắt (phần mặt phẳng nằm
trong hình trụ) là một hình tròn
bằng hình tròn đáy (hình a).

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2x  y  1
a) 
3x  2y  12

Bài 3: Cho 3 điểm A  2;5  ; B  3;4  và C  7;6  .

 Các đường sinh của hình trụ vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ
dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.

 Khi cắt hình trụ bởi một mặt
phẳng song song với trục DC
thì mặt cắt là một hình chữ nhật
(hình b)

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

Bài 1: Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của
phương trình: 2x + y = –1
Bài 2: Giải các hệ phương trình

3x  5y  1
a) 
2x  y  8

 5x  y  2
b) 
(1  5)x  y  1

2x  6y  1
Bài 3: Tìm giá trị của m để hệ phương trình 
vô nghiệm?
mx  3y  2

C

Bài 4: Năm nay tuổi cha gấp 10 lần tuổi con. Sáu năm nữa tuổi cha gấp 4 lần
tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Đề 3
(a)

(b)
Bài 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương
trình sau trên mặt phẳng tọa độ: 2x + 3y = 6.
Trang 108

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 21

Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
x  3y  4
a) 
3x  2y  1

Bài tập Toán 9

Bài 2: Cho  MAB vuông cân tại A. vẽ đường tròn tâm O đường kính AB = 2R
cắt MB tại C. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt AM tại S. Kẻ tiếp
tuyến MD với đường tròn, DC cắt OM tại T. Cho AD cắt OM tại H.

3x  2y  12
b) 
4x  y  5

Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 140m. Chiều dài hơn chiều rộng 10m.
Tính diện tích hình chữ nhật.
 2x  ay  1
Bài 4: Tìm giá trị của a để hệ phương trình 
vô nghiệm.
5 2x  3 3y  1

  TAD

a) Chứng minh ACS

b) Chứng minh 5 điểm A, S, T, C, O cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh T là trung điểm của đoạn thẳng MH.
d) Tính đoạn AC, AD và tích MC.MB theo R.

Đề 11

Đề 4
Bài 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương
trình sau lên mặt phẳng tọa độ : 2x – y = 3
Bài 2: Giải các hệ phương trình
2x  y  5
a) 
x  y  1

Học kì 2

Bài 1: Từ điểm S ở ngoài (O;R) kẻ tiếp tuyến tại A của (O). SO cắt (O) tại B và
C (B nằm giữa S và C).
a) Chứng minh SA2 = SB.BC.
b) Tính SA theo R biết SB = R.

3x  4y  11
b) 
5x  6y  20

x  y 2  11
c) 
2 2x  y  4 2

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 50m. Nếu tăng chiều dài 1m và
giảm chiều rộng 2m thì diện tích giảm đi 22m2. Tính diện tích khu vườn
lúc đầu ?
3x  y  m
Bài 4: Tìm m để hệ phương trình 
vô nghiệm.
mx  2y  3

Bài 2: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với
đường tròn (B và C là 2 tiếp điểm). AO cắt đường tròn (O) tại E.
a) Chứng tỏ AO là đường trung trực của BC.
b) Trên đường tròn (O; R), lấy một điểm D sao cho BD = BE (D và E ở
khác phía đối với OB). Gọi I là giao điểm của DB và CE.
  BAC
 rồi suy ra tứ giác BIAC nội tiếp.
Chứng minh BIE
c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp ABC.

Đề 5
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau :
(1  2)x  y  3
c) 
(1  2)x  y  1
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm : M (–1; –1), N(1; 5)
5x  y  15
a) 
4x  y  3

4x  3y  5
b) 

3x  2y  8

Bài 3: Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc tại 2 tỉnh A và B cách nhau 475 km,
đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 5 giờ. Biết vận tốc xe ô tô xuất
phát tại A nhỏ hơn vận tốc xe ô tô xuất phát tại B là 9 km/h. Tính vận
tốc mỗi xe ?
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 22

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 107


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài 2: Cho ∆ ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC.
Vẽ đường cao AH của ∆ ABC. Đường tròn đường kính là AH có tâm là
I cắt AB, AC, và đường tròn (O) theo thứ tự tại D, E, F (F khác A). Hai
đường thẳng AF và BC cắt nhau tại K.

