PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN Á TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------

ĐOÀN THANH SƠN

PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI
BÀI TOÁN Á TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU

Chuyên nghành: Toán công nghệ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ TRỌNG VINH

Hà Nội 11-2010


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, cho em gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể cán bộ, giảng
viên Trường Đại Học Bách Khoa – Hà Nội những người đang ngày đêm không
quản ngại khó khăn tạo mọi điều kiện tốt nhất để chúng em học tập, khôn lớn và
trưởng thành. Em xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô trong khoa Toán - Tin Ứng
Dụng tạo điều kiện vật chất cũng như tinh thần trong suốt thời gian chúng em học
vừa qua. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy, Cô trong và ngoài trường
đã tham gia trực tiếp giảng dạy, truyền đạt lại cho em những kiến thức thiết thực, bổ

ích trong khóa học Cao Học này. Em xin cảm ơn tập thể cán bộ Viện Đào Tạo Sau
Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong khóa học vừa qua.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS. Lê Trọng Vinh,
thầy giáo hướng dẫn tốt nghiệp của em. Thầy đã chỉ bảo, tận tình, hướng dẫn và
giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và cán bộ, giảng viên Trường
Cao Đẳng Tài Chính Quản Trị Kinh Doanh những đồng chí, đồng nghiệp nơi em
đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi để em tham dự học tập và hoàn thành khóa
học này.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp học Cao Học,
Toán Công Nghệ khóa 2008 – 2010 những người đã cùng em học tập, phấn đấu,
chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức, … và giúp đỡ nhau trong khóa học vừa qua.

-1-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán truyền nhiệt là một trong nhiều bài toán vật lý cơ bản mà chúng ta
thường hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó là yêu cầu quan trọng của
thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường minh
của bài toán nhưng còn lại đa số các bài toán chúng ta không tìm được nghiệm
tường minh của chúng hoặc nếu có tìm được thì nghiệm của bài toán cũng ở dạng
rất phức tạp, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số hàm, các bài toán á tuyến và
các bài toán phi tuyến. Vì vậy, trong các trường hợp này chúng ta thường dựa vào
các phương pháp gần đúng để giải các bài toán này.
Đến nay, có hai phương pháp quan trọng thường được sử dụng để tìm

nghiệm gần đúng của bài toán truyền nhiệt đó là: Phương pháp sai phân hữu hạn và
Phương pháp phần tử hữu hạn. Trong đó phương pháp sai phân hữu hạn là phương
pháp được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung cơ
bản của phương pháp này là đưa bài toán vi phân về bài toán sai phân mà thực chất
là một hệ phương trình đại số rồi sau đó ta giải bằng phương pháp số để tìm được
nghiệm gần đúng. Tuy nhiên vấn đề quan trọng ở đây là xây dựng được lược đồ sai
phân sao cho việc tính toán đơn giản, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của
lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tới nghiệm
đúng của bài toán.
Nhận thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân hữu hạn, em đã tìm
hiểu về phương pháp này. Cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS.TS. Lê
Trọng Vinh em đã chọn đề tài “Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán
á tuyến trong không gian hai chiều”. Luận văn gồm các chương sau:
Chương 1: Bài toán truyền nhiệt và lý thuyết lược đồ sai phân
Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt á tuyến trong
không gian một chiều
Chương 3: Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán truyền nhiệt
tuyến tính trong không gian hai chiều hệ số biến thiên

-2-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chương 4: Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán truyền nhiệt á
tuyến trong không gian hai chiều
Chương 5: Tính toán một số kết quả trên máy tính

-3-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN........................................................................................................................... - 1 LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................................... - 2 CHƯƠNG 1.............................................................................................................................. - 7 BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LÝ THUYẾT ..................................................................... - 7 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN.............................................................................................................. - 7 1.1. Mô hình toán học ........................................................................................................... - 7 1.2. Bài toán biên .................................................................................................................. - 9 1.2.1. Bài toán biên trong không gian một chiều ................................................................ - 9 1.2.2. Bài toán biên trong không gian hai chiều.................................................................- 10 1.3. Các khái niệm cơ bản về lược đồ sai phân ......................................................................- 11 1.3.1. Lưới và hàm lưới ....................................................................................................- 11 1.3.2. Khái niệm về sự ổn định .........................................................................................- 12 1.4. Các công cụ cần thiết để nghiên cứu lược đồ sai phân ....................................................- 13 1.4.1. Công thức đạo hàm sai phân ...................................................................................- 13 1.3.2. Công thức tổng riêng từng phần ..............................................................................- 13 1.3.3. Công thức khai triển Taylor ....................................................................................- 13 CHƯƠNG 2.............................................................................................................................- 14 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN.......................................................................- 14 TRUYỀN NHIỆT Á TUYẾN MỘT CHIỀU ............................................................................- 14 2.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến một chiều .........................................................................- 14 2.1.1. Phát biểu bài toán . .................................................................................................- 14 2.1.2. Lưới và hàm lưới ....................................................................................................- 14 2.2. Lược đồ sai phân ...........................................................................................................- 15 -

