Tai lieu HD tu hoc toan 12 (2016 2017)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.15 MB, 221 trang )

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
----- oOo -----



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Dấu nhò thức bậc nhất:
• Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0). Nghiệm của nhò thức là nghiệm phương trình ax +
b = 0.
• Bảng xét dấu của nhò thức bậc nhất f(x) = ax + b (a ≠ 0):
b
-∞
x
a
+∞
ax + b
trái dấu với a
0
cùng
dấu với a
2. Dấu tam thức bậc hai:
• Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương
trình ax2 + bx + c = 0.
• Tính ∆ = b2 - 4ac
• Nếu ∆ < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và
-∞
x
+∞

f(x)
cùng dấu với a
b
• Nếu ∆ = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = và
2a
b
-∞
x
2a
+∞
f(x)
cùng dấu với a
0
cùng dấu với a
• Nếu ∆ > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và
-∞
x1
x2
x
+∞
f(x)
cùng dấu với a
0
trái dấu với a
0
cùng dấu với a
* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ ' nếu hệ số b
chẵn.
3. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) (∆ = b2 - 4ac)

Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai
nghiệm trái dấu (x1 nghiệm
âm
phân nghiệm dương phân
< 0 < x2) khi và chỉ biệt (x1 < x2 < 0) khi biệt (0 < x1 < x2 ) khi
c
 a≠0
 a≠0
khi: P =
< 0.

 ∆>0
a
 ∆ >c 0

c
và chỉ khi:  P = > 0
và chỉ khi:  P = > 0
a
a


b
S = − < 0
S = − b > 0


a
a
4. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
a > 0
a < 0
a) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ 
;
b) f(x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔ 
.
∆ ≤ 0
∆ ≤ 0
5. Các khái niệm liên quan đến hàm số:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----1

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức
chứa biến x.
• Tập xác đònh của hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghóa}.
• Giá trò của hàm số y = f(x) tại x0 là y0 = f(x0).
6. Giới hạn vô cực:
a) Một vài giới hạn đặc biệt:

x k = +∞ với k nguyên dương.
• xlim
→+∞
xk = −∞ nếu k là số lẻ.
• xlim
→−∞

x k = +∞ nếu k là số chẵn.

• xlim
→−∞

b) Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:

• Quy tắc tìm giới hạn của thương
f ( x)
:
g ( x)
x→ x0
x→ x0
x→ x0
Dấu
f ( x)
lim f ( x) lim g ( x)
x→ x0
x→ x0
lim
+∞
+∞
của
x→ x0 g ( x )
L>0
g(x)
-∞
-∞
±∞
L
Tùy
0

+∞
-∞
L<0
ý
-∞
+∞
+
+∞
L>0
+
−
- x → x0 -∞
* Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp
, x → x0 ,
0
+
-∞
x → +∞ và x → -∞ .
7. Đạo hàm:
a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có
đạo hàm, khi đó:
(u + u - w)' = u' + v' - w';
(uv)' = u'v + v'u;
(k.u)' = k.u' ;
u
u ' v − v' u
1
v'
( )' =
( )' = − 2 .

v
v
v2
v
b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(C)' = 0
(xα)' = αxα-1(α ∈ R, x > 0)
(uα)' = αuα-1.u'(α ∈ R, u > 0)
1
u'
( x )' =
( u )' =
(x > 0)
(u > 0)
2 x
2 u
1
1
1
u'
( )' = − 2 (x ≠ 0)
( )' = − 2 (u ≠ 0)
x
u
x
u
(sinx)' = cosx
(sinu)' = cosu.u'

(cosx)' = -sinx
(cosu)' = -sinu.u'
π
u'
π
1
+ kπ , k ∈ Z)
+ kπ , k ∈ Z)
(tanx)' =
(x ≠
(tanu)' =
(u ≠
2
2
cos x
2
2
cos u
u'
1
(cotx)' = - 2 (x ≠ kπ, k ∈ Z).
(cotu)' = - 2 (u ≠ kπ, k ∈ Z).
sin x
sin u
c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:
ad − bc
ax 2 + bx + c
adx 2 + 2aex + be − dc
ax + b
(