Bài tập Toán 9

Học kì 2

2mx  y  4
Bài 4: Cho hệ phương trình (với m là tham số, m ≠ 0 ): 

x  2my  2
Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m.

a) Chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật

Đề 6

b) Chứng minh AB. AD = AE. AC
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau :

c) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
d) Chứng minh OI vuông góc với AK và I là trực tâm của ∆AKO.

Đề 9
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), hai đường cao AD,
BE cắt nhau tại H .
a) Chứng minh các tứ giác AEDB,CDHE nội tiếp.
b) Chứng minh CE.CA = CD.CB; DB.DC = DH.DA.
c) Chứng minh OC vuông góc với DE.
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Từ một điểm A tùy ý trên đường
tròn (O) ( A khác B và C và AB  AC) vẽ AH vuông góc với BC tại H.
Vẽ đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại D và E
và cắt đường tròn (O) tại F.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

 3x  y  6
c) 
 2x  y  2
Bài 2: Cho phương trình bậc nhất có hai ẩn số x, y: ax + by = 3.
a) Xác định hệ số a và b, biết tập hợp

y
nghiệm của phương trình được biểu
diễn bởi đồ thị có trên hình vẽ sau với
ax  by  3
A(2 ; –1) và B(3; – 3):
2 3
b) Với phương trình vừa xác định ở trên,
O
hãy viết công thức nghiệm tổng quát.
1
c) Cho C(– 2; 7). Chứng tỏ ba điểm A, B,
C thẳng hàng.
3
3x  2y  3
a) 
x  2y  5

x

Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết tổng hai chữ số bằng 13 và nếu chen
vô giữa hai chữ số đó chữ số 0 thì được số mới hơn số đã cho là 810
mx  3y  5
Bài 4: Tìm m để hệ phương trình 
vô số nghiệm.
3x  my  5

b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
c) DE cắt BC tại S, chứng minh rằng S, F,A thẳng hàng.

Đề 7

R 3
d) Tính theo R diện tích tứ giác BDEC nếu DE 
.
2

Đề 10
Bài 1: Cho điểm M ngoài đường tròn (O; R) với OM = R 2 . Kẻ tiếp tuyến MA
với đường tròn.
a) Chứng minh MAO cân. Tính đoạn MA?
b) Kẻ dây AB vuông góc với MO. Chứng minh MAOB là hình vuông.
Tính diện tích MAOB?
Gv: Trần Quốc Nghĩa

5x  3y  4
b) 
3x  y  1

Trang 106

Bài 1: Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình sau
1
trên mặt phẳng tọa độ: 2x  y  3
2
Bài 2: Giải các hệ phương trình :
 3x  2 2y  7
c) 
 2x  3 3y  2 6
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(–1; 2) và B(5; –1).

2x  7y  1
a) 
x  3y  6

5x  3y  19
b) 
3x  5y  25

Bài 4: Vừa gà vừa chó. Bó lại cho tròn. Ba mươi sáu con. Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó ?
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 23


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

Học kì 2

c) Vẽ CN vuông góc AK tại N. Gọi M là trung điểm BC.
  OCA

Chứng minh MDN

2x  my  4
Bài 5: Tìm m để hệ phương trình 

vô nghiệm.
mx  4,5y  6

d) Chứng minh: MN = MD

Đề 8

1
.
e) Cho biết DE  AB . Tính ACB
2

Bài 1: Giải hệ phương trình:
x 5  y  2
b) 
2x  y  5
Bài 2: Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của
phương trình: 2x + 3y = 12.
(m  1)x  2y  3
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất.
x  (m  1)y  4
3x  2y  2
a) 
5x  4y  3

Bài 4: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 288m. Nếu tăng chiều rộng gấp
2 lần và giảm chiều dài đi 3 lần thì chu vi giảm 42m. Tìm kích thước lúc
đầu của miếng đất.

Đề 6
Cho ABC vuông tại A (AB < AC). AH là đường cao và BD là phân giác của
 (D  AC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD tại K và cắt cạnh
ABC
BC tại M.
a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp
b) Chứng minh ABM cân
c) Chứng minh BH.BC = BK.BD
d) Nếu BH = 6cm và AM  4 5 cm. Tính SABC.