-4-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

2.3. Bài toán sai phân đối với sai số ......................................................................................- 17 2.4. Sự ổn định .....................................................................................................................- 18 2.5. Sự hội tụ........................................................................................................................- 21 CHƯƠNG 3.............................................................................................................................- 22 PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN
TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN .................................- 22 3.1. Phát biểu bài toán: .........................................................................................................- 22 3.2. Hàm lưới và đạo hàm lưới .............................................................................................- 22 3.2.1. Lưới .......................................................................................................................- 22 3.2.2. Hàm lưới và đạo hàm lưới.......................................................................................- 23 3.3. Xây dựng thuật toán ......................................................................................................- 24 3.4. Bài toán sai phân đối với sai số ......................................................................................- 27 3.5. Sự ổn định .....................................................................................................................- 28 3.6. Sự xấp xỉ .......................................................................................................................- 33 3.7. Sự hội tụ........................................................................................................................- 37 CHƯƠNG 4.............................................................................................................................- 39 PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN ..........................................- 39 TRUYỀN NHIỆT Á TUYẾN HAI CHIỀU ..............................................................................- 39 4.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến hai chiều ..........................................................................- 39 4.2. Xây dựng thuật toán ......................................................................................................- 39 4.3. Bài toán sai phân đối với sai số ......................................................................................- 41 4.4. Sự ổn định .....................................................................................................................- 42 4.5. Sự xấp xỉ .......................................................................................................................- 46 4.6. Sự hội tụ........................................................................................................................- 50 CHƯƠNG 5.............................................................................................................................- 51 TÍNH TOÁN MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MÁY TÍNH............................................................- 51 -

-5-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

5.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến trong không gian một chiều ..............................................- 51 5.1.1. Bài toán ..................................................................................................................- 51 5.1.2. Giải bài toán ...........................................................................................................- 51 5.1.3. Kết quả chạy chương trình ......................................................................................- 51 5.2. Bài toán truyền nhiệt tuyến tính trong không gian hai chiều hệ số biến thiên ..................- 57 5.2.1. Phát biểu bài toán ...................................................................................................- 57 5.2.2. Giải bài toán ...........................................................................................................- 58 5.2.3. Kết quả chạy chương trình ......................................................................................- 58 5.3. Bài toán truyền nhiệt á tuyến trong không gian hai chiều ..............................................- 66 5.3.1. Phát biểu bài toán ...................................................................................................- 66 5.3.2. Giải bài toán ...........................................................................................................- 66 5.3.3. Kết quả chạy chương trình ......................................................................................- 67 KẾT LUẬN ............................................................................................................................- 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................- 77 -

-6-

ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

CHƯƠNG 1
BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LÝ THUYẾT
LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN
Trong chương này, ta mô tả bài toán truyền nhiệt không dừng dạng á truyến
và nội dung phương pháp sai phân hữu hạn để tìm nghiệm gần đúng.
1.1. Mô hình toán học
Để môt tả bài toán được đơn giản ta xét mô hình toán học của bài toán truyền
nhiệt trong không gian 3 chiều.
Giả sử có khối lượng vật chất Ω trong không gian R3, gọi
=

( , , , ) = ( , ) là nhiệt độ của vật thể tại điểm

( , , ) ∈ Ω ở thời

điểm t. Nhiệt độ u sẽ thay đổi từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi nhiệt độ thấp. Sự lan
truyền của nhiệt trong môi trường xem là đẳng hướng (nghĩa là lan truyền theo mọi
hướng là như nhau).
Xét mảnh mặt cong ∆ ∈ Ω. Nhiệt lượng Δ

qua mảnh mặt Δ tại điểm

( , , ) ∈ Δ trong khoảng thời gian Δ được xác định theo quy luật Newtơn
z

M
O

∆

⃗
y

x

Δ = − ( , , , )Δ Δ

(1.1)

Trong đó k > 0 là hệ số dẫn nhiệt của môi trường Ω, nó là vật thể không đồng chất,
⃗ là véc tơ pháp tuyến tại

( , , ) ∈ Δ hướng theo chiều giảm của nhiệt độ.