)'
=
•(
)' =
•
(cx + d ) 2
dx + e
(dx + e) 2
cx + d
• Quy tắc tìm giới hạn của tích
f(x).g(x):
lim f ( x)
lim g ( x)
lim f ( x) g ( x)

ax 2 + bx + c
(ae − bd ) x 2 + 2(af − dc) x + bf − ec
)'
=
dx 2 + ex + f
(dx 2 + ex + f ) 2
d) Ý nghóa hình học của đạo hàm:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thò hàm số y =
f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).
•(

2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

 Ghi chú:
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

3

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Đònh nghóa:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a;
b] hoặc K = [a; b])
Hàm số y = f(x) đồng biến
Hàm số y = f(x) nghòch biến
(tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1,
x2 thuộc K sao cho:
x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Bảng biến thiên:
x

a

Bảng biến thiên:

b

x

a

lim

b

lim+

x →b −

x→ a

y

y

lim

lim

x →a +

x→b −

Đồ thò hàm số đồng biến
là đường đi lên từ trái sang phải

Đồ thò hàm số nghòch biến
là đường đi xuống từ trái sang phải

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thò hàm số y = f(x) để hoàn
thiện bảng biến thiên và rút ra nhận xét:
a) y = x2.
y
TXĐ: D = R
y' = 2x
y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0
Bảng biến thiên:
Đồ thò:
x -∞
0
+∞
y'
0
+
+∞

x
+∞
y
O
0
1
b) y = .
x
TXĐ: D = ..........

y

y' = ..............................................................................................................
Bảng biến thiên:
x -∞

Đồ thò:
0

+∞

x

y'

O

y
Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số
Nếu y' > 0 trên K thì hàm số

4

....................................

...................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

trên K.

trên K.

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

Đònh lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'(x) > 0 ∀ x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x) < 0 ∀ x ∈ K thì hàm số f(x) nghòch biến trên K.
* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghòch biến) trên K gọi chung là đơn điệu
trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số
a) y = 2x4 + 1;
b) y = sinx trên khoảng (0; 2π).
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

* Chú ý: Quan sát đồ thò hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi:
Khẳng đònh sau đúng hay sai? vì sao?
"Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0
với mọi x ∈ R".
Trả

lời:

.......................................................................................................................
...................................................................................................................................
........
...................................................................................................................................
........

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

5

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
...................................................................................................................................
........
...................................................................................................................................
........

Đònh lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu
f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x 0
thì hàm số đồng biến (nghòch biến) trên K.
• Nếu f'(x) = 0 ∀x ∈ K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm
hằng y = c trên K)

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):
 Trình bày bài giải:
• Tìm tập xác đònh D của hàm số. (D = {x ∈ R | f(x) có nghóa})
• Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm x i (i = 1, 2, ..., n) mà tại
đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh.
• Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng
dần trên bảng biến thiên).

i)

y' > 0, ∀x ∈ (a; b)
x
a
y'
+

b

lim y
y

lim y

x→b −

x →a +

Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b)
ii)

y' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và y' = 0 tại một số hữu hạn điểm x0, x1, ..., xn
x
a
x0 x1 ..... xn
b
y'
+
0 + 0
+
0 +
lim y
x→b −
y
lim y
x →a +

iii)

Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b)
y' < 0, ∀x ∈ (a; b)
x
a
b
y'
lim y
y

x →a +

lim y
x→b −

Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b).
iv)

6

y' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) và y' = 0 tại một số hữu hạn điểm x0, x1, ..., xn
x
a
x0 x1 ..... xn
b
y'
- 0 - 0
- 0 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

lim y
y

x →a +

lim y
x →b −

Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b).
• Kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghòch biến của hàm số y = f(x) =
1 3 1 2
x − x − 2x + 2
3
2
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

3
x4
- x2 + ;
2
2

d) y =

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng
thức:
π
Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0; ).
2
Giải:

 Ghi chú:

....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

9

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................