Đề 9

Đề 7

Bài 1: a) Cho phương trình: 3x – 2y = 2. Tìm nghiệm tổng quát của phương
trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình

Cho tam gic ABC vuơng tại A. Vẽ đường trịn (O) đường kính AB cắt BC tại H

b) Trên hệ trục tọa độ xOy có A(2; 5); B(4; 9) và C(–1 ; –1). Chứng
minh A, B và C thẳng hàng.
Bài 2: Giải hệ phương trình

b) Gọi D là điểm chính giữa cung AH, tiếp tuyến tại H với đường tròn (O) cắt
 và ba điểm O, D, M
AC tại M. Chứng minh rằng: BD là phân giác ABC

3x  2y  11
a) 
5x  3y  31

2 2x  3 3y  5
b) 
2x  6y  5 2

a) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến đường tròn (O) và BH . HC = AH2

thẳng hàng
c) Tia BD cắt AC tai E, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.
Chứng minh: IO vuông góc HD

Bài 3: Tính hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết rằng nếu tăng
cạnh lớn thêm 5cm và tăng cạnh nhỏ thêm 3 cm thì diện tích tam giác
tăng thêm 80cm2 và nếu giảm mỗi cạnh đi 2 cm thì diện tích giảm đi
35cm2
 2x  y  m
Bài 4: Tìm m để hệ phương trình 
vô nghiệm.
2
 4x  m y  2 2

d) Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với đường tròn (O), từ O vẽ tia Oy vuông góc OC.
Gọi K là giao điểm Cx và Oy. Chứng minh: đường tròn (O) tiếp xúc với BK

Đề 8
Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và góc ở tâm AOB = 1200, hai tiếp tuyến tại A
và B cắt nhau tại C.
a) Tính góc CAB và suy ra ∆ ABC đều
b) Tính theo R độ dài OC và cạnh của ∆ ABC

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 24

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 105


Bài tập Toán 9

Học kì 2

Bài tập Toán 9

b) Diện tích hình quạt AOB và diện tích hình viên phân giới hạn bởi
cung nhỏ AB và dây AB.
Bài 2: Từ điểm I ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến IA, IB với đường
tròn (A, B là tiếp điểm). Vẽ dây AD của đường tròn (O) song song với
IB; I D cắt (O) tại E (khác D). Tia AE cắt IB tại K. Chứng minh :
a) IAOB là tứ giác nội tiếp.

Đề 10
Bài 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương
trình sau trên mặt phẳng tọa độ: 2x – 4y = 3.
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
3x  2y  1
a) 
4x  y  2

b) ABD cân tại B
c) KB² = KA. KE

Học kì 2

2 5x  y  4 5
b) 
x  3 5y  2

Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích lúc đầu 100m2. Nếu tăng chiều
rộng 5m và giảm chiều dài 5m thì diện tích lúc sau tăng 50m. Tính chiều
dài và chiều rộng lúc đầu.

d) K là trung điểm của IB.

Đề 4
Từ điểm A ngoài đường tròn (O;R), vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B,C là 2
tiếp điểm);

3mx  2y  9
Bài 4: Tìm m để hệ phương trình 
có một nghiệm duy nhất.
8x  3my  7

a) Chứng minh OA  BC tại H.

..........................................................................................................................

b) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm S của đường
tròn này.

..........................................................................................................................

c) Từ A kẻ cát tuyến AEF (không qua O) cắt (O) tại E và F ( E thuộc đoạn
thẳng AF ), cắt BC tại I và cắt (S) tại K. Chứng minh AE.AF = AI.AK.

..........................................................................................................................

d) Chứng minh tứ giác OHEF nội tiếp.
e) Lấy điểm M trên cung nhỏ EC của (O). Tiếp tuyến tại M của (O) lần lượt cắt
  2POQ
 và chu vi APQ không
AB và AC tại P và Q. Chứng minh BOC

..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................

đổi khi M di động trên cung EC.
f) Cho OA = 2R. Tính chu vi

..........................................................................................................................

APQ và phần diện tích của

ABC nằm ngoài

..........................................................................................................................
..........................................................................................................................

(O) theo R.

..........................................................................................................................

Đề 5

..........................................................................................................................

Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp ( O; R) có AB < AC. Hai đường cao AD và BE cắt
nhau tại H.

..........................................................................................................................

a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp và OC  DE

..........................................................................................................................

b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).
Chứng minh: AB.AC = AD.AK

..........................................................................................................................

Gv: Trần Quốc Nghĩa

..........................................................................................................................

..........................................................................................................................
Trang 104

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 25