-7-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

∈ Ω, giới hạn bởi mặt cong kín S, hướng

Tổng quát xét vật thể có thể tích

pháp tuyến vào phía trong.

· Gọi Q1 là nhiệt lượng biến thiên trong vật thể tích V, trong khoảng thời gian
từ

→

. Từ phương trình (1.1) ta suy ra:
=−

Áp dụng công thức Octporpagckuw cho tích phân trên mặt cong kín S ta
được:
=

(

)

(1.2)

· Tác động nguồn nhiệt F(x, y, z, t) vào vật thể V tại điểm M(x, y, z) ở thời
điểm t (nguồn nhiệt có thể là thêm vào hay mất đi là tùy thuộc vào mong
muốn). Khi đó, nhiệt lượng sinh ra hay mất đi của vật thể V trong khoảng
thời gian từ

→

.
=−

(1.3)

· Ta lại có: Gọi C = C(x, y, z) là nhiệt dung của vật thể V, ( , , ) là mật độ
vật chất thì nhiệt độ u của vật thể V được thay đổi từ

( , , , )→

( , , , )
=

[ ( , , , ) − ( , , , )] .

= ( , , , )− ( , , , )

Nhưng

⟹

=

.

-8-

(1.4)


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Như vậy nhiệt lượng của vật thể V thay đổi trong khoảng thời gian từ
→

:

Q3 = Q1 + Q2
.

[

=

(

)+ ]

(1.5)

Do thể tich V bất kỳ và t bất kỳ nên từ (1.5) ta suy ra:
.

=

(

)+

(1.6)

Phương trình này biểu thị phương trình chuyển động nhiệt trong môi trường
đẳng hướng với vật chất không đồng chất.
Trong trường hợp, nhiệt độ cao thì hệ số dẫn nhiệt k còn phụ thuộc cả vào
∶=

nhiệt độ

=

( ). Từ (1.6) ta có phương trình dạng á tuyến

Trong bản luận văn này ta xét 3 trường hợp sau:
)

=

( )

+ ( , )

(1.7)

Phương trình dạng á tuyến trong không gian 1 chiều
)

=

( , , )

+

( , , )

+ ( , , )

(1.8)

Phương trình dạng tuyến tính trong không gian 2 chiều
)

=

( )

+

( )

+ ( , , )

(1.9)

Phương trình dạng á tuyến trong không gian 2 chiều
1.2. Bài toán biên
Ta đã biết, phương trình vi phân có vô số nghiệm phụ thuộc vào hằng số c
bất kỳ. Để được nghiệm duy nhất ta cần bổ xung thêm các điều kiện phụ để xác
định hằng số.
1.2.1. Bài toán biên trong không gian một chiều
Tìm hàm

= ( , ) là nghiệm của phương trình

-9-


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

+ ( , )

=
trên miền Ω = { <

(1.10)

< , 0 < ≤ } thỏa mãn điều kiện
( , )= ( ) ; ( , )= ( )

0< ≤

(1.11)

Gọi là điều kiện biên tại x = a, x = b và điều kiện ban đầu tại t = 0
( , 0) = ( ) ,

≤

≤

(1.12)

Bài toán (1.10) (1.11) gọi là bài toán biên loại 1 còn điều kiện (1.12) gọi là
trị ban đầu. Về mặt vật lý thì điều kiện (1.11) là điều kiện nhiệt độ u được cố định
cho trước.
Nếu điều kiện phụ (1.11) được thay bởi điều kiện
( , )

−

( , )=

( )

−

( , )=

( )

=
(1.13)

( , )

=

thì phương trình (1.10) với điều kiện (1.13) gọi là bài toán biên loại 3.