c) y =
f) y =

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = x4 - 2x2 + 3;
b) y = x4 + 8x2 + 5;
16 3
c) y = 16x + 2x2 x - x4;
d) y = x 4 – 2 x 2 + 3.
3
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
x +1
3x + 1
3 − 2x
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
.
1− x
x+7
x −1
Bài 4: Xét sự đồng biến, nghòch biến của các hàm số:
x2 − x +1
x 2 − 2x

x2 − 2x + 3
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
.
1− x
x +1
x −1
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghòch biến của các hàm số:
2x
a) y = 2
;
b) y = x 2 − x − 20 .
x −9
x
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y = 2
đồng biến trên khoảng (-1; 1)
x +1
và nghòch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞). (HD: Chứng minh y' ≥ 0∀x∈
(-1;1) và y' ≤ 0∀x∈ (-∞ ;-1)∪ (1; +∞ ))
Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 x − x 2 đồng biến trên (0; 1) và nghòch
biến trên (1; 2).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
π
π
x3
a) tanx > x (0 < x < );

b) tanx > x +
(0 < x <
2
2
3
).
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU:
Lập bảng biến thiên của
hàm số sau:
1 3 3 2 5
y= x + x + x
6
2
2

Đồ thò hàm số y =

1 3 3 2 5
x + x + x
6
2
2

.............................................................................................
....................
.............................................................................................
....................
.............................................................................................

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x 0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và x ≠
x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
* Chú ý:
a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 thì x0 gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trò cực đại (giá trò
cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0))
gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thò hàm số.
b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trò. Giá trò
cực đại (giá trò cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là
cực trò của hàm số.
c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trò tại
x0 thì f'(x0) = 0.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:
Đònh lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x 0 - h; x0
+ h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0.
a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x 0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x 0;
x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0;
x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:
1. Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trò của hàm số y = f(x)
• Tìm tập xác đònh.
• Tính f'(x). Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác
đònh.
• Lập bảng biến thiên.
• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò.
x

f'(x)

x0 - h
x0 + h

x0
+

0
yCĐ

-

f(x)

x

x0 - h
x0 + h

f'(x)

x0
-

0

+

f(x)

"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm"
từ âm sang dương"

yCT
"Đạo hàm đổi dấu

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trò của hàm số y = x3 - x2 - x + 3.
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

...................

................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

13

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

Ví dụ 2: Tìm cực trò của hàm số y =
Giải:

3x + 1
.
x +1

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

................

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trò của hàm số f(x) = x(x 2 - 3)
2. Quy tắc 2:
Đònh lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong
khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0. Khi đó:
 f ' ( x0 ) = 0
 f ' ( x0 ) = 0
a) Nếu 
thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu 
 f ' ' ( x0 ) > 0
 f ' ' ( x0 ) < 0
thì x0 là điểm cực đại.
Quy tắc 2:
• Tìm tập xác đònh.
• Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu x i (i = 1, 2, ...) là các
nghiệm của nó.
• Tính f''(x) và tính f''(xi).
• Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trò của điểm xi.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
1
a) f(x) = x4 - 2x2 + 6;
b) f(x) = sin2x.
4
Giải:

14

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

 Ghi chú:

....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

15

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
1
a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10;
b) y = x4 + 2x2 - 3;

c) y = x + ;
x
3
2
2
d) y = x (1 - x) ;
e) y = x − x + 1 .
Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
a) y = x4 - 2x2 + 1;
b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx;
d) y = x5 - x3 - 2x
+ 1.
Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thò
hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bài 4: Tìm các giá trò của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số
x 2 − mx + m − 1
y=
.
x +1
x 2 + mx + 1
Bài 5: Xác đònh giá trò của tham số m để hàm số y =
đạt cực
x+m
đại tại x = 2.
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trò của tham số m, hàm số y = x 3 2
mx - 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. (HD: Chứng
minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6. Xác đònh m sao cho:
a) Hàm số có cực trò;

b) Hàm số có hai điểm
cực trò cùng dấu.
5
Bài 2: Tìm a và b để các cực trò của hàm số y = a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều
3
5
là những số dương và x0 = − là điểm cực đại.
9
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
16

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................................

..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

17

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập
nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈ D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M
max f(x).