,

,

,

là những hàm đã cho.
1.2.2. Bài toán biên trong không gian hai chiều
Tìm hàm

= ( , , ) là nghiệm của phương trình (1.8) hoặc (1.9) trong

miền Ω = Ω ∪ Γ × [0, ] trong đó Ω ∈
( , , )= ( , , )

, Γ biên miền Ω thỏa mãn điều kiện:
,

( , ) ∈ Γ, 0 < ≤

(1.14)

trong đó ( , , ) là hàm số đã cho trên biên Γ của miền Ω.
Ngoài ra còn điều kiện ban đầu
( , , 0) = ( , , 0)

- 10 -

, ( , )∈Ω

(1.15)

ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Điều kiện (1.14) được gọi là điều kiện biên loại 1, còn điều kiện (1.15) là trị
ban đầu.
Nếu ta thay (1.14) bởi:
( , , )−

( , , ) = ( , , ) , ( , ) ∈ Γ, 0 < ≤

(1.16)

trong đó n là véc tơ pháp tuyến hướng ra phía ngoài của biên Γ.
Điều kiện (1.16) được gọi là điều kiện biên loại 3, với

= 0 ta có điều kiện biên

loại 2.
1.3. Các khái niệm cơ bản về lược đồ sai phân
1.3.1. Lưới và hàm lưới
Để giải gần đúng bài toán vật lý toán (gọi chung là bài toán vi phân) bằng
phương pháp sai phân hữu hạn (gọi tắt là sai phân) ta phải tiến hành các bước sau:
-

Thay miền biến đổi liên tục của đối số bởi miền biến đổi rời rạc của đối
số đó

-

Thay toán tử vi phân đã cho bởi toán tử sai phân tương ứng, đồng thời
cũng thay đổi cả điều kiện biên, điều kiện ban đấu nếu có

Sau khi thực hiện xong hai quá trình trên, ta sẽ nhận được một hệ hoặc hệ
các phương trình đại số. Như vậy việc tìm nghiệm của bài toán vi phân xuất phát
dẫn tới tìm nghiệm của hệ phương trình đại số.
Nhưng việc xác định giá trị của hàm số tại mọi điểm xác định của đối số rõ
ràng là rất khó thực hiện được, mà ta chỉ có thể tìm được giá trị gần đúng của
nghiệm tại một số điểm xác định của nó. Vì vậy, ta cần chọn trong miền xác định đó
một số hữu hạn điểm, mà tại các điểm đó ta sẽ tìm được các giá trị gần đúng của
nghiệm. Tập các điểm đó gọi là lưới, và mỗi điểm thuộc lưới đó gọi là nút lưới.
Hàm số xác định được tại các nút lưới được gọi là hàm lưới và nghiệm gần
đúng tìm được phụ thuộc vào cách chọn lưới.

- 11 -


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Như vậy, ta cần thay đổi miền biến đổi liên tục bởi miền biến đổi rời rạc là
lưới, còn không gian nghiệm cần tìm được thay bởi không gian các hàm lưới.
1.3.2. Khái niệm về sự ổn định
Hàm u(x) của đối số liên tục x ∈ G là phần tử của không gian H0 nào đó, khi
đó các hàm lưới yh(x) cũng tạo thành không gian Hh. Như vậy phương pháp sai
phân hữu hạn nghĩa là thay không gian H0 bởi không gian Hh của hàm lưới yh(x)
trên lưới W .

Khi đó, bài toán vi phân đã cho có thể viết lại được như sau:
= ;

∈

;

∈

(1.17)

Trong đó B1, B2 là các không gian Banach, A là toán tử tuyến tính có miền
xác định trong B1, miền giá trị B2 = R(A)
Khi đó bài toán sai phân có dạng
=

;

∈

;

∈

(1.18)

Trong đó B1h; B2h là không gian Banach các hàm lưới tương ứng, Ah là toán
tử tuyến tính có miền xác định trong B1h
Gọi u h là nghiệm của bài toán vi phân (1.17) và yh là nghiệm của bài toán sai phân
(1.18) thì zh = yh – u h là sai số của nghiệm tại nút lưới w

Định nghĩa 1: Ta nói nghiệm của bài toán sai phân (1.18) hội tụ tới nghiệm
của bài toán vi phân (1.17) cấp h m với 0 < h < h0 đủ bé và m > 0 nếu
‖ ‖

=‖

−

‖

= (ℎ )

(1.19)

‖ ‖

=‖

−

‖

≤ ℎ

(1.20)

hoặc
Trong đó ‖ ‖

là hằng số dương nào đó không phụ thuộc

là chuẩn trong B1h ,

vào h.
Định nghĩa 2: Bài toán sai phân (1.18) được gọi là ổn định nếu yh phụ thuộc
liên tục vào φ , nghĩa là
‖

‖

≤

‖

‖

với M > 0 là hằng số không phụ thuộc vào h.
Bất đẳng thức (1.21) gọi là ước lượng tiên nghiệm của bài toán (1.18)
- 12 -

(1.21)


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

1.4. Các công cụ cần thiết để nghiên cứu lược đồ sai phân
1.4.1. Công thức đạo hàm sai phân
(u. v)′ = u′ v + uv ′

Trong giải tích ta có:

Với ký hiệu yi = y(xi) ta có các ký hiệu đạo hàm sai phân như sau:
Đạo hàm sai phân tiến cấp 1
−
ℎ

=
Đạo hàm sai phân lùi cấp 1

−
ℎ

=
Đạo hàm sai phân cấp 2

∈

Trong đó:

=

1
[
ℎ

=
̅

−

= ℎ; ℎ = ; = 0,

]
là lưới đều trên đoạn [0,1]

bước là h. Bỏ qua chỉ số i, ta hiểu là: x = xi với x ∈ w và

±

= ( ± ℎ).

Tương ứng với công thức đạo hàm trong giải tích ta có công thức đạo hàm
sai phân như sau:
(

) =

(

)̅=

+
̅

=

+
̅

(1.22)

+

=

+
̅

(1.23)
̅

1.3.2. Công thức tổng riêng từng phần
( ,
( ,

)=
̅)

– (

–

=

–

–[

]

(1.24)

, )

(1.25)

̅,

Trong hai công thức (1.12) và (1.13) ta sử dụng các ký hiệu sau:
( , )=

ℎ

( , ]=

[ , )=

ℎ

ℎ

(1.26)

1.3.3. Công thức khai triển Taylor
( +∆ )= ( )+

∆
1!

′(

)+

(∆ )
2!

′′ (

- 13 -

) + ⋯+

(∆ )
!

( ) + ((∆ )

)


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT Á TUYẾN MỘT CHIỀU

2.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến một chiều
Bài toán truyền nhiệt tuyến tính một chiều đã được nghiên cứu đầy đủ trong
[3, 4, 6]; trong tài liệu đó cũng đã đề cập tới bài toán có phương trình dạng á tuyến.
Trong chương này ta sẽ nghiên cứu một cách cặn kẽ đối với bài toán này trong
không gian một chiều với điều kiện biên loại 1.
2.1.1. Phát biểu bài toán .
Từ chương 1 ta xét bài toán sau:
Tìm hàm số
( )

−

=

( , ); ( , ) ∈

= ( , )

ớ

( , 0) = ( )
( , )= ( )

thỏa mãn

( , )∈
∈

={ <

< ;0 < ≤ }

=[ , ]

(2.1)
(2.2)

( , ) = ( ); ∈ (0, ]

(2.3)

Trong đó:
, , , ,

là những hàm số đủ trơn thỏa mãn: ( ) ≥

, , ,

là các hàm số giới nội, với c1 là hằng số

>0

a, b là những số cho trước thỏa mãn điều kiện a < b
= { |0 ≤ ≤ } với T là số thực dương cho trước
=

×

={ ≤

≤ ;0 ≤ ≤ }

Giả sử bài toán (2.1) với các điều kiện biên (2.2), (2.3) có nghiệm đủ trơn trong Q .
2.1.2. Lưới và hàm lưới
Chọn các số nguyên N, M
Bước đi theo không gian x: ℎ =

- 14 -


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

=

Bước đi theo thời gian t:
Đặt

=
=

+ ℎ;

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

= 0,1,2, … ,
= 0,1,2, … ,

Gọi Γ là tập biên của Ω: Γ = { = , = }
Tập

= ( , )( , )∈

gọi là tập các nút trong

Tập

= ( , )( , )∈

gọi là tập các nút biên

Tập

=

∪

gọi là lưới trên Q . Mỗi một điểm (x , t ) được gọi là

một nút của lưới; hay còn được ký hiệu là nút (i,j).
Hàm v xác định tại mọi nút của Ω

gọi là hàm lưới trên Ω

, giá trị của

hàm tại nút (i, j) được ký hiệu là: v
Ta có định nghĩa các đạo hàm lưới trên Ω
được xác định bởi
v ̅ được xác định bởi

∶= ( ) =
∶= ( ̅ ) =
̅

được xác định bởi
̅

được xác định bởi
̅

̅

=

như sau:

∶= ( ) =
∶= (
̅
̅

̅)

=

gọi là đạo hàm sai phân cấp 2

ℎ

2.2. Lược đồ sai phân

Ở đây ta sử dụng phương pháp sai phân ẩn để giải bài toán.
Đặt toán tử:
=( ( )
Ta có:

̅)

( )= ( )

à

( )