D
b) Số m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập
nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m
min f(x).

D
=
D
=

D

II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT
KHOẢNG:
 Quan sát đồ thò các hàm số sau và điền vào các chỗ trống sau:

Giá trò lớn nhất của hàm số
f(x)= -x2 + 4x - 5 trên (-∞; +∞) là:
...................

tại x =

Giá trò nhỏ nhất của hàm số

f(x) = x - 5 +

...........................

1
trên (0; +∞) là:

x

..................... tại x = ...............................
 Bài toán: Tìm giá trò lớn nhất (GTLN) và giá trò nhỏ nhất (GTNN) của
hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b).
 Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó
suy ra kết luận.
(Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập
xác đònh)

x
f'(x)

a
b

x0
+

-

x

a
b

x0

f'(x)

-

+

GTLN
f(x)

f(x)
GTNN

Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác đònh tại x0.
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 +

1
trên khoảng (0; +∞).
x

Giải:
................................................................................................

18

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
...................

;
b) f(x) =
trên (0; 1).
x
x +1
Giải:

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

19

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT
ĐOẠN:
1/ Đònh lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trò lớn
nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó.
 Quan sát đồ thò hàm số sau và
điền vào các chỗ trống:
Giá trò lớn nhất của hàm số y = x3
- x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là:
............................

tại x =

................

Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x 3
- x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là:

............................ tại x = ................

2/ Quy tắc tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục
trên một đoạn:
• Tìm các điểm x1, x2, ...., xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0 hoặc không
xác đònh (i = 1, 2,...n).
• Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
• Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x 1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}.
Ta có:
max f(x) = M, min f(x) = m.
[ a;b ]

[ a; b ]

Ví dụ 1:
Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x +
10 trên [-3; 1].
Giải:

20

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

[ a ;b ]

• Nếu hàm số y = f(x)
nghòch biến trên [a; b]
thì:
max y = f(a), min y = f(b)
[ a ;b ]
[ a ;b ]

Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên
[-1; 1].
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

21

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

...................................................................................................

...................

................

IV. ỨNG DỤNG:

Ví dụ: Cho một tấm nhôm
hình vuông cạnh a. Người ta
cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập
tấm nhôm lại như hình vẽ để
được một cái hộp không nắp.
Tính cạnh của các hình vuông
bò cắt sao cho thể tích của
khối hộp là lớn nhất.
Giải:

22

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

 Ghi chú:
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................
....................................................................................................................................................................................................................
...............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

23

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên [-4; 4] và [0; 5]; b) y = x4 - 3x2 + 2 trên [0; 3] và
[2; 5];
2−x
c) y =
trên [2; 4] và [-3; -2];
d) y = 5 − 4 x trên [-1; 1].
1− x
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x 2 + x .
Bài 3: Tính giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số:
4
4
a) y =
b) y = 4x3 - 3x4;
c) y = x + (x > 0);
2 ;
x
1+ x
x
1
d) y = | x| ;
e) y =
;
f) y =
.
4 + x2

1+ x4
Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ
nhật có diện tích lớn nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật,
tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)
Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm 2, hãy xác
đònh hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình
chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
3
1
x2 + 3
a) y = 2
;
b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 trên [-2; );
c) y = x trên
2
x
x +x+2
(0; 2].
2
Bài 2: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
với x > 1.
x −1
Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 3x +
2 trên đoạn [-10; 10].
Bài 4: Xác đònh giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 2sin2x + 2sinx - 1;
b) y = cos22x - sinxcosx + 4.
Bài 5: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao

cho tích của chúng là lớn nhất.
Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé
nhất.
Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một
cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Bài 8: Cho hàm số y = 2x4 − 3x2 + 2x + 1. Tìm trên đồ thò hàm số điểm M sao
cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.
Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trò lớn nhất:
5
a) y = x(6 - x), x ∈[0; 6];
b) y = (x + 3)(5 - 2x), x ∈[- 3; ].
2
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................

24

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
....................................................................................................................................................................................................................
..........................................

Tai lieu HD tu hoc toan 12 (2016 2017)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về