Lấy tích phấn 2 vế của (2.1) trên

=

(∗)
≈

− ≤

- 15 -

≤

+

=ℎ
tại điểm

=

ta được


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

−

⟺

( )

1
ℎ

−

1
ℎ

=

−

=

( , )
1
ℎ

(2.4)

( , )

(2.5)

Xấp xỉ các tích phân
⟺

1
ℎ

1
ℎ

( , )

( , )

≈

,

≈

,

−

,

≈

(2.6)

,

(2.7)

=

Từ biểu thức (*) và do giả thiết k(u) ≥ c > 0 ta suy ra:
( )
=
( )

(2.8)

Lấy tích phân 2 vế của biểu thức (2.8) trên đoạn [
( )
( )

=
⟺

1

(
ℎ

−

)=

1
ℎ

Đặt:
Do

≈

( )
( )
=[

; ] ta có:
(2.9)

( )
1
ℎ

≈

1
ℎ

1
( )

]

1
( )
≈ (

(2.10)
)

là nghiệm cần tìm chưa có, nên ta thường chọn:
+
2
=
( )+ (
2
+
2
=
( )+ (
2

⟹

+ (ℎ )
)

+ (ℎ )
+ (ℎ )

)

(2.11)
+ (ℎ )

Kết hợp (2.10) và (2.11) ta được:
=

−
ℎ

=

- 16 -

̅,

(2.12)


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Tương tự ta cũng có:
−
ℎ

=

=

(2.13)

̅,

Thay vào (2.5) ta được:
=

,

1
ℎ

(

)

− (

̅,

)

+

̅,

(2.14)

Thay u bởi v là nghiệm của bài toán sai phân ta có:
=

,

1
ℎ

,

(

)

=

− (

̅,

=

=

;

( , 0) = ( + ℎ); ⟹

với:

)

= 1;

,

̅,

=

+

(2.15)

=

=

(2.16)

= ( + ℎ)

(2.17)

− 1; = 1;

−1

=

−
ℎ

Trong đó:
−
ℎ

=

̅,

̅,

Công thức (2.15) và v = g(a + ih) cho ta thấy khi mà biết v

ta sẽ tính được v

bằng cách giải hệ đại số tuyến tính ba đường chéo, bằng công thức truy đuổi [9,10].
2.3. Bài toán sai phân đối với sai số
Xét

v là nghiệm của bài toán sai phân (2.15) – (2.17)
u là nghiệm của bài toán vi phân (2.1) – (2.3)

Đặt

z = v – u: Khi đó z được gọi là sai số của phương pháp sai phân.

Thay vào (2.15) ta được:
,

−

1
ℎ

( + )

=

−

=

=0

=

−

( )

̅,

− ( + )

̅,

=

(2.18)

=0

(2.19)
(2.20)

với
+

1
ℎ

( + )

̅,

- 17 -

− ( + )

̅,

(2.21)


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

(2.18) – (2.20) được gọi là bài toán sai phân đối với độ sai nghiệm.
2.4. Sự ổn định
Đặt:

=

Khi đó, phương trình (2.18) có thể được viết lại như sau:
( + )+

( + ) +1

( + )

( + )
⟺

≤

( + )

+

( + )+

+

( + ) +1

⟹

≤

+

≤

( + )

+

+

=

+

+

+

(2.22)
∀

Vậy ta có:
≤‖ ‖ +

‖

‖

( 2.23)

Bất đẳng thức (2.23) được gọi là bất đẳng thức ổn định, biểu diễn sự phụ thuộc của
sai số vào điều kiện đầu và vế phải.
Bây giờ ta xét sự ổn định của hệ số:
Ta xét bài toán sai phân sau:
̅

− ( ( ) ̅) =

( )
( )

= 0;

( )

(2.24)

= 0; ( = 1,2, … , )

(2.25)

= ( + ℎ); ( = 1,2, … , )

(2.26)

Trong đó:

= ( , − );

(

( ) ̅) =

1
[ ( )
ℎ
̅

− ( )
̅

]

So sánh nghiệm y của bài toán sai phân ban đầu (2.24) - (2.26) với nghiệm y của bài
toán sai phân sau với hệ số thay đổi:
∗
̅

−
̅

=

- 18 -

(2.27)

ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

( )

( )

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

( )

= 0; ( )

= 0; ( = 1,2, … , )

(2.28)

( )( ) = ( + ℎ); ( = 1,2, … , )

(2.29)

Giả thiết rằng hệ số của bài toán (2.27) - (2.29) và hệ số của bài toán (2.24) - (2.26)
cùng được tính theo một công thức và thỏa mãn: a ≥ c > 0
Ta nói rằng lược đồ sai phân của ta có hệ số ổn định nếu trong trường hợp hội tụ
theo một chuẩn nào đấy của hệ số nhiễu loạn khi h, τ → 0 thì nghiệm của bài toán
sai phân nhiễu loạn hội tụ về nghiệm của bài toán vi phân.
Theo định nghĩa thì lược đồ sai phân có hệ số ổn định, nếu từ điều kiện:
‖ − ‖ = (ℎ +
(ℎ +

với
Ta có:

‖ − ‖ = (ℎ +

)

(2.30)

) ⎯⎯ 0
, →

)

Bổ đề 2.1: Nếu hệ số của phương trình sai phân thỏa mãn điều kiện
ta có ước lượng sau: ‖ − ‖ ≤

≥

> 0 thì

‖ − ‖

.

Trong đó M1 là hằng số dương không phụ thuộc vào h và
Chứng minh:
Ký hiệu v = y − y, ta có bài toán sai phân đối với v là:
̅

−( ( )

̅)

(2.31)

( )

= 0;

( )

= 0; ( = 1,2, … , )

Với ∅ = ( − )

( )

=∅

= 0; ( = 1,2, … , )

(2.32)
(2.33)

̅

Đối với bài toán (2.31) – (2.33) ta có ước lượng sau
‖ − ‖=‖ ‖≤

.

‖∅‖

Ta có ước lượng ∅ là:

‖ ∅‖

=

( − )
̅

=

- 19 -

ℎ

ℎ ( − )
̅

,


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

≤

ℎ ( − )

≤

‖ − ‖ +

̅

+

,

ℎ ( − )

‖ − ‖ =

‖ − ‖

̅

,

(đpcm)

Xét (2.21) thay hệ số a(u + z) ≈ a(u) ta có:
=( ) −
với:

+

1
ℎ

( )

− ( )

̅,

̅,

(2.34)

= ( , − )

Khi đó, ta viết (2.34) dưới dạng:
=

,

+

,

+

(2.34)∗

,

Trong đó:
=

,

,

,

=

1
ℎ

( )

−
̅

−

−

=( ) − ∫

(2.35)

(2.36)

,

(2.37)

Sử dụng khai triển Taylor:
=

+

ℎ
=
2

=

+

−

ℎ
2

+

ℎ
2

ℎ
2

1
2!

1
2!

ℎ
2

=

−

ℎ
2

+

Từ đó ta có
̅

+ (ℎ )

=

−
ℎ

=

+ (ℎ )

Mặt khác, do
=

,

- 20 -

+ (ℎ )

+ (ℎ )


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Thay vào phương trình (2.35) ta có:
=

,

̅

=

( )

−

=

+ (ℎ )

+ (ℎ ) −

= (ℎ + )
=

Xét (2.36) thực hiện phép đổi biến
,

,

=

=

+ ℎ,

1
ℎ

−

=

=

+ ℎ ta có

=

,

−

+ ℎ

+ (ℎ ) −
,

≤
⟹

̅

+ (ℎ + )

−
̅

−
̅

= (ℎ + )

= (ℎ + )

Do đó, từ (2.34)* ta có:
=‖ − ‖=‖ −

+ (ℎ + )

+ ℎ,

=

,

Thực hiện tương tự ta cũng có:

+ ℎ

=
+

(ℎ + )

− ‖≤ ‖ − ‖+‖ − ‖ ≤

‖ − ‖ + ‖ − ‖ = (ℎ + ) + (ℎ + ) = (ℎ + )
= (ℎ + ) ⟹ ‖ ( + ) − ( )‖ = (ℎ + )

Từ bổ đề 2.1 ta thu được sự ổn định của hệ số. Như vậy nghiệm của bài toán sai
phân xấp xỉ nghiệm của bài toán vi phân cấp 1 đối với τ và cấp 2 đối với h.
2.5. Sự hội tụ
Kết hợp sự ổn định ở trên cùng với (2.23) thì bài toán sai phân (2.15) –
(2.17) ổn định và hội tụ tới nghiệm của bài toán vi phân (2.1) –(2.3) với tốc độ hội

tụ là:

(ℎ + ).
- 21 -


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

CHƯƠNG 3
PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU
VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN

3.1. Phát biểu bài toán:
Cho các số a, b, c, d dương, trong đó a < b, c < d, T > 0. Xét miền giới hạn
= {( , ):

<

< , <

< }∈

Ký hiệu biên Γ, trong đó Γ nằm trên các đường thẳng giới hạn bởi:
{ = , ≤

≤ ;

= , ≤

≤ } à{ ≤

Ký hiệu các khoảng thời gian là:
Tìm hàm số

=

( , , 0) = ( , )
( , , )=
( , , )=
Trong đó

+

= ;

= { |0 < ≤ } à

:

( , , ) xác định tại ( , , ) ∈
( , , )

=

≤ ,

( , , )

=

×

≤ ,

= }

= { |0 ≤

≤ }

≤

thỏa mãn:

+ ( , , )

(3.1)

( , )∈

(3.2)

( , ) ; ( , , )=
( , ) ; ( , , )=
∀( , )∈ ; ∈

( , )

( , )

(3.3)

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , ),

( , ) là các hàm đủ trơn cho

trước thỏa mãn: ( , , ) ≥

( , , )≥

> 0;

> 0 với

;

∈

3.2. Hàm lưới và đạo hàm lưới
3.2.1. Lưới
Chọn các số nguyên dương N, M, P
Đặt bước đi theo phương x: ℎ =

, còn bước đi theo phương y:

bước đi theo thời gian t: =
Khi đó, các nút lưới tương ứng theo các phương đó là:

- 22 -

=

,


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

= + ℎ,
= + ,
= ,

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

= 0,1,2, … ,
= 0,1,2, … ,
= 0,1,2, … ,

Gọi Γ là tập biên của Ω. Lưới trên Ω
Ω

=

,

Γ

=

Ω

=Ω

|

,

|
∪Γ

,
,

∈ Ω gọi là tập các nút trong
∈ Γ gọi là tập các nút biên

gọi là lưới sai phân trên Ω. Mỗi điểm

,

được gọi là

một nút hay còn được ký hiệu là nút (i, j)
Lưới trên IT:
Ω = { | = 1,2, … , } gọi là tập các nút trong trên IT
Ω = { | = 0,1,2, … , } gọi là một lưới trên I
Lưới trên QT:
Ω

=Ω

× Ω gọi là tập các nút trong trên QT

Ω

=Ω

× Ω gọi là một lưới trên Q

Lưới Ω

chia thành nhiều lớp và lớp thứ n là: Ω

=Ω

×{ }

3.2.2. Hàm lưới và đạo hàm lưới
Hàm

xác định tại mọi nút của Ω

gọi là một hàm lưới trên Ω

, giá trị

gọi là một hàm lưới trên Ω

, giá trị

của nó tại mỗi nút ( , ) được ký hiệu là
Hàm

xác định tại mọi nút của Ω

của nó tại mỗi nút ( , , ) được ký hiệu là
Cho hàm
trong Ω

xác định tại mọi nút của Ω

ta được hàm lưới

. Cố định n và cho ( , ) thay đổi

xác định trên Ω

có giá trị tại nút ( , ) ∈ Ω

là

.
Trong chương trước ta đã biết đạo hàm sai phân tiến cấp 1 của
phân lùi cấp 1

là:
̅

và đạo hàm sai phân cấp 2 như sau:

∶= ( ) =

- 23 -

−

là:

, đạo hàm sai


ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

∶= (
̅

̅)
̅

=
̅

−

=
̅

ℎ

Khi đó ta định nghĩa đạo hàm lưới của v xác định trên Ω

là:

được xác định bởi ( ) =
v ̅ được xác định bởi ( ̅ ) =
được xác định bởi ( ) =
̅

được xác định bởi (

̅)

=

được xác định bởi ( ) =
được xác định bởi (
Đạo hàm cấp 2 của
(
̅

) = ((

) =

được định nghĩa là:
̅)

) =

(

̅)

−(

̅)

=

ℎ

1
ℎ

−
=

=

=

−2

+

−2

+

1

3.3. Xây dựng thuật toán
Giả sử bài toán (3.1), (3.2), (3.3) có nghiệm đủ trơn cho trước và ta đã có
phân tích

=

+ . Khi đó ta phân tích bài toán (3.1), (3.2), (3.3) thành hai bài

toán một chiều trên lớp

=

và

=

+

1
2

=

( , , )

+

( , , ) ;

1
2

=

( , , )

+

( , , ) ;

Điều kiện biên được cho trong (3.3) trong đó

như sau:
< ≤
< ≤
=

+

Với mỗi bài toán này ta dùng phương pháp sai phân ẩn cổ điển để giải

- 24 -

(3.4 )
(3.4 )